CC

<sy.i

:os/ + Gosvcosv')

Par suite, la relation (1) se change en la suivante, eu remarquant d'ailleurs que par déPinilion ^ := V :

(cOs). COS V+ C08 fjt COS fA'+ COS 1/ COS v^.

(/(Vcosr,) dV V

— i— j i==COSTi-j-H —

Actuellement, si l'on suppose qne la droite M N' se con- Tond avec M N, les angles /.', ^, '/, ne sont autres que ceux que fait cette dernière droite avec les mêmes axes coordonnés; mais cette droite, qui est située à la fois dans le plan oscuiatcur et dans le plan normal à la courbe mené par le point M, est pécisément le rayon de courbure, et fait par conséquent avec les axes des angles X, p, v. Donc, à la limite, quaud la projection est prise par rapport » la direction de la composante normale MN, on a :

COS /, = 0, X' ^ À, a ;= u, v' = v ,

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raoposmoHs pnËiiMiivAiBËS. 11!>

et conséqnemment

dt p '

puisque la quantité cos' > + cos*a+cos* v = l.!

Ainsi ta valeur de la composante normale N est liée à la vitesse par la relation :

Ce qui nous moittrc -.

1* Que, pour une vitesse déterminée, la valeur du rayon Je courbure , c'est-à-dire la courbure de la trajectoire quelconque effectivement décrite par le mobile dépend unique* ment de la valeur de la composante normale, dont l'action consiste h produire llnflexion successive des clémonts de la courbe j

? Que, lorsque cette composante est nulle, le rayon de courbure est infini, et par suite le mouvement s'efTeciitc en ligne droite ; ce qui doit être, puisque l'hypothèse d'une composante normale nulle revient h dire qnc la force est dirigée dans le sens même du mouvement;

3* Que, lorsque cette composante est constante, la qnan-

tite — est constante aussi : si donc la vitesse ne vane pas,

p est constani, et la courbe déente est nécessairement un ■ cei-clc.

68. — Ce qui précède jette un grand jour sur le rôle delà force qui sollicite un point matériel , dans un mouvement quelconque. On voit en ciTct que celte force, quelle que soit d'ailleurs sa direction par rapport à la courbe décrite, peut, h chaque instant, ftre remplacée par deux autres, situées dans le même plan ef dirigées, l'une suivant la tangente à la courbe, à l'instant considéré, et l'autre vers le centre de la

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120 LIVRE II. -~ POINT HATfillEL.

ooiirbo oa suivant soii rayon de conrbnre. Ces deux compos^iitos, tangenliclle et noimalc, constituent un système de forces qui équivalent à la Torce donnée, c'est-à-dire qui d^tennineni le même mouvement par leur action combinée. Mais chacune d'elles a son genre d'influence bien distinct. La première, qu'on pourrait justement nommer compoiatile motrice, produit seule la progi-cssion du mobile sur la courbe, conçue comme assignée à l'avance. La seconde, qui pouri-ait être nommée eompotante d'm/lexioii ou de déviation, sert uniquentenl ù détoui'iier le mobile de la ligne droite qu'il décrirait naturellement en vertu de la loi d'inertie, et ù le ramener sur les éléments de courbe d'où il tend sans cesse à s'éloigner. Selon sou intensité plus ou moins grande, elle détermine des inflexions plus ou moins roides, mais demeure absolument étrangère à lii vitesse du mobile et à la longueur qu'il parcourt. En un mot, celte composante a pour effet de pousser constamment le mobile vers le centre de la courbe qu'il déci'it effectivement. Pour ce motir, on lui a donné le nom de forée centripète, qui a prévalu sur celui de force d'inflexion, qui, au Tond, signifie la même chose.

On emploie une autre locution qui consiste ii dira que le mobile est animé d'une force eentrifirge égale et contraire à la force centi-îpèle. Réellement, il n'y a pas de f»rce qui, en cette occasion, soit appliquée au mobile pour l'éloigner du centre : on exprime seulement par là que, pour l^ire décrire au mobile la courbe qu'on a en vue, il faut lui appliquer une certaine force centripète. Les choses se passent comme si, dans un mouvement en ligne droite, on avait à combattre effectivement une force qui s'opposerait à ce mouvement. Mais ici nous ne combattons aucune résistance du point matériel : si nous sommes obligé de faire intervenir ectie force, ce n'est pas parce qu'une force étrangère nous résiste, mais paive que nous voulons nous-mème produire un nouvel effet, qui est de changer le coui-s du mouvemonl.

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PBOPOSITIONS PBËLIUINAIBES. 121

Aussi, dans c«tte locution de forae centrifuge, on ne devra voir qu'une abrévUlioii destinée à fuire comprendre que, pour Ikire décrire au mobile la courbe cou&idéi'ée, il fuul lui appliquer à chaque instant une force Gentri|>ële égale et opposée.

ïtemarque. — T^ relation T^m-j- nous montre qu'au

bout d'un temps quelconque la quantité de mouvement du mobile est égale à l'impulsion de la composante tangentielle. Elle est moindre par conséquent que la quanUlé de mouvement qu'aurait produite la foi-ce totale si elle avait agi en ligne droite pendant le même temps. Ainsi, lorsqu'on veut communiquer à un mobile la plus grande vitesse possible, il faut le mouvoir en ligne droite; ce qui est d'ailleurs évident à priori, puisque la construction dn pclil parallélogramme, qui à chaque instant coi'i'cspond aux accroissements de la vitesse, donne la résultante la plus grande possible quand ce parallélogramme se réduit îi une ligue droite, car alors la diagonale est égale à la somme des deux cdtés.

£n général, on peni dii'e que toute lu portion de la Torce qui n'agit pas dans b direction même du mouvement est absolument perdue pour la vitesse.

Û9, — Autre remarque. — Nous avons dgà eu occasion d'énoncer que, loi-squ'on cherchait les forces capables d'un mouvement donué, on pouvait se proposer de tronver une foule de systèmes équivalents, mais qu'en général on se bornait spécialement à la l'cclierche de l;i résuliantc unique, quand il s'agissait d'un point matériel.

Nous avons dit égalemeut qu'où dérogeait à cette règle lorsqu'on connaissait à l'avance l'existence d'une ou plusieurs forcesqui conlribuaient au mouvement. D'après ce que nous venons de voir sur la décomposition en composante tangentielle et composante centripète, on pourra élre conduit à rechercher dit^ctemeut, non pas la résultante unique qui est capable du mouvement, mais l'une de ces deux corapo-

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122 U¥IIB U. — roiMT MATtRIEt.

sanles, si l'existence de l'autre est connue à l'avance. C'est ce qui aurait lieu, par exempte, pour un point matériel lié h aoe courbe donnée sur laquelle il devrait demeurer, tout en poorant d'ailleurs glisser librement sur elle. Dans ce cas, on conçoit bien que la courbe, par la résistance qu'elle offre à ce que le point s'en ccliappe, agit comme une composante centripète, cl que consëquerament une force tangentielle doit suffire à déterminer le monvcment. Ce qu'on se proposera alors de trouver, ce sera cette Torce langentieile ellemême, et non la Torce unique totale représentant l'action combinée de cette composante et de la résistance de la courbe, résultante dont la considération serait d'un bien moindre intérêt.

De la rcpréMBUlUa «IgéfcrlfMe 4m ^Maptlléa coaiMérécB *m Méesyl^ve.

7a. — Avant d'entreprendre la solution des problèmes rriaii^ au monvement, nous croyons devoir donner quelques développements sur la manière dont sont représentées dans le calcul les diverses quantités considérées.

1' Position d'un point.

Cette position, ainsi qu'on l'a vu en géométrie, se représente au moyen de coordonnées, dont le nombre, qni est constamment de trois, correspond aux trois dimensions qne notre esprit attache invinciblement à la conception de l'espace. Quel qne soit le mode de coordonnées adopté, quelles que soient les conditions particulières qui détenninent la position du point, il est facile de voir qne cela revient toujours en définitive à assigner la longueur interceptée snr chaninc des trois dimensions de l'espace. Entre ce mode im-

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PROPOSmONÊ PRÉLIMINAIRES. 123

médiat de déterminer le poiat et les autres modes qu'on peut employer, il n'y a jamais qu'une pore question de transformation de coordonnées, qui ne saurait porter atteinte aux rc&nltais obtenus arec l'emploi de telles ou telles coordonnées particulières.

Parmi tous les systèmes possibles, on a adopté de prérérencc les axes rectangulaires, qui ont l'avantage de donner aux équations une Torme algébrique plus simple. C'est ce dont on se rend compte immédiatement en considérant, par exemple, la relation qui existe entre la diagonale et les trois eûtes du parallélipipëde, suivant que ce parallélipîpède est rectangle ou oblique. Dans le second cas, la relation est compliquée par la valeur des angles que les différenles arêtes forment entre elles, angles dont les éléments Irigonométriques disparaissent quand les trois côtés sont rectangulaires.

Il demeure doue entendu, ù moins de stipulation contraire, que le système de coordonnées est un système de trois axes reclangulaïres. Le nombre de ces axes se réduit h deux quand le point se trouve assigetli à se mouvoir dans nn plan donné, et à un sent quand le point se meut le long d'une droite donnée.

Ces coordonnées sont d'ailleurs positives ou négatives, conformément aux règles de la géométrie, c'est-à-dire affectées du signe pfu» ou du signe moin», suivant qu'elles sont comptées, à partir de l'origine, dans uti sens ou dans l'autre de l'axe.

Trouver la position d'un point à chaque instant de son mouvement, c'est trouver pour chacune de ses coordonnées nne équation telle que

qui fasse connaître la valeur de cette coordonnée pour une valpnr qnelronqnp du temps. Dès loi-s on aura à loat moment

,tPrJM,G00glc

12f| MVRK 11. — POieiT MATÉRIEL.

les trois coardoonées du poini, c'est-fi-dire la position qtill occupe dans l'espace.

S' Nature de la Irajecteire.

Une courbe quelconque esl, comme on sait , exprimée p9r deux équations, ronolion des trois coordonnées, qni sont de la forme

ou bien

Ces lieux équnlions se l'éduisent d'ailleurs à une seule lorsque la trajectoire est une courbe plane.

On les obtient aisément au moyen de celles qui fout connatti-e la valeur des coordoniu'>es en Tonctions du temps. Il suffit d'climinoi' t entre les équations

x^fit], y = (f{r). z = -/{,).

On a alors des relations qui conviennent au\ coordonni'es du mobile, d'une manière tout it Tait indépcndantedu temps. En d'autres termes, ce sont les équations de la trajecioii-e, abstraction fUite des circonstances d'après lesquelles elle a été décrite,

3' A iiette.

ha grandeur absolue de la vitesse s'exprime au moyen d'une équation qui fait connaître sa valeur pour une époque quelconque du temps. La connaissance de cette vitesse découle immédiateuienl de la connaissance des coordonnt^si car dans tout mouvement , quelles qu'en soient d'ailleurs les

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PROPOSITIONS PnÉLIMISAlilES. 125

causes , lu vitesse V est égale à ^ , en désignuiit par t la

loii{ïiieur de trajectoire parconnie; et, cotDine^,y,z, sont

des fonctions du temps, « et par suite ^ sont au66i des fouc

lions du temps.

La direction de la vitesse, qui est précisément la direction de la tangente à la courbe au point considéré, se représente par les angles qu'elle Tait avec chacun des axes. La valeur de ces angles se déduit elle-même des coordonnées du mobile, car on saitque, siajA, c désignent respectivemeutlesangles rormés par la tangente avec les axes des ;r, des y et des 2, les cosinus sont déterminés par les formules

cos b:

dans lesquelles X, y, ^ et« sont, comme on a vu, des fonc* tious du temps.

Km reste, les angles ci-dessus ne constituent en réalité que deux inconnues distinctes, puisque leurs cosinus sont liés entre eux par la relation géométrique foudamentate :

cos* a -+■ ces' b + cos' c = \.

La grandeur de la vitesse et sa direction constituent donc en totalité trois inconnues distinctes.

Souvent on les remplace par les produits

VcoSd , Vcosô , Vcosc,

qui ue sont autre chose que les projections ou les composantes de lu vitesse absolue suivant les axes, et qui représentent les niâmes incoimues. Cette substitution ne change pas les conditions, puisque les produits ci-dessus permettent de déduire chacune des quantités V, a, h et «.

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126 LIVRK 11. — K>ih'l MATÉRIEL.

Les lignes ti'igonométriques des angles , et par suilc les trois produits , ont des signes positifs ou iicgaiifs selon la valeur des auglcs eux-mêmes , conrormémciii aux règles de la irigonoméii'iu. Quant a la vitesse en elic-mi-^me , elle est toujours, de sa nature, essentiellement positive. Si l'on arrive a l'envisager comme u<-galive et ù l'aBecter en eonséqucacc du signe moins, c'est qu'elle a alors une direction diamëU-alement opposée el qu'elle est cens<';o multiplîi-e par le cosinus d'un angle de 180°, cosinus qui a pour valeur — 1. Sauf ce cas particulier, oii le cosinus est sous-cntcndu, la vitesse reste toujours positive, et le véritable signe, dans les formules, est amené par celui de lu ligne trigoiiométrique qui l'uffeete.

k' Force.

La grandeur absolue d'une force quelconque est, comme celle de lu vitesse, exprimée par une équation telle que

qui, pour toute valeur du temps, fait connaître la valeur correspondante de la force. Si celle-ci ne vai-ie pas de grandeur pendant la durée de son action, /"(f) se réduità une quantité constante.

La direction de la force se représente d'une manière semblable à celle de la vitesse, au moyen des li-ois angles «,6, y que cette direction fait avec les axes coordonnés.

Semblablement aussi on remplace la force et les angles de sa direction par les produits analogues

V cma , P cos 6 , P cos y,

11 est d'ailleurs également visible que les quatre quantités P, X, S el y ne rcpréseuteut eu réalité que trois inconnues distinctes.

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raOPOSlTlONS l<KËLlHlNAlil£S, 127

Noils aurions lea ménoes remarQues à faire sur le signe de la force, qui est toujours en elle-même esseDliellemcnt positive, et qui est afiéctée par le signe du cosinus qui la multiplie, ou par la quantité soua-eoteudue — 1 dans le cas d'une direction diamétralemoit opposée.

71. — Nous ferons une observation sur la manière dont nous traiterons les problèmes généraux du mouvement.

Quelle que soîl la question a étudier, on n'en restreint pas la généralité en supposant, dans le calcul, que le point n'est sollicité que par une seule force. Car nous avons déjà vu que toutes les forces qui peuvent agir simultanément sur un point matériel sont susceptibles d'être remplacccs par une force unique , qu'on appelle la résultante, et qui produit exactement le même mouvement que toutes les forces données elles-mêmes. Cette résultante est d'ailleurs connue si les autres le sont, et elle s'y rattache au moyen de la construction polygonale qui fait l'objet de la 5* proposition. Nous pourrons donc toujours supposer que le mouvement considéré est dû à cette force unique.

Inversement, nous pourrons dans nos calculs remplacer la force unique par telles autres forces qu'il nous plaira, u condition que le système de ces dernières ait la force unique pour résultante.

En un mot, les équations trouvées entre un système de forces et le mouvement correspondant conviendront également , et sans y rien changer, h tout autre système , choisi seulement de façon à avoir la même résultante que le premier.

Cela posé, nous étudierons le mouvement d'un point matériel d'après la nature de la force qui le sollicite.

En premier lieu, nous considérerons une force, constante ou variable en grandeur, mais constante en direction, parce que le mouvement qui en résulte est rccUlignc.

En second lieu, nous considérerons une force de direction

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variable, ce qui correspoad au mouvement le plus général possible, c'est-à-dire au mouvement curviligne.

DaDS chaque eus, nous examinei'ons comment le mouvement se trouve modiflc lorsque le point matériel, an lieu de partir du repos, est déjù en possession d'une certaine vitesse initiale au moment où la force commence à agir sur Inl.

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