Z — - (au + bu

a et b étant mis au lieu de — , — . Concevons que l’on implante ' ' • P9 f'9

sur le tuya:u,' aux 'points A, C, des tubes verticaux ouverts par le haut, dans' lesquels une portion du liquide puisse s’élever; et que ce. liquide s’y maintienne immobile pendant que l’écoulement

continue au-dessous d’eux. Les quantités —, — sont évidem-

ment les hauteurs MP, NQ auxquelles le liquide s’élèvera dans ces tubes au-dessus des points M, N ; et par suite

est la différence de niveau des points P, Q. Cette dernière quantité n’est autre chose que la charge qui tend à accélérer le mouvement du liquide ABCD, charge qui est entièrement perdue par l’elîet du frottement. Ainsi.

- (au + bu^)

ti,

est la perte de charge due au frottement dans la longueur / dir tuyau ; de sorte que la perte de charge par mètre de longueur est exprimée par

MOUVEMENT DES FLUIDES

- {au + bu^).

ti)

Prony a trouvé que, pour récoulement de l’eau dans un tuyau, on doit prendre

les unités de longueur et de temps étant le mètre et la seconde.

La loi qui vient d’étrc indiquée, pour le frottement éprouvé par un liquide en mouvement, montre bien qu’un liquide en équilibre peut être regardé comme jouissant d’une fluidité parfaite, puisque ce frottement est d’autant plus petit que la vitesse est elle-même plus petite, et qu’il se réduit à zéro lorsque la vitesse est nulle.

§ 264. niouveipent permanent d’un içaz dans un

tuyau. — Lorsqu’un gaz est animé d’un mouvement permanent dans un tuyau d’une grande longueur, les choses se passent à peu près comme nous venons de le dire pour un liquide ; il y a cependant une différence qui tient à ce que le gaz se dilate à mesure qu’il est soumis à une pression plus faible. L’action de la pesanteur sur le gaz n’ayant qu’une influence insignifiante sur son mouvement, il est nécessaire que la pression soit plus grande du côté d’où vient le gaz que du côté vers lequel il marche, afin que le frottement que ce gaz éprouve dans son mouvement puisse être vaincu par l’excès de la première pression sur la seconde. Il en résulte nécessairement que la densité du gaz décroît peu à peu pendant qu’il parcourt le tuyau, et par conséquent que sa vitesse va en- augmentant constamment; car la permanence du mouvement exige que des masses égales de gaz traversent en même temps toutes les sections du tuyau, ce qui ne peut avoir lieu qu’autant que, dans ces diverses sections, la vitesse du gaz est en raison inverse de sa densité. Cependant, dans les circonstances les plus ordinaires, le rapport des pressions extrêmes est peu différent de l’unité; la vitesse du gaz ne s’accroît pas beaucoup d’un, bout à l’autre du tuyau, et on peut appliquer à son mouvement ce qui a été dit pour le mouvement permanent d’un liquide dans un tuyau, en regardant sa vitesse comme égale à la

moyenne de scs vitesses extrêmes. En se tondant sur ces considérations, on a reconnu par rexpériencc que la perte de charge par mètre de longueur, occasionnée par le frottement du gaz contre le tuyau dans lequel il se meut, peut être représentée par l’expression simple

-bu^

Ci)

Cette expression ne diffère de celle qui a été trouvée pour les liquides que par la suppression du terme suppression qiui l’on peut également opérer quand il s’agit d’un liquide et que la vitesse u est un peu grande. On a trouvé par l’expérience que, <|uelque soit le gaz, on peut prendre

valeur qui diffère à peine de celle qui correspond au mouvement de l’eau.

^ Pression exercée par une veine liquide sur

une surface plane. — Pour ^donner une idée de la manière dont on peut trouver l’action qu’un fluide en mouvement exerce sur la surface d’un corps solide, nous considérerons le cas où une veine liquide vient rencontrer un plan fixe AB, fig. 1:21, dont

la direction est perpendiculaire à l’axe de la veine. Nous supposerons que le plan est assez large pour que les filets liquides, déviés de leur route par la présence de ce plan, finissent par être tous dirigés à angle droit sur l’axe de la veine. Si le plan n’était pas maintenu dans l’immobilité, la veine le repousserait devant elle; concevons doin; qu’on lui applique une force de retenue P, dirigée suivant l’axe de la veine et en sens contraire du mouvement du liquide, et proposons-nous de déterminer la grandeur que doit avoir cette force pour que le plan ne cède pas à l’action

MOrVRMENT DES FLUIDES.

(le la veine : il est clair que nous aurons par là la mesure de la pression que la veine liquide exerce sur le plan.

Considérons tout le liquide qui se trouve à un instant quelconque dans le voisinage du plan AB, depuis la section transversale MN de la veine jusqu’au contour du plan, et appliquonslui le théorème des quantités de mouvement projetées sur un axe :221), en considérant son mouvement pendant un élément de temps rff, et projetant les quantités de mouvement et les impulsions sur Taxe m(*me de la veine. Si nous comparons le li- (juidedont il s’agit, dans les deux positions qu’il occupe au commencement et à la fin du temps rf/, nous voyons que dans ces deux positions il renferme une partie commune ; cette partie est comprise entre la section M'iN' on se trouvent, à la fin du temps dtj les molécules licjuides qui étaient dans la section MN an commencement de ce temps, et la limite correspondant au contour du plan AB à laquelle se terminait le liquide considéré au commencement du temps dt. L’accroissement de la somme des quantités de mouvement projetées sur l’axe de la veine pendant le temps dt sera donc simplement la différence entre la somme des quantités de monvement projetées correspondant au liquide qui était compris entre MN et M'N' au commencement du temps dt, et la somme des quantités de mouvement projetées correspondant à une quantité égale de liquide située vers le contour du plan AB à la fin de ce temps. Mais les vitesses de toutes les molécules de ce dernier liquide sont, par hypothèse, dirigées à angle droit sur l’axe de la veine; donc la' somme de leurs quantités de mouvement projetées sur cet axe est nulle. .\insi l’accroissement que subit pendant le temps dt la somme des projections des quantités de mouvement du liquide tout entier sur le meme axe se réduit à

— ptoiv// . r,

en désignant par g la masse spécifique du liquide, par w l’aire de la section transversale de la veine, et par v la vitesse des molécules liquides qui composent cette veine, U’un autre côté, les actions que le liquide éprouve de la part du plan AB sont les

seules forces extérieures qui lui soient appliquées; et la somme (le leurs projections sur l’axe de la veine est évidemment égale à P; en sorte que, si l’on observe que ces forces projetées agissent en sens contraire du mouvement du liquide, on aura

— Vdt

pour l’expression de la somme de leurs impulsions pendant le temps dt. Donc, d’après le deuxième théorème général que nous voulons applique^ ici, on a

d’où l’on tire

— Z(aVdt.V= — Vdt,

Telle est la valeur de la pression que la veine liquide exerce sur le plan AB, dans les circonstances où nous nous sommes placés.

CJIAPITRE V

THÉORIE Di: MOUVEMENT DES MACHINES.

:2()0. Xotions générales sur les machines. — Si l’OH pasS6 en revue les diverses espèces de machines qui sont employées dans l’industrie, on reconnaît facilement qu’elles peuvent être groupées dans deux classes bien distinctes. Les unes servent à vaincre des résistances plus ou moins considérables; telles sont celles qui ont pour objet d’élever des fardeaux, de comprimer ou de broyer des corps, de tourner, de couper ou de percer les bois ou les métaux, etc. Les autres sont destinées à faire des ouvrages qui demandent de l’adresse plutôt que de la force; telles sont celles qui servent à filer et à tisser les matières textiles, à broder les étoffes, à fabriquer les dentelles, etc.

En ne considérant d’abord que les machines de la première classe, nous voyons qu’elles sont employées, non -seulement pour vaincre des résistances, mais encore pour faire marcher les points d’application de ces résistances. Lorsqu’une machine de cette classe est en activité, lorsqu’elle iramille^ h y a à la fois résistance vaincue et déplacement du point d’application de la résistance en sens contraire de son action. D’ailleurs, il est aisé de voir, par divers, exemples simples, que le travail elVectué par la machine (en attribuant au mot travail son acception vulgaire) varie proportionnellement à l’intensilé de la résistance vaincue, lorsque le point sur lequel celte résistance agit se déplace de la même manière ; et aussi que, à égalité de résistance vaincue, le travail varie proportionnellement au

r.20 LIVRE IV. — DYNAMIQUE. TROISIEME PARTIE.

chemin que le point d’application de celle résislance parcourt suivant sa direction, c’est-à-dire à la projection du chemin parcouru par ce point sur la direction de la force : donc, en général, le travail effectué par la machine est proportionnel au produit de la résistance vaincue par la projection du chemin parcouru par le point d’application de cette force sur sa direction. C’est pour cela que précédemment nous avons adopté le mot travail pour désigner un produit tel que celui dont il vient d’être question (§§ llO à 118). Mais, pour qu’une machine puisse vaincre une résislance et faire marcher en même temps le point d’application de cette résistance en sens contraire do son action, il faut qu’une force mouvante, ou une puissance, lui soit appliquée; il faut en outre que le point de la machine sur lequel agit la puissance marche dans le sens de celte action : il faut donc que la puissance développe un certain travail y conformément à l’acception que nous attribuons à cette expression. Ce travail, développé par la puissance, fait que la machine soumise à son action peut effectuer le travail correspondant à la résistance qu’elle a à vaincre. La machine sert d’intermédiaire entre ces deux travaux : on peut dire qu’elle a pour objet de transmettre le travail de la puissance au point où la résistance est appliquée.

Les machines comprises dans la seconde des deux classes que nous avons indiquées plus haut ne sont pas destinées directement à vaincre des résistances. Mais l’ouvrage auquel on les emploie ne peut pas se faire sans qu’il se développe des résistances accessoires, telles que les frottements entre les diverses pièces dont elles sont formées; il en résulte que pour entretenir le mouvement de ces machines, il est encore nécessaire de faire agir sur elles certaines puissances, et le travail de ces puissances correspond au travail occasionné par les résistances accessoires dont il vient d’être question.

Ainsi on peut dire d’une manière générale que les machines sont des appareils qui servent à transmettre le travail des forces. Nous allons voir de quelle manière s’effectue cette transmission du travail par l’intermédiaire des machines.

TFlflORIK Di: MOUVEMENT DES MACHINES. r.“2l

Transmission du travaii dans les machines. —

(î’est par l’applicalioii «lu théorème général des forces vives ^230) à l’ensemble des corps qui font partie d’une machine en

mouvement, que nous arriverons à nous faire une idée nette

sur la transmission du travail dans cette machine. Pour faire cette application, nous distinguerons, parmi les diverses forces qui agissent sur la machine, celles dont le travail est positif, et celles dont le travail est négatif. Les premières, dont les directions font à chaque instant des angles aigus avec les chemins élémentaires parcourus par leurs points d’application, sont les forces mouvantes, ou les puissances; les dernières, dont les directions font au contraire des angles obtus avec les déplacements de leurs points d’application, sont les forces résistantes ou les résistances. Le travail d’une force mouvante est désigné spécialement sous le nom de travail moteur; et celui d’une force résistante, considéré en valeur absolue, c’est-à-dire indépendamment du signe — dont il est affecté, se nomme par opposition travail résifUant. La somme des travaux développés pendant un temps quelconque par les diverses forces mouvantes qui agissent sur une machine, constitue ce (ju’on nomme le travai moteur total, ou simplement le travail moteur, correspondant à ce temps; et de meme on donne le nom de travail résistant total, ou simplement de travail résistant, à la somme des valeurs absolues des travaux dus aux forces résistantes pendant le même temps.

Cela posé, si nous considérons le mouvement d’une machine pendant un intervalle de temps quelconque, et si nous désignons par T»i le travail moteur total développé pendant ce temps, et par IV le travail résistant total correspondant, nous aurons T», — T,, pour la somme des travaux de toutes les forces qui agissent sur la machine pendant le temps dont il s’agit : donc, d’après le théorème général des forces vives, on aura

:imv- — = 2 (Tm — T/*). («)

Cette équation exprime que l’accroissement total de la force vive de la machine, pendant le temps que l’on considère, est

égal au double de l’excès du travail moteur sur le travail résistant, pendant le même temps; elle renferme en elle-même toute la théorie de la transmission du travail dans les machines.

Supposons d’abord que le mouvement de la machine soit uniforme, c’est-à-dire que la Vitesse de chacun de ses points reste constamment la même. Le premier membre de l’équation (a) est nul, quel que soit l’intervalle de temps auquel cette équation se rapporte : donc le travail moteur Tm est constam- ‘ ment égal au travail résistant T,.. Ainsi la machine transmet le travail développé par les forces mouvantes aux points sur lesquels agissent les forces résistantes, sans que la grandeur de ce

travail ait subi aucune modification. Dans le cas particulier où

la machine n’est soumise qu’à une seule puissance et à une seule résistance, l’uniformité du mouvement entraîne comme conséquence que le travail de la puissance est égal à celui de la résistance; ou, en d’autres termes, que la puissance et la résistance sont entre elles dans le rapport inverse des chemins parcourus dans le même temps par leurs points d’application, et suivant leurs directions respectives : d’où l’on conclut la maxime, bien connue, que ce qu'on gagne en force, on le perd en vitesse.

Lorsqu’une machine ne se meut pas uniformément, l’égalité des travaux moteur et résistant T,,,, T,., correspondant à un intervalle de temps quelconque, n’existe plus. Mais, dans ce cas, le mouvement de la machine est habituellement périodique; c’est-à-dire que ce mouvement s’accélère et se ralentit alternativement, de telle manière que la vitesse de chacun des points de la machine reste toujours comprise entre certaines limites.

Si l’on considère une des périodes de temps qui se succèdent, et qui sont telles qu’au commencement et à la fin de chacune d’elles les vitesses des diverses parties de la machine sont les mêmes, il est clair que, pour cette période, le premier membre de l’équation (a) est égal à zéro, et par conséquent le second l’est aussi : donc le travail moteur Tm, développé pendant cet intervalle de temps, est égal au travail résistant Ï|- correspondant. Ainsi, quoique Tm et T,- ne soient pas égaux pour chaque élément du temps, l’égalité de ces deux quantités peut être .