THÉORÈME DES AIRES
89. — Définitiont. — On nomme moment d'une force par rapport à un point, le produit de cette force par la perpendiculaire abaissée dn point sur sa direction. Cette pei*pendiculaire est assez fréquemment appelée £r(u du moment ou brat de levier de la forée. — L'expression de bra» de levier est empruntée à la machine très-simple dit« levier, consistant, comme on sait, en une verge rigide pouvan tourner autour d'un point fixe, et pour laquelle la dislance de ce point fixe à une force appliquée sur le levier est appelée bras de levier de la force. Quant an terme de mufaent, il dérive dn mot latin momentum, qui signifie produit. — On nomme rayon vecteur d'un point matériel eu mouvement la droite menée de ce point à l'ori^ne des coordonnées, cl aire décrite la surface engendrée par les positions successives de ce rayon vecteur.
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170 UTRE n. — POINT MATÉHIEL.
Le tbéorèmedeeairesconsisledansia proposition suivante; Si l'on projette sur un plan le mouvement d'un point matériel, ainsi [gne la force qui le sollicite, U existe entre le moment de la ropcect le double del'aire
X dccriledansce mouvement projeté la m'orne relation
■^ qu'entre la force et la Iodguciir parcourue dans un mouvement rectilî^e. De telle sorte que,si M désigne ce moment et > l'aire,
M = m V. , absolument
comme on a H ^=«1-77 ar
En effet, prenons le plan de projection pour plan des jry; et soit M S la trajectoire du mobile, P la force, NK et Q les projections de cette trajectoire et de cette force.
X, Y et Z étant les trois composantes de la force P, on sait qu'on a les trois équations
<Px
Prenons les deux premières : multiplions-les respectivement par y et par x, et retranchons-les membre a membre, il vient
Yx~Xy =
La force P est ta diagonale du paraltélipipédc construit ' sur X, Y, Z ; et par consétiuenl Q, qui est égale à la projec-
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HODTBHENT CURVILIGNE DUN POINT LIBBE.
tiondePsurlafacedeceparallélipipëde qui conticntXetY, est la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux composaotes dans le plan des xy. Or Y^ et Xt/ ou N¥ x Ox et NX X Oy sont les produits de ces composantes par des perpendiculaires respectivement abaissées sur elles de l'origine. — On sait, par la géométrie, que la difféi'cncc de ces deux produits est égale au produit de ta diagonale N Q par la perpendiculaire Oq abaissée sur elle *.
' N'ouB reproduisonE ici la démonstritlon de ce thëorème de géomélrl dû, comme on sait, Il Vsrignon.
SoitMielTetNXQYIe ptralMIogramme camidërë, et le point duiiiel on abaisse sur les deux cAtén et la diagonale les perpendiculaires Oz, Oy, etOq. Si le point choisi est dans le supplément Y NX' ou X N Y' de l'angle Y N X du parallrilogrunnw, comme noua i-enons île le supposer, le produit de la diagonale par sa perpendiculaire Oi] sera égale i la tomme des produits des deux cAléa > V et N X par leun perpendie aires respectives 0« et Oy. Si , ''u contraire le point choisi est dans 1 ^ngte YNX ou dans son opposé Y'NX', en O' par eTpniple, le produit de la diagonale NQ par ta pefpendicnlsire O'q' sera égal à la dif- (irtnct des' produits de« câtés NY et N X par leurs perpendiculaires O'a' et O'tf'.
Pour le prouver, joignons ON, et décrivons sur chncune des Irols lignes NX. NV, NQ. les trois parallélogrammes ONXd, ONYb, ONQf.Ces parallélogrammes auront respectivement pou r mesures de eurs surfaces les trois produiia en question. Mai^ ayaot une base com- CDtre eux comme Us perpendiculalet «Q; ou, A anse du parallélisme
mune ON, ces parallék^ramnies m.
rea abaissées do ptdnt sur bY, a
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- POIXT MATÉMKl.
Le premier membre de l'équatiou (a) est donc le moment dont nous avions paHé, et que nous désignerons par Qq, en mettant en évidence la force Q et le bms q qui le composent.
Quant au deuxième membre de cette même équation, i-erf^y tPx d(xdy —ydx)
' di^^ Si»
Mais;r(/y — yijjrn'estautreclioscquti le double de l'aire infiniment petite décrite par le rayon vecteur N pendant l'instant dt. Cette expression, connue en analyse, est ti-ès-facile à retrouver : car soient OX el OY les deux.axesdn plan de projection, UN et ON' deux rayons vecteurs infiniment voisins. Le triangle ëlémen- — taire ONN' est égal à ON'H' — NH'H'H-ONH.
^^'ïl'^=dx{^+'idy,^ydx+\dxdy. O^W='^xy ,
d'où ONN =ï[xdy—ydx);
égdiilé <|uî a lieu d'ailleurs quel que soit le mouvement supposé.
de ceâ 1rol9 llgnea, comme le« trois loogueur» qu'elles Interceplenl sur une perpendiculaire tommane. \xa panillélosrnmmes susdit», ou les trois produits en question, «ont donc entre eut comme ces trois longueurs. Hais il est vlsllilc que li demièie est ta somme des deux premières. Donc le dernier produit est égal à la somme des deux autres.
Quand le polntcholsl est en 0, on reconnaît avec la n>éme raclllli- que la troisième longueur est égale à la diCTërencc des deui antre;.
Or, dans la question mécanique qui nous u ramenés àce théorème, l'origine des coordonnées de laquelle ou itiaissc les perpendiculaires e»t évidemment dan« l'angle oppose ï l'angle XN Y; donc ces! le deuiii-mere- Bullal qu'on doit adopter.
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\M)tlVEIIENT CURVIUGNE h'Vfi POiNT I.IRBK. 175
Si donc X désigne l'aire finie, la quantité xdy— ydt sera représentée par dÇik^ et le second membre en questios
annoncée :
La même proposition peut être établie pour chacun des autres plans coordonnés, ce qui Tournil les deux autres relations analogues
On donne indifféremment cette forme ou l'on gai^de celle de l'équation (o), qui, au fond, a une signification identique. Les trois relations restent, dans ce dernier cas, les suivantes :
JV. B. Si la trajectoire du mobile dans l'espace était une conrbe plane, on pourrait prendre son pian poar plan de pivjection. Le théorème deviendrait alors celui-ci : Le moment de la force et le double de l'aire décrite sont liés entre eus. par l'équation dn mouvement rectiligne.
