MOUVEMENT CURVILIGNE D'UN POINT MATÉRIEL

ÉUtnt donnée utu foret ifuelconque, variable à la fois dt grandfur et <tr dirrcUon, iéttranner le iimutement eaniligne qui en rfsulle;

DQ réciproquement :

^lanl eonmi le monrement rurriHgne d'un point, Irourer ia farce rariable qvi pcurriiii le produire.

80. — Pour plus de généralité, nous «upposerons tout de suite que le mobile possède une vitesse initiale uu moment oîi la Torce commence 6 le solliciter. Cette circonstance n'introduira en réalité aucune diflicultë de plus, puisque, par cela seul que la Torce a une direction variable, la trajectoire est curviligne c'est-à-dire aussi générale qu'on puisse la supposer.

Prenons pour origine des coordonnées le pôintO où laToi-ce commence à agir sur le mobile, cl pour axes de coordonnées

n,g,t,7rJM,GOOglC

15(1 LIVRE II. — POINT MATÉBIEt.

irois droites OX, 0¥ et UZ qui se coupent à angle droit en ce point.

La solution du problème consiste à trouver la position M du mobile au bout d'un temps quelconque, cl subsidiaii-ement sn vitesse a ce moment, ainsi que les équalions de lu irajeetoîtc suivie dans tout le cours du mouvement.

Soit m la masse du mobile, P la valeur de la force ^ gui le sollicite à l'instant

' Fig. 11. considéré, a., ë, y les trois

angles formés par celle force avec les irois axes. — Ces quantités P, a, 6 et ■/ sont des fonctions connues du temps. — Soit enfin Via grandeur de la vitesse inconnue, eto, h, c ses trois angles avec les axes.

Nous avons vu, dans la sixième proposition (n" 66), que In projection ou la composante de la force, suivant une droite quelconque, est égale à la masse du mobile multipliée par l'accélération de la vitesse projetée ou décomposée suivant la même droite. Si l'on applique ce lliéorcme, successivement pour chacun des trois axes, on obtiendra les trois équations :

qu'on est dans l'usage d'écrire de la manière suivante, en désignant par \, Y, Z les trois composantes de la. force P, et par r, u, w, celles de la vitesse V :

Wv àv „ dw „ dos

On sait d'ailleurs, d'après oe qui a été dit au n* 61 , que

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MOUVEMENT CURVILIGNE d'uN POINT LIDBE.

-fit ' ""W ' """rfl

Ces six équations résolvent compléiemenl le problème, car elles pernieticnl de tmuver x, y, x, v, u, tr en fonction (les Quantités connues. On pent dire avec raison que le problèmc du mouvemenl curviligne est ainsi ramené il trois problèmes de mouvement recUligne , s'effectuan^ suivant chacun des trois axes. Ainsi toutes les remarques qu'on a pu faire dans le chapiti'C précédent s'appliquent textuellement:

1' Au mouvement suivant OX, dont la composante X est la force ;

S" Au mouvement suivant OY, dont la composante V est la force ;

8' Au mouvement suivant OZ, dont la composante Z est la force.

^fou^ ne nous arrêterons pas à clierchei' les valeurs de X, y, z, non plus que celles de r, «, w, valeurs tjui s'obtiennent de la même manière que celles de « et de v dans le chapitre que nous venons de parcourir. Nous aurons à rej)roduire la même observation en ce qui concerne l'inAncnce de la vitesse acquise. Les valeurs seront alors de même fonne que celles du a' 79 ; c'est-à-dire qne v, if, u> seront

respectivement égaux à / — ^^'i | ~ '''' / i^ *''• ^"8" memés des composantes de la vitesse initiale; et que x, y, z seront respectivement égaux à / / —dl', j j —dO,

— <^f', pareillement augmentés des espaces parcourus dus à ces mêmes composantes.

Quant à la trajectoire, elle s'obtiendra, comme on l'a vu

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»ii n" 70, en éliminani le temps entre les trois équations qni roiiriiissent les vAleui-s des trois coordonnées.

Loi-sqoe le problème, au contraire, consiste ù trouver la forae, étant connue la position du mobile à cliaque instant, la solution est, analytiquement parlant, beaucoup plus simple, car elle se réduit h effectuer les différeniiations indiquées dans les équations (1) et (2) ci-dessus.

H«avem«Bt reetillgae tasgeallel.

THÉOnËME DE LA FORCE VIVE.

81 . — On a démontré au n" 67 que, si T est la composante de la Torce P suivant la tangente à la courbe en chaque point, et V la vitesse absolue du mobile, dirigée suivant cette mïtme tangente, on a la relation

'rfT

ctt qui revient à dire que le mouvement sur la courbe s'effectue comme un véritable mouvement reciiligne dont la force serait la seule composante T. En faisant donc abstraction de la forme de cette tri^ectoire pour ne nous occuper que de la longueur absolue des arcs parcourus, suppost'S rectifiés, nous pouvons appliquer à ce mouvement tout ce qui a été démouti'é pour un mouvement rectilîgne quelconque, et notamment les conséquences suivantes :

La variation de la quantité du mouvement, entre deux époques quelconques, eu égale à l'impulsion de la compos:mte langentieiie entre ces mêmes époques ;

La variation de la force vive, entre deux positions quelconques, est égale au travail de la composante taiigeniielle, entre ces mêmes positions.

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