AB = AG

Soit enfin 0 le centre du cercle passant par les trois points A, B,C. Si l’on fait tourner la droite MN autour du point 0 comme centre, jusqu’à ce que le point B vienne en A, le :puint A de cette droite viendra en C; la droite MN se placera suivant M'N'; et la figure mobile, supposée liée à cette droite qui l’entraîne dans son mouvement, passera de la première position à la seconde.

Cette démonstration suppose que les deux positions MN, M'N' de la droite que l’on considère se coupent en un certain point A.

Il pourrait arriver qu’il n’en fût pas ainsi : les deux lignes MN, M'N' pourraient être parallèles, ou bien se superposer. Dans ce cas, pour amener tous les points de MN à coïncider avec les points qui leur correspondent sur M'N', il suffirait de donner à MN, et par conséquent à la figure mobile que nous supposons liée à cette ligne, un mouvement de translation rectiligne d’une direction convenable. Or un mouvement de ce genre peut être regardé comme étant un mouvement de rotation autour d’un

22 LIVRE 1. — CINÉMATIQUE,

centre situé à l’infini. La proposition énoncée ci-dessus est donc toujours vraie, à la condition de regarder le mouvement de translation rectiligne d’une figure plane dans son plan comme n’étant qu’un cas particulier du mouvement de rotation autour d’un point du plan.

§ 22. Quel que soit le mouvement d’une figure plane dans son plan, nous pouvons le décomposer en une suite de mouvements élémentaires, conformément à ce que nous avons dit précédemment (§ 15). Considérons donc un de ces mouvements élémentaires.

La figure peut être amenée de la position qu’elle occupe au commencement de ce mouvement à celle qu’elle occupe à la fin, au moyen d’une rotation autour d’un certain point du plan. Mais, les chemins parcourus par les divers points de la figure mobile, dans ce mouvement de rotation, étant évidemment infiniment petits, on peut les regarder comme rectilignes; et par conséquent ils coïncident exactement avec les chemins que ces points parcourent dans le mouvement élémentaire dont nous nous occupons : donc ce mouvement élémentaire est identique avec la rotation à l’aide de laquelle on a amené la figure de sa position initiale à sa position finale.

On voit par là que tout mouvement élémentaire d’une figure plane, dans son plan, est un mouvement de rotation infiniment petit autour d’un des points du plan, point qui peut être situé à l’infini. Les centres autour desquels s’effectuent ainsi les divers mouvements élémentaires dont la succession constitue le mouvement total de la figure, sont généralement différents les uns des autres ; et la figure ne tourne autour de chacun d’eux que pendant un intervalle de temps infiniment petit: c’est pour cela qu’on donne à chacun de ces points le nom de centre instantané de rotation.

§ 23. Il résulte de ce que nous venons de dire que, dans le mouvement d’une figure plane qui se déplace d’une manière quelconque dans son plan, les chemins infiniment petits parcourus par les différents points de la figure pendant un même élément de temps, sont des arcs de cercle ayant tous pour centre le centre instantané de rotation de la figure correspondant à cet élément

du temps; ou, en d’autres termes, les normales aux trajectoires des différents points de la figure mobile, menées par les positions que ces points occupent à un même instant, passent toutes par un même point du plan, qui est le centre instantané de rotation relatif à cet instant. Il en résulte encore que les vitesses des divers points de la figure, à un même instant, sont proportionnelles aux distances de ces points au centre instantané de rotation.

Si l’on connaît les directions des vitesses de deux des points de la figure mobile, à un instant quelconque, on trouvera le centre instantané de rotation relatif à cet instant en menant par chacun des points une perpendiculaire à la direction de sa vitesse et cherchant le point de rencontre de ces deux perpendiculaires. Il faut pour cela, bien entendu, que les deux points ne soient pas tels que leurs vitesses soient perpendiculaires à la ligne droite qui les joint. Si les deux perpendiculaires aux directions des vitesses des deux points sont parallèles entre elles, le centre instantané de rotation se trouve à l’infini, et le mouvement élémentaire de la figure est un mouvement de translation.

Si, outre les directions des vitesses de deux des points de la figure mobile, on connaît la grandeur de l’une de ces vitesses, on peut en déduire les vitesses de tous les autres points de la figure. Il suffit, en effet, pour cela, de déterminer d’abord le centre instantané de rotation, comme il vient d’être dit, et de s’appuyer ensuite sur ce que la vitesse d’un point quelconque est à la vitesse connue dans le rapport des distances du centre instantané de rotation aux deux points auxquels se rapportent ces vitesses.

Il faut bien se garder de croire que le centre instantané de rotation d’une figure plane, mobile dans son plan, est le centre de courbure des trajectoires des divers points de la figure. Dans le mouvement de rotation élémentaire autour de ce centre instantané, chaque point ne décrit qu’un élément de sa trajectoire. La position duxentre instantané de rotation fait donc seulement connaître la direction de la tangente à la trajectoire, sans rien indiquer relativement à sa courbure.

§ 24. Appliquons ce qui précède à quelques exemples.

Soit AB, 13, une ligne droite de longueur constante qui

Fig. !.•$.

24 LIVRE I. — CINÉMATiQl’E.

glisse dans l’angle droit YOX, de manière que son extrémité A

reste toujours sur l’axe OX, et que son extrémité B reste toujours sur l’axe OY. Dans la position qu’occupe la ligne mobile AB, les normales aux trajectoires des deux points A, B sont les lignes AC, BC menées perpendiculairement aux axes OX,OY : le point C est donc le centre instantané de rotation de la ligne AB. On sait que, d’après la manière dont la ligne AB se déplace, la trajectoire du point D est une ellipse ayant ses axes dirigés suivant OX et OY ; d’ailleurs la ligne DC doit être normale à la trajectoire de ce point D : donc la ligne EF, perpendiculaire à DC, est la tangente à l’ellipse dont nous venons de parler.

Soit encore ABD, fg. li, une ligne droite qui se meut de

manière à passer toujours par un point fixe O, et à avoir toujours son point B sur la ligne fixe MN.

La vitesse du point B étant dirigée suivant MN, la perpendiculaire BC à la ligne MN doit passer par le centre instantané de rotation de la ligne mobile. Le point de cette ligne ABD, qui est actuellement en O, va s’en éloigner pour se placer à une distance infiniment' petite de O, sur la position infiniment voisine de la droite mobile; la vitesse de ce point, qui est actuellement en 0, est donc dirigée suivant la position que la ligne mobile prendra après s’être déplacée d’une quantité infiniment petite, et par

conséquent sa direction se confond avec celle de la ligne ABD elle-même : la perpendiculaire OC à. la ligne ABD doit donc aussi passer par le centre instantané de rotation. Ainsi le centre autour duquel s’effectue le mouvement élémentaire de la droite mobile, à partir de sa position actuelle, est le point C où se coupent les deux perpendiculaires BC, OC. On sait que le point D décrit une conchoïde ; CD est la normale à cette courbe; et la ligne EF, perpendiculaire à CD, est sa tangente.

• Soit enfin AB, fig. 15, une ligne droite de longueur constante, dont les extrémités A, B se meuvent sur deux circonférences de cercle ayant les points O, O' pour centres. Les normales aux trajectoires des points A et B sont les rayons OAjO'Bdes circonférences de cercle suivant lesquelles ces deux points se meuvent : le point de concours Cde ces deux rayons est donc le centre instantané de rotation de la droite AB. On trouvera, comme précédemment, les tangentes EF,E'F' aux trajectoires des points D,D', pris comme on voudra sur cette droite mobile.

§ 25. Iflonvemeiit élémentaire d’un solide dont tons les points se déplacent parallèlement in un même plan. — Pour voir en quoi consiste un mouvement élémentaire quelconque d’un solide dont tous les points se déplacent parallèlement à un plan fixe P, considérons les points du solide qui se trouvent dans un même plan P' parallèle à P. L’ensemble de ces points forme une figure plane mobile dans son plan P'. Or tout mouvement élémentaire de cette figure plane est un mouvement de rotation autour d’un certain point C du plan P', ou, ce qui est la même chose, un mouvement de rotation autour de la perpendiculaire au plan P\ ou au plan P, menée par le point C. Le solide tout entier, qui est lié invariablement à la figure dont nous parlons, participe- au

26 LIVRE I. — CINÉMATIQUE.

même mouvement : donc tout mouvement élémentaire d’un solide dont tous les points se déplacent parallèlement à un plan fixe, est un mouvement de rotation autour d’un axe perpendiculaire à ce plan.

■ 11 peut arriver que l’axe de rotation autour duquel s’effectue le mouvement élémentaire du solide se trouve à riiifini : dans ce cas, ce mouvement élémentaire se réduit à un mouvement de translation.

Les axes autour desquels le solide tourne pendant les divers éléments du temps qui se succèdent, sont généralement différents les uns des autres; c’est pour cela qu’on donne à l’axe autour duquel s’effectue la roUition élémentaire du solide à un instant quelconque, le nom (.Vaxe instantané de rotation.

§ 20. Mouvement élémentaire d’une figure sphérique sur

sa sphère. — En appliquant le raisonnement du § 21 au cas d’une figure sphérique mobile sur la sphère où elle e.st placée, et remplaçant les lignes droites que l’on a considérées par des arcs de grands cercles, on démontre la proposition suivante : Lue figure sphérique peut être amenée d’une quelconque de ses positions à une autre, par un mouvement de rotation autour d’un point de la sphère comme pôle, ou, ce qui est la même chose, par un mouvement de rotation autour d’un diamètre de la sphère comme axe.

On en conclut, comme dans le § 22, que tout mouvement élémentaire d’une figure sphérique sur sa sphère est un mouvement de rotation infiniment petit autour d’un point de la sphère comme pôle, ou bien encore autour d’un diamètre de la sphère comme axe.

§ 27. Mouvement élémentaire d*nn solide dont un point reste immobile. — Lorsqu’un solide se meut de telle manière qu’un point O qui en fait partie reste constamment en repos, les divers points du solide qui se trouvaient d’abord sur la surface d’une sphère ayant le point O pour centre, forment une figure sphérique qui se déplace en restant sur cette sphère. Or tout mouvement élémentaire- de cette figure sphérique est un mouvement de rotation autour d’un diamètre de la sphère :

le mouvement que prend en même temps le solide tout entier est donc aussi une rotation autour de ce diamètre. Ainsi tout mouvement élémentaire d’un solide dont un point reste immobile est une rotation autour d’un axe instantané passant par ce point.

La considération de la figure sphérique formée par les divers points du solide situés à une même distance du point immobile O, fait voir encore que le solide peut être amené d’une quelconque de ses positions successives à une autre par une rotation autour d’un axe mené par le point 0.

§ 28. mouvement élémentaire d’un solide qui se déplace d’une manière quelconque dans l’espace. — Quel que Soit le mouvement d’un solide dans l’espace, on peut l’amener d’une de ses positions à une autre, en lui donnant d’abord un mouvement de translation, ensuite un mouvement de rotation autour d’un certain axe.

Soient en effet A; B, C, D, fig. 10, divers points du solide dans sa première position, et A’,

rallèles à la droite AA'.

Pour amener le solide de la première position (ABCD)' à la seconde (A'B'C'D'), donnons-lui d’abord un mouvement de translation rectiligne représenté en grandeur et en direction par la ligne AA'; les points B, C, D viendront en B", C", D". 11 n’y aura donc plus qu’à donner au solide un second mouvement en vertu duquel, le point A' restant immobile, les points B", C", D" viendront en B', C,' D'. Mais nous savons que ce second déplacement du solide peut s’effectuer par une rotation autour d’un axe passant par le point immobile A' (§ 27). Donc, en définitive, on peut amener le solide de la première position (ABCD) à la seconde (A'B'C'D') en lui faisant subir : 1® une translation sui-

B', C', D', ces mêmes points,

au point A' par une ligne droite, et menons par les points B, C, D, des droites BB", CC", DD", égales et pa-

pris dans la seconde position a

du solide. Joignons le point A