CHAPITRE PREMIER

§ 221. Théorème de d’Aiembert. — Un système matériel quelconque étant en mouvement sous l’action des forces tant intérieures qu’extérieures qui sont appliquées à ses diverses parties, chacun des points matériels qui le composent (§ 150) se meut conformément à ce qui a été dit dans le Livre II; l’accélération totale du mouvement de ce point a même direction et même sens que la résultante de toutes les forces qui agissent sur lui, et la grandeur de cette accélération est telle qu’en la multipliant par la masse du point, on obtient un produit égal à la résultante dont il vient d’être question. Reportons-nous maintenant à la définition que nous avons donnée de la force d’inertie (§ 138), et nous verrons que, si, à un instant quelconque, on joint la force d’inertie du point matériel dont il s’agit aux forces qui lui sont réellement appliquées, on aura un ensemble de

forces qui se feront équilibre : puisque la force d’inertie, que l’on joint aux forces réelles, est égale et directement opposée à la résultante de ces forces réelles. D’après cela, si, à un instant quelconque, on joint les forces d’inertie des différents points d’un système matériel en mouvement aux diverses forces qui agissent réellement sur ces points, on obtiendra un système total de forces qui se feront équilibre sur le système, puisqu’il y aura équilibre entre les forces appliquées à chacun des points matériels dont le système se compose.

11 est aisé de reconnaître en outre qu’il suffit d’exprimer l’équilibre dont il vient d’être question, pour en conclure toutes les circonstances du mouvement du système. En effet, dire que les forces qui agissent réellement sur le système matériel, jointes aux forces d’inertie de ses différents points, se font équilibre à chaque instant sur ce système, c’est dire que cet équilibre a lieu pour un quelconque des points matériels dont le système se compose; c’est donc dire que, pour chacun de ces points, et à chaque instant, la force d’inertie est égale et directement opposée à la résultante des forces qui agissent réellement sur ce point; ou, en d’autres termes, c’est dire que l’accélération totale du mouvement d’un point quelconque du système est précisément celle que cette résultante des forces réellement appliquées au point est capable de lui communiquer. Exprimer qu’il y a équilibre, à chaque instant, entre les forces qui agissent sur les différents points matériels du système -et les forces d’inertie de ces points, ou bien écrire les équations différentielles du mouvement de ces divers points matériels du système, ce sont deux choses équivalentes. Tel est le fameux théorème dû à d’Alembert, au moyen duquel toute question de mouvement se ramène immédiatement tàune question d’équilibre.

Le théorème de d’Alembert ne présente pas d’utilité réelle, tant que le système matériel dont on s’occupe n’est qu’un assemblage de points matériels isolés pouvant se mouvoir d’une manière quelconque, les uns par rapport aux autres, sous l’action des forces qui lui sont appliquées; puisque, pour exprimer l’équilibre des forces réelles jointes aux forces d’inertie,

il faut exprimer que cet équilibre a lieu pour chacun des points materiels du système, et que, par conséquent, il est tout aussi simple d’écrire immédiatement les équations différentielles du mouvement de chacun de ses points. Mais il n’en est plus de même lorsqu’il s’agit d’un système matériel dans lequel on imagine des liaisons (§ 18G). Dans ce cas, le théorème de d’Alembert, en ramenant la question du mouvement du système à une question d’équilibre entre les forces qui lui sont réellement appliquées et les forces d’inertie de ses différents points, permet de profiter des simplifications que les liaisons introduisent dans l’ensemble des équations d’équilibre des forces appliquées à un système matériel. Ainsi, pour en donner un exemple, les équations d’équilibre des forces appliquées à un solide invariable se réduisant à six (§§ 182 et 178), le théorème de d’Alembert conduit immédiatement à six équations qui suffisent pour faire connaître le mouvement d’un pareil corps.

§ 222. Premier théorème général, ou théorème Uu mou- -«'ement du centre de g;ravité. — Le théorème de d’Alembert ne fait connaître aucune propriété du mouvement du système matériel auquel on l’applique; il ne fait que fournir une méthode particulière pour écrire les équations différentielles du mouvement du système, équations que l’on pourrait d’ailleurs écrire directement, sans avoir recours à ce théorème. Il n’cn est pas de même des théorèmes généraux, dont nous allons nous occuper; chacun de ces théorèmes, qui sont au nombre de quatre, fait connaître une propriété du mouvement. Nous commencerons par celui qui se rapporte au mouvement du centre de gravité du système.

Désignons par m la masse d’un quelconque des points matériels du système ; par x, y, z les coordonnées de ce point rapportées à trois axes rectangulaires; et par X, Y, Z les forces parallèles aux axes, dans lesquelles se décompose une quelconque des forces appliquées à ce point matériel. Si nous observons que la projection de la résultante de plusieurs forces appliquées à un point, sur un axe quelconque, est égale à la somme des projections des composantes sur le même axe, nous

verrons que les équations différentielles du mouvement du point matériel dont il vient d’être question peuvent s’écrire ainsi (§ 121) :

dW

vX,

Les signes 2 qui entrent dans les seconds membres indiquent des sommes s’étendant à toutes les forces qui sont appliquées au point matériel considéré. Concevons que nous ayons écrit toutes les équations analogues à celles-là, pour les divers' points matériels du système, et que nous ajoutions entre elles toutes celles de ces équations qui se rapportent aux mouvements projetés sur un même axe : nous trouverons ainsi les trois équations suivantes :

ItF

dP

dans lesquelles les signes 2 des premiers membres indiquent des sommes s’étendant à tous les points du système, et ceux des seconds membres, des sommes s’étendant à toutes les forces, sans exception, qui agissent sur les diverses parties de ce système.

Désignons maintenant par M la masse totale du système matériel, et par z^, les coordonnées de son centre de gravité,

à un instant quelconque. Nous aurons (§ 163)

MoTi = imx, My, = 2?wy, Ms, = 2ms; et, par suite, en différenciant deux fois par rapport au temps (y

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