ÉQ. ET MOUV. Ï)TN POINT MAT. QUI N’EST PAS LIBRE

.ment celle qui caractérise les lignes géodédques de la surface. Ainsi, lorsqu’un point matériel, assujetti à rester sur une surface fixe, se meut sur cette surface sans être soumis à l’action d’aucune force, il parcourt uniformément une ligne géodésique de la surface.

Tous les théorèmes établis dans les paragraphes 113 à 120, sur le mouvement d’un point matériel libre, sont applicables au mouvement d’un point matériel assujetti à rester sur une surface fixe, à la condition de joindre à la force F directement appliquée à ce point matériel, la réaction N qu’il éprouve de la part de la surface, et de considérer le mouvement comme s’effectuant sous l’action de la résultante de ces deux forces. Parmi ces théorèmes, nous rappellerons seulement les deux suivants, dans lesquels la réaction N n’entre pas, en raison de ce que la tangente à la trajectoire est toujours perpendiculaire à sa direction : 1° L’accroissement de la quantité de mouvement du point mobile, pendant un temps quelconque, est égal à l’impulsion de la. composante tangenlielle de la force F, pendant ce temps ;

2® L’accroissement de la force vive du point matériel, pendant un inten^alle de temps quelconque, est égal au double du travail de la force F, pendant ce temps.

Enfin nous pouvons dire encore ici, comme dans le cas d’un point matériel assujetti à rester sur une courbe fixe (§ 129), que l’on n’a pas besoin de se préoccuper de la réaction N de la

surface, pour pouvoir appliquer au mouvement du point maté-

riel ce qui a été dit dans le § 119. Si les composantes X, Y, Z, de la force F sont les dérivées partielles d’une fonction des coordonnées Xj y, z du mobile, prises par rapport à chacune de ces variables, on pourra considérer les surfaces de niveau dont il a été question (§ 119); et ces surfaces de niveau joueront, par rapport au mouvement du point matériel assujetti à rester sur une surface fixe, le meme rôle que si ce point matériel était

entièrement libre, tout en étant soumis à l’action de la même

force F.

§ 135. Exemple dn mouvement d’un point matériel

assujetti A rester sur une surfaee fixe. — Pcndulc CO-

19i LIVRE il. — DYNAMIQUE. PREMIÈRE PARTIE.

nique. — Lorsqu’un pendule, tel que celui que nous avons considéré dans le § 132, a été écarté de sa position d’équilibre, et qu’au lieu de l’abandonner à lui-même sans vitesse initiale, on le lance dans une direction quelconque, son mouvement ne s’effectue plus dans un plan vertical; ce pendule se meut en tournant autour de la verticale menée par le point de suspension, et en même temps il .s’approche et s’éloigne alternativement de cette verticale, avec laquelle il ne coïncide dans aucune position. Dans ce cas il prend le nom de pendule conique. ,

Il est clair que le point matériel qui termine un pareil pendule peut être regardé comme étant assujetti à rester sur la surface d’une sphère ayant pour rayon la longueur du pendule, et pour centre son point de suspension. La pression normale du mobile sur la surface de la sphère se trouve ici remplacée par la tension du fil.

Rapportons les diverses positions du mobile à trois axes coordonnés recUingulaires passant par le point de suspension du pendule, et supposons que l’un de ces axes, l’axe des z, soit dirigé verticalement et dans le sens de la pesanteur. Si nous* désignons par N la tension du lil, et par l sa longueur, nous aurons pour les équations différentielles du mouvement du point matériel qui le termine (§ 121) :

dt m C dC^ m dt^ ^ m l

Ces trois équations ne peuvent pds suffire pour déterminer x, \j et Z en fonction de puisqu’elles contiennent une quatrième quantité N qui est également une fonction inconnue de t. Mais nous savons en outre que le mobile doit rester sur la surface de la sphère dont le centre est à l’origine des coordonnées, et dont le rayon est l : x, ijy z doivent donc satisfaire à l’équation de cette sphère, qui est

d- + y- + Z- ■— IK . (/fi

Cette nouvelle équation, jointe aux trois précédentes, permettra de déterminer les quatre fonctions inconnues x, y, J cl N.