ÉQ. ET MOUV. D’UN POINT MAT. QUI N’EST PAS LIBRE

mobile descend, et le signe — au cas où il monte. Les équaions (/) et {g) étant intégrées, on aura t et 0 en fonction de z ; et comme on a déjà r en fonction de z par la première des équations (<?), la question se trouvera complètement résolue. On doit observer que l’intégration des équations (/*) et {g) ne peut s’ef- • fectuer que par les méthodes de quadrature approximative, ou bien en ayant recours aux fonctions elliptiques.

Pour déterminer la tension N du fd, multiplions les trois équa- . lions {à) respectivement par æ, y, z, puis ajoutons-les membre à membre; il viendra

.T(l^x 4- yd^y + zd-z N + //- 4- ~df^ 1

^lais, en différenciant deux fois l’équation (è), on trouve

æd^æ 4- yd-y + zd-z d.r- 4- dy- 4- dz- __

’dp' ““ dt ~ ^

V étant la vitesse du mobile à un instant quelconque; la relation ^ju’on vient d’obtenir devient donc

<ruù

iU ’

N = 4- my-^'

Cette valeur de N aurait pu être écrite immédiatement, d’après

ce qui a été dit (§ 134) relativement à la pression exercée par un point mobile sur la surface sur laquelle il est assujetti à res-

ter; il est aisé de voir en effet que mg y-est la projection du

poids mg sur la normale à la sphère au point où se trouve le

mobile, et que — est la projection de la force centrifuge de

<ie mobile sur la même normale.

§ 130. Si l’on égale à zéro la quantité

ÉQ. ET MOUV. Dl'N POINT MAT. QUI N’EST PAS LIBUE. 19&

périodiquement, deviennent toutes deux égales à z^. Exprimons donc que cette équation et sa dérivée sont satisfaites l’une et l’autre quand on y remplace z par z^y et cela nous fournira

étant la valeur initiale de 0, ce (jui montre que le mouvement du pendule est uniforme, et qu’il met un temps égal à

pour faire un tour entier autour de la verticale.

§ 137. Cherchons encore à nous rendre compte de la manière dont s’effectue le mouvement du pendule conique, dans le cas où ce pendule fait toujours un petit angle avec la verticale. Pour cela, nous regarderons r comme restant toujours petit par rapport à /; et en développant en série la valeur de z en fonction de r fournie par la première des équations (c), nous réduirons cette valeui à ses deux premiers termes, ce qui nous donnera

Remplaçons par cette valeur dans les deux dernières équations (c); mettons-y en même temps pour C et C' les valeurs indiquées précédemment (§ 136), et supposons que a soit nul, ce qui est toujours permis, car cela revient à admettre que le mobile part d’un des points de sa trajectoire qui correspondent au maximum ou au minimum de z : nous aurons ainsi, pour déterminer r et B en fonction de /, les équations différentielles

la solution de la question proposée. On trouve ainsi qu’on doit avoir

La seconde des équations {e) donne dans ce cas

/ r2\ dr^ , lîî? 2 1 £ 2 ).2)

dont la seconde se réduit à

en négligeant le terme — ^ qui est du même ordre de grandeur que ceux que nous avons déjà négligés dans la valeur de J. L’élimination de dt entre ces deux équations différentielles conduit à la relation

yj'udr

d’où l’on tire facilement

puis, en intégrant et supposant que 0 soit nul pour l = 0,

y^ ± \)\,^ /t'o-'/ ^2 Vro- liVJ

cos^O-f- -^sin2 0.

cos 2o

i)n voit par là que la projection horizontale de la courbe que décrit le mobile est une ellipse dont les deux demi-axes sont