Supposons que la force donnée soit constante

Dans ce cas la quantité — swt dessous le signe f dans h»

équations (â) et (5)^ et, en effectuant les intégrations trèssimples I dt, 1 I dfi, ou obtient :

Le premier rfeultat, qu'on peut écrire sous la tonat de

ment dans la 3* proposition.

Le second nous montre :

Que l'espace parcouru sous l'action d'une force constante croit proportionnellement au carré du temps ;

Que deux forces constantes sont entre cites comme les espaces qu'elles feniient parcourir it un même point matériel au bout du même temps ;

Que les niasses de deu\ poiiils matéiiels sont inversement proportionnelles aux espaces que leur ferait parcourîi' uue même force constante au bout du même temps;

Que l'espace parcouru pendant un temps quelconque sous l'action de la force est égal ù la moitié de celui que parcourrait le mobile si, en vertu de sa seule vitesse acquise, il continuait ù se mouvoir pendant une nouvelle période égale à la précédente. — £h effet ce second espace parcouru est

représenté par —tx.t=—P=2i. — D'où résulté que l'ac-

ccléi'atîon est égale au double de l'espace parcouru pendant la première unité de temps ou au double de l'espace par-

iM,Googlc

132 LIVRE U. — POINT MATÊHEt.

couru au bout d'un temps quelconque, divisé par le cari-c du temps.

Ce dernier résulut peut être étendu aux Torces variées, pour les espaces paixourus pendaut des temps inAniment petits. En effet on peut, pendant ce temps-lù, envisager la force comme constante, en sorte que, si a est la longueur infiniment petite parcourue an bout du temps élcmeu'

p taire t. et <p ou — l'accélération, on a

Remarque. — La proportioanalité des espaces parcourus aux carrés des temps employés à les parcourir a permis de cpnstaler que la pesanteur est une force constante, ou , ce qui est d'un langage plus rigoureux, que la chute verticale libre des corps dans le vide s'effectue comme si une force constante les sollicitait.

La pesanteur étant donc équivalente à une force constante, les formules (6) et (7) donnent la valeur, au bout d'un temps quelconque, de la vitesse acquise et de la hauteur de la chute.

nent ainsi :

y = gt, j = i y(» ,

74. — Nous allons reprendre acluellcinent l'examen du mouvement rectiligne en général et déduire les conséquences que fournissent les équations qui s'y rapportent.

Les deux relations fondamentales que nous avons établies sont, comme on sait, les suivantes ;

n,g,t,7rJM,GOOglC

MOUVEMENT BECTIUGNE d'ln POrST LIRrE. 133

La rclaiion (1), qui a déjà été envisagée directement au 11° 67, amontt'é que fa quantité de mouvement acquise au bout d'uu temps quelconque est égale h l'impulsion de la force pendant ce niéiue temps, eu appelant respectivement quantité de mouvement et im.puhion de la force le produit mV et l'intégrale / Vdt prise depuis le départ jusqu'au

bout du temps considéré /.

Ce résultat est susceptible d'élre généralisé eu ce qu'il convient à une période quelconque du mouvement, non comptée à partir de l'origine. En effet, considérons deuiL durées t^ et /, , dont la seconde est supposée plus grande que la première : soient V« et V^ les vitesses acquises correspondantes. D'après ce qui précède, on aura :

d'une part, «iVo= T'Prf* ,

et d'une autre, »»V, = | Vdt .

Retraucbons la première équation de la 3* ; il vient : my,—my^=r'Bdt—r'Pdl=r'pdt.

Ce qui signiHe :

Que la quantité de mouvement gagnée entre deux époques quelconques est égale à l'impulsion de la Torce pendant la période intermédiaire.

N. B. Si la viiesse Y, était moindre que V^, c'est-à-dire si le mobile s'était ralenti d'une époque à l'autre, il y aurait eu perte de la quantité de mouvement, et l'impulsion delà force serait négative. On énonce cette proposition en termes généraux en disant que la variation de la quantité de mouvement pendant une période quelconque est égale à l'impulsion de la Torce pendant cette même période.

La quantité de mouvement représente véritablement l'im-

n,g,t,7rJM,GOOglC

en ap))elantt, la diDërence t, — *o, et prenant pour variable iiKiépendante la diflféreDce t — („ •

De niCmc, pour une deuxième période égale, de A à 'i , où la force agit en sens contraire, on a :

4Sf| UVRE II. — POINT HATÉRIIU:,

pulsion de la force, emmagatinée en quelque »orte dan* le eorp». Car, si l'on vient à appliquer au mobile iiiic force égiile et contraire à celle qui l'a sollieitc tout d'abord, et pendant an même temps, le mobile perd une quantité de monvemcnl égale à celle qu'il avait gagnée. En elTet, pour une première période comprise entre /« et f, , on a

mY,~'myt = Ç'v dt =r Pdt ;

nce t, — *o, et prenant ïrence t — („ • deuxième période égal* contraire, on a :

mV, — ïhV, = — r'prfi == — f'pdT,

d'oùen ajontdnt :

m V, — m Vo = et myt=m\t.

Ainsi, à un moment quelconque, la quantité de mouvement du point matériel peut régénérer l'impulsion qui l'avait produite.

Equation de ta force rive.

75. — On obtient uue relation très-remarquable et d'un usbge général, comme nous le verrons par la suite, en éliminant le temps I entre les formules (1) et (S).

Cette élimination s'effectue simplement en divisant ce» deux formules l'une par l'autre, ce qui donne,:

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MODVEMEaT BECnUGNE o'VHf POIST LIBHE. 4S5

Or, d'après les principes conons du calcul différentirr, le rapport des dérivées ~^ > j: t '>ù V et « sont des fooc-

lions explicites du temps, est égal au rapport ^ , oil V et <

sont dos ronctioDS implicites du temps : en sorte que rê<[iialion ci-dessns devient :

qn'on met ordinairement sons la forme :

d'otr, en iatëgrant par rapport i» « et V cmisidërées comme vat^ables indépendantes,

(1) f'pd>==in

relation qni ne renferme pas le fempê explicitement.

Il en résnile qne, si la valeur de la force P peut **tre exprimée directement en fonction de la longueur parcourue i, au lieu de IVHre en fonction dn temps, le premier membre

/ Pd» deviendra une certaine fonction de «, et on pourra

oonséqucmmcnt déduire la vitesse de la longueur parcourue, ou réciproquement ; sans qu'il soit besoin de connaître la loi suivant laquelle la vitesse on la longueur parcourue varie avec le temps: connaissance indispensable dans le cas ordinaire, oit l'une des quantités V et « ne peut être obtenue en fonction de l'autre, au moyen de la relation y== j^t

que si la quantité connue est assignée par sa fonction du temps. Ainsi la relation (1) ci-dessus sera d'un immeusc se-

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i36 LIVRE 11. — POINT HATËMEU

cours toutes les fois que la Torce sera exprimable en foDCtion de la positiou du mobile.

Il ne faut point s'étonner que l'esprit humain ait été conduit à chercher dans les phénomènes mécaniques une relation qui fut indépendante du temps ; bien qu'au premier abord cet élément, plus que tout autre, semble s'y rattacher inévitablement. L'étude même du monde extérieur a dû enseigner cette singulière abstraction. Nous y voyons en eiïet que la plupart des forces naturelles sont indépendantes du temps, ou , pour mieux dire , que presque tous les mouvemenls de l'univers se produisent comme s'ils étaient dus à des forces qui, au lieu de varier avec le temps, dépendraient uniquement de la position géométrique des corps considérés. C'est aiusi que la force de la gravitation ne dë|)eud que des distances mutuelles des asti'cs, que les actions moléculaires ne varient qu'avec l'écartement des molécules, que la force d'eX' pansion des gaz ne varie qu'avec le volume où ils sont renfermés, ce qui revient à dire que celle force est fonction de la distance. Il n'y a que très-peu de phénomènes qui fassent exception à cette loi : on peut citer eu premier lieu les actions développées par les êtres animés, actions dont l'afl^iblissement graduel est connu sous le nom de fatigue : on peut citer également les actions dues à la chaleur, qui variait presque toiyours d'intensité d'un moment à l'autre, parce que l'agent inconnu qui les détermine est progressivement modifié par le milieu environnant. Néanmoins, nous le répétons, la plupart des causes mécaniques sont, de leur nature, ïudépendantes du temps, et, par cela même, ont dû de bonne heure faire sentir l'utilité de relations où le temps ne figurerait pas. C'es^t pourquoi l'esprit s'est arrêté ù la combinaison précédente, qui, sans les circonstances naturelles dont nous parlons, n'eût été qu'une vaine opération logique, sans efficacité pour l'étude des phénomènes réels de l'nni- Yera.

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UOUVEME74T UCnUGNB D ON POINT LIBBB.

La relation

étant d'un grand usage en mécanique, on a désigné, pour abréger, par un nom parlieulier chacune des deux quantités qui y figurent.

L'intégrale | ?di, qui est supposée piîse par rapport à «,

s'appelle le travail de la force.

ht produit ',m\*5'appe]]e la force rive du pot ni Tttalériel.

Voyons quelle est l'origine et le sens véritable de ces deux dénominations.

i- Travail.

76., — Ce mot n'a évidemment pas le sens qu'on lui aitribue dans le langage ordinaire, lorsqu'on dit , par exemple, d'un homme qu'il aime le travail, qu'il fait de grands travaux, etc., pour dire qu'il aime à s'occuper utilement, que son activité produit de grands résultats ou qu'il a de grandes conceptions, etc. Ce sont lu autant d'acceptions philosophiques du mcrt travail, qui n'offrent aucuue analogie immédiate avec l'intégrale qu'il doitreprésenler ici. Mais il est un ordre d'opérations sociales pour lesquelles l'analogie va apparaître. Je veux parler des travaux industriels, de ceux surtout qu'on apjf>elle souvent travaux mécaniques. Pour peu qu'on réiléchissc sur l'ensemble des opérations matérielles auxquelles se livre l'industrie, on reconnaîtra qu'elles consistent presque invariablement à faire parcourir un certain etpace à une certaine force. En veut-on des exemples? Prenons, je suppose, de la bouille à extraire du fond d'un puits : qu'est-ce autre chose q«c faire parcourir à une certaine force, qui est le poids de cette houille, un ceruia espace, qui est ta hauteur du putts^ Vous remorquez un convoi de chemin de fer :

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n'est-ce pas encore une certaine Torcc, qui est ta rësislancc du train, à laqnelle vous faites parcourir une certaine longueur? Qu'on alèze des métaux, qu'on enfonce des clous, qu'on scie du bois, c'est toujours une force qui parcourt un espace; et toujours, ne l'oublions pas, une force qui est iidépeudante du temps, et qui, si elle n'est pas constante, dépend uniquement de la position des corps considérés.

Ces exemples nous montrent que les travaux industriels consistent bien en ce que nous avons énoncé, c'esl-à-dtre qu'ils sont lottjour* compoae'i, itune certaine façon et excluiivetnenl , de force» et d'eipaeei parcouru».

J'ajouterai maintenant que cette composition de force et d'espace est précisément celle que représente l'intégrale

/ Vd$, ou, pour mieux dire, que c'est cette intégrale qui

mesure la valeur vénale du travail obtenu.

Considérons en effet d'abord une force constante : Soit de la honilie à extraire du fond d'un puits. Qu'est-ce qui dctermiiic la valeur sociale, le prix dit travail? C'est bien évidemment : 1" la quantité de liouille ù extraire ; 2' la hauteur on il faut l'élever. Je puis même dire que le travail sera double si la quantité de houille est double ou si la profondeur du puits est double. En deux mots, le travail sera à la fuis proportionnel an poids et ft l'espace parcouru : il sera mesuré par Px*, Pétant ce poids et* cet espace. —

D'un auli'c côté, voyons ce que devient notre îutégrale j Vd»,

dans l'hypothèse d'une force constante : elle devient précisément Px».

Ainsi, ce que nous avons appelé travail dans notre formule algi'briqne représente bien le travail de l'industrie sociale.

Que si maintenant nous considérons un travail industriel où la force est variable, nous aurons encore à signaler

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MOUVEMEKT BECTILIGWE D'UM POINT LIBBE. !89

la même analogie. Car snpposons que la force, aU lien de Tarier d'une manière continue le long de l'espace parcouru, ainsi que cela se passe efTecUvemetit, varie an contraire par soubresauts, c'est-à-dire demeure constante le long d'une ft^ctlon du parcours et ait ensuite une valeur différente pendant la fraction suivante ; le travail total sera ëvidemmcnl exprimé par la somme de tous les travaux partiels correspoudanl aux diverses fractions du parcours. Nous passerons de ce ti'avail imaginaire au travail réel en concevant que ces fractions diminuent individnellement de pins en pins, en sorte que finalement le travail en question n'en autre que la somme limite de tons ces travaux partiels. Or, parallèlement à cette conception, la formule algébrique est

interprétée de même : car l'iutégralc / Pdi représente précisément la somme limite de tous les produits obtenus en multipliant la valeur de la force en chaque point du parcours par la longueur infiniment petite de ce parcours parliel. Donc encore ce que nous avons appelé travail dans le calcul correspond h ce qu'on entend par ce même terme dans l'industrie.

Ces considérations nous montrent pourquoi l'on a été confluit h affecter h ime quantité purement analytique un mot déjà consacré dans le langage ordinaire pour désigner certaines opérations matérielles. Mais cette analogie ne doit pas nous donner le change sur le caraclère véritable de l'intégrale introduite ainsi par le calcul. It y a nécessairement une foule de cas où cette expression algébrique ne peut avoir aucune signification relative à nos travaux proprement dits. S'il s'agit, par exemple, de In force équivalente à la gravitation ou qui pourrait déterminer le mouvement d'une planète, il est bien évident que le produit de cette force par l'espace parcouru, produit que nous continuons, en mécanique, ù appeler travail, ne correspond h aucun travail

rmn-n-.;GoOg\c

tftO LIVRE II. — POINT HATÊMBL.

induêtriel réaliKable. En résumé doue on doit se borner à envisager ce mot de travail comme uac appellation abréviative de l'intégrale qn'on a vue, mol clioîsi d'ailleurs de pré- Çéreoce à tout autre, parce que, dans beaucoup de cas, l'intégrale qu'il désigne représente juslemcnt ce qu'on nommait déjà ainsi dans nos opérations ind ustrielles.

2" Forée rive.

77. — Danscetie locution les mots ont un sens qu'il importe de préciser. Celui de force n'est point le même qu'on a spécifié an n° S, et qu'on lui donne toujours quand on s'en sen isolément Ici force signifia travaif, absolument comme on dit d'une machine qu'elle a une grande force^ pour exprimer qu'elle est susceptible de produire un grand travail. Le mot vive a un seus emprunté à certaines locutions du langage ordinaire, où il est synonyme de mmivement, comme loi'sqn'on dit une eau rive pour désigner une eau en moiirement.

Ainsi force vive signifie exactement travail qui te meut on travail en mouvement. Itcste à expliquer pourquoi on a désigne ainsi en mécanique le produit ^mV. La raison on est simple : c'est parce qnc celle quantité {m\* l'eprésenlc numéi'iquemeiit, d'après la relation du n° 75, le travail qu'a effectué la force pour communiquer au mobile la vitesse qu'il possède actuellement; et parce que, en outi'e, si, à ce mobile doué de la vitesse V, on applique une force égale et de sens contraire à celle t]ui lui a communiqué celte vitesse, le mobile sera rameué au repos après un parcours égal au premier, et.parconséquent, après uti second travail égal et de sens contraire à celui qui a été fait tout d'aboi-d. Acceptons pour nn moment celte vérité, que nous démontrerons bientôt (il' 78). Il en résulte que le mobile, doué de la vitesse V, équivaut au travail même qui lui a imprimé

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MOUVEMENT RECnUGNE O'UIV POI»T LIBRE. iM

celte vitesse, on, en d'autres termes, que le mobile apporte avec lui, dans son mouvement, le travail primitif incorpore. C'est pourquoi )a quanlité ^mV, qui, en vertu de la relation du D" 75, est numériquement égale au travail efTectnë, est appelée forée vive, pour exprimer qu'elle repi-ésente ce travail en mouvement, susceptible d'être régénéré au moment que l'on voudra.

Remarque. — Certains auteurs appellent force tire, non pas ^mV, mais le double de cette quantité, c'est-à-dire mV*.

Une telle définition est véritablement inexplicable, car alors les mots force vive, affectés à celte quantité, ne peuvent plus signifier travail en mouvetnetit, et n'ont plus par conséquent qu'un sens arbitraii'e, sans aucun rapport avec celui que leur donne l'ctymologie.