LL

P = Ko,

Cette formule fournira les valeurs de la pression p que le solide éprouve sur les divers éléments dans lesquels on peut concevoir que la face d’appui soit décomposée, pourvu qu’on y attribue à LL' la valeur qui convient à chacun de ces éléments; quant aux quantités E et HL, elles ne varient pas, parce que, d’une part, le solide est supposé également compressible dans toute l’étendue de sa face d’appui, et d’une autre part, les plans parallèles AB, CD, sont partout également distants. Toutes les-

É^^ULIBRK DES SOLIDES NATURELS. î)G3

pressions telles que p sont verlicales et dirigées de bas en haut, 4it la résultante doit être égale et directement opposée au poids P du solide appliqué à son centre de gravité G. Ces pressions sont d’ailleurs proportionnelles aux produits w . LL', dont chacun représente le volume de la portion du prisme HL qui est -comprise entre les plans CD, C'D'. Il est aisé d’en conclure que la . résultante de ces pressions p passe par le centre de gravité de la tranche du solide comprise entre les plans CD, C'D', en supposant toutefois que cette tranche soit homogène; et qu’en

outre cette résultante a pour valeur le produit du volume de la

tranche CDC'D' par le facteur

^’ous voyons par là (jue le solide* S doit éprouver, sous l’action de son poids, une déformation telle que la verticale menée par son centre de gravité C passe par le centre de gravité du volume CDC'D' considéré comme un corps homogène; et les pressions que ce solide éprouve sur les divers éléments égaux (le sa face d’appui AB, sont proportionnelles aux portions des verlicales menées par ces éléments qui sont comprises entre les plans CD, C'D'. Le centre de gravité C étant situé par hypothèse dans le plan vertical dont la trace horizontale est nm, il «si aisé de voir que l’inlerseclion des plans CD, C'D' doit être parallèle aux cotés cm', de la face d’appui du solide; et le centre de gravité du corps homogène compris entre ces deux plans coïncide avec le centre de gravité du trapèze suivant lequel ce corps est coupé par le plan vertical mené par mn. On voit d’après cela que les pressions sont les mêmes, pour les divers éléments égaux de la face d’appui qui sont situés sur une parallèle quelconque aux côtés flrt', hh' de cette face; et que, si l’on suppose que la verticale menée par le point C passe par un point O plus rapproché de hh' que de ne/', les pressions sur les éléments égaux de la face d’appui augmenteront constamment depuis le côté aa' de cette face, jusqu’au côté hh'. Soient r et s les longueurs des côtés aô, aa' de la face d’appui. La

pression totale que supporte cette face étant égale à P, on a P

pour la pression moyenne rapportée à l’unité de surface, et

3(Vi

par conséquent P — pour la pression que supporte un élément

w situé à égale distance des côtés aa' bb’. D’après cela, il est aisé de voir que, pour un élément w situé tout près de l’arêle bb'y la pression p, qui est plus grande que partout ailleurs, a pour valeur

’ irrrr’

^ rs K h '

EE' étant la ligne qui joint les milieux des côtés non parallèles dans le trapèze CDC'D'.

Convenons maintenant que, par un changement de forme de la partie supérieure du solide, nous déplacions son centre de gravité G, sans le faire sortir du plan vertical mené par mn. Le trapèze CDC'D' devra changer de forme en môme temps, de manière que son centre- de gravité se trouve toujours sur la verticale menée par le point G. Si la projection horizontale 0 du centre de gravité G se rap|)roche du côlé bb' de la base, sans que le poids total P du solide change, le côté DD' du trapèze doit augmenter, et le côté CG' doit diminuer de la mémo quantité; car il faut que le volume compris entre les plans CD, C'D' reste le môme, et par conséquent aussi la surface du trapèze CDC'D', ce qui fait que la demi-somme KE' des côtés CC' et DD' doit conserver la même grandeur. Lorsque On ne sera plus que le tiers de ab, le côté CC' du trapèze se réduira à zéro, et le trapèze se changera on un triangle dans lequel le côté DD' opposé au sommet C sera double de EE'; alors la' pression p supportée par un élément o> de la face d’appui situé tout près du

côté bb' deviendra égale à i2P — , c’est-à-dire qu’elle sera double

' rs

de la pression moyenne rapportée à un élément de môme étendue. Si la projection horizontale O du centre de gravité G se rapproche encore de bb', la ligne C'D', qui est venue précédemment passer par le point C, doit s’élever au-dessus de ce point C et s’abaisser encore au-dessous du point D; cela indique que la pression tend à devenir négative dans le voisinage de l’arôte

<iü de la face d’appui, c’csl-à-dîre à se changer en une Iracliou. C’est ce qui arriverait en elîet si la face d’appui était collée sur le plan sur lequel elle repose. Mais, comme celte face d’appui est simplement posée sur le plan, les choses ne peuvent pas se passer ainsi, le solide S ne peut éprouver que des pressions de la part du plan qui le supporte. Dans ce cas, les pressions ne s’exercent plus sur toute la surface du rectangle aba’b' ; luie portion de ce rectangle, située vers l’arèle aa\ n’est plus pressée en aucun de scs points; et la portion restante, qui supporte la pression totale P, est un autre rectangle qui se trouve dans ïe cas où était le rectangle tout entier, lorsque On était égal au tiers de ab. Si no\is nommons s la distance On devenue plus petite que le tiers de nb, ds et s seront les deux côtés de la’ portion de la face aba’b' qui s’appuie réellement sur le plan.

P— est la pression moyenne sur un élément w de cette sur-

face ; et

^P — est la 3ôS

pression supportée par un élément w

situé tout prés de l’arête bb'.

On voit par la valeur que nous venons de trouver pour la pression sur un élément voisin de bb' que celte pression augmente à mesure que s diminue. Soit lU la pression capable de ^létermincr l’écrasement du prisme élémentaire qui a pour base o>. Si l’on pose

on en lire

= lh>,

3 Ils'

<]elle valeur de s est la limite au delà de laquelle on ne doit pas faire décroître la distance z ou Ow, sans quoi le solide S s’écraserait dans le voisinage de l’arête bb'. Nous sommes conduits par là à ajouter quelque chose à la condition d’équilibre du solide pesant S posé sur un plan horizontal. Nous avions trouvé <iue cet éejuilibre ne pouvait avoir lieu qu’autanl que la verticale menée par le centre de gravité G du solide perçait le plan en un

point situé à l’intérieur du rectangle aba'b' qui constitue son polygone d’appui ; nous voyons qu’il faut en outre que cette verticale passe à l’intérieur de ce rectangle, à une distance suffisamment grande de chacun de ses côtés.

On comprend toute l’importance que peuvent avoir des considérations analogues aux précédentes, toutes les fois que l’on a à s’occuper de l’équilibre de corps solides se touchant par des faces planes, comme cela a lieu dans les constructions en pierres, et en particulier dans les voûtes.

cil VN tri: u

ÉQriLlBUK DES FLl lBES.

§ 208. Les fluides (liquides ou gaz) sont des corps dont les molécules sout extrêmement mobiles les unes par rapport aux autres. Lorsqu'on cherche à faire glisser les dilîérentes parties d’une masse fluide les unes sur les autres, on n’éprouve pas de résistance analogue à celle qui se développe dans le glissement des corps solides et que nous nommons frottement. L’absence absolue du frottement, entre les diverses parties d’un fluide «pii se déplacent les unes par rapport aux autres, constitue la fUddité parfaite. Les liquides et les gaz, tels qu’ils existent dans la nature, sont en général extrêmement près de présenter cette fluidité parfaite, surtout lorsqu’ils sont en équilibre absolu ou relatif. Nous supposerons dans ce chapitre qu’ils jouissent complètement de cette propriété. La vérification expérimentale des résultats auxquels nous parviendrons ainsi montre que, en faisant celte hypothèse, nous ne nous écartons pas sensiblement ^de la réalité.

Lorsqu’un liquide est contenu dans un vase, et qu’on cherche à diminuer le volume qu’il occupe en le comprimant dans ce vase, on ne peut pas y parvenir : le liquide conserve le volume qu’il avait d’abord, ou du moins la diminution du volume qu’il éprouve est si faible, qu’on a beaucoup de peine à s’en aperce-

:',68 LIVRE III. ~ DYNAMigrE. DEUXIÈME PARTIE.

voir. C’est ce qui fait qu'on donne aux liquides le nom de fluides incompressibles. Dans ce qui suit, nous traiterons les liquides comme joui.ssant d’une incompressibilité absolue; nous nous écarterons ainsi tellement peu de la réalité, que cela n’occasion- . liera aucune erreur appréciable dans les résultats auxquels nous parviendrons.

Un gaz se comporte tout autrement qu’un liquide, quand on cherche à le comprimer; on peut sans grande difficulté réduire son volume à n’ôtre plus que la moitié, le tiers, le quart de ce iju’il était d’abord. Si ensuite on cesse d’exercer l’effort qui a déterminé cette diminution de volume, le gaz revient de lui-même à son volume primitif. C’est pour cela qu’on donne aux gaz le nom de fluides élastiques.

^ 200. Transmission des pressions dans les fluides»

Considérons une masse fluide en équilibre dans une enveloppe fermée qu’elle remplit complètement, fig. 107, et supposons que ses molécules ne soient soumises à aucune force autre que les actions que chacune d’elles éprouve de la part des molécules voisines. Ce fluide exercera généralement des pressions sur les diverses parties de l’enveloppe qui le renferme. Si l’on vient à enlever une petite portion de cette enveloppe, et

si on la remplace par un piston A de

même forme, mobile dans un bout de tuyau adapté au contour de l’ouverture ainsi produite, on conçoit que le fluide pourra se trouver exactement dans les mêmes conditions que précédemnjen% pourvu qu’on applique au piston A une force convenable F dirigée parallèlement aux parois du tuyau dans lequel il peut se mouvoir. De même, on pourra remplacer- une autre portion de l’enveloppe par un piston D, également mobile dans un bout de tuyau, et soumis à l’action d’une certaine force F', sans que le fluide cesse d’être exactement dans les mêmes conditions. Cela posé, nous allons voir que, si les bases des deux

ÉQUILIBRE DES FLUIDES. m

pistons A, B sont égales, les deux forces F, F' doivent aussi être égales.

Pour démontrer cette proposition, imaginons que nous réunissions les deux bouts de tuyau dans lesquels peuvent se mouvoir les deux pistons A, B, par un canal courbe ACB, contenu tout entier à l’intérieur de l’espace occupé par le fluide, et se raccordant à ses deux extrémités avec ces bouts de tuyau ; nous pourrons même supposer que la section transversale de ce canal ACB soit partout égale à la base de l’un des pistons A, B. Le fluide dont il s’agit étant en équilibre, nous pouvons lui appliquer le théorème du travail virtuel (§ 184). Pour cela, concevons que le piston A marche d’une quantité infiniment petite e vers l’intérieur de l’enveloppe; que la portion' du fluide qui est située en dedans du canal ACB glisse le long de ce canal sans en sortir, et suive ainsi le mouvement de ce piston A, tout en conservant le même volume; qu’en conséquence le piston B marche, vers' l’extérieur, d’une quantité égale à -c; enfin que toute la portion du fluide qui se trouve en dehors du canal ACB ne se déplace pas : pour. ce déplacement virtuel particulier du système matériel que nous considérons, la somme des travaux virtuels des forces qui sont appliquées à ses diverses parties doit être nulle. Or, la portion ACB du fluide, qui se déplace seule, ne change pas de volume ; les diverses parties qui la composent se meuvent séparément en glissant simplement les unes sur les aute'es, ou bien sur la partie du fluide qui est en dehors du canal ACB et qui reste immobile; mais ce glissement s’effectue sans qu’il y ait de frottement, en raison de la fluidité parfaite du système (§ 208) : il résulte de là, et de ce que nous avons dit à l’occasion des systèmes matériels dans lesquels on imagine des liaisons (§ 180), que la somme des travaux virtuels dus aux actions que les molécules du fluide tout entier exercent les unes sur les autres est égale à zéro. D’après cela, on voit que la somme des travaux virtuels des forces appliquées à notre système matériel se réduit à

370 LIVRE III. — DYNAMIQUE. DEUXIÈME PARTIE, et comme cette somme doit être nulle, il s’ensuit qù’on a

On conclut, de la proposition qui vient d’être établie, que la force F, appliquée au piston A, donne lieu à une pression égale à F sur toute portion de l’enveloppe ayant une étendue égale à la base de ce piston. C’est ce qui constitue le théorème de la transmission des pressions dans un fluide dont les molécules ne sont soumises à aucune force autre que les actions que chacune d’elles éprouve de la part des molécules voisines. Il est bon d’observer que la force F, appliquée au piston A, peut recevoir une grandeur quelconque, si le fluide que l’on considère est incompressible ; mais qu’elle doit, au contraire, avoir une valeur déterminée, s’il s’agit d’un fluide élastique, valeur qui dépend de la tendance plus ou moins grande du fluide à augmenter de volume.

§ 210. dcR pressions dans tons les sens, autour

d’un point <|uelconqne, <lans un fluide en équilibre.

— Soit M, fig. 107, un point quelconque pris à l’intérieur de la masse fluide dont nous nous sommes occupés dans le paragraphe précédent. Concevons que nous fassions passer par ce point une surface NN' qui s’étende de tous côtés jusqu’à l’enveloppe, et qui soit plane jusqu’à une certaine distance, tout autour du point M. Cette surface divisera la masse fluide en deux portions P, Q. Supposons que la partie P, c’est-à-dire celle qui ne reçoit pas directement l’action du piston A, soit solidifiée sans changer de forme; il est clair que, parla, nous ne troublons pas l’équilibre du système tout entier, et que, j\ar conséquent, après celle solidification de la partie P, la partie Q reste à l’état d’équilibre comme précédemment. Mais alors la surface NN' devient une partie de la paroi qui enveloppe le fluide restant Q; donc, en vertu de l’action de la force F sur le piston A, le fluide Q exerce une pression égale à F sur une portion de la face plane menée par le point M ayant môme étendue que le piston A. Ce résultat est indépendant de la direction que nous avons donnée à la partie plane de la surface NiS' menée

ÉQi:iLinUE DES FLUIDES,

par le point M ; la pression que le fluide situé d’un côte de cette surface exerce sur le fluide situé de l’autre côté, dans le voisinage du point M, et sur une étendue égale à la base du piston A, est donc toujours égale à F, quelle que soit la direction du plau qui sépare ces deux fluides.

Nous venons d’établir l’égalité des pressions dans tous les sens, autour d’un point quelconque M d’un fluide en équilibre, en considérant spécialement un fluide dont les diverses molécules ne sont soumises qu’à leurs actions mutuelles. Nous allons faire voir maintenant que cette égalité des pressions dans tous les sons, autour d’un point quelconque, existe toujours, quelles que soient les forces qui agissent sur les diverses molécules du fluide en équilibre. Mais, pour y arriver, nous étudierons d’abord la transmission des pressions sur les diverses parties de l’enveloppe qui renferme un liquide homogène pesant, à l’état d’équilibre.

- § 211. Reprenons donc ce que nous avons dit dans le § 209, en substituant un liquide homogène pesant au fluide quelconque que nous avons considéré, et dont les diverses molécules n’étaient soumises qu’aux actions que cliacune d’elles éprouve de la part des molécules voisines. Les pistons égaux A et B, fig. 107, étant disposés comme nous l’avons dit, et étant soumis aux actions des forces F, F', tellement choisies que le liquide soit en équilibre, cherchons à déterminer la relation qui existe entre ces deux forces F, F'. Pour cela, concevons encore que nous fassions marcher le pistou A d’une quantité e vers 'l’intérieur de l’enveloppe, et le piston B d’une quantité égale vers l’extérieur; et supposons que le liquide contenu dans le canal ACB glisse le long de ce canal pour suivre le mouvement simultané des deux pistons, sans que les molécules liquides situées en dehors dû canal ACB se déplacent en aucune manière : en égalant à zéro la somme des travaux des diverses forces appliquées au système, pour ce mouvement particulier, nous arriverons à la relation cherchée entre F et F'. Gril est clair que cette somme de travaux virtuels ne dilTércra de celle que nous avons trouvée précédemment (§ 209), qu’en ce qu’elle contiendra de plus le travail

tm LIVRE m. -i- DYNAMIQUE. DEUXIÈME PARTIE.

de la pesanteur sur les diverses molécules liquides auxquelles nous attribuons un déplacement.

Pour évaluer ce travail de la pesanteur sur le liquide contenu dans le canal ACB, nous nous appuierons sur ce qui a été démontré dans le § 173 : ce travail s’obtiendra en multipliant le poids du liquide contenu dans ÂCD par la quantité dont le centre de gravité de ce liquide s’est abaissé verticalement. Mais il est aisé de voir que, eu égard au travail produit par la pesanteur, peu importe que le liquide ACB tout entier glisse le long du canal qui le renferme, de manière que ses deux faces extrêmes A et B marchent chacune d’une quantité s ; ou bien que la portion de liquide occupant l’espace d’épaisseur e que nous faisons parcourir au piston A soit transportée seule à l’autre extrémité du liquide ACB, de manière à remplir l’espace abandonné par le piston B dans son mouvement vers le dehors de l’enveloppe : dans ce second cas, où la portion de liquide contenue dans le canal ACB, entre la position finale du piston A et la position initiale du piston B, ne se déplacerait nullement, le centre de gravité du liquide total renfermé dans le canal ACB s’abaisserait verticalement de la même quantité que dans le premier cas. On voit par là que, pour avoir le travail de la pesanteur sur le liquide ACB, il nous suffira de multiplier le poids du liquide contenu dans l’espace que nous faisons parcourir ou piston A, par la distance du centre de gravité de cet espace au plan horizontal mené par le centre de gravité de l’espace analogue que parcourt -le piston B. Désignons par w l’air de la base de chacun des pistons A, B ; par p la masse spécifique du liquide (§ 1ü-i);par h la distance du centre de gravité de la base du piston A au plan horizontal mené par le centre de gravité de la hase du piston B; par a l’angle que la direction du déplacement £ du piston A fait avec la verticale; et par a' l’angle analogue pour le piston B. Le poids du liquide contenu dans l’espace que nous faisons parcourir au piston A est égal à

a hauteur verticale du centre de gravité de cet espace au-dessus

ÉQUILIBRE DES, FLUIDES. 373

(lu centre de gravité de l’espace parcouru par le piston B a pour valeur

h — 5 £ cos a + ‘ e cos OL :

le travail que nous cherchons est donc exprimé par

^Qiùt {h — je COS * + 5 £ COS a').

D’après cela , l’équation fournie par le théorème du travail virtuel appliqué au mouvement particulier que nous avons choisi, sera

Fe — F'e 4- pf/wî {h — ^ £ COS X 4- 5 ï COS a') = 0 ;

d’où l’on déduit, en observant que z est infiniment petit,

Cette formule permet de déterminer la pression que le liquide exerce en un point quelconque de l’enveloppe qui le renferme, sur une surface égale à &>, lorsque l’on connaît la pression F qui lui est appliquée en un point particulier, sur une surface de même étendue.

§ Revenons maintenant à la question principale qui nous occupe, c’est-à-dire à la démonstration de l’égalité de pression dans tous les sens autour d’un point, dans un fluide en équilibre dont les molécules sont soumises à des forces quelconques. Pour cela nous considérerons d’abord le cas d’un liquide homogène pesant, puis celui d’un fluide quclconciue pesant, enfin le cas général d’un fluide soumis à des forces quelconques.

Dans le cas d’un liquide homogène pesant, supposons encore qu’une partie de l’enveloppe ait été remplacée par un piston A, fig. 107, auquel on applique une force F tendant à lé faire péné-. trer dans le liquide, et considérons les pressions dans différents sens autour d’un point quelconque M pris à l’intérieur du liquide. Quelle que soit la direction du plan que nous ferons passer par le point M, si nous prenons sur ce plan une surface égale à w ayant son centre de gravité au point M, la pression que le liquide Q situé d’un coté du plan exerce sur cette surface w aura tou-

jours pour valeur F + h étant la hauteur verticale du

centre de gravité de la base du piston A au-dessus du point M. L’égalité des pressions dans tous les sens, autour du point M pris cà l’intérieur d’un liquide pesant en équilibre, se trouve donc démontrée par là; mais cette égalité de pressions suppose que l’es diverses surfaces planes égales à w, sur lesquelles s’exercent les pressions que l’on considère, sont placées de manière que le centre de gravité de chacune d’elles coïncide avec le point M, condition à laquelle nous n’avions pas besoin de nous astreindre,.

' lorsque nous considérions un fluide dont les molécules n’étaient soumises qu’à leurs actions mutuelles.

Lorsqu’un fluide pesant en équilibre n’est pas bomogène^ c’est-à-dire lorsque sa densité n’est pas la même dans toute l’étendue du volume qu’il occupe, on ne peut plus raisonner comme nous venons de le faire. Mais alors, pour établir l’égalitédes pressions dans tous les sens autour d’un point M de ce fluide, rien ne nous empêche de considérer seulement la portion du fluide qui est contenue à l’intérieur d’une surface fermée do petites dimensions s’étendant tout autour du point M; si nous concevons que tout le reste du fluide soit solidifié, sans que ses molécules changent de position les unes par rapport aux autres, cela constituera une nouvelle enveloppe renfermant la portion de fluide qui est voisine du point M et à laquelle nous conservons sa fluidité primitive. Celte petite portion du fluide total no sera généralement pas homogène; mais la densité n’y variera que très-peu d’un point à un autre, en raison du peu de distance qui existe entre ses divers points; et l’erreur que l’on commettra en regardant la densité comme constante dans toute l’étendue de cette portion de fluide sera d’autant plus faible que les dimensions de l’espace qu’elle occupe seront supposées plus petites : on peut dire que, si- l’on ne considère qu’une portion infiniment petite du fluide pesant dont il s’agit, .tout autour du point M, les choses s’y passent de même que dans un fluide homogène pesant. D’après cela , les pressions supportées par diverses surfaces planes égales à w, menées par le point M, et ayant leurs centres de gravité en ce point, sont toutes égales

ÉQUILIBRE DES FLUIDES

entre elles, pourvu que &> soit infiniment petit. Le défaut d’homogénéité du fluide nous oblige ainsi à ajouter cctle nouvelle condition de la petitesse de &>, à celle que nous avions trouvée d’abord par cela seul que le fluide était soumis à l’action de la pesanteur.

• Nous n’avons plus que quelques mots à ajouter, pour établir l’égalité des pressions dans tous les sens autour d'un point, dans le cas d’un fluide soumis à des forces quelconques. Considérons, pour chaque molécule du fluide, la résultante de toutes les forces auxquelles elle est soumise, en faisant abstraction toutefois des actions que cette molécule éprouve de la part des molécules voisines. Celte résultante n’a généralement pas la meme direction, et le rapport de son intensité à la masse de la molécule n’a généralement pas la môme grandeur, pour les diverses molécules du fluide; mais ces changements de grandeur et de direction ne se font sentir que peu à peu, à mesure qu’on passe d’une molécule à une autre, en suivant une ligne quelconque à l’intérieur du fluide : on peut donc regarder la direction de celte force résultante, et le rapport de son intensité à la masse de la molécule sur laquelle elle agit, comme restant les mômes dans toute l’étendue d’un espace très-petit. Dès lors la portion du fluide contenue dans cet espace se trouve dans des conditions analogues à celles où elle se trouverait si elle était uniquement soumise à l’action de la pesanteur; donc, dans le cas général dont nous nous occupons maintenant, il y a encore égalité entre les pressions qui s’exercent dans tous les sens, autour d’un point, sur des surfaces planés infiniment petites et égales ayant leurs centres de gravité en ce point.

Si l’on divise la pression P, qui s’exerce sur un élément plan ayant son centre de gravité en un point M du fluide, par l’aire

M de cet élément, le quotient — est ce qu’on nomme la pression

en M rapportée à l’unité de surface; ce n’est autre chose que la pression totale que le fluide exercerait sur une surface plane ayant pour aire l’unitc de surface, dans le cas où chacun des éléments égaux à &> dans lesquels on pourrait décomposer celte

surface plane supporterait une pression partielle égale à P. Ce P

quotient — est souvent désigné, pour abréger, sous la simple

dénomination de pression au point M ; aussi, toutes les fois que Ton parle de 'la pression en un point, dans un fluide en équilibre, sans spécifier quelle est l’étendue de la surface sur laquelle la pression s’exerce, on doit entendre qu’il s’agit de la pression rapportée à l’unité de surface.

§ 213. Équilibre d’un fluide pesant. — Considérons en

particulier un fluide pesant, en équilibre dans une enveloppe

fermée .qu’il remplit complètement, et comparons les pressions

qui correspondent aux différents points de l’espace qu’il occupe.

Pour cela nous prendrons d’abord deux points M, M', situés sur

un même plan horizontal, fig. 108. Conce-

vons que nous tracions deux cercles infinlment petits et égaux ayant leurs plans perpendiculaires à la droite MM', et leurs centres aux points M, M' eux-mêmes; concevons en outre que nous joignions CCS deux cercles l’un à l’autre par une surface cylindrique dont ils forment les deux bases. Le fluide que renferme le cylindre ainsi obtenu est en équilibre .sous l’action de diverses forces qui sont : 1" la pesanteur; 2° les pressions qu’il éprouve de la part du fluide environnant; 3° les actions muluelles de ses diverses molécules. Soient P et p' les pressions en M et M', et w l’aire de' l’une quelconque des bases du cylindre : po) cl p'w seront les pressions exercées sur chacune de ces deux bases, par le fluide environnant. Cela posé, si nous considérons toutes les forces extérieures qui agissent sur le fluide renfermé dans le cylindre, et si nous exprimons que la somme des projections de ces forces sur la droite MM' est nulle (§ 185), nous trouverons simplement l’équation

p(j> — p'iù = 0 ;

<^ar les actions de la pesanteur sur les diverses molécules du

ÉQUILIBRE DES FLUIDES

fluide sont toutes perpendiculaires à MM', et il en est de même des pressions que le fluide environnant exerce sur les «diverses parties de la surface latérale du cylindre. On conclut de là que P est égal à p', c’est-à-dire que la pression est la même pour tous les points d’un même plan horizontal mené à l’intérieur du fluide.

Prenons maintenant deux points M, M', fig. 100, situés à la rencontre de deux plans horizontaux infiniment voisins avec une même verticale. Désignons par p etp' les pressions en ces points M, M'; par &> la surface de la base infiniment petite d’un cylindre de révolution ayant MM' pour axe; par dz la distance MM', et par p la masse spécifique du fluide en M, masse spécifique que nous supposerons être la même dans toute l’étendue du cylindre ayant pour base &> et pour hauteur MM' ou dz. Le poids du fluide contenu dans ce cylindre sera égal à pg<odz, et les pressions supportées par ses bases supérieure et inférieure auront respectivement pour valeurs p&> et p'w. Si nous projetons sur la verticale MM' les diverses forces extérieures qui agissent sur cet élément cylindrique de fluide, et si nous exprimons que la somme des projections ainsi obtenues est nulle, nous trouverons évidemment

y)w — p'o) -f r{/("dz = 0.

On en déduit

p' = P + ?(fdzy

ce qui montre que la pression augmente nécessairement quand on passe d’un plan horizontal quelconque à un autre plan horizontal infiniinenl voisin du premier et situé au-dessous de lui.

Cette augmentation pgdz qu’éprouve la pression, quand on passe du point M du premier plan au point M' du second plan, doit être la même, quelle que soit la position du point M sur le

premier plan; puisque la pression est constante dans toute l’étendue de chacun des deux plans. Or dz ne varie pas, et g est une constante; donc p doit avoir la même valeur dans toute l’étendue du plan horizontal sur lequel nous avons pris le point M. Nous voyons par là que, si la densité du fluide pesant len équilibre dont nous nous occupons n’est pas la même partout, cette densité doit nécessairement être la même pour tous les points d’un même plaii horizontal mené d’une manière ^quelconque à l’intérieur du fluide ; «n sorte que la masse "fluide > tout entière peut être regardée comme se composant d’une infinité de couches horizontales infiniment minces, dont chacune a une densité constante dans toute son étendue. ' i

La dHîérence des pressions relatives à deux points qui ne sont pas situés sur un même plan horizontal a pour valeur l’intégrale de pgdz, prise entre des limites correspondant aux plans horizontaux qui passent par ces deux points ; il est aisé de voir que cette différence de pression n’est autre chose que le poids du fluide contenu à l’intérieur d’un cylindre vertical, ayant pour base l’unité de surface, et s’étendant de l’un à l’autre de ces deux plans horizontaux. Si le fluide que l’on' considère avait partout la même densité, et c’est ce qui arriverait si c’était un liquide homogène, la différence de pression dont il s’agit aurait pour valeur pgh, p étant la masse spécifique du fluide et h la distance des plans horizontaux dont il vient d’être question.

Les divers plans horizontaux que l’on peut mener dans l’espace occupé par le fluide prennent le nom de surfaces de niveau, La distance h des plans horizontaux menés par deux points quelconques est ce qu’on nomme la différence de niveau de ces deux, points.

Lorsqu’un liquide pesant est placé dans un vase ouvert par -le haut, ou bien dans un vase fermé trop grand pour qu’il puisse le remplir en totalité, il se dépose au fond du vase et se termine par une surface ‘libre dont les divers points n’éprouvent aucune pression. Imaginons qu’une paroi solide s’étende sur cette surface libre du liquide, et aille se relier de tous côtés^avec les pa-

• ÉQL’ILIBUK DES FLUIDES. :i7l>

rois latérales du vase, sans cependant exercer de pression en aucun point sur le liquide avec lequel elle est en contact. La niasse liquide dont il s’agit se trouvera dès lors contenue dans une enveloppe fermée de toute part dont elle remplira toute la capacité, sans cesser d’étre exactement dans les mêmes conditions d’équilibre qu’auparavant ; et par conséquent nous pourrons lui appliquer les résultats auxquels nous sommes parvenus dans ce qui précède. La pression étant nulle dans toute l’étendue de la surface libre, cette surface doit nécessairement être plane et horizontale ; car, s’il en était autrement, on pourrait toujours prendre sur cette surface libre deux points qui ne fussent pas sur un même plan horizontal, et par suite les pressions en ces deux points ne pourraient pas être nulles toutes deux, puisqu’elles seraient nécessairement différentes l’une de l’autre. La pression p, en un point quelconque situé à une distance h du plan horizontal qui forme la surface libre du liquide, aura pour valeur

V = rr//^

puisque la pression est nulle sur la surface libre.

Lorsque deux liquides pesants, de densités différentes, se trouvent dans un môme vase sans se mélanger, ils ne peuvent être en équilibre qu’autanl que leur surface de séparation est plane et horizontale; car, s’il n’en était pas ainsi, on pourrait mener un plan horizontal qui pénétrerait .à la fois dans les deux liquides, et la densité -ne serait pas la môme dans tous les points de ce plan horizontal, ce qui est impossible.

§ 214. Équilibre d’un fluide souml«t d 'des forees

queieoncities. — Lorsqu’un fluide est en équilibre sous l’action de forces quelconques, la pression varie en général d’un point à un autre de l’espace occupé par ce fluide. Considérons spécialement les divers points pour lesquels la pression a une môme valeur; l’ensemble de ces points forme généralement une surface à laquelle on donne le nom de surface de niveaUy par extension de ce qui se rapporte aux fluides pesants. On comprend qu’à chaque point du fluide correspond une surface de

niveau ; en sorte qu’on peut imaginer une infinité de ces surfaces tracées à l’intérieur de l’espace que le fluide occupe.

La résultante R des forces appliquées à une molécule quelconque du fluide, abstraction faite des actions qu’elle éprouve de la part des molécules voisines, est dirigée normalement à la surface de niveau qui passe par le point M où cette molécule se trouve. Pour démontrer cette proposition, imaginons que, par le point M, nous tracions une courbe quelconque sur la surface de niveau qui lui correspond;. nous allons voir que la résultante R doit être normale à cette courbe. Supposons, en effet, que cela ne soit pas, et que la résultante R soit oblique à la courbe dont nous venons de parler. Nous pourrons toujours prendre sur cette courbe un arc qui comprenne le point M, et qui soit assez petit pour que toutes les résultantes telles que R, appliquées aux diverses molécules par lesquelles il passe, soient inclinées par rapport à la courbe du même côté que la force R; car la direction de cette résultante R ne change que peu à peu, quand on passe d’un point du fluide à d’autres points situés dans le voisinage du premier. Regardons cet arc de courbe comme l’axe d’un canal de section uniforme et infiniment petite, et appliquons le théorème du travail virtuel au fluide contenu à l’intérieur de ce canal, en supposant que ce fluide glisse dans le sens de la longueur du canal, sans changer de volume : nous en conclurons évidemment que les pressions aux deux extrémités de l’arc de courbe que nous avons pris ne sont pas égales, et que la plus grande correspond à l’extrémité vers laquelle la direction de la force R s’incline. Mais nous savons qu’il n’en est pas ainsi, puisque, par la définition même des surfaces de niveau, les pressions doivent être les mêmes’ aux deux extrémités de l’arc dont il s’agit : donc nous ne pouvons pas admettre que la résultante R soit oblique par rapport à cet arc de courbe, et par conséquent elle lui est normale. La force R est donc normale à la surface de niveau correspondant au point auquel elle est appliquée, puisqu’elle est normale à toute ligne tracée par ce point sur la surface.

Considérons maintenant deux surfaces de niveau infiniment

ÉQUILIBRE DES FLUIDES

voisines AB, A'B', 110. Soient/) la pression correspondant aux différents points de la sur- . g

face AB, et p -|- dp celle qui correspond à la surface A'B'. Si nous prenons deux points M, M de ces surfaces, situés sur une normale à Tune d’elles, et si nous regardons la droite MM' comme Taxe d’un cylindre ayant une base infiniment petite &>, il nous suffira de projeter sur MM' les forces extérieures appliquées aux diverses molécules du fluide contenu dans ce cylindre, ainsi que les pressions qui s’exercent sur sa surface, et d’exprimer que la somme des projections de toutes ces forces est nulle, pour trouver la valeur de la différence dp des pressions correspondant aux deux surfaces AB, A'B'. Désignons par p la masse spécifique du fluide en M ; par y le rapport qui existe entre la résultante des forces extérieures appliquées à la molécule située en M et la masse de cette molécule, rapport qui n’est autre chose que l’accélération du mouvement que cette résultante communiquerait à la molécule M' supposée libre; et enfin par ds la distance MM'. La masse du fluide contenu dans le cvlindre infiniment petit dont nous avons parlé est exprimée par

pwÉk;

La résultante totale des diverses forces extérieures appliquées à ce fluide, non compris les pressions qu’il éprouve de la part du fluide environnant, a donc pour valeur

pcpwrfs,

et cette résultante est dirigée suivant la ligne MM' ; les pressions qui s’exercent sur les deux bases du cylindre, en M et en M', sont respectivement égales à

pcû, (p + dp) «,

et sont dirigées également suivant la ligne MM', en sens contraires l’une de l’autre. D’après cela on aura la relation

pto (p + dp) M -f- O'^dids = 0,

<roù l’on tire,

dp = ^ds. (a)

Nous pouvons regarder cette équation différentielle (a) comme fournissant la valeur de la différence des pressions en deux points M, N, fig, HO, qui sont infiniment voisins, et par lesquels nous avons fait passer les deux surfaces de niveau AB, A'B'. La distance MM' ou ds est la projection de la distance MN <le ces deux points sur la direction de la force correspondant à l’accélération <p. Désignons par j?, y, z les coordonnées du point M par rapport à trois axes rectangulaires ; par x -f- dx^ y -(- dy, Z -|- dZj les coordonnées du point N; et par X, Y, Z les projections de ç) sur les trois axes coordonnées. Le cosinus de l’angle M'MN a pour valeur

mn’

et aussi

X dx Y dy , Z dz

si l’on égale ces deux valeurs du même cosinus, on en déduit,

r^ds = \dx + \dy -}- Zdz,

et par suite Téquation (a) devient

dp = ? {\dx -I- \dy + 'Adz). (b)

A l’aide de celte équation différentielle, on peut déterminer la loi suivant laquelle la pression p varie d’un point à un autre du fluide, en supposant que X, Y, Z soient connus.

La pression étant constante dans toute l’étendue d’une même surface de niveau, on a pour une pareille surface

\dx + \dy + Adz = 0:

ÉQÜILIÜUE DES FLUIDES. ' 383

c’est l’équation différentielle des surfaces de niveau. Si l’on peut intégrer celte équation différentielle, on trouvera' une relation telle que

qui sera l’équation finie des surfaces du niveau; en attribuant à la constante C diverses valeurs, on obtiendra les différentes surfaces de niveau qui existent dans la masse fluide considérée. Si le fluide dont il s!agit est un liquide contenu dans un vase qu’il ne remplit pas complètement, la surface libre à laquelle ce liquide se termine, et le long de laquelle il n’éprouve aucune pression, sera encore représentée par l’équation précédente, pourvu qu’on y attribue à la constante C une valeur particulière.

Il est aisé de comprendre maintenant pourquoi l’on donne le nom de surfaces de niveau aux surfaces que nous avons considérées à l’occasion* du théorème des forces Vives dans le mou- \ement d’un point matériel (§ 110).

La pression j) est une fonction de trois variables æ, y, z, dont la différentielle totale est fournie par l’équation (b). Pour que la >aleur de dp soit la différentielle d’une fonction de x, y, il faut qu’on ait :

d . p\ d . ûY d . pX d . pZ d . pY d . pZ 'dij . d.r dz dx dz dy ^

Les conditions exprimées par ces trois équations (c) sont donc ■nécessaires pour que le fluide soit en équilibre; mais il est aisé de voir que généralement elles ne seront pas suffisantes. En effet, si ces conditions sont reiliplies, on pourra intégrer l’équation (b), et l’on obtiendra ainsi p en fonction de a?, y, z ; or, pour que le fluide soit en équilibre, il faudra que, en chaque point, la densité correspondant à la masse spécifique p soit telle que le fluide puisse supporter la pression p relative à ce point. Cette dernière condition est toujours satisfaite dans le cas d’un liquide, en raison de son incompressibilité; puisque, avec une densité donnée, ce liquide peut supporter une près-

- sion d’une intensité quelconque ; mais il n’en est pas de même dans le cas d’un gaz, qui, .avec une densité donnée, ne peut supporter qu’une pression déterminée.

Dans le cas particulier où

\dæ -1- \(li/ + Zdz

est la différentielle d’une certaine fonction f{Xy y, j), les surfaces de niveau sont représentées par l’équation

/■(.r, IJ, z) = G. '

Soient C' et C-f-rfC les valeurs de la constante, qui correspondent aux deux surfaces de niveau S, S', passant par- deux points infiniment voisins M, M'; si x, y, z sont les coordonnées du point M, et îC-f-Ær, y-\-dy^ z dz célles du point M', on aura évidemment :

, Xdar-{-Yrfi/ + Zr/2 = rfC; et par suite l’équation (6) deviendra

dp = prfC.

.Or, quels que soient le point M pris sur la surface S,. et le point infiniment voisin M' pris sur le surface S', dp aura toujours* la même valeur, puisque p est constant dans toute l’étendue de chacune de ces deux surfaces; dC restera aussi toujours le même; donc p est constant pour tous les points de la surface S. Ainsi, dans ce cas où

\dx \dy + Zdz

est la différentielle d’une fonction de æ, y, z, le fluide en équilibre doit avoir la même densité dans toute l’étendue de chacune des surfaces de niveau; en sorte qu’on peut le regarder comme composé d’une infinité de couches homogènes infini-, ment minces, séparées les unes des autres par des surfaces de niveau. Ce résultat est analogue à celui que nous avons déjà obtenu dans le cas d’un fluide pesant.

Tout ce que nous venons de dire, pour l’équilibre d’un fluide

ÉQUILIBRE DES FLUIDES

soumis à des forces quelconques, s’applique aussi bien au cas d’un équilibre relatif qu’au cas d’un équilibre absolu, pourvu que, lorsqu’il s’agit d’un équilibre relatif, on joigne aux forces réelles les forces apparentes dont on doit tenir compte dans ce cas. L’équilibre d’un fluide pesant, que nous avons considéré tout d’abord (§ 213), n’est’ lui-méme qu’un équilibre relatif, en raison du mouvement de la terre dans l’espace; nous l’avons présenté comme un équilibre absolu, en regardant chaque molécule du fluide comme soumise à l’action de sou poids, qui n’est, comme nous le savons, que la résultante de l’attraction de la terre et de la force centrifuge due à la rotation du globe terrestre (§ 146). .

§ 215. Exemples de Téquilibre des fluides. — />?guide tournant autour d'un axe vertical. — Supposons qu’un liquide pesant soit contenu dans un vase, et que le tout soit animé d’un mouvement de rotation uniforme autour d’un axe vertical. Le liquide prend dans le vase un certain état d’équilibre relatif que nous allons étudier. Nous pouvons regarder le poids mg d'une molécule liquide de masse m comme une force réelle, que nous aurions à considérer seule, si le liquide ne tournait pas autour de la verticale et était en repos par rapport à la terre. Pour pouvoir assimiler l’équilibre relatif dont nous nous occupons, a un équilibre absolu, nous devons joindre à cette force mg la force centrifuge due à la rotation du liquide. Rapportons les divers points du liquide à trois axes, coordonnés rectangulaires, dont l’un, l’axe des z, coïncide avec l’axe

de rotation ; et supposons que les z positifs se comptent de bas

en haut. Si nous désignons par w la vitesse angulaire constante avec laquelle le liquide tourne, par a?, y, z^ les coordonnées de la molécule de masse m que nous considérons en particulier, et par r la distance de cette molécule à l’axe de rotation, nous aurons

pour la force centrifuge que nous devons joindre au poids mg, et

pour les composantes de cette force centrifuge dirigées parallèlement aux axes des x et des y; quant à la composante parallèle à Taxe des Zy elle est évidemment nulle. D’après cela, nous aurons

X = (o2j’, Y = (o2jy, Z==—g;

en sorte que l’équation différentielle des surfaces de niveau sera

ta-xdx 4- “^2/d/y — ydz = 0.

En intégrant cette équation, nous trouvons

ce qui montre que les surfaces de niveau sont des parabololdes de révolution ayant l’axe de rolalion du liquide pour axe de figure. Ces paraboloides sont tous égaux entre eux, et peuvent être regardés comme étant les diverses positions que .prendrait l’un d’eux, si on lui donnait un mouvement de translation, en le faisant glisser le long de son axe. La surface libre du liquide étant une surface de niveau pour laquelle la pression est nulle, a également la forme du paraboloide dont il vient d’être question. *

Si le liquide 'tournant est surmonté d’une atmosphère gazeuse pesante, comme cela a lieu lorsqu’on fait tourner un vase plein d’eau au milieu de l’air atmosphérique, les choses ne se passent plus tout à fait de la même manière. Les surfaces de niveau du liquide tournant sont bien toujours les mêmes; mais sa surface libre n’est plus une de ces surfaces de niveau, parce que les points situés à différentes hauteurs sur cette surface libre éprouvent des pressions inégales de la part du gaz pesant qui la surmonte. Cependant celte inégalité de pression est presque insensible, si le vase qui contient le liquide tournant n’a pas de très-grandes dimensions, et par conséquent la surface libre du

ÉQUILIBRE DES FLUIDES

liquide se confond presque complètement avec une surface de niveau. Si l’on admettait que le gaz qui surmonte le liquide fût entraîné par celui-ci dans son mouvement de rotation et tournât avec la même vitesse angulaire que lui autour de l’axe vertical, les surfaces de niveau seraient les mêmes pour le liquide et pour le gaz; et comme la densité devrait être constante dans toute l’étendue de chacune de ces surfaces, il s’ensuit que la surface de séparation du liquide et du gaz serait précisément une de ces surfaces de niveau.

§ 210.' Atmosphère terrestre; nivellement barométrique. — L’atmosphère de la terre est une masse gazeuse que l’on peut considérer en général comme étant en équilibre sur le globe terrestre qu’elle recouvre en totalité. Diverses causes permanentes ou accidentelles viennent, il est vrai, troubler cet équilibre, et occasionnent les vents que nous observons à la surface de la terre ; mais nous ferons abstraction de ces causes de mouvement. Les diverses molécules de l’atmosphère sont pesantes, et c’est sous l’action de la pesanteur qu’elles se mettent en équilibre. S’il ne s’agissait que d’une masse gazeuse occupant un espace de peu d’étendue sur la terre, nous pourrions y regarder la pesanteur comme une force constante en grandeur et en direction; et par suite les surfaces de niveau, dans cette masse gazeuse, seraient des plans horizontaux (§ 213); mais il n’en est pas ainsi, parce que le gaz que nous considérons environne la terre de toute part, et que, en conséquence, la pesanteur agit sur ses diverses molécules suivant des directions extrêmement différentes dans toute son étendue. La pesanteur, aux divers points de la surface de la terre, ne s’éloigne pas beaucoup d’ètrc dirigée vers le centre du globe terrestre; il s’ensuit que les surfaces de niveau de l’atmosphère sont presque des surfaces sphériques concentriques ayant pour contre commun le centre de la terre : ces surfaces de niveau sont seulement un peu aplaties vers les pôles, et renllées vers l’équateur, par l’effet de la force centrifuge qui se combine avec l’attraction de la terre pour produire ce que nous nommons la pesanteur.

• Au lieu d’étudier ici cette question de l’équilibre de l’atmo-

sphère terrestre d’une manière générale, nous nous contenterons de la traiter pour une portion restreinte de l’almosphère, afin d’arriver à la formule qui permet de déterminer des différences de niveau au moyen d’observations barométriques; et pour cela nous chercherons spécialement la loi suivant laquelle la pression atmosphérique varie, quand on passe d’un point à un autre d’une môme verticale, en supposant que la pesanteur y soit constante en grandeur et en direction. Soit z la distance d’un point quelconque de cette verticale au point où elle perce la surface de la terre. D’après l’équation («) du § 214, on aur'a

dp == — ^(jdz.

Or on sait que, d’après les lois de Mariette et de Gay-Lussac, on a, entre la pression p et la masse spécifique p relatives à un point quelconque de l’atmosphère, la relation

i^OLt

en désignant par i la température de l’air en ce point, par « le coefficient de dilatation de l’air qui est égal à 0,00300, et par k un coefficient constant. Si l’air avait partout la môme composition, et si la température t aux différents points de la verticale était connue en fonction de z, nous trouverions facilement la relation exacte entre p et z, en éliminant p entre les deux relations précédentes et intégrant ensuite. Mais il n’en est pas ainsi : l’air contient habituellement de la vapeur d’eau, en quantité variable avec la hauteur; et la température /, différente d’un point à un autre de la verticale, n’est pas connue en fonction de Z, Pour suppléer à ce que nous ne connaissons pas, nous remplacerons t par la moyenne arithmétique des températures et /, correspondant aux deux points particuliers entre lesquels nous voulons calculer la différence de pression; et, en outre, nous mettrons 0,004 au lieu de 0,00300 pour a, afin de tenir compte jusqu’à un certain point de l’existence de la vapeur d’eau, dont la proportion croît ordinairement avec la température, de telle sorte que sa présence équivaut à une certaine augmenta-

ÉQUILIBRE DES FLUIDES. 38D

lion (lu coclTicient de dilatation de l’air. La relation entre o et p deviendra donc

et par suite l’cquation dilTérentielle qui lie dp à dz pourra être mise sous la forme

Eu intégrant entre des limites correspondant à deux points déterminés de la verticale, et désignant par II la distance de ces deux points, et par p^^i p^ les valeurs extrêmes de p, on trouve

^ + üiW (^0 + M

Le logarithme qui entre dans cette formule est un logarithme népérien. Enfin, si nous remplaçons les pressions p,, par les hauteur des colonnes barométriques qui leur servent

de mesure, et qui par conséquent leur sont proportionnelles; si nous substituons au logarithme népérien un logarithme ordinaire, et si nous donnons au coefficient constant du second membre la valeur que les mesures directes de différences de niveau ont indiquée comme étant la plus convenable, nous aurons définitivement la formule

H = 18393» [l + ((„ + «,)] log.

C’est à l’aide de cette formule que l’on détermine la dilférence de niveau H de deux points, en mesurant en chaque point la hauteur de la colonne barométrique et la température de l’air. D’après la manière dont elle a été obtenue, on ne devrait s’en servir que dans le cas où les deux points seraient situés sur une même verticale. Mais les surfaces de niveau de l’atmosphère peuvent être regardées comme équidistantes, dans une certaine étendue, tout autour de chaque verticale; il s’ensuit que, lors

même que les deux stations où l’on a mesuré les hauteurs et les températures ne se trouvent pas sur une même verticale, si ces stations ne sont pas très-éloignées l’une de l’autre,, on peut prendre la valeur de H fournie par la formule pour la distance de l’une d’elles à la surface de niveau passant par l’autre, c’est-à-dire pour la différence de niveau qui existe entre elles. Les hauteurs /ij, des colonnes de mercure qui font équilibre à la pression atmosphérique dans les deux stations, doivent, bien entendu, être corrigées tout d’abord en raison de l’inégale température du mercure dans ces deux stations, et ramenées à la température de zéro.

La formule que nous venons d’obtenir suffit généralement pour déterminer les différences de niveau au moyen des observations barométriques, quoiqu’elle ait été trouvée en attribuant à l’intensité de la pesanteur une valeur constante. Si l’on veut arriver à une exactitude plus grande, il faut tenir compte de ce que celte force varie à la fois avec la latitude du lieu et avec la hauteur du point que l’on considère au-dessus de la surface de la terre ; mais nous ne nous occuperons pas ici de chercher la modification qui en résulterait dans la formule qui donne la différence de niveau H.

§ ^17. Pressions d’un liquide pesant sur les parois.

du Tase qui ie renferme. — Un liquide pesaiit, en équilibre dans un vase fermé qu’il ne remplit pas en totalité, ou bien dans un vase ouvert par le haut, se termine à]une surface libre qui est plane et horizontale. Nous avons établi cette proposition (§ 213), en admettant que le liquide ne soit soumis à aucune pression aux différents points de sa surface libre. Elle est vraie encore dans le cas où le liquide est surmonté d’une atmosphère gazeuse, en équilibre elle-même sous l’action de la pesanteur, comme nous le vovons constamment à la surface de la terre, parce que les surfaces de niveau sont planes et horizontales, à la fois dans le liquide et dans le gaz, et que leur surface de séparation doit évidemment être une de ces surfaces de niveau. Nous allons étudier les pressions que ce liquide exerce sur les paroisdu vase qui le renferme.

ÉQUILIBRE DES FLUIDES

Nous savons déjà que la pression p, en un point quelconque du liquide, a pour valeur

en désignant parp^ la pression qui s’exerce sur la surface libre^ et par h la distance du point que l’on considère à cette surface (§ 213). L’existence de la pression sur la surface libre ne fait donc qu’augmenter d’une meme quantité les pressions qui s’exerceraient sans cela aux différents points de la masse liquide. Nous en ferons abstraction, et nous raisonnerons comme si Pq était nul : il sera facile de voir comment les résultats auxquels nous parviendrons devront être modifiés pour tenir compte de cette pression sur la surface libre, dans le cas où elle ne sera pas nulle. D’après cela, chaque élément de la paroi du vase sera regardé comme éprouvant de la part du liquide une pression égale à p(p>h^ h étant la distance du centre de gravité de cet élément à la surface libre.

Considérons d’abord les pressions exercées sur les divers éléments d’une paroi plane. Ces pressions sont des forces parallèles et de même sens; elles ont une résultante égale à leur somme, qui est la pression totale supportée par la paroi. Le point d’application de cette résultante, sur la paroi meme, se nomme centre de pression. La pression supportée par un élément w de cette paroi plane étant exprimée par pg^hj la pression totale est égale à

^{/Kùh;

ou bien, ce qui est la môme chose,

en désignant par A l’aire totale de la paroi, et par H la distance de son centre de gravité à la surface libre du liquide, en observant que, d’après les propriétés des centres de gravité, on a ’

i(ùh = AH.

Pour trouver le centre de pression correspondant à la paroi

plane 111, observons que la pression sur un élément

w ayant son centre de gravité en est égale au poids d’une colonne de liquide ayant pour base w et pour hauteur la distance mn du point m à la surface libre IIH'. Si par chaque point m de la paroi AB nous élevons une perpendiculaire à cette paroi, et si nous prenons sur cette perpendiculaire une longueur mn' égale à la distance du point m à la surface HH' du li(piide, nous obtiendrons un prisme tronqué ABCD. Concevons que ce prisme tronqué soit divisé en prismes élémentaires ayant leurs arêtes perpendiculaires à la paroi AB, et ayant pour base les divers éléments &> de cette paroi; si chacun de ces prismes élémentaires est un solide homogène de même densité que le liquide considéré, et si ces divers prismes sont soumis à l’action de la pesanteur s’exerçant suivant une direction perpendiculaire AB, il est aisé de voir que la paroi AC -sera pressée par l’ensemble de ces prismes exactement de môme qu’elle l’est par le liquide avec lequel elle est en contact, et qui s’étend jusqu’à la surface libre HH'. On conclut de là qu’il suffit de chercher le centre de gravité du prisme tronqué ABCD considéré comme un solide homogène, et de le projeter sur la face AB, pour avoir le centre de pression correspondant à cette face AB.

Si, par exemple, la paroi AC est rectangulaire, et a un de ses côtés situé dans le plan horizontal HH', le centre de pression se trouve sur la ligne qui joint les milieux des côtés horizontaux du rectangle, et au tiers de cette ligne à partir du côté inférieur. Si la paroi AB est un triangle ayant son sommet dans le plan HH' et sa base dirigée horizontalement, le centre de pression est situé sur la ligne qui joint le sommet au milieu de la base, et au quart de cette ligne à partir de la base. Si la paroi plane est un triangle ayant sa base dans le plan HH', le centre de pression se trouve au milieu de la ligne qui joint le milieu de la base au sommet opposé.

ÉQUILIBRE DES FLUIDES. n‘J3

§ 218. Considérons maintenant une portion de paroi de forme quelconque, et cherchons à composer entre elles les pressions que le liquide exerce sur les divers éléments dont elle est formée. Pour cela, imaginons que nous itracions trois axes coordonnés rectangulaires, dont l’un soit vertical, et décomposons la pression supportée par un élément quelconque &> de la paroi en trois composantes dirigées parallèlement à ces axes. Si nous désignons par a, 6, y les angles que la normale à l’élément considéré fait avec les trois axes, nous aurons

çgi<>h cos a, cos O, fÿw/i cos y,

pour les valeurs de ces composantes nous voyons que ce sont précisément les pressions que 4e liquide exercerait sur les projections

û) cos a, O) COS £, 0) cos y,

de l’élément de paroi &> sur les trois plans coordonnés, en supposant que le centre de gravité de chacune de ces projections se trouvât à la même distance h au-dessous de la surface libre du liquide. Cette décomposition étant faite pour les pressions supportées par tous les éléments de la portion de paroi que nous considérons, nous pouvons composer entre elles toutes les pressions composantes dirigées parallèlement à chacun des axes coordonnés : nous aurons ainsi trois résultantes partielles ayant

respectiveoicnt leurs directions parallèles à ces axes, et si nous pouvons trouver une force unique qui soit la résultaate de ces trois résultantes partielles, cette force unique sera la résultante des pressions que le liquide exerce sur les divers éléments de la paroi. Quant à ces résultantes partielles, il est aisé de trouver la grandeur de chacune d’elles, ainsi que la position de son point d’application. On reconnaît en effet, d’après ce que nous venons de dire, que la résultante des pressions composantes dirigées parallèlement à Tun des deux axes horizontaux est précisément la pression que le liquide exercerait sur la projection de la paroi considérée sur le plan vertical perpendiculaire à cet axe. On reconnaît en outre que la résultante des pressions composantes dirigées verticalement est égale au poids du liquide contenu à

39i LIVRE III. — DYNAMIQUE. DEUXIÈME PARTIE.

l’intérieur du cylindre vertical, passant par le contour de la paroi^ et s’étendant depuis cette paroi jusqu’à la surface libre : cette résultante est dirigée suivant la verticale menée par le centre de gravité de la portion de liquide dont il s’agit. Ces énoncés supposent que toutes les pressions composantes parallèles à un quelconque des trois axes sont dirigées dans le même sens; c’est-à-dire que, dans la projection de la portion de paroi considérée sur un plan perpendiculaire à cet axe, il n’y a pas plusieurs parties qui se projettent l’une sur l’autre : il est aisé de voir en quoi les énoncés devraient être modifiés, si les choses se passaient autrement.

Nous pouvons appliquer ce qui vient d’être dit à la recherche de la résultante de toutes les «pressions qu’un liquide pesant exerce sur les diverses parties de la paroi du vase qui le renferme. Après avoir mené trois axes coordonnés rectangulaires,, dont l’un soit vertical, concevons que nous circonscrivions à la paroi qui renferme Je liquide un cylindre ayant ses génératrices parallèles à un des deux axes horizontaux; la ligne de contact du cylindre avec cette paroi la divise en deux portions distinctes, dont les projections sur un plan perpendiculaire à cet axe se recouvrent complètement : il est aise de voir d’après cela que les composantes des pressions élémentaires dirigées parallèlement au même axe ont une résultante nulle. Les composantes de ces pressions élémentaires dirigées parallèlement à l’autre axe horizontal ont également une résultante nulle. Ces pressions élémentaires ont donc la même résultante que leurs composantes verticales; et par conséquent cette résultante de toutes les pressions que le liquide exerce sur la paroi du vase est égale au poids du liquide tout entier, et sa direction passe par Je centrede gravité de ce liquide, ce qui était évident dji/wi.

§ 219. Pression» supportées par un corps solide plongé dans un liquide pesant en équilibre. — Si un COrpS SOlide plonge en totalité ou en partie dans un liquide pesant en équilibre, il éprouve de la part du liquide des pressions dont nous allons chercher la résultante. Il est clair que nous pouvons regarder la surface du solide plongé comme constituant une partie

ÉQUILIBRE DES FLUIDES.'

des parois qui renferment le liquide, et qu’en conséquence nous pouvons lui appliquer ce qui vient d’être dit pour les pressions supportées par ces parois

Considérons d’abord un solide complètement plongé. Si l’on décompose la pression du liquide sur chacun des éléments de la surface du corps en trois composantes parallèles à un axe vertical et à deux axes horizontaux perpendiculaires l’un à l’autre, on verra que les composantes parallèles à l’un quelconque des deux axes horizontaux ont une résultante nulle ; en sorte que la résultante des composantes verticales sera la résultante de toutes les pressions élémentaires supportées par le corps. Si maintenant on imagine un cylindre vertical circonscrit au corps, la ligne de contact de ce cylindre divisera la surface du corps en deux portions. La résultante des composantes verticales des pressions exercées sur la portion inférieure sera une force verticale dirigée de bas en haut, et égale au poids du liquide qui remplirait le cylindre circonscrit, depuis cette portion inférieure de la surface du corps jusqu’à la surface libre du liquide ; de même la résultante des composantes verticales des pressions supportées par la portion supérieure, sera une force verticale, dirigée de haut en bas et égale au poids du liquide qui remplirait le cylindre circonscrit, depuis cette portion supérieure de la surface du corps jusqu’à la surface libre du liquide- : donc la résultante des composantes verticales des pressions élémentaires supportées par toute la surface du corps, et par conséquent la résultante de ces pressions élémentaires elles-mêmes, est une force verticale, dirigée de bas en haut, égale au poids du liquide dont le corps lient la place et agissant suivant la verticale menée par le centre de gravité de ce liquide. C’est en cela que consiste le fameux principe d'Archimède, qu’on énonce ordinairement en disant qu’un corps plongé dans un liquide perd une partie de son poids égale au poids du liquide déplacé.

Si un corps solide ne plonge qu’en partie dans un liquide pesant en équilibre, on arrive de la même manière à trouver la résultante des pressions qu’il éprouve de la part du liquide. On reconnaît ainsi que cette résultante est égale au poids du liquide

3î)(î LIVRE m. — DYNAMIQUE. DEUXIÈME PARTIE.

qui remplirait l’espace occupé par la portion du corps silucc au-dessous de la surface libre du liquide, et qu’elle agit de bas en haut suivant la verticale menée par le centre de gravité de ce liquide.

^ 220. Équilibre d'un curps solide plongé dans un liquide pesant ou flottant à sa surface. — Pour qu’un corps solide, plongé en totalité ou en partie dans un liquide, soit en équilibre sous l’action de la pesanteur et des pressions qu’il éprouve de la part du liquide, il faut que la résultante des actions de la pesanteur sur les diverses molécules du corps soit égale et directement opposée à la résultante des pressions que le liquide exerce sur les diverses parties de la surface de ce corps. On est conduit par là aux deux conditions suivantes : 1® le poids du corps doit être égal au poids du liquide qu’il déplace; 2" le centre de gravité du corps et celui du liquide déplacé doivent .se trouver sur une même verticale. Ces deux conditions sont nécessaires et suffisantes pour que le corps plongé soit en équilibre, si toutefois ce corps peut être regardé comme étant un solide invariable.

Si le corps que l’on considère est homogène, il ne peut être en équilibre, lorsqu’il est complètement plongé dans un liquide, qu’autant que sa densité est égale à celle du liquide; celte condition est d’ailleurs suffisante pour que l’équilibre ait lieu, puisque, dans ce cas, le centre de gravité du corps et celui du liquide déplacé coïncident toujours, quelle que soit la position du corps à l’intérieur du liquide. Un corps homogène ne peut être en équilibre en flottant sur un liquide pesant, qu’autant que sa densité est moindre que celle du liquide.