MOUVEMENT CURVILIGNE U'UN POINT LIBRE. 15S
La variation élémeuUirc de la Torce vive est égale au travail élémentaire de la composante langentielle.
Arrétons-iious un instaiiL sur ce travail de la composante tangeutielie. Nous voyons que, dans un mouvement curviligne, il y a, entre la force qui sollicite un mobileet la force vive de ce mobile, la même relation quedans un mouvement rectiligne , pourvu que h force soil remplacée par sa composanie tangentielle, ou, ce qui revient au même, pourvu qu'on considère comme travail d'une force ù cliaque instant, non pas le pi'oduit absolu de cette force par l'espace parcouru, mais le produit de cette force projetée tur ia direction du parcoure , multipliée par ce parcours. C'est là, en effet, le point de vne qu'on a adopté en méca- nique : on estime te travail d'une force en la projetant préalablement sur la direction de l'espace parcouru à chaque instant.
Remarquons bien que celte définition , dont nous exposerons tout à l'heure le motif, n'est nullement contradictoire avec celle qui a déjà été adoptée dans le mouvement rectïligne. Pour ce dernier, en effet, la force projetée sur la direction du parcours n'est autre que cette force absolue elle-même, puisque la direction de l'cspat-c parcouru et la direction de la force se confondent absolument. On peut ajouter que le travail dans le mouvement rectiligne n'est qu'un cas particulier du travail, conçu d'une manière plus générale, dans le mouvement curviligne, cas particulier consistant en ce que l'angle de projection est nul ou égal à 180". Avec celte nouvelle dénnition du travail, la relation
r dj = : m V* — ; m V!
peut être formulée en mettant à l'écart la composante tangentielle pour y substituer la force donnée elle-même, et disant : Dans un mouvement quelconque, la variation de
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154 UVBE II. — POINT UATËftlEL.
force-vive eDtre deux positions du mobile est égale au travail de la force qui sollicite ce mobile.
Il ne faut pas perdre de vue, bien entendu, que cet éuonce n'esi rigoureux qu'autant que le travail demeure déliiii comme iUa été convenu plus haut, en tenant compte de l'angle formé avec la force par la direction de l'espace parcouru.
83. — Une telle définition du travail est en ellemëme parfaitement légitime, en ce sens que, dans la science théorique, rien n'empêche de dounw le nom de travail à la quantité qu'il plait de considérer. La seule loi à laquelle les définitions soient assujetties , Cest de demeurer d'accord . avec elles-mêmes dans la suite de l'ouvrage. Ainsi , l'on n'aurait pas pu employer ce mot de travail, comme nous l'avons fait, dans le mouvement curviligne, s'il en était résulté une contradiction avec le sens déjà admis dans le mouvement rectiligne. Mais nous avons vu, au contraire, que les deux énoncés concordent, et que lu première déflnilion est implicitement comprise dans la seconde. Cette explication, qui est décisive au point de vue purement logique, ne serait pas cependant satisfaisante pour l'esprit, si, ayant une première fois montré par suite di? quelles analogies avec les opérations industrielles on :■ adopté ce terme de travail, on ne se préoccupait plus la seconde fois de faire ressortir que ces mêmes motifs subsistent encore intégralement. Or, c'est ce qui deviendra évident, pour peu qu'on réfléchisse' à la nature des mouvements curvilignes réalisés dans l'industrie. Le but qu'où s'y propose invariablement est de faire mouvoir une force le long d'une courbe relativement fixe, comme une courroie sur une poulie, ou un outil sur un cylindreàaléser, etc. Eu pareil cas, la force scdéoompose toujours en deux, une composante normale, qui est inutile ou même nuisible ù l'opération qu'on exécute, et qui est détruite en pure perte par l'axede la poulie, par les points d'al-
n,g,t,7r'iM,GOOglC
MOm'EMENT CDlVnJGME D'UN POWT LIBRE 155
tache du cylindre, etc., el une composante langenlielle qui seule a son effet utile el accomplit le travail tel que nous l'entendons et le recherchons. C'est donc à bon droit, parle considération de ces résultats industriels, qu'on a été conduit en mécanique à donner le nom de travail an produit de l'espace parcouru par laprojeetion de la force tur la dirwlion de cet etpaee.
Il devient dès lors sans Intérêt de laisser, dans l'équation de la force vive, figurer expliciienieut la composante tangentîelle de la force, puisque c'est cette force elle-même dont il s'agit dans l'énoncé. Aussi écnt-on généralement celle équation sous la forme suivante :
r'p ds cos (P, (fj) = ; m Vj — -i m Vj ,
Vdiexa(?,di) = d{{m V) j
en représenunt par cm (P, dt) le cosinus de l'angle formé par la force P avec l'élément parcouru dt.
Une remarque qu'on fait immédiatement sur celte équation, c'est que, dans le produit P. dt. cos (P, dt), on peut aussi bien regarder dt. cos (P, dt) comme la projection Acdt sur P, que regai-der P. cos (P, rf«) comme la projection de P sur (il. Cela permet de donner un nouvel énoncé au travail en le considérant comme composé de la valeur absolue de U force et de la projection, à chaque instant, de l'espace parcouru sur cette force. Quand on adopte ce dernier point de vue, on met ordinairement l'équation sous cette forme
p rfp = rf {i m V) ;
en désignant par dp la projection de d* sur la direction de la force.
n,g,t,7i.dt,Got)glc
156 UVBE 11. — POINt MATftRlEI..
N. B. Od peut toujours regarder P et ift comme essentiellement posiurs. Le véritable signe du travail sera ammé par le signe du cosinus.
83. — La relation précédente est susceptible, avans-noiis dit, de fournir toutes les m£mes conséquences qui ont été présentées à l'occasion du simple mouvement rectiligne. Nous nous bornerons ici à celle qui ofTre le plus d'intérêt, et qui est relative au cas où la force P est constante en direction et en grandeur.
Si l'on appelle p la longueur intercepiée sur la direction de cette force par les projections des deux positions entrâmes entre lesquelles on considère la variation de force vive, cette
longueur;) sera précisément égale à / </< cos (P, dit), en
sorte que la relation devient
Pp = ; m Vj — i m Vj i
ce qui monti-e que la variation de la force vive ne dépend que de l'écart des projections extrêmes, et nnllement de la Tonne de la ir^jectoirc.
Si donc nu mobile est lancé suecessivement d'un certain point de l'espace avec une mâinc vitesse, dans des directions différentes, et s'il est dès lors sollicité par une force constante, ce mobile aura toujours la même vitesse absolue, quelle que soit la forme des traje^iloires, en passant aux points où ces diverses trajectoires rencontrent un plan perpendiculaire ik la direction de la force, mené à une distance quelconque du point de départ. C'est ce qui arrive notamment en projetant un corps dans l'espace; quelle que soit la direction de la vitesse initiale, il rencontre toujours le plan horizontal avec la môme vitesse.
n,g,t,7i.dt,G00glc
HOUVLHENT CDRVIUGNE D UN POINT UBSE.
ÀtTRB MAMfeRE OE DÉDUinE LES ÉQUATIONS PRÉCÉbENTES.
8A. — L'équation de la force ungentielle doit évidemment pouvoir se déduire des l'elattons établies au n" 80. En eflét, ces dernières expriment que le tliéorème du n" 66, cousistant en ce que la projection d'une force est égale h la masse multipliée par l'accélération de la projection de la vitesse, convient à trois directions différentes, qui sont celles des trois axes;. mats cela revient justement à exprimer que le théorème est vrai pour une direction quelconque. Donc l'équation de la force iangentielle,'qui est relative à la direction particulière de la Ungenlc, doit, être implicitement contenue dans les trois équations relatives aux axes.
En effet, reprenons ces dernières en laissant en évidence, dans les seconds membres, la projection de la vitesse ab-
f*\ X -^ '^(Vcw") ^ diVcMb) ,, rf(VcosO Développons les différentielles des produits ; il vient :
Or, les trois premiers lennes des seconds membres peuvent être considérés comme représentant les composantes,
suivant tes axes, d'une force égale ^ m-jr , et dirigée suivant la tangente, c'est-à-dire faisant avec les axes les angles
n,g,t,7rJM,GOOglC
UVBE tl. — l>OINT HATÉUEL.
, c. C'est donc là la force tangenlielle déjà trouvée,
Quant aux seconds termes des mêmes équations, remarquons que les trois cosinus qui y figurent sont respectivement égaux ^ j~ » 3^ > j" i '^* 1"^ '^ diffërenlielle qui y est
prise pur rapport à t est égale, d'après les règles connues de l'analyse, à la différentielle prise par rapport à g, multipliée parT-=V, Donc,
Or, si l'on appelle ?., i^, > les angles du rayon de courbure avec lesaxes,ei fila longueur de ce rayon, on sait que l'on a:
dx , dx
^ ,, . ds cos X
d'oà
dz
"S cos V-
£n faisanl la substitution dam les équations (3),et de là
iM,Googlc
MOUVEMENT CURVIUGNE D'UN POIST UBRE. 159
dans les équations (3), od voit que les seconds termes de ces dernières deviennent respectivement égaux à
COe A , cos u , COSK :
quantités qu'on peut considérer comme les trois composantes d'une force dirigée suivant le rayon de courbui-e, c'est-à-dire Taisant avec les a\es les angles X, (*, v, C'est donc la force centripète que nous avions déjà considérée dans le cours de la sixième proposition,
Ainsi celte relation , aussi bien que celle qui concerne la force tangenticlle, se déduit des troiséquations établies pour les trois axes.
La manière même dont ces deux forces T et N se présentent dans le calcul précédent met bien en évidence leur rôle respectif dans te mouvement. Le point de vue analytique cSt tout à fait d'accord avec le point de vue mécanique. En effet, la force tangenticlle, dans les équations (3), correspond à la variation de la seule vitesse, les cosinus de a, k, c ne variant pas, c'est-à-dire la direction de la tangente étant supposée constante, et, par suite, le mouvement étant regardé comme recliligne; au contraire, la force centripète correspond à la seule variation ile la direction de la tangente ou à l'intlexion successive des éléments parcourus, la vitesse absolue étant regardée comme constante.
On donne assez fréquemment une méthode géométrique très-simple pour trouver la valeur des forces tangentiellc et centripète, et qui est basée sur les mêmes considérations déjà présentées an n" 73, oii l'on trouve l'expression de l'acoélcratîon due à une force variée, en regardant cette force comme constante pendant un temps infiniment petit.
- POINT UATËniEI,.
Soit le mobile arrivé en M avec une vitesse V, et sollicité jn ce point par la force P. Pendant un leni]ls infiniment petit, on peut considérer la force Pcomme constante en grandeur et en direction, et la déi:umposer en deux autres également constantes, K que nous appelleronsTet N,
et respectivement dirigées, l'une suivant la tangente MT, l'autre suivant le rayon Fig. 11. de courbure M K. Le mo-
bile airivant en M' au bout d'un temps inSniment petit peut être considéré comme ayant obéi aux deux mouvements recliligoesMI etML. La vitesse suivant M lest V,^V cosM'MI ^V, puisque l'augle M'ML est iulÏDimcnt petit. Donc T,
qui est égal à wï-tt*, est égal ù m-i-, D'unautre côte,
là force N ayant été constante pendant tout le temps dt, on
a ML=i^rf/».
Mais l'arc M M' êtani inllniment petit, peut être considère comme appartenant au cercle osculaicur. Donc, p étant le rayon de courbure au point M, on aura, d'après les relations géométriques connues,
M L X 2p ='iâM'' = V iû= ,
d'oCi \i-di\ 2p = V'(û', d'oii enfin JN = ^^ . 2m r p
C'est ce qu'on appelle la méthode d'Uuyghens, du nom de SOI) inventeur.
8S. —On peut également déduire d'une manière directe l'équalion de la force vive destroiséquations du mouvement
n,g,t,7rJM,GOOglC
MOUVEUENT CURVILIGNE D'UN POINT i.l8|tE. Ifil
suivant les axes, sans passer, comme nous l'avons fait, par r^nation (fc la composante langentielle.
En effet, chaque mouvemeitt reciiligne suivant les axes donne lieu de considérer nn travail et une foi'ce vive correspondanu, dus ù la seule composante de In force donnée. C'est ainsi qu'on aura :
Ajoutons membre à membre : il vient
Xdx+lidif + Zdz = dim{o' + u'+tt^)=dimV' .
=rdtcoB{P,dt) .
Donc, en inlégraot entre deux positions quelconques,
/''P(ijco8(P ,rf5}=imVj — imVj ;
ce qui est précisément la relation déjà Ironvée.
Nous remarquerons en passant qu« la relation iotermédiaire établie ci-dessus,
Xdx + H dy + ldz = PdsoM{P, df) ,
exprime que le travail élémentaire de la force P est égal à lu somme des travaux dus aux trois forces X, Y et Z. Ces dernières sont les composantes de la première, en sorte que relte égalité signifie que le travail de la force donnée est égal à la somme dfs travaux de ses trois composantes. Ce n'est là , au reste , qu'un cas particulier de la proposition générale suivante :
La somme des travaux éiémenlaires d'nn système de forces quelconques, appliquées à un point mniérïel, est égal à la somme des travaux de tout autre système équivalent. I. H
n,g,t,7rJM,GOOglC
1(3 tlVBE II. ~ POI^T HATËRIEL;
La démonstratioD directe en est fort simple : La somme des projections , sur uoe droite quelconque, d'un système de forces est égale ii lu projection de la résultante de toutes ces forces, à cause de la construction poly> gonale qui rattache la valeur de la résultante à celle de ses composantes. D'itprès cela , lorsque deux systèmes de foroes sont équivaleiil^ ou susceptibles d'ôlrc l'éduits ù la même résultante, les sommes de leurs projections sont égales. Or, le travail élémentaire d'une quelconque des forces appliquées à un point matériel est i-gal au déplacement infiniment petit de ce point, multiplié par la projection de la force sur ce déplacement. Doue la somme des travaux de toutes les forces est égale à ce déplacement multiplié par la somme des projections. Donc, cette somme étant la même de part et d'autre dans deux systèmes équivalents, les sommes des travaux élémentaires tout aussi les mêmes. Souvent on laisse l'équation des l'orces vives sous la forme
X ic + T (/y + Z liî = rf i; '« V ,
qui exprime que la somme des travaux élénicntaiivs des composantes suivant les trois axes est égale ii la variation élémentaire de la force vive du mobile.
THÉORÈME DES SURFACES nE NIVEAU.
86. — Supposons que X, Y, Zpuissent être respectivement ^xpi-imées en fonction des seules coordonnées x, y, x ; et qu'en outre il existe une fonction de x, y, x, telle qu'en en prenant la difTércntielIe totale , c'est-à-dire la différentielle par rapport à x, y, z, cousidérocs successivement comme variables indépendantes , on retombe précisément sur la fonction '^dx-\-\dy-\-Xdz , dans laquelle, bien entendu, X, Y et Z Kont supposées rcniphicrrs par leurs valeurs,
n,5iti7rJt,G00glc
SOUVEHERT CDRTIUGNE D'CIN POINT LIBRE. 163
Soit <f (x, y, z) la fonctioD en question, telle, disons-nous, qu'on ait :
^ d« + jî dy + J rf« ». X <& -t- Y dy 4- Z <fa .
Actuellement prenons l'intégrale de '%.dx-^Hdy-^l.dz, entre deux positions déterminées du mobile, dont les coordonnées seront respectivement Og, h^, e„ a,, i,, c,, correspondant anx vitesses V, et V, da mobile. L'intégrale indéfinie n'étant antre chose que la Tonctioa ly (*, y, »), l'intégrale définie s'obtiendra en y remplaçant x, y, z par les valeurs particulières des deux positions considérées; en sorte qu'il vient
f ^a^,b^,C^ — f (a,, b„C^ = imy] — i» Vj.
Cette .relation nous montre que dans l'hypothèse où nous nous sommes placés la variation de la force vive do mobile ne dépend que des valeurs particulières des coordonnées des positions extrêmes , et nullement de la forme de la trajectoire entre ces positions, ni du temps employé à la parcourir.
On voit , en outre, que, toutes les fois que le mobile passera par une position telle que la fonction <j {x, y, 2) prenne la même valeur en y substituant les coordonnées de cette position , la force vive aura varié de la même quantité, et, par suite , la vitesse du mobile en cet endroit sera exactement la même.
Or, il est visible que, par cela seul que la fonction if est supposée exister , il y a toujours une infinité de points dans l'espace dont les coordonnées donnent la même râleur à cette fonction.
Car il' suffit que ces coordonnées satisfassent à la condition
rmn-n-.;GoOg\c
16ft uvne ji. — POINT matêbiel.
C désignant une ceilaîne quantité constante. Cette équation comporte lividemmvot tinc iiiBuité de solutions, puisqu'on y peut disposer arbitraii'emeot des trois quantités x, y el x.
L'ensemble de tous ces points n'est autre chose que la surface même représentée par l'équation ci-dessus.
On peut donc dire que chaque fois que le mobile, dans son mouvement quelconque, coupera la surface (f(x, y, z) = C, il aura la même vitesse, quels que soient le moment et le lieu où il rencontre cette surface.
C'est là une conséquence du même genre, mais plus générale, que celle qui a été signalée au n* 83 , dans l'hypothèse d'une force constante. Nous ajouterons que ce cas spécial rentre dans le cas actuel , c'est-à-dire que la fonction Xdx-i-Ydy-i-Zdz a nécessairement une intégrale totale exacte, quand X, Y et Z y représentent les composantes d'une force constante. Alors, en effet, X,YetZsontîndividuellement constantes, et la fonction devieut Kdx+K'dy+ K"dz, en appelant KfK'lK" ces constantes. Or, la fouciion dout Kdx+K'dy+Wdx est la différentielle totale, se réduit à K«+K'y + K"2, et, par conséquent, la relation i^{x,y, z)^C devient
Kx+K'y+K."z = C ;
ce qui est justement l'équation d'un plan perpendiculaire à la direction de la foi'ce.
Ce plan étant appelé plan horizontal ou de niveau lorsque la force constante est la pesanteur, on a, par ana^ logie, nommé turfaee de niveau celle qui est représentée par l'équation ^ (x, y, ï)=C.
Il y a évidemment une infinité de surfaces de niveau pour chacune desquelles tous les points jouissent de la propriété que nons venons d'énoncer, la vitesse ne restantconstante, bien entendu, que sur la même surface, et variant d'une surface à l'aulre. Toutes ces surfaces de iiivean s'ob-
n,g,t,7rJM,GOOglC
MOUVEMOT rCRVILlGNË I>'L'.\ POt.NT LIDIIK. Ifi>
ijenneiit en doDnani toutes les valeurs possibles à la constante G dans l'éqaation générale r^ {x, y, £)=C.
L'énoncé le plus général de la propriété que nous examinons consiste ùdire que la variation de force vive ou de vitesse d'un mobile, entre deux surfaces de niveau quelconques, est toqjours ta n)éme,quels que soient les points où ce mobile les rencontre , et quel que soit son mouvemcnl dans l'intervalle.
En chaque posiiion du mobile, la suiface de niveau, menée par celte position, est toujours perpendiculaire à la direction de la force. En effet, d'une'puri, les angles fomiés par la force avec les trois axes coordonnés ont respectivement pour cosinus :
d'autre part , les angles formés par lu norniule à la snrfuve de niveau ont respectivement pour cosinus :
Bp . Hp, Kp ; de dy az
en désigitaul abréviativement par H la quantité
Le cosinus de l'angle que la force fait avec la normali sera conséquenimentcgal à
P \ éc dy dzj
Mais puisque, par hypolbèse, ^ dx + -i^ t/y -i- -P^ dz =
X tix + Y dy -h Z dz, \\ en résulte :
dx dy' dz' P '
nKj,i,.rjM,G00glc
en faisant la substilutîon dansia valeur précédente du cosinus, on voit qu'elle se réduit à 1 , ce qui prouve que l'angle est nul. Ainsi, la résultante de toutes les forces qui sollicitent le mobile est constamment perpendiculaire à la surface de niveau correspondant au point considéré, ou à la surface dont l'équaiion différentielle est toujours Xrfar+Yrfy + Zrf^^G. D'où il suit que pour les différentes positions que le mobile peut occuper, à diverses époques de son mouvement, snr une même surface de niveau, les valeurs de la force correspondant k ces positions sont inversement proportionnelles aux perpendiculaires menées it la surface de niveau infiniment voisine ; car, d'une surface à l'autre, le travail, qui est égal à la valeur de la force multipliée par la longueur de la perpendiculaire, demeure constant.
87. — Il est un cas important où Xdii;-\-Ydy+ Zds est évidemment la différentielle exacte d'une certaine fonction des coordonnées ; c'est lorsque toutes les forces qui sollicitent le mobile passent par des centres axes et sont en même temps des fonctions quelconques des ~% distances du mobile à ces centres.
Soit, en effet , R l'une de ces forces , passant cous- (ig. 13. tamment par le centre fixe
I, et dont la valeur est une certaine fonction de la distance r du centre fixe à la position actuelle M du mobile. Soient «, y, ï, les coordonnées du point M, et n, f, 9, celles du centre I. Les composantes de celte force R, suivant les trois axes, auront respectivement pour valeurs
n,g,t,7rJM,GOOglC
MOtiVEMÉNT CURVILIGNE D'UPf POWT LIBRE. 187
par conséquent, les termes dus à la force R, dans la fonction générale Xdx+Ydy-\~Zds, seront :
Or, d'an autre côté, on a
r»=(;c-n)»-|-{y -py + [z-qy,
d'où résulte, en différentianl,
rdr = {x~n)dx + {y — p) dy +{z~q) dz;
en substituant dans les termes précédents, on voit qu'ils deviennent simplement éganx à Rdr.
Pour toute autre force analogue R', on aura pareillement des termes qui se réduiront h Wdr'.
De sorte que si R, R', R" sont les diverses forces qui
sollicitent le mobile, la fonction générale Xdx + Ydy + Zdz se trouve remplacée par
R dr + R' dr' + R" *■" + ..
Mais puisque R est seulement fonction de r, R' de /, R"der" , il y aura une fonction cf (r), dont la différentielle sera Rdr, une fonction x (/)> f'o'" '^ différentielle sera R' dr', et ainsi de suite, pour chacune des autres forces ; si bien que la somme de ces fonctions
T('-)+xM +
constituera elle-même une certaine fonction der, r', r"
dont la différentielle totale, par rapport à ces quantités,
sera exactement représentée par Kdr~i-K'dr'+.
Mais remarquons que r est une fonction de x, y, t, savoir:r'=(aT—n)'+(y— />)'+(?— ç)'; de même r" est une fonction des mêmes coordonnées x, y, i, savoir : r'*={x—t»'Y-^-{y—p'y-\-iz — q'y, en représentant pai
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168 inBE II. — POIîiT MATÉRIEL,
n', p', f ', lescooi'doiiurâs du ceiili'e fixe relalir ù la foix-e R'. Si l'on substitue à »■, r*,.... ces valcm-s , lu fonctioi) '^ {r)+- '/. (^) + deviendra dès lors nne fonclion des coordonnées X, y, X, dont la différentielle toUle, piîse maintenant par rapport à x, y, z, sera exactement égale à Xdx+ydy + Zdz, en désignant ainsi la fonction Hdr+Kdr'-i~
R"dr''+ ;oii r,r',r" ,etR=(f (r),R'=xCO
sont remplacés par leurs valeurs en fonction des coordoiinées du point M.
Donc les propriétés des surfaces de niveau conviendront intégral emeni à de semblables forces.
La nature offie un grand nombre d'exemples de forces renirantdans la catégorie précédente. Généralement, comme nous l'avons déjji dit au n*75, les forces naturelles sont fonction des dislances, ou bien sensiblement constantes, et souvent elles s'exercent , soit le long d'une même droite, soit en passant par un centre relativement fixe ; telles sont la pesanteur, la gravitation, le magnétisme terrestre, etc., etc. 88. — Il est des cas, au contraire, où l'on peut constater iuunédiatement que les forces ne sont pas de nature à rendre Xdx+\dy + Zdz une diBërenlielle exacte.
C'est ce qui arrive toutes tes fois que , parmi les forces qni sollicitent le mobile, il y en a quelqu'une qui dépend ilireciemeut du temps, ou de la vitesse, ou de la forme de la trajectoire. Si , par exemple , le mouvement s'efi'eclue dans un milieu , tel que l'eau ou l'air, il se développe une certaine résistance due à In présence de ce milieu, et qui a pour caractère général d'augmenter d'une certaine manière avec la vitesse ; si bien que cette force est représentée par une fonction de la forme /"CV). En pareil cas, lorsque le mobile repasse par les mêmes positions les forces totales ne sont pas les mêmes, puisque certaines d'entre elles dépendent de la vitesse au passage. Ces forces ne peuvent donc être exiictemeitt exprimées en fonctions des seules coordon-
n,g,t,7rJM,GOOglC
HOtiVEMENT CURMI.lGNi; DLN l'OINT LIBIIt. 169
iiéGii, et, parsnitc, le terme géiiér.il \dx + \d'j + '/.iiz ne siuil'ail être la diflërenlielle exacte 'd'une fuiietioii oii ces coordonnées figureraient sans autres variables.
Nous dirions de même si le mobile glissait sur mm surface ou sur une courbe donmie et qu'il en résultikt un fi-ottcmeiit quelconque. On sait que tout froltenieut dépend, cuti'e autres choses, de l'énergie avec laquelle le mobile pivsse sur la courbe ou sur la siirfuce ; ce qui revient à dire qu'il dépend de la composante normale du système de toutes les forces qui sollicitent le mobile. Or , il est bien évident que, toutes choses égales d'ailleurs, cette composante vai'ic avec la direcUon des élémeuu parcourus ou avec la Tonne et la direction de la trajectoire. Donc ici , comme dans le cas précédent , il serait absurde de chercber une rouctiuu, ne coulcnant que les seules coordonnées, qui eitt pourdiffëreulielle exacte la quantité Xdx+Yiiy+Zdz.
