LIVRE I. — CINÉMATIQUE

vaut AA'; 2° une rotation autour d’un axe MN passant par A'.

§ 29. Le système de ces deux mouvements que l’on donne au solide peut être varié d’une infinité de manières, tout en produisant le même résultat définitif. Il suffît en effet, pour cela, de faire jouer successivement, à chacun des points que l’on peut imaginer faire partie du solide, le rôle que l’on a fait jouer au point A. Parmi ces divers systèmes de mouvements, il en existe toujours un dans lequel la tranlation s’effectue parallèlement à l’axe de la rotation.

' Menons en effet un plan P perpendiculaire à l’axe MN, et considérons la figure F suivant laquelle ce "plan coupe le solide. Dans la translation suivant AA', la figure F se transporte dans un plan P', parallèle au plan P ; dans la rotation qui s’effectue ensuite autour de MN, cette figure F tourne dans le plan P', et y prend une certaine position F'. Mais pour faire passer la figure plane dont il s’agit de sa première position F à sa dernière position F', on peut d’abord lui donner un mouvement de translation suivant la perpendiculaire qui mesure la distance des plans P, P' puis la faire tourner dans ce dernier plan autour d’un point convenablement choisi : si l’on conçoit que le solide soit entraîné par cette figure, on voit que la succession des deux mouvements qui viennent d’être indiqués l’amènera de la position (ABCD) à la position (A'B'C'D'). H résulte de là que l’on peut amener un solide mobile, d’une quelconque des positions qu’il occupe successivement, à une autre de ces positions, au moyen d’une translation suivie d’une rotation autour d’un axe de même direction que la translation.

§ 30. Considérons maintenant un mouvement élémentaire d’un solide qui se déplace d’une manière quelconque dans l’espace. Il résulte de ce qui vient d’être dit que le solide peut être amené de la position qu’il occupe au commencement de ce mouvement à celle qu’il occupe à la fin, par une translation infiniment petite suivie d’une rotation infiniment petite autour d’un axe de même direction que la translation. Mais ce n’est pas dans la succession de ces deux mouvements infiniment petits que consiste le mouvement élémentaire du solide; car, dans ce mouvement élémen-

taire, chacun des points du solide décrit un élément rectiligne de sa trajectoire ; tandis qu’en vertu de la succession de la translation et de la rotation dont nous venons de parler, chaque point va de sa position initiale à sa position finale, en parcourant une ligne brisée formée de deux éléments rectilignes perpendiculaires l’un à l’autre. Voyons donc par quoi nous pourrons remplacer la succession de la translation et de la rotation, pour avoir le mouvement élémentaire tel qu’il se produit en réalité.

Lorsqu’une vis se meut en pénétrant à l’intérieur d’un écrou fixe, chacun des points de la vis décrit une hélice : les diverses hélices qui forment ainsi les trajectoires des différents points de la vis sont tracées sur des surfaces cylindriques de mémo axe, et ont toutes un même pas. Un mouvement de ce genre peut être désigné sous le nom de mouvement hélicoïdaL Dans un mouvement élémentaire de cette vis, chacun de ses points décrit un élément rectiligne de sa trajectoire hélicoïdale; d’ailleurs lavis pourrait évidemment être amenée de la position qu’elle a au commencement de ce mouvement élémentaire à celle qu’elle occupe à la fin, au moyen d’une translation infiniment petite dans la direction de son axe, suivie d’une rotation infiniment petite autour de cet axe.

On conclut facilement de là que le déplacement toUil d’un solide, dù à la succession d’une translation infiniment petite et d’une rotation infiniment petite autour d’un axe de même direction que la translation, peut être produit par un mouvement hélicoïdal infiniment petit autour du même axe; et par suite que tout mouvement élémentaire d’un solide qui se déplace d'une manière quelconque dans l’espace est un mouvement hélicoïdal, c’est-à-dire qu’il peut être assimilé au mouvement d’une vis qui pénètre dans son écrou.

§ 31. Lorsqu’une vis se meut à l’intérieur de sou écrou, on la regarde souvent comme animée de deux mouvements existant simultanément : on dit qu’elle glisse le long de son axe, et qu’en même temps elle tourne autour de cet axe. D’après cette manière de voir, un mouvement élémentaire quelconque d’un solide mobile peut être regardé comme dû à la coexistence d’une rotation

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autour d’un certain axe et d’un glissement le long de cet axe.

La ligne droite autour de laquelle le solide tourne et le long de laquelle il glisse, dans chacun de scs mouvements élémentaires successifs, change généralement de position dans l’espace d’un instant à un autre. C’est pour cela qu’on lui donne le nom à' axe instantané de rotation et de glissement du solide.

Si l’on se fonde sur la première manière que nous avons indiquée pour amener un solide d’une quelconque de ses positions à une autre (§ 28), on peut dire encore que tout mouvement élémentaire du solide est dû à la coexistence d’une translation égale et parallèle au mouvement élémentaire d’un de ses points, et d’une rotation autour d’un axe passant par ce point.

§ 32. Soit £ la quantité infiniment petite dont le solide glisse le long de son axe instantané de rotation et de glissement, pendant le temps infiniment petit dt. Il est clair que les déplacement correspondants des différents points du solide sont tels que leurs projections sur cet axe sont toutes égales à s. La vitesse d’un point quelconque s’obtient en divisant son déplacement pendant le temps dt^ par ce temps ; la projection de cette vitesse sur l’axe instantané de rotation et de glissement s’obtiendra donc en divisant e par dt. Donc les vitesses dont tous les points du solide sont animés simultanément, à un instant quelconque, sont telle3 que leurs projections sur l’axe instantané de rotation et de glissement relatif à cet instant, sont toutes égales entre elles.

Il résulte de là que si l’on mène, à partir d’un même point O de l’espace, des lignes droites égales et parallèles aux vitesses dont les divers points du solide sont animés à un même instant, les extrémités de ces lignes droites seront toutes dans, un même plan perpendiculaire à l’axe instantané de rotation et de glissement; en sorte que, si l’on abaisse du point O une perpendiculaire sur ce plan, cette perpendiculaire sera parallèle à l’axe instantané. Or, pour déterminer le plan dont il s’agit, il suffit d’en connaître trois points non en ligne droite ; il suffit donc aussi d’avoir mené par le point O trois lignes droites

égales et parallèles aux vitesses simultanées de trois points du solide, avec la condition que ces trois vitesses ne soient pas parallèles à un même plan.

§ 33. HouYement continn d’une fi|çare plane dans son

plan. — Pour arriver à nous représenter nettement le mouvement continu. d’une figure plane dans son plan, nous commencerons par considérer le cas suivant.

Supposons que la figure mobile tourne d’îibord d’un angle « autour d’un point 0, figAlj puis d’un angle» autour d’un second point 0', ensuite d’un angle a" autour du point 0", etc. Prenons la figure à l’instant où elle va commencer sa rotation autour du point 0, et • traçons-y la droite 00', égale à 00', et faisant avec celle-ci un angle «; après avoir mené par 0', la droite 0',M, telle que l’angle 00', M soit égal à l’angle OO'O"-, traçons la droite 0',0",, égale en longueur h O'O", et faisant avec 0',M un angle »'; construisons de même l’angle 0',0",N égal à l’angle 0'0"0"', puis menons la ligne 0",0"',, égale à 0"0"', et faisant un angle a" avec 0",N ; et ainsi de suite. Lorsque la figure mobile aura tourné de l’angle » autour du point 0, le point 0',, entraîné par elle, sera venu enO', et 0',M aura pris la direction O'O". La figure tournant alors d’un angle . a' autouf de 0', la droite 0',0", viendra coïncider avec O'O", et le point 0", tombera en 0". La troisième rotation de cette figure amènera le point 0", en 0'", et ainsi de suite : en sorte que, pendant le mouvement de la figure mobile, le polygone 00',0",0"',... roulera sur le polygone 00'0"0"'.... ; ou bien encore, si le premier polygone roule sur le second, en entraînant avec lui la figure mobile, il donnera à cette figure précisément le mouvement que nous lui avions supposé.

§ 34. Passons maintenant au cas où une figure plane se meut d’une manière quelconque dans son plan. Cette figure est animée d’une rotation infuiiment petite autour d’un centre instan-

lané, pendant chaque élément du temps (§ 22). Ce centre instantané de rotation occupe généralement des positions différentes sur le plan, d’un instant à un autre; généralement aussi il coïncide successivement avec divers points de la figure mobile. Supposons que l’on cherche : 1“ le lieu géométrique des positions successives de ce ‘centre instantané sur le plan ; 2® le lieu géométrique des points de la ligure mobile avec lesquels il coïncide successivement. Il est clair qu’on pourra regarder le mouvement de cette ligne comme dû au roulement du second lieu géométrique sur le premier.

Dans le premier des trois exemples que nous avons donnés dans le § 24-, la diagonale OC, fUj. Id, est toujours égale à AB : donc le lieu géométrique des positions successives du centre instantané C sur le plan YOX est une circonférence de cercle ayant le point O pour centre et la ligne AB pour rayon. D’un autre côté, l’angle BCA étant toujours droit, le lieu géométrique des points de la figure mobile avec lesquels coïncide successivement le centre instantané de rotation, est une circonférence de cercle décrite sur AB comme diamètre. Le mouvement de la ligne AB dont les extrémités glissent sur les axes OX,OY, peut donc être produit par le roulement de la seconde de ces (leux circonférences à l’intérieur de la première.

§ 3i). Mouvement continu d*nn solide dont un point reste Immobile. — Oïl peut éteiulrc immédiatement ce qui vient d’être dit du mouvement continu d’une figure plane dans son plan, au mouvement continu d’un solide dont un point reste Üamobile.

Les positions que l’axe instantané de rotation du solide prend successivement dans l’espace, forment un cône ayant pour sommet le point qui reste immobile. Les positions que cet axe instantané occupe successivement <à l’intérieur du corps forment un second cône ayant le même sommet que le premier.. Le mouvement continu du solide peut être regardé comme dû au roulement du second cône sur le premier.

§ 3C. Mouvement continu d'un solide qui se déplace d'une manière quelconque dans l'cspaee. — NouS pOUVOns considérer ce mouvement de deux manières différentes.

Tout mouvement élémentaire d’un solide peut être regardé comme dû à la coexistence d’une translation égale et parallèle au mouvement élémentaire d’un des points du solide, et d’une rotation autour d’un axe passant par ce point (§ 31). Si l’on prend toujours le môme point du solide pour appliquer cette considération dans les divers éléments du temps qui se succèdent, on arrive au résultat suivant : tout mouvement continu d’un solide peut être attribué au roulement d’un cône lié au solide, sur un cône qui est animé en même temps d’un mouvement de translation dans l’espace.

D’un autre côté, si l’on considère l’axe instantané de rotation et de glissement du solide relatif à chaque élément du temps, on voit que les positions que cet axe occupe successivement dans l’espace forment une surface réglée; et que les positions qu’il occupe successivement à l’intérieur du solide forment une autre surface réglée. Le mouvement du solide peut être regardé comme dû au roulement de la seconde de ces deux surfaces sur la première, accompagné d’un glissement le long de la génératrice suivant laquelle les deux surfaces se touchent.