Supposons que le moment Q9 soit nul
Il en résulte que-^^=o, d'ou,eDiDtégraatd«ixfois;
A étant uue constante dont la valeur représente le double
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SOUVEHENT i:URVILlGNE D'UK POINT LIBRE. i7&
de l'aire décrite au bout de l'unité de temps. — Nous admettons ici tacitement que les aires sont comptées à partir de l'origine <iu mouvement ou de la poiiition initiale du rayon vecteur. Dans le cas cootraire, il faudraitajouterù^Af une GODslante C dont la valeur serait égale à l'aire comprise entre le rayon vecteurinilial et celui à partir duquel lea aires sont évaluées.
Cette relation >=iÂf aous montre que, pour un plan sur lequel la pi-DJt'clioii du moment de la Torce est nulle, l'aire projetée -augmente uniformément ou d'une manière pro portion ucl le au temps. C'est ce qu'on nomme la conterration de» aire», qu'il serait mieux d'appeler la proportion nalilé des aire».
Si les trois moments Qf, Q' q', Q "f" sont simultanément uuls, cette propriété existera pour les trois plans coordonnés ; et en général pour un plan quelconque passant par l'origine. En effet, d^k, d)>', d/.", désignant les projections sur trois plans de l'aire élémentaire décrite, et dot sa projection sur un pLin quelconque faisant avec les précédents des angles a. S, y, la pi-ojection d<a sera égale à co&otd'i.+ cosSdX'+cosydX", et, par suite, on aura :
w=Xco9œH->'cos6 + X"cos7»= ï{Ac(»a.+A'co96-|-A"cosy)t
Il est aisé de voir que, dans ce cas, la ti'^jecloire du mobile est toujours une courbe plane dont le plan passe par l'origine des coordonnées. Car, de ce que les trois moments sont nuls, il sVnsuitque les tiois équations correspondantes sont:
xdy — y éB= kdt , zdx — xdz= K'dt , y dz — z dt/ = A"dl .
Ur, ces relaiions n'étant qu'une combinaison analytiquf>
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l?fi LIVRE ]l. — POINT MATÉRIEL,
des trois équations ordinaires du mouvement, ne pouveol Tournir pour les coordonnées d'niitres valeurs que celles qu'auraient directement fournies ces dernières. Mais l'on sait que pour trouver les équations de la trajectoire il faut éliminer le temps entre les valeurs des coordonnées. On obtient immédiatement une dès deux équations cberchées en mnllipliant chacune des relations ci-dessus par la coordonnée qui n'y figure pas, et ajoutant ensuite membre à membre. Il vient identiquement
Aî + A'y + M'x =s o ,
qui est bien l'équation d'un plan passant par l'origine des coordonnées.
Puisque la trajectoire est plane, on en conclut que les aires absolues croissent proportionnellement au temps, de la même manière qu'on venait de le reconuaftre pour les projections.
Les moments Qf , Q'q', Q"g" ne peuvent être rendus nuls siiQultanémeni que de deux façons : 1° eu supposant que la force P est nulle; 3* en supposant que son bras de moment est nul, ou que sa direction passe par l'orîgiue des COOTdonnées.
La pi-emière hypotbèse répond au cas d'un mouvement uniforme du point matériel; la seconde, au cas ou il est sollicité par une force constamment dirigée vers un centre fixe.
Ainsi, les forces ceutrales, que nous avons déjà vues jouir de propriétés remarquables à l'occasion des forces vives, offrent cette nouvelle particularité, que la ti'^yectoire qu'elles déterminent est une courbe plane dans laquelle les aires décrites augmentent uniformément.
La proposition relative au moment de la quantité de mouvement donne lieu h une conséquence analogue.
On voit que, lorsque le moment de la forcées! nul, le ma* ment de lu quantité de mouvement demeure constant à lOMte
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MOUVEMENT CrRVILIi;NE D'uN VOIKT LIBRE. 177
Àpoque, ou, ce qui revient au même, que la quaiiliti' de mouvemeni varie en raison inverse de son bi-as de levier. C'est là ceruinemeni un fait bien digne d'aiteniion, que toute force centrale soit impuissante à modifiei- le moment de la vitesse, el qu'elle n'inlliie sur celte dernière qu'à la condition d'influer aussi, d'une manière esacicment contraire, sur la longueur de la perpcndiciilaiic menée à la direction de cette vitesse.
La nature manifeste, principalement dans les phénomènes astronomiques, de grands exemples de ces lois remarquables. C'est ce que nous venons ultérieurement, avec de plus amples détails, dans le septième livre de notre exposition. Le théorème des aires, tel que nous venons de l'établir dans le cas d'une force centrale, peut être démontré directement par (te simples considérations géométriques.
En efi'et, soit le centre llxe et M la position du mobile à un certain moment : ce mobile possède alors une certaine vitesse qui, si la force centrale n'existait pas , l'amènerait en un certain poinlT au bout de l'ioslantcf/. Mais simultanément In force centrale agit suivant MO, et Fig. n. ferait parcourir au' mobile
la IcHiguear AH, s'il n'avait pas de vitesse acquise. Le mouvement effectif qui résulte de ces deux mouvements partiels est représenté par la diagonale M M' du parallélogramme MTM'I, et conséqucmment le mobile, au bout de l'instant dl, vient en M', L'aire décffle pendant cet instant est le triangle infiniment petit MM'O.
Kaisonnons de même pour l'instant suivant : soit M'T'= MM' In longueur parcourue pcudant ce deuxième instant en vertu de la seule vitesse acquise eu M'; soit M' l' lu longueur due à la seule action de la force centrale dii'igéc sut-
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vantM'O. La nouvelle aire décrite sera le triangle OM' M", 4gal k OM'T' comme ayant même base OM' el même hauteur, puisque les deux sommets T' et M" sont situés sur une même parallèle à ta base. Or M' T' égale M M' comme ayant même base et même hauteur. Donc l'aire totale croli proportionnellement au temps.
Celle même démonstration met en évidence que, s'il n'y avait pas de force et que le mobile s'avançât d'une manière uniforme suivant la droite M S, les triangles «igendrés MOT, TOT,, pendant les mêmes temps, seraient éganx,et la propriété subsisterait, quel que fût le point choisi pour sommet commun de tous ces triangles.
