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Cette dernière formule fait connaître les valeurs des intégrales qui entrent dans les divers termes de T, par suite du développe-

ment en série du facteur ^1 — — ^ 5* On trouve ainsil

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§ 133. Pendule cycloïdal. — On donne le nom de pendule

^ ÉQ. ET MOi:V. D’U.N POINT MAT. QUI N’EST PAS LIBUE. I8U

cycloïdal, à un pendule analogue à celui dont nous venons de nous occuper, mais qui en diffère en ce que le point matériel qui le termine, au lieu de se mouvoir sur un cercle, se meut sur une cycloïde ABC, fig. 60, dont le plan est vertical et dont la base AG est horizontale. Fig oo.

Pour réaliser un pareil pendule, il suffit de tracer les deux arcs de cycloïde AD, DG dont ^ l’ensemble constitue la . g développée de la cycloïde ABC, et de disposer deux pièces solides E, F, limitées inférieurement par des surfiiccs cylindriques droites ayant ces arcs AD, DG pour bases. Si l’on fixe en D l’une des ^extrémités d’un fil de longeur DB, et qu’on attache un corps pesant à son autre extrémité ; si ensuite on écarte ce corps de sa position d’équilibre B, sans le faire sortir du plan vertical ADC, et qu’on l’abandonne à lui-même, il est clair qu’il - se mouvra le long de la cycloïde ABC, sur laquelle il effectuera une série d’oscillations. Nous allons nous proposer de déterminer la durée de l’une de ces oscillations.

Soient G la position qu’occupe le point matériel au commencement de l’oscillation que nous considérons, et M une quelconque des positions par lesquelles il passe après être parti du point G. Désignons par a el z les distances des points G et M à la tangente à la cycloïde en B, tangente qui est horizontale. Nous aurons pour la vitesse v du mobile en M,

D’un autre coté, en appelants Tare GM, on a

<l’où Ton tire

(Is

Si Ton trace le cercle générateur de la cycloïde dans la position qui correspond au point M, la droite menée du point M au point H où ce cercle touche la base AC est normale à la cvcloïde en M ; la droite qui joint le point M à l’autre extrémité K du diamètre HK est donc la tangente à la courbe. Prenons sur celle tangente une longueur MM' égale à ds, et menons les lignes MN, M'N, respectivement parallèles aux lignes CH, HK. Le triangle MNM' étant semblable au triangle HMK, nous aurons