CHAPITRE PUEMIEB

1. — HsavemcMt, «Bpaea, tesps. On dit qu'un corps est en moueetnmtt, lorsque sa position dans l'espace varie avec le temps.

Nous faisons intervenir ici ileux notions, celle de l'eipaee et celle du tempt, que nous supposons déjà acquises par l'espril, préalablement à toute étude de la mécanique.

Ces notions sont en effet indépendantes de cette science, et conçues par nous en dehors des phénomènes spéciaux du mouvement.

Cela est évident pour la notion de l'espace, puisqu'elle sert de base à toute la géométrie.

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A L[VBE I. — SOTIONS FONDAMEMALES.

Il n'eu est pas de jnème au pi-emier abord de celle du temps, qui n'inlcrvieut pas dans nos diverses sciences rationnelles, et qui parait faire en mécanique sa première appalîtion. La vicieuse conTusion linus laquelle nous tombons bouvent à cet ëgni-d, et qui nous fait regarder la notion du temps comme subordonnée aux phénomènes mécaniques, tient exclusivement à la manière dont nous évaluons praïiquement les durées égales. Pour ne parler que du mode astronomique, par exemple, il semble <iue nous faisons ime pétition de principes, quand nous nommons temps égaux les temps employés par une m*mc étoile pour repasser successivement par le môme méridien (jour sidéral) ; car, d'un autre cAté, si nous demandons quel est le mouvement d'une étoile autour de nous, nous sommes lentes de répondre que c'est un mouvemenl circulaire, dans lequel chaque tour s'effectue au bout du même temps. Les dcnx questions se résoudraient ainsi l'une par l'autre. Cette inconséquence n'est qu'apparente, car c'est ailleui-s que dans les lois mécaniques que nous puisons la notion du temps et une première évaluation des temps égaux. En effet, la notion du temps est beaucoup plus générale que les phénomènes du mouvement eux-mêmes. Elle se rattache à la succession des phénomènes de toute nature. Ainsi un corps qui changerait de couleur, d'éclat ou de température', la suite de nos propi-es opéi-ations psychologiques , nous suggéi-eraient la notion du lemps aussi bien que le changement «le position d'un corps dans l'espace. Quant aux dui'ées égales, elles sont conçues par nous comme correspondant à l'accomplissement de phénomènes identiques. Nous pouvons avoir plus ou moins de dilTicultés, dans la pratique, à constater l'identité parfaite des phénomènes, et, par suite, à mesurer exactement des durées égales : mais la conception u'en a pas moins lieu par l'esprit, et cela suffit au point de vue philosophique. Car tout consistera ensuite à obienîi' ime

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Hgueur de plus -en plus grande dans la mesure du temps, par une étude de plus en plus approfondie de toutes les circonstances qui président it l'accomplissement des phénomènes qiie l'on compai-e. On aperçoit la multitiidt> de moyens, théoriquement possibles, qui s'offrent à nous pour l'évalualion du temps. On poiin-nii, par exemple, remplir un vase d'eau ù ht mémo haiileur et le laisser ensuite se vider par un orifice inférieur. L'expérience, renouvelée plusieurs fois avec de suflisantes précautions, nous peiinettrait de remanier comme égaux les temps employés par le vase pour se vider enUèremeni. C'est même de celte manière, avec des appareils construits à ce point de vue (clepsydres), que les anciens ont commencé h mesurer le temps. Les durées ainsi reconnues servaient de terme de compai-aison h toutes les autres. On sent déjà i]ue de semblables procédés ont pu, à leur tour, conduire à d'antres plus parfaits, empnmtés aux lois mécaniques, mais desquels il eût été radicalement impossible de se servir, si l'on n'avait eu préalablement et en dehors de ces lois une première évaluation suSfisammenl exacte. Pour repiendrc, par exemple, le fait astronomique que nous citions tout à l'heure, on a pu, par plusieurs comparaisons entre l'écoulement d'un vase et les passages successifs d'une même étoile au méridien, constater que la durée entre ces passages correspondait très-sensiblement ù l'écoulement de la mémo quantité d'eau, et que la constance du rapport était d'autant plus complète que les expériences étaient conduites avec plus de soin. Les très-légères anomalies qui se manifestaient encore furent mises sur le compte de noire propre inliabilcté, cl l'on conclut que chaque tour de l'étoile devait avoir lieu rigoureusement dans le même temps. Un eut dès lors un nouveau mode d'évaluation beaucoup plus exact, mais qui, nous le répétons, impliquait nécessairement qu'une première mesure eût déjà eu )i*n.

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6 LIVBH 1. ~ NOTIONS FONDAMENTALES.

11 est donc bieu entendu que la mécanique accepte comme idées acquises les notions d'espace et de temps.

3. — TraJceWIre. Lorsqu'un corps se meut dans l'espace, le mouvement de ses différents points peut n'être pas exactement le même ; c'est ce qui arriverait notamment si le corps, à mesure qu'il avance, pirouettait sur lui-mtïme. Il est visible qu'alors le mouvement d'un point arbitrairement choisi varierait avec la position géométrique de ce point dans le corps. Ainsi, pour une sphère qui progresserait dans l'espace en même temps qu'elle pivoterait autour de son centre, le mouvement de ce centre différerait de celui d'un point quelconque de la surface. Le mouvement d'un corps peut donc être très-complexe, et sa connaissance complète implique celle du mouvement particulier de chacun de ses points.

Quoi qu'il en soit, et chaque point ayant son mouvement propre, si l'on considère un quelconque d'entre eux, et qu'oit le suive dans l'espace, sans se préoccuper des points voisins, l'ensemble des positions successives qu'il occupera, reliées par un trait idéal, constituera une ligne géométrique continue. Cette ligne, qui peut d'ailleurs atTecter les formes les plus diverses, est la représentation graphique du mouvement dn point. On la nomme frajectoire, pour indiquer que le point la suit dans son trajet.

Le mouvement du point reçoit le nom correspondant à la nature géométrique de la trajectoire. Ainsi l'on a des motivemefUt recUlignet , eircutairet , elliptique» , parabolique» , etc. , selon que les trajectoires sont des ligues droites, des cercles, des ellipses, des paraboles, etc.

S. — HouYeMcal «nlforoie, vlletiw. Si le mouvement d'un point s'effectue de telle manière que les portions de trajectoire parcouiues pendant des temps égaux aient des longueurs égales, — quelle que soit d'ailleurs hi valeur abtolue de ces temps, — on dit que ce mouvement est uui-

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DËrMinONS ET ÂXKME3. 1

forme*. Oo nomme vite»$e la longueur parcourue pendant l'unité de temps, ou, ce qui revient au même, le rapport constant qui existe entre une longueur parcourue quelconque et le temps employé à la parcourir. Eu déùgnant par t la longueui' de ta portion de ligne, drcùte ou courbe, décrite au bout d'un temps quelconque, évaluée en unités de longueur, par / la durée de ce temps, pareillement évaluée en unités de temps, et par V la vitesse, la déflnition qu'oD viuit de donner est exprimée par la relation :

V représente donc du certain nombre constant d'unités de longueur, qui est précisément égal au nombre parcouru pendant une seule unité de temps.

Les mouvements uniformes diffèrent entre eus, indépendamment de la forme géométrique de la trajectoire, par la valeur de leurs vitesses respectives.

A. — HoBvcatent varié, vitesse. On nomme mouvement varié tout mouvement qui n'est pas uniforme, c'est-à- . dire, dans lequel le rapport de l'espace parcouru an S temps D'est pas constant.

^ , Dans un mouvement va-

rié, on n'a plus, comme dans le mouvement uniforme, une notion directe de la vitesse, et l'on n'y parvient que par la considération des limites, en assimilant à chaque instant le mouvement, quel qu'il soit, que l'on envisage, à un mou-

' Le mouvement ne serait pas unirorme si , en prenant , par exemple, des duréeB mollir moindres, les longueurs parcouraes pendant ces nouvelles durées n'étaient pu égales entre elles, blm qu'elles le fussent pour les premières. Il faut, nous le répétons, que quelque petites du quelque grandes que soient les durées égales considérées, les longueurs parcourues coitbs- M BoleDi exactement ^les entre elles.

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8 LIVHi: I. — ?jOTION8 KONDAMEN lALtS.

veniciil uniforme qui coïnciderait avec lui pendant iiufi durée inflnimeat petite.

Soit un moavement d'un point M, s'eflcctitant suivant une ligne qaelconqne A S, et tel que le rappoit de l'espace parcouru au temps ne demeure pas constant ; de sorte que si l'on considère les positions M', M", M'" occupées successivement par le point M, au bout de durées égales, les

longueurs M M', M' M", M" M'" ne sont pas égales

entre elles.

Imaginons que le point mobile M, au lieu de se mouvoir comme il le fait réellement, possède de M en M' nn certain mouvement uniforme qui l'amène en M' au bout du même . temps qu'il emploie dans sou mouvement réel ; que de M' eu M", il possède un autre mouvement uniforme qui l'amène en M" au bout du même temps que dans le mouvement réel ; et ainsi de suite pour chacun des autres intervalles. Les vitesses de ces mouvements uniformes successifs diiTèreul d'ailleurs d'une période à l'autre, puisqu'elles sont res|5ectivemenl représentées par les longueurs MM', M' M", M" M'"...., supposées inégales, divisées par les durées correspondantes, supposées égales. Le mouvement imaginaire, résullantde tous ces mouvements uniformes, diffère du mouvement réel en ce que les positions ne coïncident pas entre Met M', ni entre M' et M", ni entre M" et M", quoiqu'elles coïncident aux. points M, M', M", M"'... eux-mêmes.

Les vitesses des mouvements uniformes correspondant aux diverses périodes successives représenteront donc les vitesses d'un mouvement qui n'est pas exactement le mouvement l'écl. Mais ce' dernier et le mouvement imaginaire différeront d'autant moins que les inleivalles M M', M' M", M" M'". .., auront été pris plus petits : de sorte qu'à lit limite, c'est-à-dire si l'on prend ces intervalles infiniment petits, les deux mouvements se confondront rigourcuscmeni, et le rapport de chaque intervalle au temps correspondant, qui n'aura

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It^.FlNITIONS F.T AXIOMES. 9

pas r^ssé de repiV^scnter la vitesse du mouveineiil ima{(inaire eu chaque endroit, se trouvera représenter la vitesse d'un mouvement qui ne difftVte plus du mouvement pi-oposé : oe sei^ la vitesse de ce mouvement proposé lui-même. En continuant donc à désigner par * la longueur de la traj^<^toîre A M parcourue au bout d'un temps quelconque /, par A* la longueur M M' d'un intervalle pris h la suite, et par Si le temps employé à parcourir cet intervalle, la ritette

au point M du mouvement propost- sera la limite do 7- , quanliti' qui, d'après les signes adoptés dans l'analyse, est représentée par -j- -. donc

Telle est la relation qui exprime la détînitiort de la vitesse dans le mouvement varié. Pour qiio la valeur do cette vitesse puisse être effectivement connue !i un moment quelconque, il fïiut qu'on connaisse ta Tonction analytique qui exprime à tout instant la longueur de l'espace parcouru d'après le

temps employé à le parcourir. La déiivi'e ^- de celle fonction f{t) ■■= s Tournit la valeur numérique de la vitesse.

La définition V ^ -3- que nous venons de donner est quelquefois présentée plus rapidement, en remarqnant que peiH dant nn temps infiniment petit ât on peut considérer le monvemenl comme uniforme, eiqiie, par suite, le rapport de l'espace parcouru influimont petit d» au temps employé à le parcourir dl représente la vitesse de ce mouvement. Une telle exposition manque, à notre avis, de netteté ; car, pendant un temps infiniment pelit, on ne se l'end pas bien compte de ce qui fait qu'un mouvement est uniforme, c'està-dire, suivant la définition, de ce qui fail que te rapport de

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10 LtVRE I. — NOTIONS lONDAHENTALES.

la lonpieur parcourue au temps peui être envisagé comme. (Icmeurant constant. Par conséquent, on ne voit pas non plus ce qnï permet d'assimiler la portion infiniment petite d'un mouvement, qualiBé d'unirorme, avec la portion iafiniment petite d'un mouvement qui ne l'est pas. Ces conceplions ne sont vraiment claires pour l'esprit que lorsqu'elles s'appliquent aux mouvements finis eux-mêmes, pour lesquels il peut y avoir comparaison effective entre les espaces parcourus et les temps employés à les parcourir.

S.^La définition V^ -3- n'est autre chose que la précision mathématique donnée à fidce instinctive que chacun de nous se fait de la vitesse, en dehors de toute considération scientifique. Car si bous voulons apprécier la vitesse d'un objet en marche, notre premier sentiment nous porte à mesurer l'espace parcouru pendant un temps assez court, et à prendre le rapport de cet espace à ce temps pour expression de la vitesse. Nous concevons d'ailleurs très-bien que nous avons une connaissance d'autant plus exacte de cette vitesse que l'espace mesuré a une moindre longueur. En soi-te que, finalement, si nous voulons aller au fond des choses et voir en quoi consiste véritablement notre notion instinctive de la vitesse, nous reconnaissons que c'est précisément la limite théorique du rapport *^ dont nos observations matérielles cherchent à se rapprocher de plus en plus.

Remarquons en passant que, de même que la vitesse se déduit de la connaissance de la longueur parcourue en fonction du temps, réciproquement, la longueur parcourue peut se déduire de la vitesse, si c'est cette dernière qui est directement connue en fonction du temps. En effet, la relation

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OËnNlTIONS ET AXIOMES.

-.fyd, = f{,).

D'une manière généralo, )a définilion de la vitesse établit enti'e cette vitesse, la longueur parcourue et le tcmpâ, une relation qui permet toujours de considérer une quelconque de ces trois quantités comme la conséquence des deun autres.

Dans le mouvement uniforme, où le rapport de la longueur parcourue au temps est constant, on a V := -, d'où

Vêtant un quantité constante. Ce n'est là qu'un cas particulier de la formule relative au mouvement varié : car si dan«

l'expression ' = / ydt on suppose que V est constant , il

en résulte immédiatement « = \l.

6. — ■■•■TCBisBt ■■IfarBiéBaeBl varié, aecélér»> ti«D. Lorsque le mouvement varié d'un point s'effectue de telle manière que les variations de vitesse, reçues pendant des temps égaux, sont égales, — quelle que soit d'ailleurs tavaleur oiWuede ces temps, —on dit que ce mouvement est uniformément varié. Il est dit uniformément aeeélêré, si ces variations de vitesse sont des accroissements ; et uniformément relardé, si ce sont des diminutions. Dans les deux cas, on nomme accélération la varialion reçue pendant l'unité de temps, ou, ce qui revient au mOme, le rapport constant qui existe entre une \'ariation reçue quelconque et le temps employé à la déterminer. Ainsi, en désignant par V la vitesse acquise au bout d'un temps quelconque t, dans un mouvement uniformément varié, rectiligne on curviligne, et par r^ l'accélération, la définition qu'on vient de donner est exprimée par la relation

ou V= ç. I

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12 trVBE J. — NOTIONS FONDAMENTALES.

tf représente donc un ceriain nombre consuiit d'unités de longueur, qui est précisément i'ga] à- la différence qu'ont entre eDes deux vitesses prises ù une nniu- de temps d'intervalle.

L'accélération est dite potitive on tiégatire, solon que le mouvement est accéléi-é ou relardé : en effet, cette accéléralion s'ajoute ou se retranche selon que la vilesse augmente ou diminue.

7. — MoaTcm^Hl varié en général, aFcélérâlIan. On nomme mouvement varié eu général, ou simplemenl moHvemeftl Tarie, tout mouvement <[\i\ n'est pas unirormémenl varie, c'est-à-dire, dans lequel le rapport de la vilesse acquise ru temps n'est pas constant.

Dans un tel mouvement, on n'a plus, comme dans le mouvement unirormément varie, une notion directe de l'accélérairon,et l'on n'y panient que par la considération des limites, en assimilant â chaque instant le mouvement, quel qu'il soit, ù un mouvement uniformément varié qui coïnciderait avec lui pendant une durée infiniment petite. C'est le m(^me ordre d'idées que lorsqu'il s'agit de définir la vilesse dans un inouvenient qui n'est pas uniforme. C'est aussi la même manière de raisonner.

On remplace le monvement réel curviligne ou rectiligne auquel on a affaire par une succession de mouvements uniformément variés, de durées égales, et tels que chacun d'eux communique au point matériel, au bout de cette durée, la variation de vitesse qu'il reçoit précisément dans son mouvement réel. Si AV est la variation de vitesse correspondante à l'un de ces mouvements uniformément variés et A/ le temps au bout duquel il la détermine, l'accéléraiion tsf de ce

AV mouvement partiel se représente par -ç—. En luisant décroître indéfuiiment la valeur des durées égales, ont finit par avoir une succession de monremenls iiniforménieiit va-

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DferiNlTlOSS ET AXlOMtS. 15

ries, dont l'eascinble ne difTère plus du lûouvemËHt proposé

lui'iii(-iiie, el par conséquent la quantité <y = lîniilv ( -rj ) ,

qui i-eprésenlA l'accélération à un moment donné de ce mouvement idéal, représente aussi l'accélération du mouvement réel. L'accélérdtioD d'un mouvement varié quelconque, rectiligue ou curviligne, a donc pour valeur

Cette valeur peut se mettre sous la Tormc

puisqu'on sait que, par défluilion, V ^ -y-.

Les rcDexious présentées à la un du n" h et au ri° 5 pourraient êlrc reproduites ici tcxtuellument. Nous croyons 'inutile d'y revenir. Nous nous bornerons à Taire remairiuor

quu, comme pour la vitesse, la définition -^ = -tj- n'est que

la précision malbématii|ue de l'idée instinctive que nous nous faisons de l'accéléi-ation dans un mouvement quelconque *.

' Beaucoup ilu géoiiu'tref tléllnbsent autrement l'accéléra lion. Il cïl wttKi dtlllcile (l'en renilr<! compte dëi ce iitoment. Disons, toutrroia , qu'un démontrera pluï tard que toute \\leiae peut être considérée comme pruvenini de la romUnaiJon de deux autres ftifsanlentreelteauD angle quelconque. Dana i^ iHouvenenl curviligne, on peut donc regarder la tite^w à un certain instant comme provenant de la eonibInulMn de la vitesse à l'inatant précédent aveu une autre vitesse de granleur et de direcUun <-onvenai>les. C'est cette dernière qu'on nomme acciUration. Saiu Iniiiitter davantage ïur ce point, qui ne saurait élre éclalrei qu'en anticipant sur la liulte de ce tiavail, on volt néatamoin^ que celte déllniliun diiTèrc de la nôtre, et enlève a Vaccélératitm mn caraclerc d'être une simple varlalioii numéri'iue de vlle^^c

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ta LIVRE L — NOTIONS FOKDAMEKTALES.

8. — tlMlléa de Uagnear cl de icBipi. L'évaluation des arcs parcourus, des vitesses et des temps se fait naturellement au moyen de certaines unités correspondantes qui peuvent d'ailleurs ^tre choisies d'une manière arbitraire. Il est d'usage en mécanique de prendre pour unité de longueur celle qu'on a déjà adoptée en géométrie , c'est-à-dire le métt'e, et pour unité de temps la 86,600' partie du temps employé moyennement par le soleil pour repasser par le même méridien. Cette durée, à laquelle toutes les autres sont rapportées, a reçu te nom de seconde, et est désignée, comme la seconde angulaire, par nn double accent sur le nombre'.

Sans la suite, nous supposerons toitjours implicitement que les quantités de longueur et de temps sont rapportées aux unités que nous venons d'indiquer. Mais on ne doit pas perdre de vue que cette supposition ne peut avoir aucune influence sur les raisonnements, puisqu'on aurait pu choisir aussi bien toute autre espèce d'unité.

9. — Efltorl, force. Lorsque nous mettons un corps en mouvement, nous avons conscience d'un effort que nous exerçons sur lui pendant un certain temps.

Cet effort a lieu, lors même que tous les obstacles qui pourraient s'opposer au mouvement de ce corps sont soi-

[ïariatlon rapportée au temps), romme la vitesse elle-même e?t une variation nDmërl(ias de longueur parcourue. On <li<tnilt nlnsl la correspondance des deuï idées , outre qu'on se met en opposllion avec la notion vulgiilre , conforniB il la d^nnllion que nous avons donnéa. Cello dérogation aux td^ instinctlven n'olTre d'altleun aucun avantage «clentiflqueT^I.

' On sait que l'intervalle entre Aexix passagos sucrr^irs dn ftAtW an méridien varie suivant l'époque de l'année. La niovenne entre tous ces Inlcr- Taltes ou entre tous les jours vrais, qu'on nonunelfjourmoiien, est divisée en ïi durée» égales, nommées heures ; chaque heure est divisée en 60 parties nommées minutes et chaque minute en «".«erondes, en sorte ^le l'unité de temps de la mécanique est, comme nous l'avons dit. la 8C,tOO* partie du Jour moyen.

d£fjhitiohs et axiomes. 15

gneusement écartés. Ainsi, si nous plaçons nue sphère parfailement polie sur une glace horizontale Uès-unic, et que nous la Tassions rouler dessus, nous exerçons un effort dont nous nous rendons fort bien compte. De même, si nous suspendons un corps à l'extrémité d'un til très-délié, nous produisons un certain effort pour lui imprimer une vitesse qui l'écarté de sa position verticale. Nous pourrions multiplier les exemples à l'infini, mais uous le jugeons superflu. Tout le monde sent que le seul fait de donner du mouvement à un corps implique un effort correspondant, même en supposant tous les obstacles écartés.

Cela ne veut point dire que te corps sur lequel nous agissons rétitte a notre effort, comme ferait un obstacle fixe contre lequel nous pousserions en vain : au contraire, dans les exemples précédents et dans tous ceux que nous pourrions imaginer, nous constatons que. le moindre effort sufltt pour imprimer un mouvement qui, à la vérité, est alors très-petit. En général, la rapidité du mouvement obtenu est toujours liée à l'énergie de notre effort, augmentant et diminuant avec elle. C'est ce qui n'aurait pas lieu si les corps nous résistaient à la manière d'obstacles fixes. Car un effort convenablement choisi, inférieur, si je puis ainsi dire, à la capacité de rétittance du corps, ne le mouvrait en aucune sorte : tandis que l'observation nous fournit la preuve du contraire. Ainsi, tous les corps, supposés bien dégagés de tous les obstacles extérieurs, cèdent à nos efforts et se mettent en mouvement.

Les efforts au moyen desquels nous mouvons les corps sont de même nature que celui qui nous est nécessaire pour maintenir un corps soulevé et l'empêcher de tomber librement vers le sol.

Cette idenUté nous fournit même un moyen facile de comparer entre eux tous nos efforts quelconques et de les exprimer numériquement.

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