LIVRE I. — MOTIONS FONDAMENTALES

Il nous suiBni di; prendre ]K>ur terme vonstant de comparaison refforiqui nous est nécessaire pour tenir en suspens iiti corps déterminé, par exemple un décimètre cube tl'oan. Dans la considéi-ation de cet cfTort, nous (îiisons abstraction, bien entendu, du vase qui contient le liquide. Quant à su l'orme et ù la manière dont on le lient suspendu, nous ne nous en occupons pas, parce que l'expéi-ience montre que ces cii'constaiices n'influent pas sur l'énergie de l'effoit développé.

Nous appellerons égaux tous les elTorls capables de ce même l'csullut. Ainsi deux efforts exercés successivementsur des corps quelconques pour les mouvoir seront appelés égaux s'ils sont tels qu'ils puissent l'un et l'autre maintenir soulevé un décimètre cube d'eau.

Si nous disposons exactement au-dessous l'nn de l'autre deux décimètres cubes d'eau et que nous les liions entre eux, nous appellerons double un effort capable de les maintenir soulevés : si nous en disposons trois, nous aurons un effort riple, et ainsi de suite. En général, un effort quelconque sera évalué et représenté numériquement par le nombre de décimètres cubes d'eau, disposés exactement au-dessous les uns des autres, qno cet effort serait capable de maintenir soulevés.

Tout mouvement que nous imprimons à un coips doit donc être considéré comme dA à nn effort, plus ou moins longtemps continué, qui, il tout instsmt de sa durée, sciMtt capable de maintenir soulevés un ccriain nombre de décimètres cubes d'eau.

Il est inutile d'ajouter qu'au lieu de rapporlei* nos elTorts au décimètre cube, on pouiTait les rapporter à tout autre corps quelcouqiie, poui-vu qu'on convint de pi'endi'e toujours le même terme de comparaison.

Dans la nature, la plupart des coips se meuvent en dehors d(; iiotrt.- action personnelle et par des causes qui nous sont

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DÉFINITIONS tX AXIOUtS. 17

RëiiéralemeDt inconnues. Mais, quels que soïeut ces mouvements, DOQs conccvous toujoui's qu'Us pourraient être produits par des elTorts analogues à ceux que nous développons nous-mêmes et qui eu dUTcreiaieut seulement par le degré de leur énei^ie.

Un des objets de la mccunique est précisément de rc- Hiei-cher la valeur de cet effort idéal, capable de i-caliscr le mouvement précis que l'on a en vue ; ou réciproquement, -de trouver le mouvement qu'imprimerait un eiïort déterminé, si on le supposait appliqué réellement a» corps.

Les relations uiimériques que nous établissons ainsi entre les mouvements et les elTorts portent sur des éléments qui sont la plupait du temps tout à fait fictifs, en ce sens que les uns ne sont pas en général le produit réel des autres ; mais ces relations nous intéressent eu ce qu'elles nous apprennent que les uns pourraient être toiyours le produit des auli-es; et elles nous permettent de nous rendre compte, à notre manière, de lu puissance des causes inconnues auxquelles les mouvements considérés sont réellement dus. Ces l'dutions uous moutiX'Ut en effet que h cause quelconque de tel ou tel mouvement particulier est équivalente à un eObrt déterminé dont la connaissance nous est Tamilière.

Nous sommes ainsi coniluils,|en niéeanii)ue, ;i écarter complètement la notion concrète ('e l'effort, c'est-à-dire d'une action exercée effectivement sur les corps, pour n'y voir désormais que l'expression numérique d'un rapport. Tel est le point de vue auquel on se place en ariUimétique pour substituer partout te nombre il la quantité.

Afin de rendi'c cette abstraction plus sensible et de déshabituer l'esprit d'une idée concr^'tc, qui doit l'ester étrangers an calcul, on a remplacé, dans le langage mécanique, le mot d'effort par celui de force. Ce dernier terme devra dbnc être toujours entendu dans un sens purement abstrait. Il dési-

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18 Ï.IVUE I. — NOTIONS FONDAMENTALES.

gDera le nombre de fois qu'il faudrait preudrc l'effort iiaiié pour réaliser le mouvement spécial que l'on considère.

10. — C'est cette même abstraction qu'on ne doit jamais perdre de vue quand on parle des forcée de ta Nature. W ne s'agit point des causes premières en vertu desquelles les mouvements s'effectuent, mais uniquement de la vulcur numérique des efforts fictifs qui seraicut capables de les produire. Il ne faudrait pas prendre le change sur les mots et en arriver à s'imaginer que les corps de la nature agissent effectivement les uns sur les autres à la manière de nos efforts personnels. C'est là une question entièrement étrangère à la mécanique, et dont la solution nous sera sans doute toujours inconnue- Quand on parle, par exemple, de la force degravitation qui détermine le mouvement de la terre autour du soleil, on aurait grand tort d'attacher à ces mots une idée concrète, et de croire qu'en effet le soleil lire la terre vers lui. Une telle locution signifie seulement que ce même mou- ' vement pourrait, en l'absence de toute cause naturelle, être déterminé par un effort égal à un certain nombre de fois notre effort unité, et dont l'action serait dirigée de la terre vers le soleil. lien est de même de toutes les expressions analogues. 11 faut en écarter soigneusement une signiflcatiou concrète et se rappeler qu'il n'est jamais question que de rapports numériques.

On emploie souvent une locution vicieuse quîconsiste à dire, comme définition des forces, qu'elle» sont les cattse* des mousemenU. Si, pur ce mot de forces, on entend alors lescauses naturelles elles-mêmes, on uc fait qu'énoncer une vérité évidente, absolument iusignifianic. Si l'on entend au contraire des efforts absti-aîts, numériquement comparables aux ndtres, on devrait dire que les foi'ccs sont, non pas ce qui produit les mouvements, mais ce qui pourrait les produire. On rentre ainsi dans notre propi-e définition, avec

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l'inconvénient delà présenter d'une manière moins nette, qui peut laisser subsister une erreur dans l'esprit *.

11. — Kslié de tarée. L'elTort choisi en mécanique pour terme consunt de comparaison de tous les autres est celui que nous avons déjà supposé nou^mémcS, c'est-à-dire i'elTort capable de maintenir soulevé un décimètre cube d'eau, — abstraction faite, bien entendu, du vase qui la contient. — Afin d'éviter la répétition fastidieuse des mêmes mots, qui se reproduiraient toutes les fois qu'on ferait allusion à I'elTort unité, on lui a donné un nom paiticulier, celui de kilogramme. Ainsi un effort ou une force de n Iiilogrammes est une force capable de maintenir soulevés n décimètres cubes d'eau.

Réciproquement, I'elTort fictif, égal et de sens contraire au kilogramme, qui est équivalent à la cause inconnue en vertu de laquelle le décimètre cube d'euu, abandonné à lui-même, tend vers le so), a reçu le même nom de kilogramme. La cause inconnue ayant été api>eléc pesanteur, l'efTorl fictif qui la représente s'appelle poids. Ainsi, le kilogi'ammc désigne à la fois l'efi'ort nécessaire pour maintenir soulevé un décimèti'e cube d'eau, et le poids de cette niOnie quantité d'eau. En général, le poids d'un corps quelconque est représenté par le nombre de kilogrammes qui exprime la valeur de l'effort nécessaire pour le maintenir soulevé.

Remarque. — Le volume de l'eau variant avec la tempé-

'■ C'eat poor avoir m^conDii ce caractère abstrait, le soûl Traiment aeientiflque de la frirce, que quelque auteurs out rejeté l'évaluatian nucnériqoe dliecte de$ forces que nous aToiu eipoâée. Camol dlgall, dam «es Prtnnpn de ViqviUbre et du mouti«ment.- •■ Que peut-on entendre dans ■ le langage précis des mathématiques par une foret, c'est-à-dire Ipar une • cause douliie ou Irlplc d'une autre P.... ' Cet lUusIre géomi'tre oubliait ainsi qu'en comparant des forces on ne prétend pas comparer des miun réelles Insaisissables en elles-méiDes, maie seulement des causes Hclives, •quitalcnlee aun cauteï incoanues des nwuvemeDts obtervét.

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20 LIVRE I. — ^OTIo^s fom>aiiehtales.

ralui-c, la i|uautité d'euu qui entre dans un dvciniùU'c cube, et, par suite, l'eRbit lu'ccssaire pout* maiiitcnii- ce décimètre cube d'eau soulevé, varie avec elle. Il a donc fallu, [mur avoir un terme de coiiiparaisoii véi'ilabteinent constant, spécifier la tempéi'uturc pour laquelle était pris l'elTort unité. Des cousidéraiions pliysiques, que nous n'avons pus à préseiiler ici, unt conduit à adopter la température de A",!. 11 est entendu aussi que l'eau est distillée, c'est-à-dire pai-railement purei car l'expérience montre que l'effort a faire n'est plus le marne lorsque l'eau tient quelque sel en dissolution. Eiitiu la détermination de cet effort est faite dans le vide absolu, car il se manifeste des différeuces, suivant l'état de l'atmosphère. Ainsi, le kiloj^ranime est l'effort capable de maintenir soulevé, dans le vide, nu décimètre cube d'eau distillée à la températiii'e de 4",1. N'omettons pas d'ajouter qu'il faut spécifier le lieu du globe oii se fait la détermination , car l'effort varie d'un lieu à l'autre. Le lieu choisi par les géomètres ' français est Paris.

12. — FttrecB e«Bslanle« et forces vaplable». L'effort que nous exerçons pour mouvoir un corps a toujours, quelle que soit sa valeur, une eerlaine durée. Il en est par conséquent de même de toutes les forces, c'est à-dire de tous les efforts fictifs capables de produire les mouvements cousidcrés.

Nous aurons donc à distinj^uer di^ux catégories de forces, suivaut que l'effort conserve, pendant toute sa durée, la même valeur numérique, ou suivant, au contraire, que cet effort varie.

I^s forces de la première catégorie sont appelées force» conttanlet. .\insi, une force constante est une foi-ce qui, à un moment ((uelconque de sn durée, serait capable de maintenir soulevés le même iiombi-e de déciniètii'S cubes d'eau, ou qui, en d'autres termes, est constamment l'epi'cseniée par le mèine nombre de kilogrammes.

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Df:FFMTIO\S ET AttOMES. 21

Les forces de la deuxiome catégorie sont appeli'es forcet rariableê. Ainsi, une force variable est une force qui, à un moment quelconque de son action, n'est pas capable de maintenir soulevés te même nombre de décimètres cubes d'eau, ou qni est représenlce par un nombre sans cesse différent de kilogrammes.

Une force qui serait constante pendant une pariic de sa durée, et qui, pendant la période suivante, serait encore conslaiile, mais avec une valeur différente de celle qu'elle avait dans la première, ne serait pas, à proprement parler, une force variable. On considère alors qu'on a deux forces constantes successives, de différentes valeurs. Le caractère de la force variable, c'est que la valeur varie à tout tnttanl .

Celte variation s'effectue d'ailleurs d'une manière continue, c'esl-à-dire par degrés iiisensibles; car l'expérience nous apprend que rien, dans la nature, ne se fait par transition brusque. {Natura non faeit talluM, ont dit depuis longtemps les philosopbes.) — Si donc un changement brusque se produisait dans la valeur de la force, variable avant, variable après, on devrait considci-er que ce n'est pas une même force variable, mais bien deux forces distinctes.

Rien ne nous semble donner mieux la représentation d'une force variable que l'exemple suivant :

Supposons qu'un homme tienne soulevé un vase dans lequel un robinet verse de l'eau d'nnc manière continue; » mesure que te vase se remplit, l'homme développe un eifort de plus en pins grand pour le maintenir soulevé. A chaque instant, la valeur de cet effort, incessamment variable, est exactement mesurée par le volume d'eau contenu dans le vase.

Cet exemple montre une force continue, dont la loi de variation consiste ft nngmenter proportionnellement au temps, puisque c'est ainsi qu'augmente évidemment le volume de

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22 I.IVHB I. — NOTIOKS rONIïAMENTALES.

l'eau introduit:. On pourrait représenter de la même manière une force augmentant suivant une loi quelconque; il snfHrait d'imaginer que lo robinet, au lieu de rester grand ouvert pendant tout le débit, est manœuvré do fa^on à faire varier l'orifîce suivant telle loi que l'on voudra. On aperçoit clairement que l'clfort nécessaire pour maintenir le vase soulevé augmente avec le temps d'après un mode de variation quelconque.

Si le vase, au lieu de s'emplir, se vidait, on obtiendrait toute espèce de loi de diminution de l'cifort.

Quand une force variable met un corps en mouvement, nous devons concevoir que, pendant la durée de son action, llntensité de cette force passe par des valeurs diverses et successives comme celles que nous venons de considérer.

La connaissance d'une force variable implique celle de sa valeur numérique à (ont instant, c'est-à-dire la connaissance de la loi suivant laquelle celte valeur varie avec le temps. Cela revient à donner la fonction analytique du temps qui exprime la valeur numérique de la force. Ainsi, F étant la force et f (f) une certaine fonction du temps, on a, à tout instant, pour exprimer la force, l'équation F=: /"(/).

Quand lu foi-ce est constante, f (0 se réduit à une quan- Itté constante.

13. — DlreellcB de la f«ree, son pclat d'application. En agissant sur un corps pour le mouvoir, nous avons le . sentiment de la direction de notre effort, c'est-à-dire de la ligne droite suivant laquelle notre effort se produit. Si le corps a des dimensions infiniment petites, ou plulOt si nous envisageons son mouvement en bloc, comme nous ferions d'un point unique, nous le voyons suivre la ligne droite le long de laquelle nous exerçons notre effort. Le corps ne dévie de cette ligne que lorsque nous cbangeons nous-mêmes la direction de notre effort, ou lorsque, les dimensions considérables de ce corpi) ne nous peimetlant pas d'envisager

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DËPIMTIONS ET AXIOMES. 2S

son mouvement comme celui d'un point unique, nous tenons compte des diRrrences de li'njcctoires de ses divers points. Mais nous n'en avons pas moins le sentiment d'une direction déterminée de notre effort à tout instant, ou le sentiment d'une ligne droite que suivrait la particule matérielle sur laquelle nous agissons immédiatement, si cette particule, au lieu d'être liée aux autres parties du corps, était parraitement libre de céder isolément h notre actitHi.

Nous nommerons donc en général direction d'une forée ta droite suivant laquelle la force est conçue comme agissant pour mouvoir une particule matérielle isolée, le long de cette droite même.

Nous appellerons point d'application de la force le point précis où celte force est supposée agir sur le corps, c'est-àdire la particule matérielle qui, si elle était libre, se mouvrait dans la direction de la force, comme il vient d'être dit.

t'ne force aura une direction constante lorsqu'elle agira à tout instant suivant la même droite : elle aura une direction variable lorsqu'elle agira successivement suivant des droites diiTérentes. La variation de direction s'effectue, d'ailleurs, comme celle de l'intensité, d'une manière continue et par degrés insensibles.

Le mouvement d'un corps devant changer évidemment selon la direction et le point d'application de la force qui le détermine, il est nécessaire, pour connaître complètement la force, de connaître, outre sa valeur à tout instant, la position de son point d'application et sa direction. En général, dans les problèmes, la position géométrique du point d'application ne change pas dans le corps pendant tout le cours du mouvement; elle est donc précisée une fois pour toutes. Quant à la direction, il faut, si elle varie saus cesse, donner, comme pour l'intensité, la loi de la variation en fonction du temps. Nous verrons plus tard de quelle manière on représente géométriquement la direction des forces dans l'espace.

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2k tlVRE I. — NOTIONS FaNDAUENTALES.

El) (lefiDilive, pour la counuîssnnce d'une force, il Taut iruis

choses .

1° Son point d'application, qui, linbiliiellement, conserve la m^me position dans le corps ;

2* L'Intensité, qui est exprimée par une Tonction antilytiqae;

3° La direction, qui peut varier éf^alomeut suivaril rrrlaineslois.

iU. — Comme on le voit, nous avons fait dioix,dès leilébttt, d'une unité de force déterminée. Nous aurions pu, naturellement, adopter loute autre unité que le kilogramme. II suffit qu'une unité soit piisc, peu importe laquelle.

C'est une grande erreur de supposer que, parce qu'on choisit tout de suite une unité de force, et que cette unité est empruntée aux faits de In pesanteur, i) serait impossible, sans la considération de la pesantenr, de constituer la science mécanique telle qu'elle est. En admettant que l'homme n'efit aucun sentiment de la cause inconnue en vertu de laquelle les corps tendent vers la terre, et qu'il ne se fiit jamais rendu compte de l'effort nécessairr: i>o«i' les maintenir soulevés, rien ne l'empt^clierait d'ailleurs d'acquérir la notion d'un elTort ou d'une force, soit en modifiant la forme dtin corps plus on moins élastique, soit mémo eu mouvant un corps sur un plan l)ori/.onial, sans frottement. De pareils phénomènes nécessitent des efforts qui ne dépendent nullement de la gravité, et qui demeureraient absolu- . ment les mêmes si cette dernière n'existait pas. On pourrait ainsi adopter quelque unité de force, étrangère à la pesanteur, comme, par exemple, l'effort nécessaire pour empêcher une lame métallique, infléchie dans des conditions spécifiées, de reprendre sa furme natui'elle. En un mot, le premier terme de comparaison venu, pounn qu'il fiH constant, tiendrait lien du kilogramme et dispenserait de loute eousidération de la gravité, laquelle, seieniifiqnement parlant, pour-

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nËPIKITlONS T.T AXIOMES. 2iî

rait disparaître &aus porter aucunement atteinte à l'tidiRce ■m-cuniquc.

15. — MasM. Quand on agit successivement sur différents corps pour les mettre en mouvement, on reconnaît que le m^me effort, exercé de la nii^me manière, ne leur Tait pas pcendre le même mouvement; on l'attribue vulgairement à ce que ces corps ne l'enferment pas tous la même quantité df matière , et l'on appelle nioMe de chacun d'eux la quantité absolue de matière qu'il couiîeiil.

Si nous nous en tenions à cet énoncé, ([ui ne fait que reproduiii^ l'idée assez obscui-e que chacun aitaclie instinct!vemeni au terme de »i(i««p, nous ne serions pas en possession d'iiue df'^finition vraiinenl scientitlquc, «■'est-à-dire assez prtSc.ise pour qu'on puisse tenir compte, dans le calcul, de l'objet auquel elle se rapporte.

Pour que la masse devienne en effet un élément de relations mathématiques, il est indispensable qu'on puisse l'exprimer numériquement ; ce qui exige qu'on sache comparer les masses entre elles et les rapporter toutes à une même unilf!.

Or, comment comparer des masses, c'est-à-dire évaluer te nombre de fois que la matière d'un certain corps contient la matière d'un autre corps? Cette comparaison dii'ecte, et le rapport qui en résulte, ne peuvent avoir nn sens pour l'esprit qu'autant qu'il s'agit de coips de même nature et placés dans les mêmes conditions. Un comprend, par exemple, que la quantité de matière de deux décimètres cubes d'eau est le double de celle qui est contenue dans un seul, et qu'en général le rapport des masses est le même que celui des volumes. Mais s'il est question de corps de natures différentes, tels que l'eau, le Ter, le bois, etc., on n'a aucune idée du genre de rapport qui peut exister entre les quantités de matière d'un même volume de ces divers corps. Ici donc, il devient nécessaire d'abandonner le sens vulgaire du mut

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M UVBE I. — NOTIONS FONDAMENTALES.

masse pour lui substituer une notion plus précise, qui se prête à la comparaison numérique dont nous parlons.

A cet effet, nous dirons que deox corps de natures quelconques ont des masses égales, loi'squc, successivement soumis à un même effort constant, pendant le m<>mc temps, suivant une méinc direclion, ils acquièrent la même vitesse. Ainsi, si un huitième de décimètre cube de Ter, par exemple, prend la même vitesse qu'un décimètre cube d'eau daus les conditions que nous venons d'indiquer, on dira que le pre~ mier voinme de fer a la même masse que le second volume d'eau.

Quand nous parlons de la vitesse du corps, il s'agit, bien entendu , de la vitesse générale de ce corps , envisagé en bloc, et sans tenir compte des mouvements individuels de ses divers points. Nous admettons, d'ailleurs, — ce qui sera démontré plus tard , — que cette vitesse générale est la même, quelle que soit la forme qu'affecte le volume du corps considéré, et quel que soit le point précis oii la force lui est appliquée.

L'égalité des masses, telle que nous venons de l'établir. Peste donc étrangère à la considération inaccessible des quantités de matière, et elle se fonde uniquement sur la façon dont les corps cèdent à l'action des forces qui les sollicitent. C'est là, d'ailleurs, le vrai point de vue : car au lieu de dire, conformément à la notion vulgaire, que la matière renfermée dans un décimètre cube de fer est huit fois plus grande que celle d'un décimètre cube d'eau, qu'est-ce qui empêcherait de concevoir, par exempte, que la différence des forces nécessaires pour faire prendre à ces deux corps la même vitesse manifeste seulement que la capacité de mouvement du fer, si je puis ainsi dire, est autre que celle de l'eau? Ce serait un fait du même ordre que celui des capacite'i calorifique», qui consiste, comme on sait, en ce que des poids égaux de matières différentes n'absorbent pas

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DËnNinONS ET AXIOMES. 2T

les mêmes quantités de chaleur pour prendre les mêmes accroissements de température. Mais il est clair que ces considéraiions n'importent pas h la mécanique, qui n'étudie les coips qu'au point de vue des mouvements qu'ils manifestent.

Les masses étant définies égales , comme il vient d'être dit, une masse quelconque sera évaluée et exprimée numéilquement au moyen de sa comparaison avec une masse déterminée prise pour unité. Aiiisi, une masse double, triple, de l'unité de masse, sera la masse d'un corps qui pourrait être décomposé en deux, trois parties, telles que chacune, sonmise au même effort constant, pendant le même temps que l'unité de masse, recevrait la même vitesse que cette dernière. En général, on dira qu'un corps a une masse de « unités, lorsqu'il pourrait être décomposé en m parties égales chacune à l'imité de masse.

16. — Il résulte de notre définition qu'une masse double, triple d'une autre, soumise à une force double, triple, prend la même vitesse qu'une masse simple soumise à une force simple. En d'autres termes, les masses sont proportionnelles aux forces constantes qui, au bout du même temps, leur communiquent la même vitesse. En effet, si l'on a une certaine masse sollicitée par une certaine force, rien n'empêche d'imaginer que cette masse est décomposée en deux autres égales, placées l'une devant l'autre, et que la force provient aussi de deux autres égales, agissant rospecliveinent, suivant la même droite, sur les deux masses partielles. Aux termes de la définition des forces, la force totale, due à la i-éunion des forces partielles, est double de chacune de celles-ci ; de même que la masse totale est double de chaque masse partielle. Doue, une force double sollicite une masse double, comme une force simple sollicite une masse simple.

D'après cela, au lieu d'évaluer une masse en recberchant en combien de parties égales h l'unité on pourrait la décom-

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2H I.tVnE t, — NOTIONS PONDAMENTAir.S.

poser, — sorte de division pratiquement impossible la plupart du temps, — il revient au même de rechercher gtmlle est la force qu'il faut lui appliquer pour lui donner la même vitesse qu'à l'unité de masse- Le rapport numérique de cette force ù celle qui sollicite l'uniléde masse en primo le nombre d'unités que contient la masse considérée. C'est ce qu'où énonce brièvement en disant que la comparaison des masses est ramenée à celle des forces.

17. — H*n*géiiélt« , dcNKilé, Lorsqu'un corps est constitué de telle manière que des volumes égaux de ce corps ont des masses égales, — quelle que soit d'ailleurs lu valeur absolue de ces volumes, — on ditqn'il est A(ïmojè«e. On nomme dentiie ia masse contenue dans l'unité de volume, ou, ce qui revient au même, le rapport constant de la masse au volume. Ainsi, en désignant par M la masse, évaluée en unités, d'un corps bomogènc, contenue dans un volume quelconque V, et par p sa densité, la définition qu'on vient de donner est exprimée par la relation

p = — , ou bien H = p,V.

p i-eprésenle ainsi pour chaque corps homogène un rerlai» nombre constant d'unités de masse, qui est précisément égal à la mesure de la masse l'enfermée sous l'unité de volume.

Les corps homogènes différent entre eux par la valeur de leui-s densités respectives,

J8. — llclérogéa*Ilé, d«nK!lé. Un nomme corps hetA-ogène tout corps qui n'est pas homogène, c'esl-à-dire dans lequel le rap)>ort de la masse au volume n'est pas constant.

Dans un corps hétérogène, on ne peut avoir la notion de densité que par la considération des limites. On se retrouve, à cet égard, dans le même ordre d'idées qu'à l'occasion de la vitesse du mouvement varié (n° ù). On décompose par la pensée le corps en parties d'égal volume, et on suppose que

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la maiièi'e de chacune de ces parties soil rcuiplaccu par uue inntière homogène, qui représente la nM^nie niasse que la matière effective de celle partie du cor]>s. L'ensemble de ces punies homogènes consiiUie un corps imaginaire qui diflërv du corps reci, en ce que , dans une même partie de celui-ci, la densité n'est pas constante comme dans lu partie du corps imaginaire. En faisant ensuite diminuer indéfiniment, suivant leurs trois dimensions, chacune des parties ainsi formées, on finit par avoir un corps qui ne diffère plus du corps réel, et pour lequel le rapport de la masse au volume, dans chaque partie, n'a pas cessé de représenter la densité- En sorte que si AV est un de ces volumes et AM sa masse, la limite du rapport de AM à AV ■■e]>réscnte lu densi te du coi-|>s réel au point cousidéi-é. La relation algébrique qui exprime celte définition est donc :

rfM f ~rfV

ce qui permet de déduire la masse, lorsqu'on connaît la loi suivant laquelle la densité varie an\ divers points de l'étendue du corps : car on a M ^ ( p rf V,

Une remarque, qui n'est pas sans un certain intérêt philosophique, c'est que ta relation qui existe entre la densité, la musse et le volume d'un coi'ps quelconque, homogène ou hétérogène, est identique ù celle qui existe entre la vitesse, l'espace parcoui-u et le temps, pour un mouvement quelconque, uniforme on varié. Ainsi, le chapitre scientifique qui traiterait des trois dernières quantités, dans leurs rapports réciproques, serait textuellement applicable aux trois premières : il suffirait d'y remplacer partout les mots de riteiie, eupace parcouru et lempi par ceux de dentité, matée et volume. On voit, par exemple, que la masse d'un corps, à mesure qu'on en prend des volumes de plus en

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SO LITIŒ 1. — NOTIONS roNDAMENTALES.

plus grands, augmente comme l'espace parcouru au bout de dui'ées de plus en plus prolongées. La même relation existe encoie entre l'accélération , la variation de viteite et le letnpg. Nous en retrouverous plus tard d'autres exemples.

19. — L'nltés de velan« et de nasse. L'unité de volume adoptée en mécanique est le décimètre cube ou litre.

L'unité de masse est celle d'un corps qui, soumis à l'unité de force pendant l'unité de temps, acquiert une vitesse égale à l'unité de longueur.

Pour déterminer la masse qui satisfait à cette condition, il faut évidemment recourir à l'obsei-vation physique ; car rien ne peut indiquer à priori la vitesse que prendra un corps déterminé soumis à une certaine force pendant un certain temps. On doit donc faire une série d'expériences consistant ù rechercher quel est le corps qui, sollî<:ilé par une force de direction constante, d'un kilogramme, pendant une seconde, possède au bout de ce temps une vitesse d'un mètre.

Parmi le nombre infini de méthodes, théoriquement possibles, qu'on avait à employer pour faire cette détermination, on s'est arrêté à la suivante :

Une pi-emière série d'observations, dans le détail desquelles nous n'entrerons pas ici, a montré que la pesanteur est une force constante, c'est-à-dire : 1° que pour un même lieu du globe, l'effort fictif équivalent à ta cause inconnue en vertu de laquelle un corps tend vers la terre, a la même valeur numérique à toute époque de l'année ; S" que le mouvement de chute verticale que prend un corps tombant librement vers le sol suit exactement la loi que nous rccounaitroDS plus tard appartenir aux mouvements produits par une force constante : ce qui permet d'envisager la pesanteur comme équivalente à un effort de même valeur pendant toute la durée de la chute.

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Uoe deuxième série d'obsenratioDS a montré que des corps quelconques, tombant simultanément sous la libre action de Icui-s poids respeciirs, acqnièreut, au bout des mômes temps les mêmes vitesses. On en a conclu (dernier alinéa du n° 16) que les masses des corps sont proportionnelles à leurs poids.

Une troisième série d'observations a montré qu'un corps quelconque, tombant librement, possède, au bout d'une seconde, une vitesse de 9" 80ft8 (mesurée à Paris).

Cela posé, la détermination de l'unité de masse devient fort aisée.

1° Pour soumettre un corps ii une force constante égale à l'uniic, il suffit de laisser tomber librement un corps quelconque pesant 1 kilogramme; 2° puisque la vitesse que ce corps acquiert au bout d'une seconde est de 9"* 8088, il en résulte que si l'on soumettait à la même force de 1 kilogr. une masse 9,8088 fois plus considérable, cette masse acquerrait une vitesse 9,8088 plus faible ; car, ainsi que nous le démontrerons prochainement, les masses sont en raison inverse des vitesses que leur communique la même force au bout du même temps. Donc la masse égale à 9,8088 fois celle qui pèse 1 kilogramme acquerrait une vitesse de 1 mètre.

D'après cela, il reste entendu que l'unité de masse définitivement adoptée est la masse d'un corps gui pète 9 kil. 8088. On peut se la représenter eu disant, par exemple, que c'est la masse de 9,8086 décimètres cubes d'eau.

20. — ExpreasUB nanérlqae de la ■!«■«« d*aB corps quelconque. On a coutume de désigner par une seule lettre, la lettre g, le nombre 9,8088 qni se reproduit fréquemment dans les formules. On dit aussi que g représente Vaction de lapetanleur ; cela signifie que le nombre g représente la vitesse que la pesanteur fait acquérir aux coips

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Z'î LI\RË I. — KOTIO.NS FONDAMENTALES.

au bout d'une seconde, ou qu'il représente le poids de l'unité de masse évalué en kilograninies.

La valeur d'une masse quelconque peut ôtre exprimée très-simplement, en remarquant que, puisqu'un corps reçoit sous l'action de son propre poids une vitesse égale à g, il Ile recevrait qu'une vitesse d'un mètre, si, son poids i-estant le même, sa masse était g fois plus grande. D'où il suit que, M étant la masse effective de ce coips, P son poids en kîlugi'ammes, et g l'action de la pesanteur, on aura

M a ^= P, ou bien M =^ - .

Telle est l'expression qu'on donne conimuiiémcnt â la uiasse d'un corps, et qui montre que la mesure d'une masse quelconque s'obtient eu divisant te poids par le nombre g.

Ainsi, la comparaison des masses, d'abord ramenée (n° 16) à celle des forces constantes qni leur font acquérir la même vitesse, est déQnitîvemcnt raniciice à la comparaison des lH)ids, ce qui offre, dans beaucoup de cas, une grande simplicité pratique-

Lorsque nous considérons des corps qui nous sont inaccessibles, et que nous ne pouvons peser, comme les astres et le globe terrestre lui-même, la comparaison des poids devient sans objet. On ne peut pas recourir davantage à r<-valuatîoii des efforts fictif^ qui sei~jienl capables de produire leui-s mouvements observés. Ou n'arrive alors à la détermination des masses que par des considéi-atious indirectes, qui seront présentées en leur lieu (n" 331). Pour le moment, le mieux est de restreindre la mesure de la nmsso aux corps qui nous entourent immédiatement et qu'il ooiis est loisible de peser.

21. — Avant d'abandonner ce sujet, nous croyons devoir prémunir conti-e certaines idées fausses, analogues à celles qui ont fait l'objet du n' \k.

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ni;Ft\iTIOISS ET AXIOMKS. 3S

La considération Je la pcsauteui' n'est nullement iiidispensiible ù la notion de la niasse et ù sou évaluation. A la vérité le phénomène de la chute des corps graves a fourni un moyen simple et expéditif de déterminer l'unilc de masse et de comparer toutes les masses entre elles. Msis lors m^meque lescorps ne pèseraicntpas, qu'on nous passe lliy' poihése, on concevi'ait des masses égales et inégales par le seul fait des vitesses égales on inégales (pie leur imprimeraient les mi^mes cfforls. Oo pouri-nit déieiminer niic unité de masse en observant la vitesse qu'acquerrait un coips sollicité dans une cei-taine direction par un elTort constant, assigné à l'avance.

Ce serait une autre erreur de croii-e qu'il est évident, en dehors de toute expérience physique, que les masses des corps sont propoilionnelles à leurs poids, ou que la vitesse que leur communique la gravité au bout du mi^me temps doit i^ti'e nécessairement la même pour tous. La mane et le poid» sont, dans un corps, deux manières de se comporter fort disliiides. L'une se rattache à la considération de la force qu'il faut lui appliquer pour le mouvoir, l'autre tient uniquement au genre d'influence que peut avoir sur lui le voisinage du globe. On comprendrait très-bien qu'une espèce de matière très-facile à mouvoir fût très-puissamment attirée par notre terre; et qu'un corps d'une autre espèce prësentùt le phénomène inverse. Alors une grande masse correspondrait à un faible poids. S'il n'eu est pas ainsi en réalité, c'est en vertu de causes qui nous sont inconnues, et dont rien à priori ne pouvait faire prévoir l'existence. H était donc absolument nécessaire qu'une expérience physique dii-ecle vint nous la démontrer.

Quant à la valeur particulière de 9~8088 reconnue comme ou l'a dit plus haut, ponr la vitesse d'un corps qui tombe librement dans le vide à Paris, c'est aussi uu fait d'ol>servaiion dont personne, d'ailleurs, ne conteste le ra-

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3Ù LIVBE 1. — NOTIONS FO»DUI£NTALES.

ractèrc. Mais il ne faudrait pas conclure que si la pesanteni' n'existait pas, et que l'expérience fui faite d'une autre manière, on pourrait trouver une vitesse difTércntc. Il est bien évident au cou traire que si l'on avait, par exemple, sollicité le même corps sur un plan horizontal et sans résistance d'aucune sorte, avec nn elTort de même intensité, on aurait retrouvé rigourensemeiil le même nombre de 9'" S088. Car, pour un même corps, cette vitesse ne dépend que de la valeur de l'effort et nullement de la nature de la cause quelconque qui peut y donner naissance.

22. — Axloflue» raUonHelB*. Kous allons énoncer un certain nombre de vérités évidentes par elles-mêmes, qui ne peuvent pas être démontréespar le raisonnement ou à l'aide d'expériences physiques directes. Elles sont du même ordre que les axiomes géométriques, avec lesquels le lecteur est depuis longtemps familiarisé.

Ùetico força direelement opposées , ^ut s'entre-délnmenl nir un même corps, sont numériqttement égales.

C'est en vertu de cet axiome que nous avons donné le nom de kilogramme aussi bien au poids d'un décimèu-e cube d'eau qu'à l'effort nécessaire pour le maintenir soulevé ; et qu'en général la force qui empêche un coi'ps quelconque de

' Lu qualiilcatioD de rationnels, donnée aux aiiomts, semble k première vue une euper relation. C'est pourtant t (Icïâein que nous en evomfatl usage Ici , pour les dlttérentier plus complélemenl encore de ces »utres vérités non molus Indémontrables par le raisonnement , mais qui s'appuieot aur l'obsenHiion des fails matérJcU.

Nous avions quelque molir d'employer un tel langage, après avoir vu des géomètres recommand ailles appeler axiomes certaines lois do la rature, et notaniDient celle de Vindépendance des mourtmmli.

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tomber librement vers lo sol esl exprimée par le mi^me nombre de kilogrammes que le poids du œrps lui-même.

L'égalité dont il est question dans cet axiome s'applique aussi bien à des forces qui agiraient le longd'une même tige rigide et invariable, à une distance quelconque l'une de l'autre, qu'à des forces agissant directement au même point, et opposées, pour ainsi dire, bout à bout.

Une conséquence immédiate qui en découle, c'est qu'uoe force peut être supposée transportée eu un point quelconque de sa direcUou : car avec ce nouveau point d'application, elle continuera ù détruire une Torce opposée, agissant sur l'ancien point.

Deia; forets qui agissent suivant la mime direction,

au même point ou sur des points invariablmtenl unis de la direction

commune , s'ajoutent nwnériqMtnenl.

C'est pour cela que nous avons regardé une force qui soutient deux, troi» décimètres cubes d'eau comme numériquemenl double, triple de celle qui en soutient un seul ; ou comme provenant de la réunion de deux, trois forces identiques à cette dernière.

Il en résulte qu'autantde forces qu'on voudra, qui agissent suivant la même direction, s'ajoutent numériquement; et que deux, forces de sens contraires se retranchent l'une de l'autre, car la plus grande des deux peut être conçue comme provenant de la réunion d'une force numériquement égale à la plus petite et d'une autre force égale à leur différence : or, la première est déti-uitc par la plus petite des deux forces données : il ne reste donc que cette différence pour agir sur le point.

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Sfi I.IVBF I. — NOTIONS PONtlAMENTArF.S.