CHAPITRE IV

MWVESretfT iriJN POINT yiSl N'EST PAS LIBRE, OU QUI ESI ASSUJETTI A r.ERTAISES LIAISONS.

iîlonf donnée vnr force qufiMnquf, ai It point malérifl rtl atsujelli, di'lrrmino

oa rëclproqufmmt :

^lanl connuri Im liaitons, uinti que li- mourfment. trourer ta {orée gui pourroii le •produire.

98. — Jusqu'ici nous avons supposé que le point matériel était parfaitemfnl libre on qu'il pouvait ciidcr dans toutes les dii-eciions ù l'aelion des forces qui venaient 1« solliciter.

I) nous reste h considérer maîiUenani un point poiii- lequel cette entièi-e liberté n'existe pas.

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MOUVEMENT d'un POI>rT ASSUJETTI A DCS LIAISONS. 193

On dit qu'un poiai maiérie) est assujetti à des (taisons lorsque son mouvement est impossible dans ceriains scits, quelles que soient lesTorccs qui agissent sur lui.

Nous allons cCHisidérer successivement les dïvei'ses liaisons auxquelles un point peut éti'e assi^elti, et nous rechercherons pour chacune d'elles les équations correspondautes du mouvement.

Les seules liaisons que notre esprit conçoive sont les suivantes :

1° Obligation pour le point matériel , par des moyens quelconques, de rester sur une surface déterminée, c'est-àdire impossibilité pour lui à abandonner cette surface, tout en conservant d'ailleurs la faculté de glisser dans tous les sens sur son contour.

2° Obligation, dans les mêmes teimes, de rester sur une ligne, droite ou courbe, donnée.

3* Liaison du point matériel à une ou deu\ liges rigides et inextensibles, dont l'extrémité se trouve parfoiteraent fixe.

Nous disons une ou deux, car, s'il y eu avait trois ou un plus grand nombre, le point serait de toutes manières complètement fixe, et il n'y aurait plus lieu dès lors de se préoccuper de son mouvement. Nous disons aussi que ces tiges sont fixées par une extrémité, car, sans cela, le mobile serait aussi libre que si elles n'existaient pas. Nous verrons enfin tout à l'heure pourquoi ces tiges sont supposées rigidet et inextenêibleë. Nous ajouterons qu'on les suppose d'ailleurs tant ma»»e, ou plutiït qu'il fuut les concevoir comme ayant une masse tout ù fait négligeable par rapport à celle du point matériel lui-même.

k" Liaison semblable du point à un ou dcu\ fils Oexîbles et inextensibles, qui ont simplement leur aulre extrémité fixe, un qui, en mi^me temps, s'enroulent sur dos courbes ou des surfaces fixes.

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194 UVllE H. — POIXT MATÈRiet.

6° Obligation du point de glisser le long d'un fll flexible, dont les deux extrëmilés sont par^itement fixes.

Nous avonebean chercber, nous ne réussissons pas à trouver une liaison qui ne rentre pns dans celles-là. Car, si l'on imagine, par exemple, des liens qui, au lieu d'être absolument inVxiensibics, pourraient s'allonger ou se raccourcir à l'instar de ressut'ls, il n'y uuiait plus, à proprement parler, de liaisons, dans le sens que nous avons donné tout à l'heure à ce mot. En elTet, en appliquant au mobile des forces convenablement choisies, on pouirait le mouvoir dans toutes les directions, mCme dans celle de la longueur du lien ; il suffirait, pour cela, que la force fitl capable de vaincre la résistance déteiminée que le lien oppose à son extension ou à sa compression. De telles liaisons cessent alors de mériter ce nom cl se comportent comme de véritables forces motrices qui font partie du groupe total de forces auquel le point matériel est supposé soumis. Au contraire, les liaisons que nous voulons considérer, et qui sont géoméiriquet ou ahsoliieii, sont caractérisées par cette circonsrancc, qu'en aucun cas, et malgré toutes les forces qu'on pourrait choisir, le mobile n'a la faculté d'abandonnerla surface ou la courbe, ni celle de s'écarier du point fixe au delà de la longueur du lien, etc., etc. l-n nn mot, ers liaisons sont susceptibles d'opposer, dans certains sens, une rétixfance indéfinie aux actions extérieures.

A la vérité, toutes les liaisons que nous observons, comme toutes celles que nous pouvons réaliser, par cela seni qu'elles sont eonstiiuées par des moyens matériels, u'ofR^nl jamais .cette rigidité absolue que nous venons de supposer. Les surfaces et les courbes les plus parfaites en apparence se déforment en réalité, c'est-à-dire cèdent plus ou moins à la pression des forces qui s'exercent sur elles. Oe même, tes liges et les fils s'allongent ou se raccourcissent, et jouent plus ou moi'is ce râle do regmit-lt do'il nous parlions tout à

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MOUVEMENT D'UN POINT ASSLJETTi A DES LIAISONS. 195

l'heure. Mais, quelque impuissante que soit la pratique des choses pour aiteîndre le type absolu delà théorie, nous n'en sommes pas moins en droit d'envisager les liaisons avec la perfection abstraite que nous leur avons attribuée, sauf à ne retirer plus tard de cette étude aucune utilité positive, si l'observation directe des phéiiomèDes effectifs nous rendait impossible toute assimilation avec ces considérations idéales. Mais, hlktons-nous de le dire, nous trouverons dans la mécanique appliquée des réalités assez voisines de ces types imaginaires pour que les déductions des uns conviennent suffisamment aux autres , et pour qu'il y ail couséquemment intéi'ét à nous occuper de liaisons conçues d'une manière tout à fait géométriqne.

99. — Cela posé, nous ferons remarquer que, parmi les liaisons énumérëes en commençaut, ceilaines rentrent dans les autres ; et même il est facile àa voir que toutes sont comprises dans la première et la seconde.

En effet, la troisième liaison revient à obliger le mobile à rester sur la surface d'une sphère, s'il est attaché à une seule tige, et sur une circonférence, s'il est attaché à deux.

La quatrième liaison revient à la troisième, et, par suite, aux deux premières, si les forces appliquées ont des directions telles que les fils soient toujours parfaitementtendus, à toute époque du mouvement. Si, au contraire, les fils cessent d'être tendus à certains moments, le mobile se trouve alors dans les mêmes conditions que si ces fils n'existaient pas. En d'antres termes, te point matériel est tantAt obligé de se mouvoir sur une sphère ou sur une -circonférence, et tantôt parfaitement libre dans l'intérieur de cette sphère et de celle circonférence. Ce dernier cas n'offrant naturellement rien de nouveau, par rapport à ce qui a été déjà étudié au chapitre pi-ecédent, nous ue nous occuperons que des cas où les fils sont tendus, ce qui nous ramène aux autres modes de liaisons.

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196 l.l\RK II. — POIYI U.4TÈRt£r..

Quant à la paUkulurilt- où les fils, loujoui-s supposée tendus, s'eDrouleraieni sur des courbes ou des suiTaces, il est bien évideut que cela revient anssii à faire mouvoir le point sur cerluînes courbes ou surfaces correspondant au développeuieul que prennent les fils dans luur enroulement.

Enfin, si le mobile est assujetti à glisserle long d'un fil flexible, fixé par ses deux extrémités, il se trouve par là obligé de se mouvoir sur la surface d'un ellipsoïde de révolution, dont les deux foyers sont aux deux points fixes.

Kous n'aurons donc à rechercher les équations du mouvement que dans les deux cas où le point matériel eU assujelti à glisser sur une surface ou sur une courbe donnée.

Remarque. — Dans ce qui va suivre, nous supposerons quels surface ou la courbe, qui oppose une résistance iudé- Kiiie à ce que le mobjlc la quille en dehors ou en dedans, n'en oppose aucune à ce qu'il glisse sur sou contour. C'est ce qu'on nomme un glissement tant frottement. Dans la uature, au contraire, toute cxiurbe ou surface sur laquelle on fait glisser un mobile oppose, outre la résistance à la séparation, une résistance au glissement lui^néme, qui a été ap~ pelée frottement. C'est donc une force de plus à ajouter à tomes celles qui sont supposées agir sur le mobile. Pour donner au problème le plus de généralité possible, rien n'empêche de concevoir que cette force fait paitie du groupe quelconque dont nous considérons la resuttanle unique. Mais nous sommes, dans tous les cas, dispensés d'eu l^ire mention explicitemeni, puisque c'est cette résultante seule qui figure dans nos raisonnements.

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