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m ~ KM’

ou, ce qui revient au même, en désignant par r le rayon OH du cercle générateur, et observant que NM' est égal à — rfj,

(ÏZ.

Tirant de là ds, et le substituant dans la valeur que nous avons obtenue précédemment pour dt, nous trouvons définitivement

Nous n’avons plus qu’à intégrer par rapport à depuis z = a, jusqu’à Z = Of pour avoir la durée de la demi-oscillation descendante, c’est-à-dire la moitié de la durée T d’une oscillation complète : nous aurons donc

Ce résultat simple, auquel nous venons de parvenir, nous fait coimaître une propriété très-remarquable du pendule cycloïdal.

ÉQ. ET MOUV. D’UN POINT MAT. QUI N’ESl PAS LIBRE, lyl

La valeur de T ne renfermant pas la quantité «, il s’ensuit que la durée des oscillations est complètement indépendante de leur amplitude. En d’autres termes, quel que soit le point de départ G du corps pesant qui se meut le long de la cycloïde, ce corps emploie le même temps pour arriver au point le plus bas B : c’est ce qui a fait donner à la cycloïde le nom de Tantochrone.

La valeur trouvée pour T nous montre en outre que la durée des oscillations du pendule cycloïdal est la même que celle des petites oscillations d’un pendule circulaire dont la longueur serait 4r, longueur qui est précisément celle du rayon de courbure DB de la cycloïde en son sommet B.

§ 134. Équilibre et mouvement d’un point materiel assujetti d rester sur une surface fixe. — A l’aide de

considérations analogues à celles que nous avons développées précédemment (§ 120), on comprendra sans peine ce que l’on doit entendre par un point matériel assujetti à rester sur une surface fixe. Si l’on fait abstraction du frottement que le point matériel peut éprouver de la part de la surface, on verra que, pour qu’une force appliquée à ce point primitivement en repos ne le mette pas en mouvement, il est nécessaire qu’elle soit dirigée normalement à la surface. La réaction que la surface exerce sur le point est donc aussi normale à cette surface. Nous admettrons qu’il en est ainsi, même dans le cas où le point matériel est en mouvement sur la surface sur laquelle il est obligé de rester, sauf à tenir compte, s’il y a eu lieu, du frottement qu’il éprouve de la part de la surface, en rangeant ce frottement parmi les forces qui agissent sur lui pour modifier son mouvement.

D’après cela, pour qu’un point matériel assujetti à rester sur une surface fixe soit en équilibre sous l’action des forces qui lui sont appliquées, il eèt nécessaire et sulfisant que la résultante

de ces forces soit dirigée suivant la normale à la surface. La pression exercée par le point sur la surface est égale à cette résul-

tante.

Lorsqu’un point matériel est eu mouvement sur une ^urlace fixe sur laquelle il est assujetti à rester, il exerce à chaque iii-

siir la surface une pression normale dont nous pouvons facilement indiquer la valeur. Concevons pour cela que la résultante F des forces qui sont appliquées au point mobile (sans y comprendre la réaction qu’il éprouve de la part de la surface) soit décomposée en deux forces, dont l’une F, soit dirigée suivant la tangente à la trajectoire du point mobile, et l’autre F2 soit dirigée perpendiculairement à cette tangente, dans le plan de F, et de F. En raisonnant comme nous l’avons déjà fait (§ 128), nous verrons que la pression exercée par le point matériel sur la surface est la résultante de la force Fg et de la force centrifuge qui se développe dans le mouvement de ce point. Cette résultante de la force F, et de la force centrifuge doit, bien entendu, être normale à la surface; en sorte qu’on peut l’obtenir ■en faisant la somme des projections de ces deux forces sur la normale. Quant à la force F,, elle détermine le changement de .grandeur de la vitesse t' du mobile, à laquelle elle est liée par la relation

Considérons en particulier le cas d’un point matériel qui se .meut, sur une surface fixe, en vertu d’une vitesse initiale, sans être soumis à l’action d’aucune force. La force F étant nulle, il en sera de même de ses composantes Fj, Fg. Il s’ensuit nécessairement : 1° que la vitesse ^ du mobile reste constante, c’està-dire que son mouvement est uniforme; 2® que la force centrifuge qui se développe dans le mouvement du point constitue, à elle seule la pression de ce point sur la surface, et que par <ionséquent cette force centrifuge est dirigée normalement à la surface, en chaque point de la trajectoire du mobile. Si l’on observe maintenant que la force centrifuge, égale et contraire à la force centripète (§ 128), est toujours dirigée dans le plan osculateur de la trajectoire, on en conclura que, dans le cas particulier qui nous occupe, la trajectoire jouit de cette propriété que, en chacun de ses points, son plan osculateur passe par la normale à la surface en ce point : cette propriété est précisé-