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divers points qui le composent parcourront chacun le premier côté de sa trajectoire polygonale; pendant un second élément du temps, ces mêmes points parcourront les seconds côtés de leurs trajectoires; et ainsi de suite. Chacun de ces mouvements successifs, qui s’effectuent pendant les divers éléments du temps, est ce que nous nommerons un mouvement élémentaire du solide.

§ iG. iHoiiTement de translation. — Supposons qu’un solide se déplace de telle manière que les trois côtés du triangle ABC, formé par les trois points A, B, C, non en ligne droite, restent constamment parallèles à leurs positions primitives ; il est aisé de voir que les lignes droites qui joignent un autre point quelconque aux trois points A, B, C, resteront également parallèles à leurs positions primitives, et qu’il en sera encore de même de toute autre ligne droite tracée entre deux points pris comme on voudra dans le solide. Un pareil mouvement se nomme mouvement de translation.

Fig. 9.

Si l’on considère les chemins infiniment petits MM', ]NN', fi-g. 9, parcourus par deux points quelconques M,N, du solide pendant un même élément du temps, on voit que ces deux chemins, que l’on peut regarder comme rectilignes, sont égaux et parallèles : car M'N' est égal et parallèle à M N, et par conséquent la figure MM'NN' est un parallélogramme. Mais les vitesses dont les points M et N sont animés en même temps, sont dirigées suivant les éléments MM',NN', de leurs trajectoires respect tives ; et de plus elles sont proportionnelles aux longueurs de ces éléments : donc ces vitesses des points M et N sont égales et parallèles. Ainsi, lorsqu’un, solide est animé d’un mouvement de translation, tous ses points ont en même temps des vitesses égales et parallèles.* Cette vitesse commune de tous les points à un même instant, est ce qu’on nomme la vitesse, du solide à cet instant. .

La vitesse d’un solide animé d’un mouvement de translation

MOUVEME.NT D’EN SOUDE OU SYSTÈME INVAR lADLE. 17

peut changer de grandeur et de direction, d’une manière quelconque, d’un instant à un autre.

Une ligure plane, mobile dans son plan, peut être animée d’un mouvement de translation, tout aussi bien qu’un solide mobile dans l’espace ; ce que nous venons de dire du mouvement de translation d’un solide est directement applicable au cas d’une ligure plane mobile dans son plan.

§ 17. .Houvement de rotation; ritcNse an{i;iilaire. — Si

(leux points d’un solide en mouvement restent constamment immobiles dans l’espace, tous les autres points du solide, situés sur la direction de la ligue droite qui joint les deux premiers, restent également immobiles; le solide ne fait alors que tournoi' autour de cette ligne droite, à laquelle on donne le nom d’u rc de rotation. Le mouvement du solide est, dans ce cas, un mouvement de rotation.

Soient M, fig. 10, un point quelconque du solide, et AB son axe de rotation. Si l’on abaisse la perpendiculaire Ml* sur l’axe xVB, cette ligne MB restera perpendiculaire à AB dans toutes les positions que prendra le solide : donc elle décrira un plan perpendiculaire à AB. D’ailleurs, la distance MB ne varie pas : le point M se mouvra donc dans le plan dont nous venons de parler, en parcourant une circonférence de cercle ayant le point B pour centre. .Ainsi, lorsqu’un solide est animé d’un mouvement de rotation autour d’un axe, chacun de ses points décrit une circonférence de cercle, dont le plan est perpendiculaire à l’axe et dont le centre est sur cet axe.

Soient M, N, fig. il, deux points quelconques du solide; M', N' les positions qu’ils occupent au bout d’un certain temps; et P, Q les centres des circonférences de cercle qu’ils décri-

vent. Il est facile de voir que les angles MBM',NQN' sont égaux. En elfet; menons Pu parallèle à QN ; cette ligne Vn sera perpendiculaire à AB, et par conséquent située dans le plan du cercle

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décrit par le point M. Lorsque les points M,N viennent prendre les positions la ligne Vn prend la direction Vn' parallèle

à QN', et l’angle n?n' qu’elle fait avec sa position primitive est égal à l’angle NQN'.J^fais l’angle wPM ne change pas pendant la rotation du solide ; n'^W, qui est la nouvelle position de cet angle, est donc égal à nV M. Si l’on retranche de chacun de ces deux angles la partie commune wTM, il reste les angles nVn' et MPM', qui sont par conséquent aussi égaux. Donc les angles NQN', MPM', égaux tous deux à l’angle nVn\ sont égaux entre eux. Ainsi dans le mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe, les perpendiculaires abaissées des divers points du solide sur l’axe décrivent dans le même temps des angles égaux; la valeur commune de ces divers angles correspondant à un temps quelconque, est ce qu’on appelle l’angle dont le solide a tourné pendant ce temps.

§ 18. Le mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe est uniforme lorsque ce solide tourne d’angles égaux en temps égaux, quels que soient ces temps; ou, en d’autres termes, lorsque les angles dont il tourne dans des intervalles de temps quelconques sont proportionnels à ces intervalles de temps. Le degré plus ou moins grand de rapidité ou de lenteur d’un pareil mouvement se mesure par l’angle dont le solide tourne dans l’unité de temps; cet angle se nomme la vitesse angulaire du solide.

Lorsqu’un solide est animé d’un mouvement de rotation uniforme autour d’un axe, ses divers points se meuvent uniformé-

ment sur leurs circonférences de cercle respectives; mais les vitesse de ces points ne sont pas les mêmes. Les arcs MM', NN', fig* 11, décrits dans le même temps par deux points quelconques M, N, sont proportionnels à leurs rayons MP, NQ, puisque les angles MPM', NQN' sont égaux; les arcs que les deux points décrivent dans l’unité de temps, dans le cas du mouvement de rotation uniforme, sont donc aussi proportionnels aux rayons MP, KQ. On en conclut que les vitesses des différents points d’un solide animé d’un mouvement de rotation uniforme autour d’un axe, sont entre elles comme les distances de ces points à l’axe.

Si l’on mesure les angles par les longueurs des arcs qui leur correspondent sur la circonférence dont le rayon est l’unité de longueur, la vitesse angulaire d’un solide animé d’un mouvement de rotation uniforme ne sera autre chose que l’arc décrit dans l’unité de temps par un point du solide situé à l’unité de distance de l’axe, c’est-à-dire la vitesse de ce point. 11 résulte de là que si l’on nomme w la vitesse angulaire, et r la vitesse d’un point quelconque situé à une distance r de l’axe de rotation, on aura

V) = roi.

§ 19. Tout mouvement de rotation qui n’est pas uniforme est dit varié.

Un mouvement de rotation varié peut être regardé comme étant la succession d’une infinité de mouvements de rotation uniformes, dont chacun a lieu pendant un intervalle de temps infiniment petit. On nomme vitesse angulaire à un instant quel- •conque, dans un mouvement de rotation varié, la vitesse angulaire du mouvement de rotation uniforme élémentaire qui fait partie du mouvement de rotation varié à cet instant.

Si 6 est l’angle dont le solide a tourné pendant un temps quelconque (y c’est-à-dire le chemin parcouru pendant ce temps par un point du solide situé à l’unité de distance de l’axe de rota-

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tion, — sera la vitesse de ce point à la fin du temps t; ce sera

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donc aussi la vitesse angulaire du solide à cet instant. En sorte que, si l’on nomme w cette vitesse angulaire, on aura

Un mouvement de rotation varié pouvant être regardé, à chaque instant, comme étant uniforme pendant un intervalle de temps infiniment petit, il est clair que les vitesses dont sont animés les divers points du solide à un même instant, ont entre elles les mêmes rapports que dans le cas d’un mouvement de rotation uniforme ; CCS vitesses sont proportionnelles aux distances des points à l’axe de rotation. Si l’on, nomme r la vitesse d’un point situé à la distance r de l’axe, on aura encore

V = ro).

§ 20. Si l’on imagine qu’une figure plane soit animée d’un mouvement de rotation autour d’un axe perpendiculaire à son plan, on voit que cette figure ne sortira pas de ce plan. On peut la regarder comme tournant dans son plan, autour du point d’intersection de ce plan avec l’axe que nous venons de parler : ce point prend le nom de centre de rotation de la figure.

Tout ce qui a été dit du mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe, peut s’appliquer directement au mouvement de rotation d’une figure plane dans son plan.

§ 21. Mouvement élémentaire d'une fleure plane dans son plan. — Pour nous rendre compte de la manière dont s’effectue un mouvement élémentaire (§ 15) quelconque d’une figure plane qui se déplace dans son plan, nous commencerons par établir la proposition suivante : Une figure plane, mobile dans son plan, peut être amenée d’une quelconque de ses positions à une autre, par un mouvement de rotation autour d’un des points du plan.

Pour le démontrer, considérons une droite faisant partie de la figure mobile; et supposons que cette droite soit dirigée suivant MN, fig. 12, dans la première position de la figure, et suivant M'N' dans sa seconde position. En A se trouvent deux points.

l’un (le la ligne MN, l’autre de la ligne M'N'. Soit B le point de la ligne MN qui est venu se placer en A sur M'N' ; soit de même

C le point de M'N' où est venu se placer le point A considéré comme appartenant à MN. On aura nécessairement