THÉORÈME DE LA MOINDRE ACTION
■ 92, — Ce théorème ne convient qu'au cas où il existe des surfaces de niveau, et où, conséquemment , la fonction Xdx-i-^dy + Zdzesllsi difTérentielle exacte d'une certaine fonction des coordonnées. Il consiste alors dans la propriété suivante :
Entre deux positions quelconques d'un mobile, l'intégrale relative à sa vitesse multïplicc par l'clémcut de courbe parcouru est toujours un minimum ; ou bien, sous une autre forme ;
La force vive consommée cii un temps doitpé par un mobile, pour parvenir d'une position à une autre, est toujours un minimum.
Il faut donc montrer que l'équation de la tr^ectoire effectivement décrite par le mobile est telle, que / Vc^^ prise
entre deux positions données, est un minimum ; ou que, si l'on choisit toute autre U'^ectoire supposée paicourue par le mobile, la variation correspondant à l'iulograle ci-dessus est constamment nulle.
n,g,t,7rJM,GOOglC
MOUVEMENT CUIVIUGNB D'UN POINT LIBBE. 179
En effet, d'après les règles connues liii calcul des vatiaiion&, on a, en représentant la variation par la caracttiristique $,
(1) S. Çvds^ Cè.yds, ei 5.\ds=$\.ds + ySiU. (2)
Comme(/»=V<//,ileni'ésuUe 5V.dt^di\S\=idti\'. En vertu du théorème des forces vives,
; m rfV> = X rf* + Y dy + Z (fa ;
donc aussi
{3} i3v» = i(X5a;+Yjy+Zjr),
en remplaçant les difTérenlIelles par les variations.
, , . . X d'aï Y d'y L â>z ., ,
Maispmsqno -=-775, -=-5#i :;;: = jïî ' '' s^""
'3v. rfi= -; du îv =5 Ja^+Ç jy-i-!j ^î.
Telle est la valeur du premier terme du second membre de l'équalion (3). Quant au second terme \Sdt, on trouve sa valeur en remarquant que
rfî' ;= ria;' -J- f/y' + dz' ,
et que, par conséquenl,
ds. 5ds = dx. Siie + dij. Sdy + dz. Mz ;
remplaçons le multiplicateur d» par \dl, divisons de part et d'anli-e par dt et intervertissons dans le secoiiil membre l'ordre des caractéristiques $ et d, ce qui, cuinnie on sait, est permis; il vient alors :
iM,Googlc
IJÏHE II. — POINT MATÉHIEL.
dt
Nous avons aiosi les deux parties de la valeur 3 . Vds ; remplaçons-les dans l'intégrale / i.\iii deréquaiion(l), et il en résultera :
J.rfS. + "-4.S.
Or, les deux premiers termes de l'intégrale représentent la dilTérenliellc totale, par rapport au temps, de la quantité
-TT^i'i nous ferons des remarques analogues pour les deux
termes suivants et pour les deux derniers. Donc, l'ensemble
des six termes qui llgurent sous le signe / est égal à la dif-
rérentîelle ^{'j',^'''+'^^y-i"j;^A- l'oie enfin, l'on a :
■1 faut ajouter une constante pour l'intégrale indéfinie. Quant à la quantité que nous cbercltons, qui est la variation de l'intégrale de \ dt prise entre deux positions fixes, elle sera égale à la différence des valeurs que prend le second membre en y remplaçant successivement les coordonnées par celles qui cotrespondeut aux deux -positions fixes; et la constante disparait Or, pour chacune des positions fixes, les variations Sx, Sy, Sz sont nécessairement nulles, puisque les trajectoires diverses quelconques qu'on peut consi-
iM,Googlc
HOUVEHEirr CORVILIGNE D'UN POINT LIBBE. 181
dercr sont supposées passer toutes par ces deux points. Donc la valeur de la variation de / \dê, entre 'ces deuK limites, est égale à zéro. On en conclut immédiatement que cette intégrale elle-même est un minimum ou un maximum i mais il est visible qu'il ne saurait exister de maximum, car cil preoant, entre les deux positions fixes, des trajectoires
de longueurs iiidérinies, on ferait croître l'iiilégrale /V(/«
au delà de toute limite. Donc celte intégrale est nécessairement un minimum.
Le second énoncé du théorème s'obtient aisément eu remplaçant, dans cette intégrale, dtparXdti elle se change
alors en j V'(/f,etladémonstraiîonprccédenle nous prouve
que celte intégrale, et par suite In qnanlitc / i m V dl est
un minimum.
Le théorème de la moindre action ne convienf, avons^ous dit en commençant, qu'au cas oii Xtix+Yf^y + Zi/restla difiëi-entielle exacte d'une certaine fonction des seules coordonnées. En effet, les déductions ci-dessus s'appuient sur l'e»actitudc de l'équation (3), c'est-à-dire sur ce que la valiation de V, prise par rapport aux seules coordonnées, est égale ù XSx+ySy +ZSz. Pour qu'il en soit ainsi, il faut que V^ ne dépende que de ces coordonnées, ou qiieXîx-t- YJyH-Zî^ soit la variation exacte d'une certaine fonclîoii des coordonnées.
A l'époque où ce théorème célèbre s'est produit dans toute sa gcQcralilé, au commencement du siècle dernier , les sciences naturelles étaient encore obscurcies par des notions métaphysiques. Aussi vouluE-on voir dans ce résultat analytique un principe à priori qui régissait les forces de la nature. On argumentait sur uoe vaine économie d'action qui
devait présider à rai-raiigcmeat de l'univers. L'iiianiié d'une telle conceplion est visible : car, outre qac eolie prétendue économie d'action, transportée en dehors de uos travaux personnels, n'a absolument aucun sens, la conceplion eUe-méme péchait par la base, puisque toutes les forces de la nature lie satisfont pas à ce principe, et qu'il n'est vérlBé que pour les Torccs centrales. I) faut se borner à y voir, comme du reste dans tous les autres principes ài-yn démontres on que nous démontrerons plus lai'd, une piii-e conséquence logique des lois expérimentales de la nature, exposées nu commencement de cet ouvrage, et pour lesquelles toute lentaiive d'explication li prior* est aussi vaine que stérile.
C*s iiarilenller d*iia« force de dlreellon eoMtanle.
93. — D;ms le précédent chapitre, nous ne nous sommes pas occupés du mouvement déterminé par la combinaison d'une fore(^e dii-ection constante cl d'une vitesse oblique à la direction do la force. Ce mouvement n'étant, en effet, qu'un cas particulier du mouvement curviligne le plus général, traité dans le présent chapitre, la solution qui le concerne s'y trouve naturellement renfermée.
Si nous en faisons ici une mention spéciale, c'est uniquement aKn de mettre en évidence certaines remarques relatives à ce cas particulier, et qui sont digues d'attention.
1' La trajectoire est toiijours imc courbe plane.
Un le déduit aisément des équations générales,
Pco8a = ffl^, Pcos6 = mT4, Pcosy = m~,
en y éliminant t et P, et en ayant égard à ce que les cosinus do la dii-ection de la force sont des quantités constantes. C'est, du i-esie, ce qu'on voit directement par des considé-
MOUVEMENT CKHVaifiNE D'UM POINT LIBRE, Hi
rations g^m^^triqiios ; car la posiiioii fjiio piviid le mobile, sous l'inlluencc simulUmoc de la torco el de la vitesse Initiale, se détermine à chaque instant en consiruisaot le parallélogramme dont les deux cdtés continus sont, l'un la longueur parconrue on vertu de la seule vitesse, l'autre la longueur due à la forcA ; or, ces côtés sont toujours pris sur les deux mémos lignes droites, puisque la force a une direction constante. Donc, tous ces parallôlogranimes , el, par suite, leurs sommets sont dans le mcmc plan.
3" Si la force est constante aussi en grandeur, la imjecloiré est une parabole.
C'est encore ce qu'on pourrait déduii-e des équations générales, en y introduisant l'hypothèse que les premlei-s membres sont des qiiunlilt's constantes. Mais il est plus expédîlif de s'en rcudre compte dii'cclemenl en prenant pour axes de coordonnées deux droites respectivement dirigées suivant la direction de la vitesse et suivant la direction de la force. Ces axes seront obliques, mais ils oITriront l'avuiilage que chaque coordonnée sera si'parénieut égale à l'espace paix'ouru, soit en vertu de la seule force, soit en venu de la seule vitesse, ce qui permelirj de trouver tout de suite leurs valeurs. En effet, l'axe des y, par exemple, étant parallèle à la force, et celui des j? à la vitesse, on aura :
en désignant la vitesse initiale par a.
L'équation de la trajectoire s'obtient en éliminant le temps entre ces deux valeurs, ce qui donne
équation d'une parabole rapportée à ses diamètres.
18ù LIVRE U. — POINT HATÉBIEL.
Si l'on vmiluit conserver le syslcmc d'axes rectangulaires, on pourrail toujours prendre l'axe des y parallèle k la force : quant à l'axe des ;r, il serait oblique à la vitesse, et celle-ci donnerait, suivant les axes, deux composanteB, <icos9 et asin9, on appelant S l'angle qu'elle fait avec l'axe des x. Les valeui'S des coordonnées deviendraient alors :
x = ucaiO. t, y = ti sin Q. ( -+• K — t= ;
d'où l'on tire, pour l'équation de la ti-Eyectoire, P
Si l'on voulait déduire ces résultats des équations générales, il suffîraii d'y suppos(!r que la ti'ajecioirc est tout entière dans le plan des xy, et que l'axe des y est parallèle à la foi'ce. La troisième éiiuuiion générale disparaîtrait alors et les deux autres deviendraient :
'""'(/(»' " ~ '" dC '
d'où l'un lire, par intégration, les valeui's ci-dessus de x et de y.
01». — Ce qui précède n»us montre que le monvement puiaboliquo est la loi de tous les mouvements où la résultante dos forces est constante. Si, à un moment quelconque, les foi-ccs ou plutôt leur résultante cesse tout à coup do viirier, la trajectoire, à partir de cet instant, est une parabole tangente à la courbe précédemment décrite. On peut ajouter cotte autre remarque, que, dans un temps infiniment petit, la force peut èti-e regardée comme constante en grandeur et eu direcliou, et que, par suite, l'élément de courbe décrit est parabolique. Ainsi, dans l'ordre dynamique, la
MOUVEMENT CURVUIGHE d'dn POINT LIBRE. 185
parabole joue vis-à-vis des courbes le mi*me rôle que le cercle osculateur dans l'ordi'e géométi'ique. Pour nous Taire une idée de la courbure d'une ligne quelcouqac , nous la l'apportons à celle du cercle qui coiuciderait avec elle : eu méainique, pour nous rendre compte d'un mouvement, nous devons le rapporter ù un mouvement parabolique qui coïnderait avec lui. En un mot, le mouvement parabolique e&t l'étément infinitésimal d'un mouvement quelconque.
Celte assimilation est de même degré que celle qu'on établit dans les moavemenls rectilignes, en regardant le mouvement uniformément varié comme la limite du mouvement varié. Dans l'un comme dans l'autre cas, l'assimilation se base sur la considération de la constance de force pendant un temps infiniment petit.
L'esprit ne doit pas négliger le côté pliilosopbique de ces rapprochements, qui ont pourconstant procédé de substituer à l'objet quelconque, mal perçu de nous, un objet suffisamment voisin du premier et beaucoup plus familier à nos observations.
Ainsi, en géomcli'ic, le cercle est sans cesse substitué à la courbe générale, parce que nous avons une idée assez nette du type circulaire mais fort imparfaite de tous les autres. De même, en méi^nique, la conception directe, fort obscure, d'un mouvement quelconque est suppléée par celle du mouvement parabolique qui s'offre perpétuellement à nous dans la nature : puisque tout corps lancé dans l'espace avec une vitesse indéterminée, décrit, eu vertu de la force constante de la pesanteur, une courbe parabolique. En sorte que, toutes les fois qu'un corps se meut sous l'influence de causes quelconques, on doit se représenter son mouvement, si compliqué qu'il puisse paraître, comme composé d'une succession de mouvements iufiniment petits, identiques à ceux que nous produisons nous-mêmes en projetant nn corps dans l'espace.
- POIAT MATËRIEC.
Obseri-mlAnii généralM sur Pensenble des réiialUU
95. — Les équations qiii déterminciit le mouvemcnl le plus général d'un point matérirl absolument libre de se mouvoir dans toutes les directions, sont, cutnmc nous avons vu, au nombre de trois, qui répondent aux trois dimensions de l'espace, suivant lesquelles le mobile s'éloigne de son poinl de départ.
Ces (rois équations sont les suivantes :
, , , „ dv „ du ' dm
^ ' dt ' dl' dt
£lles détermineut isolément les trois mouvements rvciilignes, parallèles aux trois axes, dont la siniulianéité doune lieu au mouvement cuiTilignç e» question.
. A ces trois relations on Joiut les trois autres :
dx tly dz
qui ne sont, à proprement parler, que des équations de déRnition, car elles expriment que, dans chacun des trois mouvements rectiligncs, la vitesse est égale à la limite du rapport de l'espace parcouru au temps employé à le parcourir : relations dues conséquemment .'i ce besoin de notre esprit de donner, pour plus de clarté, une stgniflcation conciélc à ce rapport-limite qui, sous sa forme primitive, ne nous Tournit point une image suffisante.
Ces trois équations auxiliaires permettent de donuci* aux trois précédentes la forme
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MOUVEMEKT CURVILIGNE D'iiN POIST IIBBE. 187
SOUS laj^tielle elles renfei-ment les relations (B) implicitement.
En résumé, les équations (A), sous une forme ou sous l'autre, résolvent complélcinent le problème général du mouvement curviligne d'un point matériel.
Il résulte de là que la solution de ce problème peut également être exprimée p:ir des combinaisons quelconques de ces équations, pourvu qu'on en déâuïse trois outres équations parKiitement distinctes. Ce n'est là, on te comprend, qu'une pure question d'algèbre, absolument étrangère ù l'objet même de la mécanique.
C'est ainsi que les équations (A), que nous appellerons désormais les équations fondamentales du mouvement, pourraient être remplacées, par exemple, par deux d'entit: elles , jointes il l'équation de la force vive , ou par les trois équations des momeuts que nous avons vues à la fin du ri° 89. On pourrait enitn leur substituer telles autres combinaisons qu'il plairait d'imaginer, pounu , je le répète , qu'il restât tmis relations parfaitement distinctes entre la force et les coordonnées .11 ne faut pas perdre de vue que, dans ces différentes circonstances, on n'aura jamais fait qu'exprimer, sous une forme ou sous une autre, une seule et même chose.
Si nous insistons sur ce point, qui semble superllu tant il est évident, c'est parce que, dans la suite, nous pourrons nous servir des équations , tantôt sous leur première forme, tanidt' sous leur forme modifiée ; et nous lenous à ce que ces changements ne fassent pas illusion à l'esprit, et qu'on n'y voie jamais des équations nouvelles, distinctes des équations primitives.
n,g,t,7i.dt,G00glc'
UVBE II. — POIKT U&TËItlEL.
É^alllbre des forces qal B«lllelleiit no polnl malértcl.
96. — Nous avons déjà vu ce qu'on entend par des forcet qui te font équiHbre. Ce sont, avons-nous dit au n° 52, dtis roi-<:cs qui ne oliangcnt pas W-ini de repos ou de mouvement d'un corps; de telle sorte qu'elles peuvent âirc introduitus ou supprimées sans que ce repos ou ce mouvement soit aucunement modifié.
Nous avons déduit géométriquement, au n" Gh, la condition d'équilibre d'un groupe quelconque de forces appliquées il un même point matériel : elle consiste en ce que la résultante générale de toutes ces forces est nécessairement nulle.
Il n'est point difficile d'exprimer la même condition, sous forme analytique : car, de ce que cette résultante est nulle, il s'ensuit que sa composante suivant chacun des trois axes coordonnés est nulle aussi: et réciproquement, si ces trois composantes sont nulles, la résultante elle-même est nulle pareillement; ce qui est formulé par les trois cquatioas suivantes :
On l'énonce ordinairement d'utic autre manière, en remarquant que la projection de la résultante de toutes les forces est égale à la somme des projections de ces forces, et que, par suite, si l'on représente par F, F', I'"..., les diveraes forces dont P est la résultante, et par a, ê, y, «', 6', ■/'■-■■» leurs angles respectifs avec les axes, les trois conditions cidessus pourront s'écrire :
F cos « H- F" cos «' -H F" ces «" + ^=o,
(F.) F COB g -I- r cos 6' -|-F"cosS" + =o,
F C03 7 -I- E" cos y' -4- F" cos y" + =o;
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HOUFEHENT CUBVIUGNE D'UN POINT LIBRE. 189
formo sous laquelle elles signtlîent que la coEidition nécessaire et suffisante pour que des forces quelconques se fassent équilibre sur un point matériel, c'esi que la somme algébrique de leurs composantes suivant chaque axe soit nulle.
Il est visible d'ailleui-s que, si toutes les forces étaient situées dans le même plan, les axes et par suite les sommes de composantes seraient nu nombre de deux seulement; et que, si toutes les forces étaient dirigées suivant ta même droite, il n'y aurait plus à considérer qu'une seule somme algébrique, qui serait justement la somme des forces données.
Ces relations si simples, qui uc sont que l'expression analytique du résultat obtenu géométriquement au n° Gh, se déduisent avec la même facilité de l'inspection directe des équations du mouvemetil.
En effet, la condition générale de l'équilibre étant que les forces n'influencent pas le mouvement du point, il en n>sulle que les premiers membres des éqiiatious (.\),
rff' ' clt^ ' ' (II' '
doivent être nuls, sans quoi les valeui-s des cooi'données ne resteraient pas les mêmes en introduisant ou en supprimant les forces supposées en équilibi'e. Nous retombons ainsi sur les relations déjà trouvées
Nous remarquerons en passant que l'annulation des premiers membres implique que
ou que le mouvement du point matériel est l'cctilîgne ou uniforme : conséquence prévue elimplicitemcnt contenue d'ailleui-s dans les équations qui nous les rouniisseul, puisqu'elle
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190 UVaE II. — POINT MATÉBIKL.
n'est antre que la loi même d'inertie qui a servi de base k rétablissement de ces équaUons.
Les conditions d'équilibre penvent être mises sous d'autres formes, puisque les équations (A) peuvent être remplacées par leurs combinaisons quelconques. Ainsi l'on exprimera également l'équilibre au moyen des équations des moments, du n" 89, pour lesquelles on verra comme ci-dessus que les premiers membres sont nuls :
Ta: — Xy = o , Xa — Za: = o , Zy — Yz = O ;
ce qui permettra d'énoncer les conditions d'équilibre en disant que le moment de la résultante ou la somme algébrique des moments des composantes, suivant chaque plan coor* donné, est séparément nulle : ronditions qui sont évidemment vérifiées si, le mobile étant primitivement en repos, on y place l'origine des coordonnées, car alors les bras de tous les moments sont nuls.
97. — C'est ici le lieu de remarquer combien est plus satisfaisante pour l'esprit la méthode qui consiste à recbei'cber les conditions de l'équilibre dans les lois mêmes du monvement, an lieu de les étudier directement sur les corps en repos. Les résultats sont empreints d'une bien plus grande généralité ; et, pour n'en citer que l'exemple relatif au cas du point matériel, tandis que la statique directe nous apprend seulement que la somme des composantes, suivant trois axes, oit la somme des moments, suivant trois plans, des forces appliquées à un point immobile, est égale à zéro; la statique indirecte ou corollaire de la mécanique nous apprend que ces coaditïons subsistent encore, quel que soit le mouvement que peut prendre le point en dehors de l'action du groupe en équilibre : de telle sorte que, si ce groupe est transporté en un point quelconque de l'espace et retourné de toutes façons, sans changer les angles mutuels, — ce qui ne changera rien non plus aux valeurs absolues descôiés
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MOUVEMENT CtlBVlUGHE D'UN POINT UBBE. 191
de la conslruclioD polygonale du n° 62, — dans toutes ces circonstances les relations ci-dessus continueront à subsister intégralement. Ce résnilat, qui paraît peu digne d'atlenlion pour le cas spécial du point matériel unique, où la simplicité des éléments considérés le met sur-le-champ en évidence, acquerra une importance vcrilable quand il s'agira (les systèmes de points matériels oii les forces seront en équilibre. C'est pourquoi nous en parlons ici pour que plus lard on ne le laisse pas passer inaperçu.
Nous remarquerons également que les relations trouvées ci-dessus confirment ce qui avait été énoncé d'une manière générale au n" S3, à savoir que les conditions d'équilibre sont, de leur nature, indépendantes des masses et des coordonnées. Sous voyons, en effet, que les équations (E) n'en font pas mention.
,tPrJM,G00glc
