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ment, représentée par C, D,, en cinq parties égales, et que nous supposions que le mouvement varié soit remplacé par un mouvement uniforme dans chacune de ces cinq parties, toujours avec la condition que le chemin parcouru dans chacune d’elles reste le même, cela revient à remplacer la courbe CD par un polygone formé des cinq cordes CE, EF, FG, GH, HD. Telle est la traduction géométrique de la considération indiquée au commencement du § 8.

D’après cela, quand nous disons qu’un mouvement varié peut être regardé comme étant la succession d’une infinité de mouvements uniformes, dont chacun a lieu pendant un intervalle de temps infiniment petit, nous faisons exactement la même chose que si nous disions que la courbe CD, qui représente la loi de’ ce mouvement, peut être regardée comme un polygone formé d’une infinité de côtés, dont chacun est infiniment petit. Cette dernière idée, avec laquelle on est familiarisé en géométrie, permet de saisir plus facilement la véritable signification de la première.

Pour trouver la vitesse du mobile à la fin du temps ^ représenté par l’abscisse OE„ fig. 0, U faut chercher la vitesse du mouvement uniforme représenté par l’élément rectiligne de la courbe CD auquel appartient le point E de cette courbe. Si ce mouvement uniforme, qui n’a lieu que pendant un intervalle de temps infiniment petit, persistait pendant un temps quelconque, il serait représenté par le même élément rectiligne prolongé indéfiniment en ligne droite, c’est-àdire par la tangente EF menée par le point E à la courbe CD. Or nous savons trouver la vitesse d’un mouvement uniforme, loreque

MOUVEMENT D’UN POINT

nous connaissons la ligne droite qui le représente (§ 7). Menons par le point E une ligne droite EG parallèle à OT, et égale à laligne que nous avons adoptée pour représenter l’unité de temps ; menons ensuite, par le point G, la ligne GH parallèle à OS : cette dernière ligne, terminée à la tangente EF, représente la vitesse que nous cherchons (*).

§ 11. Mouvement uniformément varié. — Comme exemple de. mouvement varié, prenons le mouvement qui a pour équation

s = a ht 4- ct^. :

La vitesse, à un instant quelconque, a pour valeur (§ {))

On voit que la vitesse varie proportionnellement au temps. C’est pour cela qu’on donne au mouvement dont il s’agit le nom de mouvement uniformément varié.

Si & et c sont de même signe, la vitesse v conserve toujours le même signe que chacune de ces deux quantités ; le mouvement s’effectue donc toujours dans le même sens ; il reste constamment dirigé dans le sens des s positifs ou dans le sens contraire, suivant que b etc sont positifs ou négatifs. La valeur absolue de la vitesse allant constamment en croissant de quantités égales en temps égaux, on dit que le mouvement est uniformément accéléré.

Si 6 et c sont de signes différents, v est d’abord de même signe que b ; mais, à mesure que t augmente, la valeur absolue

(*) L’équation du mouvement étant

la vitesse à un instant quelconque est exprimée par f (t). Il ne faut pas en conclure que la vitesse a pour valeur la tangente trigonométrique de l’angle que la tangente EF fait avec l’axe des abscisses OT; parce que l’échelle des abscisses et celle des ordonnées sont tout à fait indépendantes l’une de l’autre (g 5), et que, par conséquent, l’angle FEG peut être plus ou moins grand,tout en correspondant toujours à une même vitesse, suivant qu’on fera varier une de ces échelles dans un sens ou dans l’autre. Cette conclusion ne serait exacte qu’autant que la ligne par laquelle on représente l’unité de temps serait égale à celle par laquelle on représente l’unité de distance s.

lâ LIVRE I. — CINÉMATIQUE.

de V diminue, et cettc^ valeur- finit bientôt par devenir nulle ; à partir de là, v prend et conserve indéfiniment un signe contraire à celui de b, et sa valeur absolue va constamment en augmentant. Le mouvement a donc lieu d’abord dans le sens indiqué par le signe de b, et se ralentit de plus en plus ; il est alors nniformément retardé. Puis, au bout de quelque temps, il change de sens, et dès lors il s’accélère indéfiniment : il devient uniformément accéléré.

§ 12. Projection dn monvement sur nn plan fixe. —

Pendant qu’un point se meut dans l’espace, en décrivant une trajectoire AB, fig. 7, on peut concevoir qu’on le projette à

chaque instant sur un plan fixe PQ, en menant par la position M qu’il occupe une droite Mw* parallèle à une ligne fixe donnée. Les projections ainsi obtenues, pour les diverses positions du point mobile dans l’espace, peuvent être regardées comme les positions successives d’un second point qui se mouvrait dans le plan PQ. Le mouvement de ce second point est ce qu’on nomme la projection du mouvement du premier point sur le plan PQ.

Il est clair que la trajectoire ab du mouvement projeté n’est autre chose que la projection de la trajectoire AB du mouvement dans l’espace.

Soient MM' et mm' les chemins infiniment petits parcourus, pendant le môme élément dt du temps, par le point mobile dans

MOUVEMENT D’UN POINT

Tespace, et par sa projection sur le plan PQ ; mm' est évidemment la projection de MM'. Pour avoir la vitesse MN du point mobile dans l’espace, il faut diviser MM' par dt\ la vitesse de la projection de ce point sur le plan PQ s’obtiendra de même en divisant mm' par dt. Ces deux vitesses sont donc entre elles dans le même rapport que les lignes infiniment petites MM', mm' ; et comme leurs directions sont les mêmes que celles de ces lignes MM', mm', il en résulte que la vitesse mn du mouvement projeté est la projection de la vitesse MN du mouvement de l’espace.

Ce que nous venons de dire, ayant lieu pour une projection oblique quelconque, a lieu également pour la projection orthogonale, qui n’en est qu’un cas particulier.

§ 13. Projection du mouvement sur une droite fixe. — Au lieu de projeter le point mobile sur un plan fixe, on peut le projeter sur une droite fixe, en menant par chacune de ses positions successives' un plan parallèle à un plan directeur donné. Le mouvement projeté est alors un mouvement rectiligne dirigé suivant la droite fixe.

En raisonnant comme dans le cas de la projection sur un plan, on reconnaît facilement que la vitesse du point projeté, à un instant quelconque, est la projection de la vitesse que possède le point de l’espace au même instant.

Cette propriété de la projection du mouvement sur une droite fixe, a lieu de quelque manière que le plan directeur soit placé par rapport à la droite fixe, et convient par conséquent aussi au cas où la projection est orthogonale.

§ 14. Prenons pour exemple le mouvement uniforme d’un pointsuivant une circonférence de cercle, fig, 8, et cherchons la projection orthogonale de ce mouvement sur le diamètre AB. Désignons par r le rayon du cercle, par v la vitesse du mobile, par l le temps compté à partir de l’instant où le mobile part du point A, et par x la distance

U LIVRE I. — CINÉMATIQUE.

Om de la projection m du point mobile au centre du cercle. L’arc AM décrit par le mobile pendant le temps t est égal à vt;

l'angle AOM est donc égal à — » et par suite on a

X = rcos — r

Telle est l’équation du mouvement projeté. Soit u la vitesse de ce mouvement, on aura (§ 9)

. vt

H = — V sin — • r

On vérifie sans peine que la vitesse n du point m est bien la projection de la vitesse f du point M, conformément à ce qui vient d’étre dit. On voit en outre que cette vitesse ii est proportionnelle à là ligne 'Sim.