La relation

fj'^-'-

s'éuouce, avons-nous dit, de la manière suivante :

Le travail d'une force sur un point matériel est égal à la force vive communiquée ^ ce point.

C'est là une relation analt^ue à celle du n* Ift, consistant en ce que l'impulsion d'une force sur un point matériel est égale à la quantité de mouvement.

Ainsi le travail joue, par rapportàla force vive, le même rôle que l'impulsion par rapport à la quantité de mouvement. On peut dire aussi que, des deux quantités mV et îmV*, l'une mesui-e l'action de la force dans le temps, et l'autre son action dans l'espace. '

L'équation de la force vive donne lieu aux mêmes conséquences que l'équation de la quantité de mouvement. Nous allons les déduire successivement.

1* Le travail d'une force, pendant un parcours quelconque,

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1A3 UVBE U. — POINT MiTÊftlËL.

non compté depuis le départ, est égal à l'accroissemenl de force vive peodaDi ce méine parcours.

Car û >, et ', sont deux longueurs parcourues, comptées depuis le départ, >, étant plus grand que <„ on a d'une part:

P */j = i m V,' i et d'antre part :

Bctranchous la première équation de la deuxième . "*'? dj = i m V,' — 1 m V„' .

Si la force vive diminuait au lieu d'augmenter, le second membre serait négatif, et le premier le serait aussi par conséquent : alûi's en elTet la force P agirait en sens coniraire de sa direction primitive, puisque d'une position à l'autre U vitesse se trouverait rnieiilie : cette force P, et par suite

l'intégrale / Prf» serait aHecU-c du signe moint.

D'une manière tout à fait géoérale, l'équation de la force vive s'énonce :

Le travail d'une force, entre deux poiitions quelconques, est égal à la variation de force vive entre ces deux mèoics posilioDs.

On laisse quelquefois l'équaiion sous sa forme différentielle

P rfï = d ( î m V» ),

et l'on dit le travail clémentaii-e d'une force est égal à la variation élémentaire de la force vive.

2° Si la vitesse du mobile a la même valeur pour deux po-

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HOUTEUENT BECTIUfiNE D'tIN POINT UBRE. 14S

(ilioDfi diOërenles, la vailaiioa de force vive est nulle entre ces denx posiiions, et par suite te travail de la Torce est nul aussi.

3* Le travail étant nul dans l'hypothèse ci-dessus, il faut nécessairement que la force ait change de sens à un certain point du parcours, sans quoi l'iRtégrule qui exprime le travail ne saurait être anlle ; et l'on voit, en ontre, que le travail de la force pendant la première période du parcours est égal et de signe contraire au travail de la deuxième période. Il en résulte que, pour détruire Is force vive quelconque po»sédée par un mobile, il faut effectuer un travail exactement égal et contraire à celui qui la iSi avait communiquée. — Ce qui est la proposition que nous invoquions dans le numéro précédent.

&*Sila force, après avoir agi de A en B pour faire passer la vitesse de la valeur V,ùla vitesse V,, change de sens après le point B, eu ayant des va- '^0 I y I "\* ''""^ absolues symétriques

A. K B M' Ji. de celles qui avaient Heu F's- >• précédemment, c'est-à-dire

des valeurs qui soient égales pour les positions M et M' également distantes du point B, à droite et à gauche, je dis que la vitesse Vi sera ramenée à la vitesse Vp lorsque le mobile sera parvenu en un point A' éloigné du point B comme l'est le point A.

Il suffit de montrer que l'inlégi-ale / Pt^f.prisedeAeoB,

est égale et de signe contraire à rinlégrate prise de B en A'. Or, cela est évident ; car soient «o, », et *j ios trois parcours comptés depuis l'origine, qui correspondent aux positions A,B et A'i soit 'ïi=*i — »o='i— »ii on a

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ihk UTBE II. — POIKT IUTEUEL.

co prenant pour variable indépendante la différence s entre la longueur s, qui varie depuis <, jusqu'à <,, et la longueur tlxe >»■ 0" ^ ^^ inâme

pp di = r'pda:

en prenant pareillement pour variable indépendante la diffél'ence u entre la longueur /, qui varie depuis t, jusqu'à «, , et la longueur fixe '(.— Cette seconde intégrale doit être affectée du signe moint, puisqu'on suppose que la force change de sens depuis le point B. — Les deux travaux partiels de A en B et de B Ai A' sont donc éganx et de signes

Il résulte de là une autre conséquence : si un point matériel a une certaine vitesse — -1- — — j- — V en B, et qu'une force contraire se mette ensuite à '' agir sur lui , on vient de

voir quil perdra sa vitesse au bout d'un parcours o tel que

Or, le mobile étant ainsi réduit au repos en C, si la force continue à agir de C vers B, en ayant des valeurs symétriques, c'est-à-dire égales pour une position M également éloignée du point C pendant l'aller el le retour, le mobile, ramené en B aura recouvré la même vitesse V que précédemment, car on aura pour l'expression de cette vitesse

n V = r? ( — dfl ) = f"? (te

cette vitesse est d'ailleurs en sens contraire.

Ainsi, une force vive ou une vitesse est engendrée ou détruite, au bout d'un même parcours, par des forces qui ont.

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UOUVEUENT KECTILIGHE D'L'M POINT LIBRE. l&S

pcnduni ce parcours, des valeurs exactenient symétriques.

5' Si deux forces, qui ont des valeurs rg:iles pour les mOmes longueurs parcourues, agissent sur des masses diiïérenies pendant des parcours égaux, elles leur comniuuîqueront des variations de force vive égales.

Car on' aura :

pour l'uue des forces,

rp d* = I m Vî — î m V' ;

imVÎ-

II esta remarquer que deux forces qui satisfont à la codditioD ci-dessus ne sont point des forces égale», c'est-à-dire passant par les mêmes valeurs au bout des mêmes temps. Car, puisque les masses sont inégales, les forces, si elles étaient égales, leur feraient parcourir des longueurs inégales au bout des mêmes temps ; elles n'auraient donc point des valeurs égales au bout des mêmes parcours, ce qui est précisément l'hypothèse.

6° Si la force considérée est constante, on voit : Que, lorsque deux points matériels soumis respectivement à des forces constantes reçoivent les mêmes variations de force vive, les travaux sont égaux, et, par suite, les deux forces appliquées sont en raison inverse des longueurs parcourues : ce qu'on a déjà démontré d'une autre manière ; et que, si un point matériel possède une certaine force vive, il est ramené au repos par une force égale à la pi-emière, de sens inverse, et agissant pendant un même parcours.

,t,7rJM,G00glc

Cas d'nne «itesM inillale.

79. — Nous avoDS supposé, dans ce qaî précède, que le point malériel était en repos au moment où là force commençait à agir sur lui. Il y a lieu de rechercher ce que devicnnenl les équations du mouvement lorsque le mobile se trouve déjà animé d'une certaine vitesse initiale.

Deux cas se présentent, suivant que cette vitesse a la même direction que la force ou une direction différente. Dans le premier cas, le mouvement reste naturellement rectiligue; dans le second cas, il osl curviligne , car il résulte h ta fois du mouvement uniforme dû à la vitesse initiale el du mouvement varié quelconque dû à l'action de la force j or, on a vu (n" 60) que de tels mouvements ne peuvent se combiner en une trajectoire rectilignc. Nous rentrons ainsi dans le chapitre suivant, consacré à l'étude du mouvement cuniligne; c'est pourquoi nous ne nous en occuperons pas ici. Il nous reste à voir seulement le cas oit la vitesse initiale est dirigée suivant la droite même du mouvement.

Cette vitesse n'a d'autre e^et que. d'introduire une cenaioe constante dans les équations intégrées, mais laisse subsister d'ailleurs toutes les autres sans y rien changer. £n effet, la relation

a lieu, comme on sait, quelles que soient les causes du mouvement considéré. Quant à la relation

elle subsiste également, puisque l'accélci'alioa du mobilr,

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HOL'VEME?iT RECTIUGNE D UN POINT LIBRE. 147

qui est représentée par -r , ne dépend que de l'action de

Is force qui le sollicite et nullement de la vitesse anlérieui'e qu'il peut avoir reçue.

D'après cela, les combinaisons qu'on pourra faire avec CCS deux équations, comme, par exemple, l'éqnation difTérentielle

conservent leur forme primiiive exactement.

Les équations intégrées se ressentent seules de la présence d'une vitesse inilialc. En eSet^ quand on intègre l'é- (|uation (2) ci-dessus pour trouver la valeur de la vilessc, on a, en général,

V=C+ C-dt,

C étant la constante quelconque inséparable de toute intégratiou. Ici, la constante n'est pas nulle comme au n* 73; parce qu'à l'origine du temps la vilessc, au lieu d'èti-e nulle, est, par hypothèse, égale à la vitesse initiale. Si donc a est cette vitesse, h» valeur de V devient

V = a+ f ^^dt.

Quant à la valeur de >, on a

On peut arriver également à cette valeur de * d'une autre manière, en remarquant que l'espace parcouru est égal, d'après la quatrième proposition, à la longueur décrite enverlu de la seule vitesse initiale, c'est-à-dire a^ plus ta longucui'due

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- POINT 1U.TÉUEL.

à la seule action de la Torce, qu'on sait être

Pareillement, l'équation intégrée de la force vive reafermera une constante ; car

f'p ds + C = { m\^ :

et C ne peut plus éti-e nul, puisqu'à l'origine du temps, la vitesse, au lieu d'éU% nulle, est égale à a, et par suite, la force vive est ^ ma' ; en sorte que la relation devient

P dj = i m V'— I ma* .

Mais cette vitesse initiale a n'iiidue pas sur les cquatioos relatives à des périodes non comptées à partir de l'origine; car, dans les différences, la quantité due à cette vitesse a disparaît nécessairement. Ainsi,

n V, — m Va i 1 VJ — i m V; ;

comme s'il n'j avait pas de vitesse initiale. Et cela doit être, car en établissant la relation pour une période non comptée it partir de l'origine, que fait-on autre chose que de considérer un mobile déjà animé d'une certaine vitesse, ce qui est justement l'entrer par anticipation dans le cas actuel ?

Il ressort de lit que toutes les conséquences formulées au n" 78; et qui sont déduites de la dernière équation, ne subissent aucune modification dans leur énoncé.

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