CHAPITRE PREMIER

PROPOSraiONS rafiLIMINAIRES.

5à. — Lorsqu'uDe force coasuiotc en grandeur et eu direction sollicite un point malérie), l'accélération est constante.

Soit (f la vitesse ac()uise par le point matériel au bout de la première unité de temps, je dis que la vitesse acquise sera 2<f au bout de la deuxième unité de temps, 3<f au bout de la troisième, et ainsi de suite; ce qui montrera que l'augmentation de vitesse pendant chaque unité de temps, c'està-dire l'accélération, est constante.

En effet, an bout de la première unité de temps, imaginons un autre point matériel à câté du précèdent, et iloiié

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dK la mMe vitesse ^. — Ce mouvoDieiU tie innslalion (f, commun aux deux poinu, ne devra pas, pendant l'unité de temps suivaute, altérer le moiivement particulier que la force donnée imprimera à celui des deux points qu'elle sollicite (troisième loi fondamentale du mouvement). Donc, ce dernier point acquerra une nouvelle vitesse cf par rapport à l'autre, qui possède déjà cette mémo vilesse. Sa vitesse absolue sera donc ^. Un pronverait de même qu'elle sera S(^ aprà» le troisième temps, et en général n^ après n unités de temps.

Contéquencet. — Une force constante en grandeur et en direction prodoit donc un mouvement rectiligne uniformément-varié, dans lequel, par conséquent, la vitesse acquise croit proportionnellement au temps.

Réciproquement, quand un mouvement a lieu en ligne droite et d'une manière uniformi-ment vai-iée, on peut toujours concevoir une force constante convenable, capable de le produire.

Au contraire, une force variable ne saurait engendrer un semblable mouvement.

Pr«p»sllloM deaxléme.

66. —Deux forces constantes en grandeur et en direction sont entre elles comme les accélérations qu'elles imprimemient à un même point matériel.

Soit F une force, tij l'accélération qn'elle communique à un point matériel : je dis qu'une force double 3F imprimera une accélération double S<f, une force 3F nneaccéléi'ation if, et ainsi de suite; ce qui montrera que les accélérations augmentent dans le rapport des forces que l'on choisil.

Prenons en effet denx points matériels éganx, l'un sollicité par la force F, et l'autre par la force 3F. On peut ronsi-

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PROPOSITIONS pnÉLlHINAlItH. 8S

dérer ces deux points commeayanlun mouvemeot commun, celui qui est produit par lu force F; en outre, un de ces points reçoit un mouveneat particulier, qui est produit par la deuxième force F à laquelle il est soumis. Ce dernier mouvemeat s'exercera coaune si l'autre n'avait pas lieu : le point recevra donc, en vertu de ce second mouvement, une nouvelle vitesse (f, égale à celle qu'il reçoit d^à en vntu de son mouvement commua. Il recevra donc finalement, an bout, de l'unité de temps , une accélération totale Sif. On démontrerait de même que , s'il était sollicité par une force SF , il recevrait une accélération triple , et ainsi de salle.

Coméquenca, — L3. vitesse communiquée par la force F, étant représentée par i^ au bout de l'unité de temps, sera égale à <f/ au bout d'un temps quelconque i, d'npi^ la première proposition. La vitesse communiquée par une force nF sera, au bouidu même temps, n^l. Ces vitesses '^t et n^t sont entre elles dans le même rapport qne les accélérations [f et Rtf, ou dans le même rapport que les forces. On peut dooc éaoncer la proposition ci-dessus en disant que deux forces constantes sont entre elles comme les ritcssos qu'elles coaunuoiquent k un même point matériel au bout du mC>me temps.

il ressort également de la démonstration qui précède qtie ]ffi espaces que font parcourir deux forces, an bout du nu^uie temps, sont proportionnels à ces forces.

56. — Nous croyons utile de reproduii'c ici r:irlifice, plus ingénieux que solide, employé par M. Poisson pour se dispenser, à cette occasion , de s'appuyer sur la troisième l(ù expérimentale du mouvement.

Ce savant, après avoir considéré deux forces /'et f, agissant simultanément sur le point matériel, et capables de communiquer isolément à ce point, pendant le temps trèspotit T, des vitesses respectives h et w', énonce que la vitesse

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Sti UVBE II. —'point MATÉBIEL.

produite par rGiis<;mble des doux forces ser» »+"'■ Pour 1p déinonlrer, il fitit le raisonnement suivant* :

« L'augmentation de vites&e dn mobile ne pourra dé n pendre que du temps T auquel elle aéra proportionnelle^ « et de IVtai de ce point matériel, ou, autrement dit, do sa K position et de sa vitesse pendant le même temps t ; ce ne « *0rail donc qu'en influant tur cet élat que l'acllon de « la force /* pourrait modifier la vitesse qui sera produite « par la force f. Or, pendant le temps t, la distance du mo- « bile à un point fixe et sa vitt^se ne peuvent varier que de « quantités infiniment petites, négligeables par rapport à « ceii« distance et à cette vitesse elles-mêmes. Par consé- « quent.la vitesse que produira la force /'pendant cetinter- •I valle de temps t, ne saurait être modifiée en aucune mau nière par l'action simultanée de la force/"; donc, etc., etc.» • Il est immédiatement visible que la première phrase de ce raisoDDement renferme deux pélitions de principe, que nous avons ccriies on italique pour les faire ressortir.

En effet, qu'est-ce qui montre en premier lieu, à priori, que la vitesse produite par les forces combinées fcl /' tera proportionnelle au t&mpt '.? M. Poisson a défini foi-ces eonttantei celles qui donnent des augmentations de vitesse proporUonnelles au temps. Les forees /"et f sont supposées être individuellement des forces consumes. Mais qu'est-ce qui prouve que leur ensemble constituera aussi une force eonttante, c'ost-ik-dire, d'ai^rès la définition qu'il adopte, constituera une force qui pi'oduit des augmentations de vitesse proporiionnellcs au temps? 11 faudrait avoir démontré préalablement que deux forces, eu se combinant, ue portent pas réciproquement altointo ii leur manière d'agir. Or, c'est justement là ce qui est eu question. En second lieu, qu'est-ce qui prouve que ce n'est qu'en infiuant tur la potilion et la

' Traiié dr Méeaniqut, 1. 1", pape.iîl.1 etMilïnnips.

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PROPOSITIONS PBËLIUINA1RES. 85

eitegte du poiut que lu force /" poun-nît modifier la vilessc produilc par lu fuixic f? Aucune coRsidéralion à priori ne permet d'affirmer que les forces /"et/* n'influcnceroui pas 1*601 proquem eut leurs effets, /«arctf/u teal qu'elle* agittent ensemble. C'est admettre une seconde fois ce qu'il faut démontrer.

Aiusi 56 trouve vérifié ce <[ue nous avancions au ii" 57. 0» voit à quels itiogismes ou est forcément eiitiutnê, quand on i-efuse de prendre franchement l'expérience ))Ouf première base des déductions mécaniques.

Pr*pMllloH IrsUiAMe.

57.— La valeur numérique d'une foice constante est égaie il l'accélération qu'elle communiquerait à l'unité de masse ; on peut dire aussi qu'elle est égale à l'accélération qu'elle communiquerait à une masse quelconque, mulUpliée par la mesure de cette masse.

.Soit F une force consiatiie eu grandeur et eu direction, qui agit sur l'unité de masse, et <{' l'accélération qu'elle lui communique. L'unité de force, agîssûnl sur cette même unité de masse, luicommunigire, d'après la définition (n°17), une accélération égale a l'unité de longueur. En vertu de la proposition qui précède, deux forces sont entre elles comme les accélérations qu'elles communiquent à la même masse. Donc la force F, qui oommuniqiic une accélération >\i fois plus grande que celle qui correspond à l'unité de force, est égale ù <^ fois cette unité de force, ce qui est là précisémcut la valeur numérique de cette force F. Ainsi, le nombre d'unités de forces représenté par ta quantité F est égal au nombre d'unités de longueur représenté par la quanlité <^.

Si la force F, au tien de solliciter l'unilc de masse, sollicitait une masse quelconque m, elle lui communiquerait une

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86 LIVRE II. — POIKT HATËRIEL.

accélératioD (^ qui serait m fois moindre ; car les masses étani, par définition, proportionnelles aux forces qui leur impriment la même vitesse, il faudrait une force m fois plus grande que F pour communiquer à la masse m l'accélération qui était tout à l'beure donnée à l'unité de masse. La force F, étant m fois moindre que cette force nécessaire, communiquera donc une accélération m fois moindre à cette masse m. On doit donc multiplier (f par »n pour reproduire un nombre égal ù ^, ou, ce qui revient au même, égal h la valeur de ¥. Ainsi l'on a ;

ce qui est la deuxième partie de la pi'oposition annoncée, et la forme sous laquelle on s'en sort le plus oi-dinairemcnt. Conséquence. — La vitesse V produite par une force constante, au bout d'un temps quelconque t, est égàh à <f/- La relation ci-dessus peut, en conséquence, s'écrire

ce qui signifie qu'une force constante en grandeur et on direction, qui sollicite un point matériel, est égule au produit de la masse par la vitesse acquise an bout d'uu temps quelconque, divisé par ce t«nps. Le produit >nV a reçu le nom de quantité de moitvemenl, expression qui a pour but d'éviter une répélition fastidieuse. D'un auti-e côté, le produit F' a reçu, pour le même motif, le nom d'impultionAo

mV la force. La relation F^=— --, qui peiil se metti-e sous la

forme

Vt = m\,

signifie donc que l'impulsion de la force, au bout d'un temps

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PROPOSITIONS PHËLIUINAIRES. 87

quelconque, est égale à la quaniilé de moiivemeni actjuise par le poiiil malériel.

58. — Des relations niialogues peuvent être établies pour les Toi'ces d'intensité vai-ïable, mats de direction consuinte.

Soit on effet une forée F, dont la grandeur varie à chaque instant. Si cette force gardait pendant l'uniic de temps sa valeni' at-liicllc F, sans augmenter ni diminuer, elle communiquerait nne accélération if, qui, d'api'ès ce qu'on vient de voir, serait liée à la valeur de F par l'équation

Mais cette accélération i^, étant égale au nipportdela vitesse coinmuniqtxk^ pendant un temps quelconque, par la force constante, au temps employé à la produire, a pour

AV

valeur la limite de -r- , en désignant par AV l'accroissemenl

de vitesse qui serait dfi à la force constante. Or, à la limite, la force constante, qui n'agit avec cette intensité constante que pendant tin temps infiniment court, ne se distingue plus de la force variable elle-même agissant pendant cette durée.

AV Par conséquent aussi, l'accéléi'ation limite y-- ne se distingue plus de l'aceéli'ration duc à la force variable, c'est-àdire de l'accélération dn mouvement varié déterminé par la force donnée; or, cette dernière accélération est, comme

on sait (n" 6), repnjscntce par lim xr ou "j; i en appelant V la vitesse eifeetive dn point matériel. Donc, la rela-

subsiste encotv, en considérant que <f y di^igue, non plus une qir;itilile cotiManlc, mais une quaiilile -j-- .variable peu-

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S8 UV8E II. — POINT UATËRIEL,

dant toute la durée de l'action de la force. On laisse ordinairemeut à t^ celle deraîère Torine, et on écrit en conséquence

dt' on peut aussi lu iraiisformei- eu

f¥di = fmd\ = mV,

et énoncer, comme uupuravanl, que l'impulsion esi égale k la qiiaDiilé de mouvement, en appelant impulsion l'intégrale / ¥dt, qui, dans le cas delà force constante, se réduit

11 résulte de celte démonstration que tout mouvement recUiigne varié peut être envisagé comme dû à une force d'inieDsiié variable et de direction consunte. Il suffit, en effet, que la valeur de cette force à chaque instant soit égale à la masse qui se meut, multipliée par l'accélération, à ce même instant, du mouvement donné.

59. — Les relations que nous venons d'établir, pour les forces constantes et variables

(conslanle) F ^= w»tf ;= — ,

dt '

impliquent que l'unité de masse est choisie de manière à ce que, sollicitée par l'unité de force pendant l'unité de temps, elle acquière une vitesse égaie à l'uuité de longueur. C'est la condition sur laquelle nous nous sommes appuyé dans le cours de la démonstration de notre troisième proposition. Peu importe, d'ailleurs, la valeur absolue de chacune des autres unités adoptées.

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raoPOsrnoNs prèumikaires. 89

Si l'onib^ de niasse ne satisTaisalt pas à ceUc condition capitale, les relatious ci-dessus n'auraient plus lieu. La seule chose qu'on pourrait démontrer, indépendamment de toute espèce de choix d'unités, c'est que deux forces sont entœ elles comme les produits des masses qu'elles sollicitent par les accélérations qu'elles leur communiquent. C'est ce qui résulte : 1° de ce que deux forces sont proportionnelles aux accélérations qu'elles communiquent à la même masse; 2° proportionnelles aux masses auxquelles elles donnent la même accélération. Car, soit F et F' deux forces, m et m' les masses sollicitées, ^ et <sf' les accélératioDs produites : si l'on prend une troisième force F" telle que, sollicitant la masse tn, cite lui donne l'accéléi-atioa if', on aura, entre F et F", la proportion

et de même entre F" et F', la proportion

En multipliant terme à terme, il vient

¥:¥":: m<^ : m'ij' ;

rebUon indépendante, je le répète, de toute valeur particulière des unitésde force,de masse, de longueur et de temps. Cette proportion peut aussi s'écrïre :

mV

mT

au même

NoBS voyons par là qu'entre l'impulsion d'une force ei II

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90 UVSB U. — POINT M&TfenlEL.

quantité do mouveaient communiquée au bout d'un temps quelconque, i) y a un rapport numérique constant, le même pour toutes les forces. Si nous appelons K ce rapport, lu relation ci-tles&us sera exprimée en posant, pour une force quelconque t\

F/ = K. mV ;

l'elation qui dilTèi^ de c«lle déjà trouvée au n° S7, en ce que le deuxième nombre y i-enferme une quantité constante K, qui se reproduit pour toutes les forces que l'on considèi'e.

La présence de cette quantité lient préeisi'ment à ce que nous avons laissé les diverses unités de force, de masse, etc. , entièrement arbitraires ; et il est visible que, si nous reprenions celles dont nous sommes coitvcnus de faire effectivement usage, la quantité K disparaîtrait, ou, ce qui est plus exact, deviendrait éj^ale à Ijcar la it'Iation F/:=Km»V, ayant lieu quelle que soit la force considén'e, on peut l'appliquera l'unité de force sollicitant l'unité de masse pendant l'imité de temps. On sait alors, d'après la manière même dont a été «choisie l'unité de masse, que la vitesse acquise est égale à l'unit»- de longueur. La quantité K devant donc convenir au cas où l'un a à la foisF^l, (=1, m^=l, V=l , est ellenni^me égale h i .

Ainsi, pour que K disparaisse de la relation, et pour qu'on iviombe sur celle déjà trouvée

Vt = mV ,

il fjutque F, t, V et m puissent être supposés simultanément égaux à l'unité; ce qui i-evieiit à dire que l'unité de iiiiisse doit être choisie de manière à ce que, sollicitée par l'unité de force pendant l'unih^ de temps, elle acquière une vilcàse égale à l'unité de longueur. Cette condition néccs- Miireest d'ailleurs suffisante; pourvu qu'elle soit remplie, on l>eut donner telles valeui-s qu'on voudra aux unités de force,

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PROPOSITIONS PRËUHINAIUS. 9t

de temps et de longueur, la quantité K n'en Mra pas moins égale à 1 .

Ainsi, la convenance de simplifier la formule F/:=K;nV et de la lanicner à ft==m\, n'introduit que la seule rondilion de choisir l'unité de masse dans une certaine coiTCSpondance des autres uniti«, prises d'ailleui-s arbitrairement. Ou aurait donc pu, sans cesser de satisfaire à cette condition, choisir les unités autrement qu'on ne l'a fait.

A ro propos, qu'on nou* permette une remanjuc, élrangère d'ailleurs à l'objet direct de ce cours, mais qui n'est pas sans un certain intérêt i^rientifique. Nous voulons parler des résuIlHts qu'aurait eus le choix d'un milTe différenl de noire mètre actuel. Si, au lieu de prendre pour celle unité la dix-mi 11 i on niëmc partie du quart du mcridieii terrestre, on a\ ait pris la vitesse acquise, au bout de l'unité (le temps, par un corps tombant librement dans le vide, sous l'action de la pesanteur, on aurait apporté certaines ïimpliricalions aui formules mécaniques. Dans cette hypothèse, l'unilc de masse, au lieu d'élro é^ali' à la masse d'un corps pesant g kilogrammes, aurait été celle d'un cor|is pesant un seul kilt^ramme. Car un tel corps tombant sous son propre poids acquiert, au bout de l'unité de temps, une vitesse égale à g, ce qui serait préciï<ément alors une vitesse égale à l'unité de longueur. La masse d'un corps quelconque aurait ainsi été exprimée numériquement par son poids, et la relation m=— serait devenue simplement m=:P. Par suite, la quantité 9 aurait disparu des formules où elle ligure aujourd'hui perpétuellement.

Pour n'en citer qu'un exemple, la relation ¥=:—— renferme actuellement le nombre d'une manière implicite, puisque? étant le

p poids du point matériel, onam:=— , et par conséquent.

Avei' la nouvdiu unité de longueur dont nous parlons, cette rdalton auraiteu la furme plus simple

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92 UVHE IL — POINT MilTÈRIEL.

Sans multiplier les exemples, il est évideDtquef|doil,ea mécanique, figurer implicitement ou explicitement à peu près partout; car ce nombre est lié inévitablement à la masse des corps considérés, nta^u t|ui intervient dans la plupart des problèmes de mouvement. On aurait donc gagné une simpliâcation de calculs , en même temps qu'on aurait eu une unité de masse plus naturelle i l'esprit; car, il Taut le reconnaître, od songe plutôt à la masse du corps qui pèse l'unité de poids, qu'à celle d'un corps pesant g fois œtl« unité.

11 ne»emble pas, d'ailleurs, qu'il y ait de motif spécial de cliuisi rie mètre comme on l'a fait, plutôt que de l'autre matière. Oo a mis en avant cos deux considérations :

1° Qu'il importaitd'en prendre la valeur dans la nature, afin qu'elle ne fût pas exposée à varier dans la suite des temi»s ; 2* que le mètre actuel a un rapport très-si m pie avec l'ancienne unité de longueur [la loîM vaut sensiblement deux mètres).. Mais il est aisé de voir qu'aucune de ces considérations n'est exclusive au métré actuel. En effet. la valeur de g, vitesse acquise au bout de l'unité de temps, est tout aussi fixe, pour un lieu déterminé, que la dix-millionnième partie de la distance du pôle k l'équalcur. Klle est bien plus facilement mesurable, au moyen du pendule, par exemple, qui fournit, pour un lieu quelconque, la relation

r = »Vj.

en appelant T la durée totale de n oscillations el I la longueur du pen dule. Un en déduit

- re|>résentejuslemenl la mesure delà longueur du pendule, évaluée

en nouveaux mètres égaux à g. Par conséquent, le nombre abstrait

-j-j désigne la fraction du nouveau mètre que représente la Iotw

^eur éfléctive de ce pendule ; ce qui permet, i un moment quelconque, de retrouver le nouveau mètre en fonction de la longueur du pendule qui sert i l'expérience. Ce mèlre varierait naturellement d'un lieu à un autre, puisqu'il est lié au nombre d'osci lirions obseri vées, lequel, pour une même longueur de pendule, dépend du lieu que l'on a choisi. Ces différences entre les mèlre», ainsi calculés pour

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PROPOSITIONS PlfiUMlNAIRES. 93

fé divers paraHèles du globe, ont loiira analoguesi dans les mètres acluela mesuras sur leit raérittiens, puisqu'on sait que tous les mértdiensn'nntpasla même longueur. Les mètreade deux lieux diflerents, calculés avei- un même pendule, seraient d'ailleurs entre eux danttle rapport inverse des carrés des nombres d'oscillations effectuées dans UD même temps. Ce rapport est beaucoup plus aisé à obtenir que lorsqu'il tavA recourir i ta mesure directe des deux méridiens. Quant à la seconde cxtnsi ^ration, nous répondrons que le nouveau

décimètre.

égal à ^: , ou, pour Paris, à 0,9808 du mètre actuel, aurait oETert avec la loiso sensiblement l'ancien rapport {. A vrai dire, nous croyons qu'il vaudrait mieux encore que ce rapport simple n'existât pas, car il contribue â perpétuer le fâcheux usage des anciennes mesures, On ne saurait tirer une objection de ce que, dans ce nouveau système, l'unité habftuelle aurait été inévitablement, non pas le mèlre, mais le décimètre. C'est ce qui a lieu aujourd'hui pour une foule de mesures : ainsi, le kilogramme, l'hectare, le kilomètre, le roillimëlre, sont devenus, pour l'esprit, des quantités aussi simples que leurs unités correspondantes. Le nouveau décimètre aurait eu un râle analogue.

60. — Lorsqu'un poînl luatériel est animé simultanément (l(> deux mouvements rcctiUgnes quelconques, la position au Iwut d'an temps donné, que prend le mobile sous l'influence combinée de ces deux mouvements, est située à l'exti-émité du parallélogramme dont les cAtés représentent respectivement les longueurs qui auraient été parcourues sous l'influence de chacun des deux mouvements, considéré comme s'exerçant seul.

Soit le point M, animé de deux mouvements: l'un suivant M A, qui lui ferait parcourir la longueur MM', sll agissait seul, pendant un ccrlaïn temps ; l'autre suivant M C, qui, au bout du m4>me temps, luiferaitparcourirliiIongueurMP'ije dis que la position qu'occupera ce mobile, en vertu des deux

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flÛ UVRE II. — POIM MATÉBWt.

mouvement», sera en M„ extrémité du parallélogramme construit sur M M' et M P'.

Imaginons en effetun second point N, se mouvant suivant N B d'un mouvement N N' égal et parallèle à celui qui a lieu « -K' Tt suivant M A. Les deux

points M et N, ayant ainei - une translation commune, le premier de ces points, eu vertu de son mouvement particulier suivant M G, prendra par rapport k l'autre la position qn'it aurait prise si le mouve- Pig, 5 meut commun n'avait pas

eu lieu. Il occupera donc la position M,, obtenue en menant M'M,t égal et parallèle à M P'.

Pour toute autre époque du mouvement, la position du mobile s'obtiendra en f;iis:int une construction analogue ; c'est-à-dire en traçant toiyours le parallélogramme dont les deux côtés repi-csentent les deux longueurs parcourues, en vertu de chacun des deux mouvements individuels, pendant le temps considéré. La série des points M,, ainsi déterminés, unis par un trait continu, représente la trajectoire effective du mobile sous l'influence de son double monvemcut recliligne.

Cette trajectoit-e sera en général une ligne courbe. Pour que ce (ùl une ligne droite, il faudrait que la diagonale M M, d'un de ces parallélogrammes fftt en même temps la diagonale de tous les autres, ou que tous les parallélo-

gi-ammcs M M'M,P', Mm'tn,p', construits pour les dl-

vei-ses époques du mouvement, fussent semblables entre eux. Cela reviendraitàdireqtie les longueurs parcourues, au bout d» nil^mc temps, sur chacune des droites MA, M C, sont dans un rapport constant. Par conséquent, t = /"(i) étant

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PROPOSITIONS PRËLIVINAIHKS. B5

a loi d'un des deux mouvemenla rectilignea, eHi = if (0 éuml la loi de l'autre, on aurait g^ ka, ou bien

En d'autres termes, l'une det foncliont aérait égale à l'autre multipliée par un nombre ctynttant. Saufcer.is particulier, Je mouvement effectif ne B«l^ pas rectJligne comme les mouvements pardels.

Remarque. — La même démonstration s'appliquerait encore, si l'un des mouvements, le mouvement suivant M C, par exemple, au lieu d'être rectililigne, s'effectuait suivant une courbe quelconque M S. En elTet la 3° loi fondamentale, sur laquelle nous nous sommes appuyé, n'exige pas que le mouvement particulier qui . s'exerceconcurremmenl an mouvement commun, soit dirigé suivant une ligne droite. La position M, se détermine alors en menant par le point M' un arc de Fig. a. couii)e M'O' M,, égal et

parallèle à t'arc MOP" qui serait décrit en vertu du mouvement particulier s'exerçant seul. Cette position M, di';pend donc encore de la même consli-uction que précédemment ; seulement on doit entendre que le cdté du parallélogramme, correspondant an second mouvement, n'est point la droite parcourue dans ce mouvement, mais la corde men<^ dn point de départ an point l** de lu trajecloiri! M S, o\\ se trouve le mobile au bout du temps considéré. Le mouvement cui-viiîgne n'a pas besoin d'aillcui's d'être contenu dans un m/me plan.

Ctniféquetue* .

1° Deux mouvements rcctiliguea quelconques se crom-

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M LIVRE II. — POINT MATËRIEt,

binent en nn mouvement curviligne, qui a lien dans le m^me plan.

Rédproquemeut, un mouvement curviligne qui s'effectue dans un même plan peut toujours lUre remplacé par deux mouvements rectilîgnes.

S* Supposons que le mobile ait trois mouvements rectilignes dans des directions quelconques. On peut remplacer deux d'entre eux par un mouvement curviligne de même plan, tel que la position est à chaque instaut déteiminéc par la construction parallélogrammique précédente. Le troiùème mouvement recUligne peut être combiné avec ce mouvement curviligne, et donne ainsi un mouvement curviligne tel que l:i position à chaque instant est également déterminée par une construction parallélogrammique. Les deux constructions consécutives, qui donnent la position due à la combinaison des trois mouvements rectîlîgnes, reviennent évidemment à une seule construction, qui serait celle d'un parallélipipède dont les trois côtés seraient les trois longueurs de droites parcourues en vertu des trois mouvements, considérés comme s'exerçant isolément.

Béclproquement, un mouvement curviligne qui a lieu d'une manière quelconque dans l'espace peut toujours être remplacé par trois mouvements dirigés suivant des droites quelconques.

S° £n général, la position d'un -mobile, déterminée par autant de mouvements rectilignes qu'on le voudra, s'obtiendra toujours par la construction polygonale suivante :

On prend une première longueur égale à celle qui est parcourue, au bout du temps considéré, en vertu du seul premier mouvement.

Par l'extrémité de cette droite, on mène une seconde droite ^le et parallèle à la longueur parcourue en vertu du second mouvement;

Par l'extrémité de celle seconde droite, on mène une troi-

n,g,t,7rJM,GOOglC

sièmc droite égale fît parallèle ii la longueur parcourue en vertu du troisième Hiouvcnient ; et ainM de suite pour chacnn des autres mouvemeats.

L'extrémité de b dernière droite ainsi menée représente la position occupée par le mobile sous l'influence de tous sus mouvements rectilignes combinés.

Kéciproquement, un mouvement curviligne qi^elconque peut loujoure èlrc remplacé par autant de mouvements reclilijjnes qu'on voudra, s'exerçant suivant des droites quelconques.

d" Pour que la trajectoire provenant de la série des codstractions polygonales soit une droite, il faut, comme dans te cas de deu\ mouvements, que tous \ps polygones successifs soient semblables entre eux, ou que toutes les fonctions du temps, qui représentent respectivement la loi des divers niouvenienls rectilignes, soient enti-c elles dans des rapports constants.

Remarque. — Les mouvements rectilignes dont la combinaison équivaut à un seul mouvement curviligne sont nommés mouvements compogant», et le mouvement curviligne est nommé mouvement re'êultant. Les propriétés précédentes sont alors désignées collectivement sous le titre iJe loi» de la composition et de la décomposition des mouvements.

autres conséquences.

61. — Nous allons déduire d'autres conséquences fort importantes, relatives aux vitesses.

Nous avons vu plus haut que le mouvement résultant est rectilignelorsqne les fonctions du temps, correspondant aux divers mouvements rectilignes composants, sont entre elles dans des rapports constants.

Il est visible que, réciproquement, si le mouvement résuiUnt est rcctiligne, les divers mouvements composants

,tPrJM,G00glc

sont tels que les fonctions ont entre elles des rapports constants ; ce qui rcvit;nt ù dii'e que tout mouvement i-ectilignc peut être décompose en autant de niouvemcnls recttlîgnes qu*on le voudra, lesquels sont tous liés entre eux et au niouvemcut donné par celte proj>ricté que les Tonctions du temps n'y difTèrent que par la valeur d'un raulliplicaleur constant.

Cela posé, voici les résultats qui en découlent :

1* Si tous les mouvements rectiligues composants sont uniformc-s, c'est-à-dire si le mobile est animé de diverses vitesses constantes dans des directions quelconques, les Toneiions du temps satisfont à la condition susdite, puis- ([■relies sont tontes de la forme « = V/: Donc le mouvement résultant est rectiligne et uniforme ;

S° Si l'on prend des droites qui représentent en grandeur et en direction les vitesses des mouvements composants, et qu'on fasse avec ces droites la construction polygonale qu'on a déjà vue, la vitesse du mouvement résultant sera i-opriisenlée en grandeur et en direction par la droite menée de l'origine du polygone à l'estrémilé du dernier cAté ; ou , en d'autres termes, sera repi-ésemée par la droite qui achève de fermer le polygone.

y Réciproquement, une vitesse peut être remplacée par autant de vitesses qu'on le voudra, s'exerçant dans des- directions quelconques.

N. B. On nomme vitetieê compotantet celles des mouvements composants, el TnVeM^r^ntiFfa/iff celle du mouvement résultant. Les conséquences qu'on vient de Viùr sont connues sous le nom de ioit de fa compotitton et de la déeompoêition des vitetie».

k' Si les vitesses considérées sont vari:ibtes, les lois précédentes ne s'appliquent pas moins intégralement. Car ou sait que tout mouvement, quel qu'il soit, peut être remplacé par un mouvement uniforme, pendant un temps inrinimenl petit (n° 4), ce qui revient à dire qu'on peut, peiidaut uii

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PROPOSITIONS PRÉLIMIK&IItES. 99

momciil, considérer chnctinc des vitesses comme eonstanle. Or alors les lois de la composition et de la dt^composiliou sont applicables. Donc des vitesses variables ont à tout insrani pour résuitaiile mic vitesse représonlëc par le dernier cïdlé du polygone construit avec les valeurs actuelles de ces vitesses, et réciproquement. Seulement, dans ce cas, lu vitesse résultiinlc varie d'un moment à l'autre.

iVoiis ajouterons quelques détails pour les cas de composilion el de décomposition qui se pi-csentenl le plus fréquemment.

1" La résultimie de deux vitesses est égale ù la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux vitesses, el la résultante de trois vitesses est égale à la diagonale du parallélipipède construit sur ces trois vitesses.

Etant donné les valeurs des vitesses composantes et les . angles qu'elles forment entre elles, il est facile d'en déduire, par les théorèmes connus de la géométrie, la valeur de la vitesse résuttantc et les angles qu'elle forme avec ses composantes.

Réciproquement, étant donné la vitesse qu'on veut décomposer, ainsi que les angles formés avec elle par les droites suivant lesquelles on veut la décomposer, on obtieol les valeurs des vitesses composantes.

2° Les cas les plus inl^'i'essanls sont ceux où le parallélogramme et le paraliélipipède sont rectangles.

Soient alors V «ne vitesse i-ésullantc, », «, et w tes S vitesses composantes, a, i et c les 3 angles formés par V avec ses composantes. Les relations dout nous parlons deviennent:

On sait d'aillcui-s qu'entre a, h, c, existe la ix'talion trtgonomé trique

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coe'rt + C08*fr -f- cos 'c = i ;

relatioDqui est évidemment satisfuite dans les Tonnales ci' dessus, puisqu'on a :

Pr*p»8lllcN elaqnl^me.

62. — La résultante de deux Torces constantes, qui sollicitent simultanément un point matériel, est représentée en grandeuret en direction par tadiagonaledu parallélogramme dont les deux c6tés représentent eu grandeuret en direction les deux forces données.

Soit M un point matériel, sollicité simultanément par deux forces constantes P et Q, qui sont l'eprésentées en ^ grandeur et en direction par les deux longueurs M B cl M A. Je dis qu'une force unique B, représentée en gi-andear et en direction par la diagoitale Fig. s. M G du parallélogramme

MBCA, communiquera au point matériel le même mouvement que l'ensemble des deux forces PetQ; de telle sorte que, si ces dernières l'amènent au bout d'un certain temps en M,, la force B, agissant seule, l'y amènera aussi au bout du même temps.

La position M, se détermine, comme on sait, en construisant le parallélogramme dont les deux cdtés MM' et MH représentent respectivement tes longueurs que chacune des forces, agissant seule, ferait parcourir au mobile pendant le temps considéré. C'est là, en eiïet, une application de la pro-

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MOPOSITIONS PHÉLIMINAIKES. 101

position IV", puisque chacune des deux forces P et Q, étant consume en gi-andeiir et en direction, commnniqiierait un certain mouvement reciiligne ; d'où il suit que le mouvement dû à la combinaison des deux forces est précisément ce q«e nous avons nommé mouvement résultant de deux mouvements rcctilignes.

Je dis, en prem ier lieu, que celle position M, esi sur le prolongement de In diagonale MC, ou que les cAtés du parallélogramme MM'M,H sont proportionnels aux côtés du parallélogramme MBCA. C'est ce qui ressori de la démonstration donnée au u" 55, où l'on a vu que les forces constantes sont proportionnelles aux espaces qu'elles font parcourir à un même point matériel pendant le même temps : donc les longueurs MM' et MH sont proportionnelles aux forces P et Q, et, par suite, aux longueurs IVI B et M A qui représentent ces forces.

Cela posé, nous devons prouver que la force R, agissant seule, amènerait le mobile au même point M,. En effet, une force constante, capable de ce mouvement, devrait : l" être dirigée suivant MM,: 2» ivoir, avec les forces P et Q, le même rapport qui existe entre MM,, MM' et MH, puisque ces trois longueurs sont celles que font parcourir respeciivement trois forces constantes au bout du même temps. La force en question aurait donc aussi, avec les forces P elQ, le même rapport qui existe entre MC, MB et MA. Donc enfin celte force en question est précisément celle qui est représentée en grandeur et en direction par la diagonale MC du parallélogramme MBCA.

Remarque. — Il ressori de la même démonstration que le mouvement résultant de l'action des deux forces P et Q est un mouvement rectilîgne, comme chacun des mouvements composants.

Autre remarque . — Celte démonstration s'appliquerait encore si lepoinlM, en mémetemps qu'il est sollicité parles

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102 L1VBE 11. — POINT UATËRIEL.

deux forces, étail en outre animé d'une certaine vitesse dans une direction quelconque. Car ou sait, d'aprèâ la 3* loi fondamentale, qu'une translation quelconque est sans induence sur les mouveoients particuliers. On pourrait donc imaginer un second point matériel, ù c6té du premier, et animé de la même vitesse que lui. Le mouvement que le point donné prendrait par rapport à l'autre, cl qui serait dû uniquement i l'action des deux forces, ne serait pas influencé par cette vitesse commune. On recourrait alors à ta démonstraiion précédente, et on pourrait remplacer les deux forces par la diagonale de leur parallélogramme. Quant a la trajectoire elfeclive de ce point matériel, elle ne serait plus rectiligne, puisqu'elle serait déterminée, non-seulement par la force résultante, mais aussi par une certaine vitesse. Le mouvement pai-ûcuiier dâ à la résultante est bien rectiligne, mais le mouvement qui provient de sa combinaison avec celui qui est dû à la vitesse est curviligne; cette trajectoire est d'ailleurs nécessairement contenue dans un même plan, d'après ce qui a été dit à ce sujet au n" 60.

Cmuéquence*.

1° Deux forcés constantes peuvent toujours être remplacées par une seule, située dans le même plan. Réciproquement, une force constante peut toujours être remplacée par deux autres, situées dans le même plan.

2° Supposons que le point matériel soit sollicité par trois forces constantes, dans des dii'ections quelconques. On peut remplacer deux d'entre elles par leur résulunte, et cette résultante, avec la troisième, peuvent également être remplacées par nue nouvelle résultante, laquelle n'est autre, d'après ces deux constructions successives, que la diagonale du paralléltpipède qu'on aurait tout d'abord couslruit sur les trois forces données.

Réciproquement, une force constante peut totijours être

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PBOPOSITIONS PHÊI.IMINAIRES. 103

remplacée par irois autres dirigées d'une manière quelconque dans l'espace.

30 Eq géncml, la résultante d'autant de forces constantes qu'on le voudra s'obtiendia toujours par la construction polygonale suivante :

On prend une première longueur, qui représente en grandeur la première force donnée;

Par l'extrémité de celte droite , on mène une seconde droite égale et parallèle h celle qui représente la seconde force;

Par l'extrémité de cette seconde droite, on mène une troisième droite égale et parallèle à celle qui représente la troisième force ;

Et ainsi de suite pour chacune dos autres forces données.

L'extrémité de la dernière droite ainsi menrâ, jointe à l'origine de la première, forme une longueur qui i-eprésenle en gmndeur et en direction la résultante de toutes les forces, c'cst-à-dtre une force unique capable de communiquer au point matériel exactement le même mouvement qui! prendrait sous l'action de toutes les forces combinées.

Il est à remarquer que ce mouvement est essentiellement recliligne , puisque les polygones qu'on construirait pour avoir la position du mobile à tout instant sont semblables entre eux, comme ayant leurs cûlés respectivement propoi'- (ionnels aux forces constantes données.

Réciproquement, une foi-ce constante peut toujours èlre lomplacée par autant de forces consumtes qu'on voudra, dirigées d'une manière quelconque dans l'espace.

Remarque. — On peut construire une infinité de polygones qui aient tous le dernier cdté commun. La force représentée par ce dernier côté sera toujours la résultante des foices rci)résenlées par les autres eûtes. D'où il ressort qu'une infinité de systèmes de forces constantes sont susceptibles d'avoir la même résutianto. H suffît pour cela que

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chacun des polygones construits pour ces divers systèmes parle du même point et aboutisse au même point. Ainsi, un point matériel peut èli-e sollicité par une infinité de systèmes de forces constantes, qui soient tous équivalents entre cnx, c'esl-à-dire qui produisent tous le même mouvement.

Autre remarque. — Si le point matériel, en même temps qu'il est sonmis à l'action de diverses forces constantes, se trouvait aiiiiné d'une certaine vitesse acquise, toutes les conséquences précédentes subsisteraient encore. Il y aurait amplement à remarquer que le mouvement déttiiitirno sérail [rius reclilignc, puisqu'il serait déterminé non-seulement par la Torce constante unique, qui est la i-ésultuute de toutes les autres, mais aussi par une certaine vitesse non dirigée en général suivant la même ligne droite. Ce mouvement définitif est d'ailleurs nécessairement situé dans le plan delà vitesse initiale c( de la force résultante.

N. B. Les forces que l'on combine sont nommées compolanles, et les résultats ci-dessus sont pi-éseiités sous le titre de loit de la compOMtiim et de la décompoiitioH lie» force» conulante».

Avtreê eoniiéqiieHcei.

G3. — Supposons actuellement que les forces données, au lieu d'être constantes en gruDdeni- et en direction pendant toute la durée de leur action, varient au contraire perpétuellement avec le temps.

Nous avons vu que le mouvement dû à l'une des forces variables ptlut être considéré comme la limite du mouvc- ■neni constitué par une succession de mouvements uniformément accélérés , de durées indéfiiumcul décroissantes (n" 68) j ce qui r'cvient à dire, en tei-mes plus abrégés, que \i force variable peut ^tre considérc'e, à un moment qnel-

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PROPOSITIONS PBÉLIHINAIRES. lO,'!

conque, comme constante eo grandeur et en direcUon pendant un lemps infiniment petit.

On peut donc, à un moment quelconque, rechercher la résullanle d<!S forces variables : celles-ci sont alors conçues comme gardant, pendant un temps inRniment court, la grandeur et la direction qu'elles possèdent effectivement à llnstant considéré. Les raisonnemeats du unméro qui pré-» cède, appliqués à ce cas, montrent qne toutes ces Forces variables peuvent élrc remplacées par une force unique, qui demeurerait constai)te pendant un temps infiniment petit, et qui serait repi'éscutéc en grandeur et en direction par le dernier côté qui ferme le polygone construit sur les longueurs représentatives des forces données.

A toute antre époque du mouvement la résullanle s'obtiendrait de la mthue manière, mais u'aui-ait pas la mi-me valeur, car les eûtes du nouveau polygone, représentant les grandeurs et les directions des forces à ce nouvel instant, ne seraient plus les mtïmes, puisque ces forces vanent d'un moment ù l'autre. Par suite, le dernier côté de ce polygone aumit une longueur et une situation différentes.

En résumé, quand on parle de la rt'siillante de foites variables, il faut entendre que celte résultante est une force qui varie sans cesse, conjointement avec les composantes elles-mêmes, et que sa valeur et sa direction sont données à tout moment par la construction polygonale effectuée pour les valeui-s des composantes à ce même moment.

It n'en découle pas moins :

1' Qu'autant de forces variables qu'on voudra, qui sollicilenl simultanément un point matériel, peuvent, pendant toute la durée de leur action, être i-emplacées par nnc force imique, qui varie elle-même en correspondance des composantes ;

2° Qu'une force variable quelconque peut être rcmptacf'c, pendant toute la durée de son actionj par autant de forces

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106 LIVRE 11. — POINT MATÉRILL.

viiriables qu'on voudra, dirigées d'une mauière quelcouque d;iiis l'espace, et noiammcnt par trois forces variables constamment dirigées suivant trois droites choisies arbitrairem(M)t qui se coupent en un même point.

N. 13. On ne pourrait pas remplacer une force variable par deux autre» force» nenlemetu, dirigées constamment suivant les mêmes dioites; car une telle décomposition, qui correspond au parallélogramme, exige que la résultante soit dans le même plan que les deux composantes, tandis que la force considérée, clanl variable de direction, ne peut rester dans un même plan avec les deux droites choisies pour la décomposition ; dilTiculté qui n'existe plus quand on prend troit droites, puisque la diagonale du parallélipipède, qui correspond à la résultante, peut avoir toutes sortes de directions dans l'espace.

Il ressort encore de là :

3° Qu'il y a une infîuïic de systèmes équivalents de forces variables qui peuvent solliciter un point matériel ;

ii° Que lonl mouvement d'un point peut être envisagé <-omme dû à l'action d'une force unique. En effet, ce mouvement, quel qu'il soit, peut êlic remplacé par trois mouvements rectîiignes variés, suivant trois droites qui se coupent. Chacun de ces mouvements rectilignes peut être produit par une force unique, variable de grandeur, dirigée suivant la droite du mouvement, et dont la valeur à chaque instant est déterminée par la n'iaiion

eu appelant v la vitesse de ce mouvement rcctiligne (n° 58). Or, les trois fondes variables qu'on a ainsi peuvent être remplacées par une force variable unique ;

5" Que, lorsqu'on clirrciie les forces qui sont capables d'engendi'er le mouvement effectif d'un point matériel, le

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PROPOSITIONS PBËUMINAIBES. 107

prublèiiic, cuufunnéoieot à ce qui n <^u^ annonoé au n' 51 , e&i nt-cessaircment indëtermitié, en ce sens qu'il y a une iiiliiiiii' de sysièmes de forces pouvant produire ce mouvenieni j maU tous ces sysièmes ont une même résultante, et ce qii'uu se pi'opose de (It'lcrmiiier, c'est pl^■■cisémcul cette n'sultante unique, d'où tous les autres systèmes équivalents se déduisent ensuite aisément par des constructions polygonales dont la susdite i-ésull^nte Tormc le dernier cùié.

N. B. Let loi* de la eompotition et de la de'compositiott deg force» con»tantet s'appliquent donc intégralement aux forces lariablet, considéi'ées à un moment quelconque de leui' action.

On fuit un usage fréquent des formules relatives à la décomposition d'une force unique, constante ou variable, eu trois autres, dirigées suivant n'ois droites rectangulaires. Ces formules, entièrement semblables à celles qui concernent les vitesses, sont les suivantes :

X»-|-Y*+Z'. co««=^, cosê.--

dans lesquelles P est la force unique, X,¥,Z ses trois coniposantes, et a,ë,-/ les angles qu'elle forme avec elles.

Autre» coti»equetioe'.

GU. — Deux sysièmes de forces équivalents, appliqués eu sens contraire sur un même point matériel, se font équilibre. Je veux dire pur laque, si deux groupes de foi-c<.-s sont séparément capables de communiquer le même mouvement à un point matériel, et qu'on vienne à appliquer ces deux groupes simultanément, en ayant soin de faire agir chaque force de l'un d'eux en sens contraire de sa direction primitive, le point matériel ne sera pas influencé par la présence de ces deux groupes, qui s'entre-détruirout exactement.

lOe UVRE 11. — POINT MATÉHIEL.

En effet, les deux groupes priinîtirs, étant équivalents, peuvent être remplacés par une même résultante unique, laquelle est le câté commun des deux polygones correspondant aux deux gfoupes de forces. Si actuellement on prend en sens contraire toutes les forces de l'un d'eux, et qu'on recommence la construction polygonale corrospondaiit h cette nouvelle sitiiaiion, on retombera sur un polygone égal au précédent, mais parfaitement symétrique, et dont le dernier côté sera égal et opposé an dernier côté déjà trouvé. Les deux groupes en question, appliqués on sens contraires, oatdonc des i-ésultantes égaleset opposées, lesquelles s'entre-détrnisent nécessairement (n° 32).

Ainsi se trouve démontré le tliéorêmc que nous énoncions et qai renferme toute la ilatique deaforeei concourra nlcM, c'est-à-dire toutes les propositions relatives uux conditions d'équilibre que doivent remplir des farces appliquées à un même point matériel pour être s;ins influence sur le mouvement de ce point. Il est aisé d'eu déduire les résultats suivants :

1° Lorsque des forces se font équilibre sur un point matériel, leur résultanle totale est nulle, et l'une quelconque d'entre elles est égale et direciement opposée à la résntlanle de tontes les autres. Car les forces données, moins une, peuvent être considérées comme constituant un système équivalent et de sens contraire à cette dcrn ière force. Or ce système est réductible à une force unique : celte résultante est donc égale et opposée à la force laissée de càté.

2* Quand les forces eu équilibre sont au nombre de ti-ois, chacune d'elles est égale et directement opposée à la diagonale du parallélogramme construit sur les deux autres. D'où il suit que, si deux des tmis forces sont égales, la direction de la troisième est bissectrice de leur angle, et que, si les trois forces sont égales, l'angle de deux quelconques d'entre elles est égal au tiers de quatre angles droits ou à

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PROPOSITIONS PBËLlMtNAIRIiS. 109

120*. — Dans tous les cas, les trois forces en équilibi'e sont daDs un même plan.

3* Lorsque qnutre forces sont en équilibre, chacune d'eltvs est égaie et directement opposée à la diagonale du parallclipipède construit sur les trois autres.

Tous ces énoncés s'appliquent évidemment aux forces variables aussi bien qu'aux forces constantes. Il est seulement bien entendu que toutes les forces variables sont prises h un même instant de leur durée.

65. — M. Poinsot, dans son Traité de italique si justement célèbre, a entrepris de démontrer toutes les propositions de l'ifquilibre, et en particulier celles que nous venons de présenter, sans s'appuyer sur les lois fondamentales du mouvement. Dans notre exposition, la filiation est facile à saisir, puisqne les vérités de l'équilibre sont déduites de la composition des forces, laquelle dérive du parallélogramme des forces, qui n'est lui-même qu'une application directe de la troisième loi fondamentale. Le grand géomètre que nous citons, privé volontairement de la base expérimentale, établit la proposition du parallélogramme des forces par des considérations purement abstraites, dont l'insuflisauce est et doit être manifeste, comme on va s'en convaincre.

Pour montrer que deux forces qui sollicitent simultanément un point matériel ont toujours une résultante, M. Poinsot s'exprime ainsi* :

« Ou conçoit bien qu'une troisième force, appliquée conu venablement au même point, pourrait f^ire équilibre aux « deux forces données; car, en vertu des efforts combinés « de celles-ci, le point matériel tend à quitter le lieu oii il « est. Or il ne peut * échapper que d'un seul côté, et par « conséquent, si l'on applique une force convenable, eu « sens contraire, ce point demeurera en équilibre. Les trois

' Éièmtnli dt Sfafiifuf, page 17.

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110 LIVRE 11. — POINT UATERIBL.

« forces ctunt ainsi en équilibre autour de ce poiut, la force « qu'on a introduite est égale et directement opposée ù la « résultanlc des deux autres. Donc deux forces qui concou- « rcnt ont une résultante, h

L'invalidité de cette argumentation est sensible ; car, de ce que le point ntatériel ne peut t'e'chapper que d'nn teul côté, pourquoi conclure qu'une force nniquc, en sens contraire, le maintiendra au lepos? Nons n'avons aucune idée, à priori, du monvemeni qui peut êti-e piXHluït por l'action simultanée de deux forces, cl nons sommes en droit de penser que ce mouvement, que deux forces produisent, deux forces aussi sont nécessaires pour l'empêcher. En sorte que la seule induction qui semble évidente, en dehors de l'expérience, c'est que deux auti'es forces, respectivement égales et opposées aux deux forces données, mettront le point matériel en équilibi'c. A lllrmer qu'une force unique est capable de cet effet, c'est admt^tlre implicitement que le mouvement quelconque, que la force imique doit emp<''cher, pourrait ôire réalisé lui-mt%e par une force unique. En d'autres termes, c'est admettre que les deux forces données ont une résultante, vérité qu'il s'agit justement de démontrer.

11 y a plus, c'est que l'argumentation ci-dessus, appliquée à d'autres cas, conduirait tout aussi légitimement à des résultats absolument faux. Prenons en effet un point matériel qui, en vertu d'une cause quelconque, parcourt une ligne droite. Qu'est-ce qui nous empêche, en considérant le poiut à une époque quelconque, dé reproduire le même raisonnement et de dire : >< Ce point, eu vertu de son mouvement, « tend à quitter le lieu où il est uctuellement ; mais il ne « s'échappe que d'im seul cùté ; par conséquent, si l'on ap- <• plique une force convenable en sens contraire, il demeu- " rei-a en équilibre, n Or, précisément, il n'y a pas de force au monde qui puisse empêcher le point de s'échapper du côtcoù il s'échappe effectivement! car, pour cela, Ufaudi-ail

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PBOPOSITIUNS PRÉLIMINAIRES. lll

détniiro sa vitesse actuelle, et .lucune force ne peut détruire relie vitesse avant que le point n'ait eu le temps de quitter, si peu d'ailteui's qu'on le voudra, la position où on t'a considère. Pour faire usage de l'argunieut, il faut donc spéciflcr que ce n'esl pas la tertdance quelconque que peut avoir le point à quitter le lieu où il se trouve, mais que c'est seulement la teiidaitce npéeiale due à l'influence dfS furcrs qui le sollicitent. De tulles distinctions reviennent à fuii-e appH à lotîtes les notions e\péiîmentales que nous avons déjà

Propttslllttn sixième.

66. — Si l'on projette sur une droite le mouvement quelconque d'un point matériel, ainsi que la force qui le Sollicite, il existe entre l'accélération et la force de ce mouvement ainsi projeté, la mi^me relation qu'entre raccélératioii et lu force d'un mouvement absolu en ligne droite ; c'est-àdire que la projection de la force esl égale à la masse multipliée par l'accélération de la projection de la vitesse.

Kappelons d'abord quelques définitions de la gcomctne.

On aotDiDe projectto» d'un point sur une droite le pied de la ligne menée de ce point à celte droite, parallèlement à un plan donné àUplan directeur. La projection d'une droite sur une autre est la longueur comprise sur cette dei-nière entre les projections de ses deux extrémités.

Les projections sont dites orthogonalet lorsque le plan directeur esl perpendiculaire à la droite ; dans tous les autres cas, c'est-ù-dire quand le plan fait un angle quelconque avec la droite, les projections sont oblique».

Rappelons enfin que la projection d'une longueur sur une droite est la même si on l'cileclHC sur toute autre droite parallèle.

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112 LIVBE II. — POIKT MATÉBIEL.

Cela posé, soit A S la courbe quelconque décrite par le point malériel, et M sa position ù uo certain moment. Soit au mt^mc moment M T et MP deux longueurs représentant en grandeur et en direction, l'une la vitesse Y du mobile, l'autre la force Pqni agit sur lui :

— la vitesse est dirigée, comme on sait, suivant la X tangente à la courbe ; — soit enfin L H la droite quelconque sur laquelle le mobile est projeté à clinque insUnt, parallèleniciit à uu plan donné.

A l'instant considéré, ta projection de la vitesse V du point alériel a une ccrtahie valeur U, et par suite l'accélération à ce même instant du mouvement projeté est représeutée par

-y- \ pareillement la projection ]i.k de la Torce P a une cer-

tame valeur Q ; je dis que, tn étant la masse du mobile, ou aura la relation

En effet, par l'origine du mouvement , menons une droite OX parallèle fi LH, et un plan DD parallèle au plan directeur.

Dans ce plan, traçons deux droites quelconques OY et OZ.

On peut considérer le mouvement du point matériel comme dû à Uxtis mouvements reclilignes, s'exerçant respectivement suivant OX, OY et OZ (n" 60) ; au point M, la vitesse'V du mobile est la résultante de trois vitesses diri-

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PBOPOSiTIONS PBÉLIMINAIRES. 113

gées suivant ces mêmes dmites, et In relation qui exîslc entre la vitesseV etWvitesses composantes, c'est qne la première est la diagonale du parallélipipède construit snr les trois autres (ii* 61). Oi', prendre le câté du parallélipipède dirigé suivant OX revient précisément à projeter sur lui la diagonale, parjllèlcmenl à la face qui coudent les deux autres cdiés, c'est-à-dire parallèlement au plan D D. D'oii ressoi-t, soit dit eu passant, que les composantes d'une vitesse ne sont autre chose que ses projections, estimées de la même manière. En second lieu, ta force P a également pour composantes trois autres forces dirigées suivant les mêmes droites OX, OY, Z ; la compositiou s'effectue aussi par une coiislmction parallélipipédique, qui montre que les composantes d'une force ne sont autre chose que ses projections. Ces deux points établis, nous savons que chacun des trois mouvements rectilignes s'exerce comme s'il était absolument seul et indépendant des deux autres. Or, pour le mouvement rectiligne snivanlOX, comme en général pour un mouvement rectiligne quelconque, la force est égale à la masse multipliée par l'accélération (n* $6). Mais cette accélération

est égale à -rr , puisque les projections d'uue longueur sont

les mêmes sur la droite L H ou sur la droite parallèle X. SemUablement, la force de ce mouvement rectiligne est égale à Q. Donc on a la relation

^ dt

Remarque».

1' Ce théorème n'est que la généralisation de celui qui avait été démontré spécialement pour le mouvement rectiligne. II est d'ailleurs évident qu'il le contient comme cas

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11& UVRE 11. — POINT HATÉBIEL,

particulier; car, si le mouvement esl recUligne, il qu'on pi'eiine les projections sur la droite de ce mouvemenl luimême, U n'est autre chose que V, et Q n'est autre chose

que P. Par suite, la relation Q=:m--^ n'est auti% chose que

S* Quelle que soit la position 4ks deux droites Y ei Z, pounu qu'on les ait menées dans le planDD, les valeurs de la composante de la vitesse et de la composante de la force suivautOX ne sont nullement changées. Car, dans le parallélipipède dont la diagonale est constante , la longueur d'un cAlé quelconque ne change pas, pourvu que la face des deux autres cdtiis garde la même inclinaison. La valeur des composantes suivant Y etOZvaric, il est vrai, avec la direction de ces lignes ; maïs la résultante partielle de ces deux composantes reste la mCme.

3° Nous n'avons parlé que d'un« teule forée appliquée au mobile ; mais la proposition n'en a pas moins une entière généralité ; car, s'il y a des forces en nombre quelconque, oo peut toujours les remplacer par leur résultante unique.

jivire remarque. — Si la vitesse variable V est à un instant donné la résultante de plusieurs vitesses v,v',v".... ikisast avec la droite OX des angles respectifs a, a', a", on aura à cetinstantU=PCosa-Hî'co8o'-l-r" 0080-'' + ..., parce qu'on sait, d'après la géométrie, que la projection du dernier cdté d'un polygone est égale à la somme algébrique des projections de tous tes autres cAtés. Donc on aura aussi

rfU if(DCOsa) d(i''cosa') d(ti"cos(i"}

Tt- Â ' Jt "•" dt +

Mais diacune de ces quantités représente raccélération de chacune di's vitesses projetées ; donc l'accélération delà vitesse totale projetée est égale h. la somme algébrique des

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tKOPOSlTlUhS flttLDIlAAlHES. 115

accéléraiions des vitesses composDDies également projetées. rfU "Tt ' «^^

égale à la uiusse multipliée par cliaciinc des aecéléiniiaos des vitesses composâmes projetées.

Cmiiequfiifti. ,

67, — 1" Supposons qu'on prenne les pi-ojcciiuus sur lu direction de la tangente MT à la eourbc, parallèlement à un plan perpendiculaire îi cette di'oiie. La projection U de la vitesse n'est autre que celle vitesse V elle-même.

Quant à la projection Q de la force, on peut la considérer comme une des <:omposantes de celte foi"co qu'on aurait décomposée en 4eux autres : l'une suivant cette tangente, l'autre suivant l'intersection du plan T M P avec nu plan parallèle au plan directeur, mené par le point M. La composante suivant M T est nommée composanic (atigetitieUe, et l'autre composante normule. En désignant, suivant les usages adoptés, la composante tangeutielle par X , la relation générale Q = wt -T^devienl :

relalioii qui est pivcisémeni celle qui aurait lieu pour un mouvement rectïligne, dont la vitesse serait la vitesse t^lTeo tive du mobile sur sa trajectoire curviligne, et la force une composante, prise ù chaque instant suivant la tangente, de la force effective appliquée à ce mobile.

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116 LiVItE 11. — PUIM .VATÊMU..

Il en résiilic :

Que la vitesse du mobile sur la courbe est due uuiquemciit fi In coniposainc tatigcnliclle , et par suite que la Imigucur lie l'nrc parcouru au bout d'un temps quelconque est égale à la longueur de droite qui sérail décrite dans un mouvement l'ectîiîgne, sous l'iuSiienee d'une foi'cc représentée à cbaque instant par lu vnlenr numérique de cette composante tangentiellc.

2° Prenons actuellement les projections sur la direction de cette deuxième- composante que nous avons appelée normale.

Kemarquons d'abord que cette composante est située dans le plan osculateur de la couii)e au point M , c'est-à-dire dans le plan qui contient à la Tois la tangente MT et l'élcnient de conrbe infiniment petit qui fïiit suite au point M. C'est ce qui ressort de ce que la susdite normale est contenue, par hypothèse, dans le plan mené par la droite M T et par la dlixiction de la force P ; car un tel plau contient nécessairement l'élément de courbe suivant. Cet élément est en eRct la ligue du mouvement résultant qui a pour mouvements composants pendant l'instant dt : 1" le mouvement dû àla vitesse V; 2* le mouvement dû à l'action de la foi-cc P; or la composition a lieu par un parallélogruinmt; infiniment petit, dans lequel la diagonale, qui est la ligne du mouvement résultant, est située dans le plau des deu!L autres Gâtés.

Cela posé, voyons quelles sont les valcui-s des projections de la vitesse et de la force stu* cette droite normale.

Lu projection de la force n'est autre, avons-nous dit, que sa deuxième composante, que nous représenterons pai- N.

Quant à l'accélération de la vitesse projetée, elle prend la

forme -~^ , puisque la projection de la vitesse est nulle sur une dix)ile perpendiculaire à sa direction. Mais, de ce que

n,g,t,7rJM,GOOglC

PEOPOSmotiS PnÉUMINAlBtS. 117

cette projeclioH est nultv, il ne s'ensuit pas quv son accvléraiion ou la limite ilu mpporl de son ucctoisscmcnt uu t«iBps soit également nnlle. Pour trouver ce rapport limite, employons nne méthode fort usitée, qui consiste A prendre la projection sur une droite M N' un peu différente de M N, et il voir ce que devient In quantité quand celte droite se confond avec M N. Soit r, l'angle que fait la vitesse avec M N'. La projection est alors V cos n, et raccvlération, par rapport à lu droite AIN', est

,. , rf (V cos y) .rfV „ rf cos «

^ ' dt dt dl

Ur, si l'on mène trois axes reclangnlaiivs quelconques,

auxquels on suppose que ta courlie suit (^éumélnquenient

rapportée, et si l'on représente par ),',(;t' tlv les trois angles

de MN' avec ces axes, on sait, d'après les tliéorèmes de la

géométrie, qu'on a

dx -, du , dz ,

cos /, := 3- cos >. + :r- cos u + -j-cosv, dl ' di '^ ds

,dx .du .dx

, dy- d-^ d-T-

Or, dans le second membre de cette égalité, on peut, d'après le piiucipe bien connu du changement de variable in-

, dji ,dx

dépendante, remplacer-^ par -^ X j2 i *' ^^ même

pour les deux autres termes.

CoHséquemment

n,g,t,7rJM,GOOglC

118 LIVRE It. ~ POINT HATËRIEL.

Un 3 VU en gt-onicd'ic que, pour ixi point qiieloan<|iie d'nae courbe, on a enlie les coordonnëes de ce point, la longueur du rayon de courbure p, et les angles >, u, v de ce rayon avec les axes, les relations :

CM

axf.