HF

dt^

Ces trois équations déterminent, comme on voit, les valeurs (les coordonnées æ*,, y,, >s',, du centre de gravité, en fonction du temps. Pour les interpréter, et énoncer le théorème auquel elles correspondent, nous ferons d’abord les remarques suivantes : 1“ ces équations ont exactement la forme des équations différentielles du mouvement d’un point matériel de masse M;

les forces intérieures du système disparaissent d’elles-mêmes dans les seconds membres de ces équations, puisque, ces forces étant deux à deux égales et directement opposées, leurs projections sur un axe quelconque sont deux à deux égales et de signes contraires ; 3® les forces extérieures, qui restent seules dans les seconds membres, d’après ce que nous venons de dire, peuvent être transportées parallèlement à elles-mêmes en un point quelconque, sans que ces seconds membres soient changés, puisque, par là, les projections de ces forces sur un axe quelconque ne changeront ni de grandeur ni de signe. On peut donc dire que

Le centre de gravité d'un système matériel se meut de la même , manière que si toute la masse du système y était concentrée, et que toutes les forces extérieures y fussent transportées parallèlement â elles-mêmes.

Ce théorème nous montre que, lorsque nous faisons abstraction (les dimensions d’un corps, pour le réduire par la pensée à un point matériel (§ 82), c’est à son centre de gravité que nous devons concevoir que toute sa masse est concentrée. Tout

ce que nous avons dit sur le mouvement d’un point matériel (Livre II) est immédiatement applicable au mouvement du centre de gravité d’un système matériel.

§ 223. Pour faire bien comprendre la vraie signification et la portée du premier théorème général que nous venons d’établir, nous allons l’appliquer à quelques exemples.

Lorsqu’on lance un corps, suivant une direction quelconque, à la surface de la terre, et qu’ensuite la pesanteur est la seule force extérieure qui agisse sur les diverses molécules de ce corps, son centre de gravité décrit une parabole dans le plan vertical mené par la direction de sa vitesse initiale (§ 122). Supposons que le corps dont il s’agit soit une bombe, et que cette bombe fasse explosion avant qu’elle soit tombée sur le sol ; l’explosion étant occasionnée uniquement par le développement de forces intérieures, le mouvement du centre de gravité de la bombe tout entière n’en est pas' altéré : ce centre de gravité de l’ensemble de toutes les molécules dont la réunion constituait primitivement la bombe, continue, après l’explosion, à parcourir la parabole suivant laquelle il a commencé à se mouvoir. Ce n’est que lorsque quelqu’un des fragments de la bombe vient à rencontrer un corps étranger, que le mouvement du centre de gravité du système se modifie; parce que la réaction éprouvée par ce fragment est une nouvelle force extérieure qui vient se combiner avec la pesanteur, et contribuer avec elle à la jiroduction de ce mouvement. 11 est clair que ces résultatsne sont vrais qu’approximativement, dans le cas où la bombe se meut dans l’air atmosphérique, en raison de la résistance que l’air oppose au mouvement de la bombe et de ses fragments, résistance qui est une force extérieure, et qui, par conséquent, influe sur le mouvement du centre de gravité.

Si les forces extérieures, transportées parallèlement à ellesmêmes au centre de gravité, ont une résultante nulle, ou bien, s’il n’y a pas de forces extérieures, le centre de gravité du système est nécessairement immobile, ou animé d’un mouvement rectiligne et uniforme. Ainsi, concevons qu’un ê(re animé, un liomiiuî, |Tfar exemple, se trouve isolé au milieu de l’espace,

«« Mu

..Jf

qu’il ne soit soumis à aucune force extérieure, et que son centre de gravité soit immobile ; cet être animé ne pourra pas de luimême mettre son centre de gravité en mouvement, de quelque manière qu’il fasse jouer ses muscles pour déplacer les diverses parties de son corps, parce qu’il ne peut développer ainsi que des forces intérieures qui ne sont pas capables de faire sortir le centre de gravité de son état d’immobilité primitive.

Notre système planétaire étant extrêmement éloigné des étoiles qui l’environnent, on peut regarder les actions que ses diverses parties éprouvent de la part des étoiles* comme insensibles. Dès lors ce système n’est soumis qu’à des forces intérieures, et, par conséquent, son centre de gravité doit être immobile ou animé d’un mouvement rectiligne et uniforme.

§ ^24. Deuxième théorème général, ou Jhéorème de» quantltéN de mouveaaent projetées sur un axe. — Si l’ou projette le mouvement d’un point matériel sur un axe fixe, on a dans le mouvement projeté (§ 113)

F étant la projection d’une quelconque des forces qui agissent sur le point matériel, et le signe 2 indiquant une somme qui s’étend à toutes les forces auxquelles il est soumis; car la projection de la résulUinte des forces appliquées à ce point est égale à la somme des projections des forces elles-mêmes, et, par conséquent, l’impulsion élémentaire ou totale de cette résultante projetée est égale à la somme des impulsions élémentaires ou totales des composantes projetées. Si l’on écrit toutes les équations de celte forme, relatives aux projections du mouvement des divers points d’un système matériel sur un même axe fixe, et correspondant à un môme intervalle de temps, et qu’ensuite on les ajoute membre à membre, on trouve

Les signes ï. du premier membre <le cette nouvelle équation in-

mv —

' Fdt

i)l LIVRE IV. — DYNAMIQUE. TROISIÈME PARTIE.

iliquent des sommas qui s’étendent à tous les points matériels du système; et celui du second membre, une somme qui s’étend à toutes les forces appliquées aux diverses parties de ce système. Les forces intérieures, en projection sur l’axe dont il s’agit, sont deux à deux égales et de signes contraires; les termes correspondant à ces forces se détruisent donc mutuellement dans l’équation qui vient d’étre obtenue, de sorte qu’on peut

l’écrire en ne mettant dans son second membre que les termes

correspondant aux forces extérieures. D’après cela, cette équation, qui constitue notre deuxième théorème général, peut s’énoncer de la manière suivante :

U accroissement total de la somme des quantités de mouvement du système projelik>s sur un axe fixe quelconqiœ, pendant un temps aussi quelconque y est égal à la somme des impulsions totales des forces exlérieures projetées sur cet axe pendant le même temps. - •

,§225. Le recul des bouches à feu s’explique' naturellement au moyen de ce théorème. Avant l’inflammation de la poudre, le canon et sa charge forment un système immobile, pour lequel la somme des quantités de mouvement projetées sur l’axe du canon est nulle. Cette somme des quantités de mouvement projetées doit rester constamment nulle, tant qu’il n’y a pas de forces ex- ' térieures qui, en projection sur l’axe de la pièce, donnent lieu à une somme d’impulsions différentes de zéro. L’explosion de la poudre ne développant que des forces intérieures, il s’ensuit né- «vessairement que le canon et le boulet prennent en même temps (b3S mouvements dirigés en sens contraires l’un de l’autre; de telle manière que la somme des quantités de mouvement du sys- -tème, en projection sur l’axe dfe la, pièce, conserve sa valeur mulle. S’il était permis de négliger la masse de la poudre, ou des I matières dans lesquelles elle se transforme par suite de son inflammation, on pourrait dire que le canon et le boulet prennent, au moment de l’explosion, des vitesses de sens contraires, et inversement proportionnelles à leurs masses; mais les choses ne se passent pas tout à fait ainsi, à cause de la masse de la poudre -qui n’est pas négligeable par rapport à celle du boulet : en réa-

M 0 U V E M E N T 0’ UN S Y S T E M E M A T É R I E f. Q U E f. C 0 N Q U E. ior»

lilé le recul de la pièce s’effectue avec une vitesse un peu plus grande que celle que l’on trouverait de cette manière.

L’ascension des fusées s’explique d’une manière analogue. L’inflammation progressive de la poudre qui entre dans la composition d’une fusée fait sortir des quantités de matière de plus en plus grandes, par un orifice pratiqué à sa partie inférieure ; le corps de la fusée doit donc reculer, c’est-à-dire se mettre en mouvement de bas en haut. L’action de la pesanteur vient, il est vrai, modifier le résultat; mais elle ne fait que diminuer la vitesse de la fusée, en faisant équilibre à une partie de la force verticale qui produit son mouvement de recul de bas en haut.

§ 226. Troisième théorème général, ou théorvnic de.s

moments des cfuantités de mouvement par rapport <k un

axe. — Reprenons le théorème énoncé à la fin du ^ 1 1 i, et observons que : 1“ le moment de la projection d'une quantité de mouvement sur un plan fixe par rapport à un point 0 do ce plan, peut être regardé comme étant le moment de la quantité de mouvement elle-même par rapport à la droite qui se projette en ce point 0 (§ 103); 2“ de même le moment de l’impulsion élémentaire de la projection d’une force sur le plan fixe, par rapport au point 0, peut être regardé comme étant le moment de l’impulsion élémentaire de la force par rapport à la même droite qui se projette en 0 ; 3'* enfin, si plusieurs forces sont appliquées à un même point, le moment de chaque impulsion élémentaire de la résultante de ces forces, par rapport à un axe fixe, est égal à la somme des moments des impulsions élémentaires correspondantes des forces composantes, par rapport au même axe (§ i03). D’après cela le théorème dont il s’agit peut s’énoncer autrement, de la manière suivante : lorsqu’un point matériel se meut dans l’espace sous l’action des diverses forces, l’accroissement total qu’éprouve le moment de la quantité de mouvement du point, par rapport à un axe fixe quelconque, et pendant un temps aussi quelconque, est égale à la somme des moments, par rapport à cet axe, des impulsions élémentaires des forces auxquelles il est soumis, correspondant aux divers éléments dont ce temps se compose.

OiWrr.,

Concevons maintenant que l’on écrive les équations analogues à celle qui résulte de cet énoncé, pour tous les points matériels qui font partie d’un système en mouvement, en considérant un même intervalle de temps pour tous ces points, et prenant les moments des. quantités de mouvement et des impulsions par rapport à un môme axe fixe. Si l’on ajoute entre elles toutes les équations ainsi obtenues, et que l’on observe que les moments des impulsions élémentaires des forces intérieures se .détruiront mutuellement dans la somme, comme étant deux à deux égaux et de signes contraires, on trouvera une équation unique, qui peut s’énoncer ainsi :

IJaccroissemenl total de la somme des moments des quantités de mouvement du système par rapport à un axe fixe quelconque, pendant un temps aussi quelconque, est égal à la somme des moments, par rapport à cet axe, de toutes les impulsions élémentaires des forces extérieures, correspondant aux divers éléments dont ce temps se compose, .

C’est en cela que consiste notre troisième théorème général.

§ 227. Théorème des aires. — Supposons que les forces extérieures appliquées aux diverses parties d’un système matériel en mouvement, satisfassent à cette condition que la somme de leurs moments, par rapport à un certain axe fixe, soit constamment nulle. La somme des moments des impulsions élémentaires de ces forces, correspondant à un élément de temps quelconque dt, par rapport à l’axe dont il s’agit, s’obtient en multipliant par dt la somme des moments des forces par rapport à cet axe, les forces étant prises avec les grandeurs et les directions qu’elles ont au commencement du temps dt; cette somme des moments des impulsions élémentaires des forces extérieures est donc nulle , pour chaque élément de temps, en vertu de l’hypothèse que nous faisons. Il en résulte que l’accroissement total de la somme des moments des quantités de mouvement du système, par rapport à l’axe fixe que l’on considère, pendant un temps quelconque, est égal à zéro; ou, en d’autres termes, la somme des moments des quantités de mouvement du système, par rapport à cet axe, conserve constamment la même valeur.

mm' Il

Ce théorème, auquel nous venons de parvenir, peut être énoncé autrement. Imaginons, pour cela, que nous projetions le système en mouvement sur un plan perpertdiculaire à l’axe fixe, et soit 0 le point où l’axe lui-même se projette sur ce plan. La somme des moments des quantités de mouvement du système, par rapport à l’axe, n’est autre chose que la somme des moments des quantités de mouvement projetées sur le plan par rapport au point 0 ; on peut donc dire que cette dernière somme conserve constamment la même valeur. Mais si v est la vitesse projetée d’un point matériel de masse m, et si p est la distance (lu point 0 à la direction de cette vitesse, le moment mvp de la quantité du mouvement projetée de ce point matériel peut s’écrire

f/è xlvdt .]) X

le théorème dont nous nous occupons consistant en ce que la somme des moments des quantités de mouvement projetées 2mrp, est toujours égale à une même quantité C, on en conclut

^DIXt, Vdt .])

et, par suite, et intégrant par rapport à

/t et

Il résulte de cette équation et de la signification géométrique de la quantité 4 P 015), que le théorème dont il s’agit peut être énoncé en disant que : la somme des produits des masses des différents points matériels du système, par les aires que décrivent, pendant un temps quelconque ty les rayons vecteurs menés du point 0 aux projections de ces points matériels, est proportionnelle au temp L C’est en cela que consiste le théorème des aireSy qui a lieu pour la projection du mouvement d’un système matériel quelconque sur un plan, et par rapport à un point 0 de ce plan, toutes les fois que la somme des moments

iÜ8 LIVRE IV. — DYNAMIQUE. TROISIÈME PARTIE.

des forces extérieures, par rapport à l’axe qui se projette en 0, est égale à zéro.

L’énoncé de ce théorème des aires se simplifierait, si les masses des divers points matériels du système étaient toutes égales entre elles. On pourrait, en effet, suprimer la masse de chaque point, qui sérail un facteur commun à tous les termes de la somme, et le théorème consisterait en ce que la somme des aires décrites, pendant un temps quelconque f, par les rayons vecteurs menés du point 0 aux projections des divers points matériels, serait proportionnelle au temps L Pour profiter de cette simplification de l’énoncé, dans le cas général où les masses w, des différents points matériels sont inégales, on

conçoit qu’on prenne une petite masse qui soit contenue un nombre exact de fois dans chacune des masses w, m'; Wi",...., de telle sorte qu’on ait

m = m' = 7i'jA, m' = n^y ,

îi, n'y n"y étant des nombres entiers. Ensuite on imagine

que le point matériel de masse m soit remplacé par n points matériels de masse p, coïncidant constamment les uns avec les autres ; que le point matériel de masse m' soit remplacé par n' points matériels de masse a, coïncidant également ensemble, et ainsi de suite : on n’a plus dès lors que des points matériels ayant tous une même masse txy et, par conséquent, on peut supprimer cette masse commune de l’énoncé, comme nous l’avons indiqué plus haut.

D’après cela, le théorème des aires pourra toujours s’énoncer de la manière suivante : Si la somme des moments des fmxes extérieures appliquées à un système matériel en mouvementy par rapport à un certain axe fixey est constamment nulley la somme des aires décriteSy pendant un temps quelconquCy par les rayons vecteurs qui joignent le pied de Vaxe sur un plan perpendiculaire à sa direction aux projections des divers points matériels du système sur ce plan y est proportionnelle au temps dont il s’agit C’est habituellement sous celte forme que nous considérerons l’énoncé du théorème

des aires; mais nous devrons nous rappeler que, en réalité, au lieu de la somme d’aires qui y entre, il faut toujours prendre la somme des produits des aires qui correspondent aux divers points matériels du système par les masses de ces points matériels.

Pour reconnaître si la somme des moments des forces extérieures appliquées à un système matériel, par rapport à un certain axe, est égale à zéro, il suffit d’opérer sur ces forces comme si elles agissaient sur un solide invariable, et de chercher à les réduire à deux forces, dont l’une ait son point d’application sur l’axe même : le moment de la seconde de ces deuxforces, par rapport à l’axe, est égal à la somme des moments des forces données, par rapport au même axe, et, par conséquent, pour que cette somme de moments soit nulle, il faut que la seconde force dont il s’agit rencontre l’axe, ou lui soit parallèle.

§ 228. Considérons, eu particulier, le cas où les. forces extérieures, composées entre elles comme si elles agissaient sur un solide invariable, ont une résultante unique, passant constamment par un même point O de l’espace. Si l’on fait passer une droite quelconque par le point O, la somme des moments des forces extérieures par rapport à cette droite sera nulle; le théorème des aires sera donc . applicable à la projection du mouvement du système sur un plan quelconque, mené par le point O, en prenant ce point pour origine des rayons vecteurs aboutissant aux projections des divers points du système. Cette existence du théorème des aires, pour tous les plans qu’on peut faire passer par le point O, peut être. énoncée d’une manière très-simple, à l’aide des considérations suivantes.

Un système quelconque étant en mouvement, concevons que nous joignions les divers points qui le composent à un même point fixe O de l’espace par des lignes droites, et que nous déterminions les aires élémentaires décrites simultanément par ces rayons vecteurs, dans l’espace, pendant un élément quelconque du temps ; les projections de ces aires -élémentaires sur un plan quelconque mené par le point 0, seront précisément les aires

décrites dans le même temps par les rayons vecteurs menés du point O aux projections des points du système sur ce plan. Cela posé, rapportons le système à trois axes coordonnés rectangulaires ayant le point O pour origine, et projetons sur les plans coordonnés les aires élémentaires décrites dans l’espace par les rayons vecteurs qui joignent le point 0 aux différents points du système. Si w, w', &)" sont les trois projections d’une de ces aires élémentaires, la projection de cette même aire élémentaire sur un plan P faisant des angles a, 6, y avec les plans coordonnés, aura, comme on sait, pour valeur :

O) cos a + w' COS ê + tù' COS 7.

La somme des projections des aires élémentaires correspondant à tous les points du système, sur ce même plan P, sera donc égale à

X (<Ü cos a + (1)' COS 6 -|- (u“ cos “y),

ou, ce qui est la même chose,

cos a . cos ê . ü:w' + COSf .

Soit il une aire plane dont les projections sur les trois plans coordonnés aient pour valeurs ïw, Sw". Si nous désignons par A, B, C les angles que le plan de cette aire fait avec ces trois plans coordonnés, nous aurons ‘

x**=iicosA, Xû)'=iicosB, Xü)" = iicosC,

et par suite la somme des projections des aires élémentaires de l’espace sur un plan P sera égale à

il (cos ;\ cos a 4" cos B COS 6 + COS C cos -y).

La quantité*^ntre parenthèse n’étant autre chose que le cosinus de l’angle compris entre le plan P et le plan de il, il en résulte que la somme des projections des aires élémentaires de l’espace sur le plan P est égale à la projection de l’aire il elle -même sur ce plan P. On voit, d’après cela, comment varie la somme des projections des aires élémentaires décrites par les rayons vec-

leurs qui joignent le point fixe O aux divers points d’un système, suivant qu’on projette ces aires sur tel ou tel plan mené par le point O : la somme des aires projetées est un maximum lorsqu’on prend le plan de n pour plan de projection ; elle diminue à mesure que l’angle aigu compris entre le plan de projection et le plan de li va en augmentant; elle est nulle lorsque le plan <lc projection est perpendiculaire au plan de il. Ce plan de l’aire il se nomme, pour cette raison, plan du maximum des aires, • Nous allons nous servir de la notion du plan du maximum des aires pour énoncer autrement le résultat auquel nous sommes parvenus au commencement de ce paragraphe; mais nous ne devrons pas oublier que ce plan existe indépendamment du théorème des aires : quel que soit le système en mouvement que l’on considère, quel que soit le point de l’espace d’où Ton mène des rayons vecteurs aux différents points de ce système, et quel que soit l’élément de temps pendant lequel on considère les aires décrites dans l’espace par ces rayons vecteurs, il y a toujours un plan passant par l’origine des rayons vecteurs qui jouit de la propriété du plan du maximum des aires. Il est aisé <le voir, d’ailleurs, que ce plan n’est autre chose que le plan du moment résultant des quantités de mouvement par rapport au point d’où l’on fait partir les rayons vecteurs, les quantités de mouvement étant traitées comme des forces qui agiraient sur un solide invariable (§ 161).

Revenons maintenant à la question qui fait l’objet spécial de ce paragraphe. Nous avons dit que, dans le cas où les forces extérieures d’un système matériel, composées entre elles comme si elles agissaient sur un solide invariable, ont une résultante unique passant constamment par un même point O de l’espace, le théorème des aires est applicable à la projection du mouvement du système sur un plan qnelconque mené par le point O, en prenant ce point pour origine des rayons vecteurs aboutissant aux projections des divers points du système. Il s’ensuit que, si l’on considère les aires décrites dans l’espace et pendant un élément quelconque dt du temps, par les rayons vecteurs qui joignent le point O aux divers points matériels de même masse

dont on conçoit que le système soit composé (§ 2:27), et que l’on projette ces aires élémentaires sur trois plans coordonnés rectangulaires menés par le point O, les sommes

iic), so/, i:..)",

des projections ainsi obtenues, sur chacun de ses trois plans, conserveront constamment les mêmes valeurs pendant les di- * vers éléments de temps égaux à dt qui se succèdent : donc Taire plane ü, dont les projections sur les trois plans coordonnés sont respectivement égales à

Xw, Xw', Xw",

conservera aussi toujours la même valeur, et les angles A, B, C, que le plan de li fait avec ces plans coordonnés, ne changeront pas. On peut donc dire que, dans Thypothèse que nous adoptons, le plan du maximum des aires du système, relatif au point O, conserve une direction invariable dans l’espace; et que, en outre, la somme des aires décrites, en projection sur ce plan, par les rayons vecteurs qui émanent du point O, est proportionnelle au temps employé à les décrire.

Ce que nous venons de dire pour un point particulier 0 de l’espace, par lequel nous avons supposé que passait constamment la résultante des forces extérieures composées comme si elles agissaient sur un solide invariable, pourra se dire pour un point quelconque de l’espace, lorsque cette résultante des forces extérieures sera nulle, c’est-à-dire lorsque ces forces satisferont aux six conditions d’équilibre des forces appliquées à un solide invariable (§ 178).

§ 229. Donnons quelques exemples de l’application du théorème des aires.

Si nous supposons, comme nous l’avons déjà fait (§ 223), qu’un être animé soit isolé au milieu de l’espace, qu’aucune force extérieure ne lui soit appliquée, et qu’il soit primitivement immobile, non-seulement cet être animé ne pourra pas déplacer son centre de gravité, mais encore il ne lui sera pas possible de se donner un mouvement de rotation autour de ce point. En

MOUVEMENT I>’UN SYSTÈME MATÉRIEL gUELCONQUE. 413

effel, de quelque manière qu’il fasse jouer ses muscles, il ne peut développer que des forces intérieures; l’absence de toute force extérieure entraîne donc comme conséquence que la somme des aires décrites, en projection sur un plan quelconque passant |)ar son centre de gravité, par les rayons vecteurs • émanés de ce point, conserve constamment la même valeur : donc cette tîomme d’aires doit rester constamment nulle, puisqu’elle l’était tout d’abord en vertu de l’hypothèse que nous faisons que l’être animé dont il s’agit était primitivement immobile. Ainsi, lorsqu’il fait mouvoir certaines parties de son corps de telle manière que la somme des aires qui leur correspondent, en projection sur un certain plan, ait une valeur positive, il y a nécessairejiient d’autres parties du corps qui se meuvent en même temps <lans un autre sens, de manière à fournir une somme d’aires négative sur le même plan, afin que la somme totale des aires relative à toutes les parties du corps soit égale à zéro. S’il s’agit d’un homme, par exemple, et qu’il tourne sa tête à droite, le reste de son corps tournera nécessairement vers la gauche ; s’il |)orte une jambe en avant, comme pour marcher, le reste de son 4‘,orps s’inclinera en sens contraire, c’est-à-dire que la tête se portera également en avant et le milieu du corps en arrière.

Lorsqu’un homme est debout sur le sol, et que, primitivement en repos dans cette position, il commence à marcher devant lui, il fait passer son centre de gravité de l’état de repos à l’état de mouvement. Cherchons à nous rendre compte de ce qui se passe dans ce cas, où le résultat paraît en contradiction avec les théol'èmés que nous avons établis. Pendant que cet homme est en repos, il est soumis à des forces extérieures qui sont, d’une part, l’action de la pesanteur sur les diverses molécules de son corps, d’une autre part, les pressions qu’il éprouve de la part du sol aux différents points par lesquels il le touche : ces forces extérieures se font équilibre. Lorsque l’homme veut commencer à marcher, et cpi’il porte une jambe en avant,^ihne développe en lui que des forces. intérieures qui ne peuvent pas déplacer son rentre de gravité. Mais, en vertu du théorème des aires, et con- Jormément à ce que nous avons dit, il n’y a qu’un instant, en

même temps qu’il avance une jambe, le milieu du corps tend à reculer avec l’autre jambe ; cette autre jambe reculerait en effet, si rien ne s’y opposait, et le centre de gravité du corps tout entier n’avancerait pas. La seconde jambe ne pouvant reculer ainsi qu’en glissant sur la surface du sol, cette tendance au glissement développe un frottement qui s’y oppose, ou au moins jusqu’à une certaine limite; c’est ce frottement que le sol exerce sous la partie inférieure de la seconde jambe,' qui détermine le mouvement du centre de gravité du corps. Tout le monde sait que, lorsqu’on est sur un sol glissant, c’est-à-dire sur un sol pour lequel le coefficient de frottement est faible, et qu’on porte une jambe en av^mt pour commencer à marcher, Tautre jambe glisse en arrière, en sorte qu’on court le risque de tomber .si l’on n’y prend garde. C’est ce qu’on ob.serve surtout lorsqu’on est sur la glace, et qu’on a les pieds munis de patins. Cet effet bien connu s’accorde avec l’explication que nous venons de donner relativement à ce qui se passe lorsqu’un homme commence *à se mettre en marche.

De même, lorsqu’un danseur, s’appuyant sur le sol par la pointe d’un seul pied, veut se donner un mouvement de rotation autour de la verticale passant par son centre de gravité, il ne peut pas produire ce mouvement par la seule action de ses forces musculaires; parce que ces forces, étant intérieures, ne peuvent pas faire que la somme des aires décrites autour du centre de gravité, en projection sur un plan horizontal, passe d’une valeur nulle à une valeur différente de zéro. Mais si le danseur veut pirouetter vers la gauche, il donne à son corps un mouvement de torsion, en vertu duquel la partie supérieure tourne vers la gauche, tandis que la partie inférieure tend à tourner vers la droite; ce dernier mouvement ne pouvant se faire que par un glissement des diverses parties du pied sur le sol, il en résulte le développement d’une résistance au glissement en chacun des points de contact du pied avec le sol, et ces résistances sont des forces extérieures, pour lesquelles la somme. des moments par rapport à la verticale menée par le centre de gravité n’est pas nulle : de sorte que, par suite de l’action de .ces forces exté -

rieures, le corps du danseur peut prendre un mouvement de rotation autour de la verticale. Lorsqu’il a tourné un peu de. cette manière, sans que son pied cesse de toucher le sol, il le soulève brusquement pour faire disparaître la torsion qui en est résultée pour son corps; et en répétant plusieurs fois de suite la même manœuvre, il panient à se donner un mouvement de rotation assez rapide. Si le danseur était sur un sol très-glissant, ou bien s’il ne s’appuyait sur le sol que par un seul point, il lui serait impossible de tourner sur lui-même comme nous venons de le dire.

§ '230. Quatrième théorème général, ou théorème de» forces vives. — Nous avoiis vu dans le paragraphe 110 que l’accroissement de la force vive d’un point matériel, en mouvement sous l’action d’une force F, pendant un intervalle 'de temps quelconque, est égal au double du travail de la force F pendant ce temps. Si, au lieu d’une seule force, il y en a plusieurs qui agissent sur le point mobile, on peut dire que l’accroissement de la force vive de ce point est égal au double de la somme des travaux de toutes les forces qui lui sont appliquées; puisque la somme des travaux de ces forces est égale au travail de leur résultante (118). Concevons que l’on écrive l'équation que fournit cet énoncé, pour chacun des points matériels dont se compose un svstème en mouvement, en considérant un même intervalle

de temps pour tous ces points mobiles, et qu’ensuite on ajoute

membre à membre toutes les équations ainsi obtenues : l’équation unique que l’on trouvera de cette manière pourra s’énoncer en disant que l’accroissement total de la somme des forces vives des divers points^ du système matériel, pendant un intervalle de temps quelconque, est égal au double de la somme des travaux de toutes les forces appliquées à ces différents points, pendant le même temps.

On désigne simplement sous le nom de force vive d’un système matériel en mouvement, la somme des forces vives des divers points dont ce système est formé. D’après cela, on peut énoncer de la manière suivante le théorème auquel on vient de parvenir :

ék

llfi LIVRE IV. — DYNAMIQUE. TROISIÈME PARTIE.

U accroissement total de la force vive d'un système matériel en mouvement, pendant un intervalle de temps quelconque, est égal au double de la somme des travaux de toutes les forces qui agissent sur les divers points'’ de ce système pendant le même temps.

C’est en cela que consiste le théorème jçénéral des forces vives.

Il est très-important d’observer ici que, contrairement à ce qui a lieu pour les trois premiers théorèmes généraux, les forces intérieures du système ne disparaissent pas d’elles-mèmes dans l’énoncé du théorème général des forces vives. Nous savons en effet que la somme’ des travaux élémentaires des deux forces égales et contraires qui se développent entre deux points matériels, n’est égale à zéro qu’au tant que la distance de ces deux points ne varie pas pendant l’élément de temps auquel ces travaux se rapportent (175); la somme des travaux des diverses forces intérieures d’un système matériel en mouvement, pendant un temps quelconque, est donc généralement différente de zéro, et doit par conséquent être prise en considération, tout aussi bien que la somme des travaux des forces extérieures, pour déterminer l’accroissement de force vive du système pendant ce temps, à l’aide du théorème général dont nous nous occupons.

^231. L’équation fournie par le théorème général des forces vives peut s’écrire de la manière suivante (§ 119) :

xwic- — J (Xf/j- + Yrf// + Zdz),

on (résignant par X, Y, Z les projections d’uçe quelconque des forces extérieures ou intérieures du système matériel sur trois axes coordonnés rectangulaires, par æ, y, z les coordonnées du point d’application de cette force, par m la masse d’un quelconque des points matériels du système, et par Vq, v les vitesses de ce point au commencement et à la fin du temps auquel se rapporte l’intégrale du second membre; quant aux signes 2, celui du second membre indique une somme qui s’étend à toutes les forces extérieures ou intérieures (jui agissent sur les diverses

parties du système, et ceux du premier membre indiquent des sommes qui s’étendent à tous les points matériels dont le système est formé.

Supposons que les composantes X, Y, Z, X', Y', Z',... des diverses forces appliquées au système, soient des fonctions connues des coordonnées x, y, z, x\ y\ z\.., de leurs points d’application, et que la quantité

+ ïdz)

soit la différentielle d’une certaine fonction

Vy^'y^ydy"* >•••)*

L’équation des forces vives deviendra

Xwt'2 — v/wiV = VyZ,X\...) — f{X^,y^, X\ )].

Il en résulte que la force vive du système reprend la même valeur, toutes les fois que la fonction

redevient égale à une même constante. Cette circonstance se présente lorsque les points matériels du système sont attirés ou repoussés par des points fixes, ou bien s’attirent ou sc repoussent mutuellement, chaque force d’attraction ou de répulsion étant uniquement fonction de la résistance au point fixe ou au. point matériel mobile dont elle émane. En effet, dans le cas où- X, Y, Z sont les composantes d’une force F dirigée vers un point, fixe, et dépendant uniquement de la distance r du point matériel, sur lequel elle agit à ce point fixe, on a

\dx + \dy + Zdz = Fdr,

et cette quantité Fdr est bien la différentielle d’une fonction des coordonnés Jc, y, z du point soumis à l’action de la force F (§ 120); et, en second lieu, dans le cas où X, Y, Z, X', Y', Z' sont les composantes de deux forces F égales et contraires, qui se développent entre deux des points matériels du système, et dont l’inteosité ne dépend que de la distance r de ces deux points,, la somme

\(lx + \'(hj + VMz + + \'dy + Z'rfz',

qui est aussi égale à ¥dr (§ '175), est de même la différentielle d’une fonction de a?, y, -, a?', y\ z', puisque l’on a

r- = (a? — j;')- + Oy — yy + (- — z'y :

de sorte que, toutes les forces appliquées au système rentran dans l’un ou dans l’autre de ces deux cas, la somme

i{\dx + \dy + 7aIz),

<jui s’étend à tout l’ensemble de ces forces, est aussi la différentielle d’une fonction des coordonnées jl*, y, z, a?', y\ de leurs points d’application. On en trouve un exemple dans notre système planétaire, dont les diverses parties ne sont soumises qu’à leurs actions mutuelles.

§ I232. , Remarques sur les théorèmes généraux qui

précédent. — Les quatre théorèmes généraux que nous venons d’établir ne sont pas de même nature. Le premier, au lieu de se rapporter comme les trois autres au mouvement de l’ensemble des parties dont se compose le système matériel considéré, se rapporte uniquement au point idéal auquel nous attribuons le nom de. centre de gravité du système; il a pour objet spécial de nous donner une notion nette et simple de la manière dont le système tout entier se déplace dans l’espace, en nous mettant à même d’étudier le mouvement de son centre de gravité, tout aussi facilement que s’il s’agissait du mouvement d’un point matériel.

Quant aux trois autres théorèmes généraux, leur objet est tout différent : ils sont destinés à fournir des relations entre les forces appliquées au système matériel et les effets produits par ces forces sur les différentes parties dont le système se compose, relations qui doivent servir à déterminer les valeurs de quelquesunes des quantités qu’elles renferment, en fonction des autres quantités supposées connues. Si l’on se reporte aux énoncés de ces trois théorèmes, on verra que le dernier d’entre eux, le théorème général des forces vives, ne peut fournir qu’une seule relation; mais il n’en est pas de même des deux précédents.

dont chacun peut fournir une infinité d’équations différentes, en raison de ce que Taxe fixe sur lequel ou projette les quantités •<le mouvement et les impulsions, ou bien par rapport auquel on prend leurs moments, peut avoir une infinité de positions différentes dans l’espace. Il est aisé de voir cependant que, parmi toutes ces équations qui résultent du deuxième et du troisième de nos théorèmes généraux, il ne peut y en avoir que six qui soient distinctes les unes des autres.

En effet, les équations fournies par le deuxième théorème général, lorsqu’on l’applique aux projections du mouvement sur divers axes, sont exactement les mêmes que celles qui exprimeraient que la somme des projections d’un certain système de forces sur chacun de ces axes est égale à zéro. D’un autre côté, les équations fournies par le troisième théorème général sont aussi les mêmes que celles que. l’on obtiendrait en prenant les moments de ces forces par rapport à divers axes, et exprimai! que, pour chacun de ces axes, la somme des moments ainsi obtenus est égale à zéro. (Pour trouver le système des forces dont iil est question ici, considérons la trajectoire A B, fig- 412, d’un point de masse m app arte liant au système matériel don nous étudions le mouvement.

Soient MN la portion de cette trajectoire que le point parcourt pendant un temps quelconque t; MP la direction d’une force quelconque F Appliquée à ce point, lors- • 112.

qu’il est en M; M' P', M" P'’,.,, les directions que prend successivement cette force lorsque le mobile se trouve en M', M'’,

au bout des temps dt, ; F', F'',... les valeurs que prend en

même temps la force F ; MR la direction de la vitesse dont le

■mobile est animé en M ; et NS une direction contraire à celle de ■la vitesse v dont il est animé en N. Concevons qu’on applique au point M de l’espace une force mv^ dirigée suivant MR, au point N une force mv dirigée suivant NS, aux points M, M', M",..*

des forces Fr/f, F'dty F'V//,... dirigées respectivement suivant MP, M'P', M'T",..., et qu’on fasse la môme chose pour tous les points matériels du système que l’on considère, ainsi que pour les diverses forces telles que F, qui agissent sur les différents points, on aura ainsi un ensemble de forces qui est précisément celui dont on parle.) Mîiis on sait que toutes les équations obtenues de ces deux manières sont précisément celles qui exprimeraient l’équilibre des forces dont il s’agit, en supposant qu’elles soient appliquées à un solide invariable; on sait en outre que ces équations d’équilibre, en nombre infini, peuvent toutes se déduire algébriquement de six d’entre elles, par exemple des six équations qui se rapportent aux projections des diverses forces sur trois axes rectangulaires, et aux moments des mêmes forces par rapport à ces axes (§ 178) : donc aussi toutes les équations que fournissent le deuxiètne et le troisième de nos théorèmes généraux peuvent se déduire de six d’entre elles, qui seront par exemple celles que le deuxième théorème général donnera pour les projections des quantités de mouvement et des impulsions sur trois axes coordonnés rectangulaires, et celles que le troisième théorème général donnera pour les moments des quantités de mouvement et des impulsions par rapport aux mômes axes.

On voit par là que le deuxième, le troisième et le quatrième des théorèmes généraux que nous avons établis précédemment ne peuvent pas fournir plus de sept équations distinctes^ dont six pour le deuxième et le troisième pris ensemble, et une pour le quatrième.

§ 233. E:i:ten9ion des théorèmes généraux sur ' le mouvement des systèmes matériels , au ' cas des mouvements relatifs. — Les quatre théorèmes généraux que nous venons de démontrer, et toutes les conséquences que nous en avons déduites, peuvent s’appliquer au mouvement d’un système matériel par rapport à des axes coordonnés mobiles, à la condition de joindre aux forces réelles les forces apparentes qui permettent de traiter le mouvement relatif de chacun des points du système comme un mouvement absolu (§ 130). Ces

MOUVEMENT D’UN SYSTÈME MATÉRIEL QUELCONQUE. i2I

forces apparentes sont, comme on sait, au nombre de deux pour ctiaque point : l’une est la force d’inertie correspondant au mouvement d’entraînement, l’autre est la force centrifuge composée.

La seule observation que nous ayons à faire à cette occasion, d’une manière générale, c’est que, dans l’application du théorème des forces vives au mouvement relatif d’un système matériel, les forces centrifuges composées disparaissent d’ellesmèmcs : chacune d’elles étant dirigée perpendiculairement à la vitesse relative du point auquel elle est appliquée, son travail dans le mouvement relatif est nul.

Dans le cas où les axes mobiles, auxquels on rapporte le mouvement du système matériel, se meuvent parallèlement à eux-mêmes, les forces centrifuges composées sont toutes iiulles; les forces apparentes se réduisent donc aux forces d’inertie correspondant au mouvement d’entraînement. Si, en outre, le mouvement de translation des axes est rectiligne et uniforme, les forces d’inertie dont il vient d’être question sont également nulles; les théorèmes généraux s’appliquent donc au mouvement relatif, dans ce cas, exactement de la même manière qu’ils s’appliquent au mouvement absolu, sans qu’on ait besoin de joindre aucune force apparente aux forces qui agissent réellement sur le système.

!23i. iMouveinciit «l'un système matériel par rap? port & des axes de direction constante passant par son centre de jçravité. — Considérons en particulier le cas où l’on rapporte les mouvements des diverses parties d’un système matériel à des axes de direction constante menés par le centre de gravité de ce système ; et voyons comment les quatre théorèmes généraux s’appliquent à ce mouvement relatif. Puisque les axes mobiles ne sont animés que d’un mouvement de translation, nous n’aurons pas à nous préoccuper des forces centrifuges composées, qui sont toutes nulles. Quant aux forces d’inertie, elles sont évidemment toutes parallèles et de sens contraire à l’accélération totale du centre de gravité du système dans son mouvement absolu ; et la grandeur de chacune d’elles s’obtient en multipliant la masse du point matériel auquel on la

suppose appliquée, par cette accélération totale du centre de gravité. . .

Le premier théorème général ne peut rien nous donner ici^ puisque ce théorème a pour objet de faire connaître le mouvement du centre de gravité du système matériel que l’on considère, et que nous savons à priori que le centre de gravité de notre système reste immobile à l’origine des coordonnées, dans le mouvement relatif dont nous nous occupons.

Pour appliquer le deuxième théorème général, il faut que nous déterminions la valeur de la somme des impulsions des forces extérieures projetées sur un axe quelconque en comprenant les forces d’inertie parmi les forces extérieures. Soit

lemcnt appliquées au système en projection sur l’axe dont il s’agit. Si l’on désigne par M la masse totale du système, et par H la vitesse absolue de son centre de gravité, en projections sur le même axe, on aura évidemment

pour la somme des forces d’inertie des divers points du système projetées sur cet axe; Ja somme des impulsions de ces forces d’inertie projetées, pendant le temps /, a donc pour valeur

c’est-à-dire que cette somme est égale à

en désignant par la valeur de u au commencement du temps t. Ainsi, la somme des impulsions de toutes les forces extérieures que nous venons de considérer ici, en projection sur l’axe dont il s’agit, est égale à

Mais nous savons, d’nprès le jpremier théorème général appliqué

Z I Fdt la somme des impulsions des forces extérieures réel-

MOUVEMENT D’UN SYSTÈME MATÉRIEL QUELCONQUE, iili

au mouvement absolu du système, que le centre de gravité se meut comme un point matériel de masse M soumis aux actions de forces égales et parallèles aux forces extérieures du système ; de sorte que, si l’on applique le deuxième théorème général au mouvement de ce point matériel unique, on aura, en projection sur le même axe que précédemment.

Mm — Mwo = ^ r^l-V/.

Il résulte de là que la somme d’impulsions que nous venons de trouver est nulle; et que, par conséquent, dans le mouvement relatif dont nous nous occupons, l’accroissement total de la somme des quantités de mouvement projetées sur un axe quelconque est égal à zéro, c’est-à-dire que cette somme des quantités de mouvement projetées conserve constamment la môme valeur. Il est aisé de vérifier directement cette conséquence du deuxième théorème général, en observant que, si x est l’une des coordonnées d’un quelconque des points matériels du système par rapport aux axes mobiles menés par le centre de gravité’ et si m est la masse de ce point matériel, ou a constamment

Xî« x 0 ;

d’où l’on déduit immédiatement

Ainsi, non-seulement la somme des quantités de mouvement projetées sur un axe quelconque pris pour axe de x est constante, comme l’indique le deuxième théorème général, mais encore cette somme est nulle.

Le troisième théorème général, appliqué au mouvement relatif qui fait l’objet de ce paragraphe, ne donne lieu à aucune remarque particulière quand l’axe par rapport auquel on prend les moments des quantités du mouvement et des impulsions ne passe pas par l’origine des axes mobiles, c’est-à-dire par le centre de gravité du système matériel considéré. Mais lorsque cet

42i LIVRE IV. — DYNAMIQUE. TROISIÈME PARTIE.

axe, auquel se rapportent les moments, passe par le centre de gravité, l’application du troisième théorème général se simplifie. En effet, les forces d’inertie des divers points matériels qui composent le système, sont parallèles entre elles et proportionnelles aux masses de ces points ; ces forces d’inertie, composées comme si elles agissaient sur un solide invariable, ont donc une résultante qui passe par le centre de gravité; et, par conséquent, la somme des moments des impulsions de ces forces par rapport à un axe quelconque mené par le centre de gravité, est nulle d’elle-méme : donc le troisième théorème général s’applique, dans ce cas, sans qu’on ait besoin de joindre aucune force apparenté, aux forces qui agissent réellement sur le système. On en conclut que, dans le cas particulier où les forces extérieures réelles, composées comme si elles agissaient sur un solide invariable, ont une résultante nulle ou passant constamment par le centre de gravité, le théorème des aires (§ :228) a lieu dans le mouvement relatif dont nous nous occupons, pour la projection du mouvement sur un plan quelconque, en prenant ce point pour origine des rayons vecteurs menés aux divers points matériels du système : dans ce cas, le plan du maximum des aires conserve une direction constante dans l’espace, et la somme des aires projetées sur ce plan, à partir d’une époque fixe quelconque, augmente proportionnellement au temps. C’est en appliquant ce qui précède au mouvement de notre système planétaire que Laplace a été conduit à considérer le plan du maximum des aires correspondant au centre de gravité, dans le mouvement ée ce système par rapport à des axes de direction constante menés par ce point, plan auquel il a donné le nom de plan inmria- .ble et qu’il a proposé de prendre pour plan fixe dans l’étude du mouvement des divers astres.

iPour appliquer le quatrième théorème général au mouvement 'd’un système matériel, par rapport à des axes de direction constante menés par son centre de gravité, il faut déterminer la somme des travaux de toutes les forces, tant intérieures qu’extérieures, qui agissent sur les divei*ses parties du système, y compris les forces d’inertie, qu’on doit joindre aux forces

réelles, pour que le mouvement relatif puisse être traité comme un mouvement absolu. Mais si l’on observe que ces forces d’inertie sont parallèles entre elles et proportionnelles aux masses des <livers points auxquelles elles correspondent, on verra qu’on peut étendre à ces forces ce qui a été dit précédemment (§ \ 73) pour le travail de la pesanteur sur les diverses parties d’un système matériel en mouvement; la somme des travaux des forces d’inertie dont il s’agit peut donc être remplacée par le travail ■d’une force unique égale à leur somme appliquée au centre de gravité du système ; et, par conséquent, cette somme de travaux est nulle dans le mouvement relatif que nous considérons, puisque le déplacement du centre de gravite, par rapport aux axes mobiles, est constamment nul. Il résulte de là que le théorème général des forces vives s’applique au mouvement d’un système matériel, par rapport à des axes de direction constante menés par son centre de gravité, sans qu’on ait besoin de joindre au- <‘une force apparente aux forces qui agissent réellement sur le svstème.

§ 235. Il arrive fréquemment que l’on décompose le mouvement d’un système matériel en deux mouvements composants, dont l’un est le mouvement du système par rapport à des axes de direction constante menés par son centre de gravité, et l’autre est le mouvement de ces axes eux-mêmes. Nous allons voir comment on peut, dans ce cas, évaluer la somme des moments des quantités de mouvement du système, par rapport à un axe, ainsi que sa force vive, dans le mouvement absolu.

Soient m la masse d’un point quelconque du système, et .v,y,z .ses coordonnées rapportées à trois axes rectangulaires fixes dans l’espace. Les projections de la quantité de mouvement de ce point matériel sur les trois axes coordonnés ont pour valeurs

(Iv du dz

Si l’on observe que les moments des quantités de mouvement s’évaluent de la même manière que les moments des forces, on

verra (§ 177) que le moment de la quantité de mouvement du. point dont il s’agit, par rapport à l’axe des z, a pour valeur

en sorte que la somme des moments des quantités de mouvement des diverses parties du système matériel, par rapport à cet axe, es! exprimée par

dfi

liï

d./N (Il J

Désignons par ç, vj, ç les coordonnées du point quelconque que nous avons considéré tout d’abord, par rapport à des axes mené.«; par le centre de gravité du système parallèlement aux axes fixes ; etpara?,, î/i, Zi les coordonnées de ce centre de gravité rapportées aux axes fixes : nous aurons

En vertu de ces relations, l’expression de la somme des momcnls des quantités de mouvement du système, par rapporta l’axe fixe des .r, pourra être mise sous la forme

fjlh

dx. . dn rfT + ^' rf/

(Il

, dic, , ^dr. d;