MOUVEMENT D'UK POINT ASSUJETTI K DES LIAISONS

P«lnt ■latérlel assajcltl k demeurer ayr aan «■rface 4«iiRéc.

100. — Toute action exeicce sur «ii point mati-net par tinc Torce de gr»ndeur quelconque, nmis normale à la surface sur laquelle le point matériel est assnji>lti à demeurer, est constamment détruite par la résislaiicc de celte surface, e( le mouvement du point matériel reste idcniiqHement le même que si cette force n'existait pas (iibstraclion faite, bien entendu, du frottement qui pourrait en résulter, et que nous supposerions alors compris implicitement dans le groupe des autres foi'cos qui sollicitent le mobile)-

Celte destruction de la force normale est présentée par la plupart des géomètres comme une conséquence logique de ce qu'(7 n'y a pat de raiton pour que le mouvement soit infiveneé daftt un ten» plutôt que dant l'autre. Quant :i nous, qui repoussons systématiquemeut toute ai^umentation puisée dans l'essence même des choses , intei-dite à nofrc connaissance, nous nous bornons à présenter le fait cidessns comme un résultat de l'expérience.

Tonle action exercée obliquemenlsnr la surface est susceptible d'être décomposée en deux anires, l'une normale, qui est détruite comme nous venons de voir, l'autre située dans le plan tangent, el qui a son entière efllcacité pour mouvoir le point matériel suivant l'élémciit de contact.

Ainsi, la surface intervient dans le mouvement pour détruire toutes les composantes normales des actions motrices, et elle laisse subsister intégralement toutes les composantes langenttelles.

Celte surface équivaut donc à une certaine force normale, de grandeur i/((/e^Ht«,qni, en cliaque position du mobile, se

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joint aux autres actions qui peuvent le solliciter, pour le maiotenir, concurremment avec elles, sur les divers points de son contour.

D'après cela, on peut considérer le mobile comme parraitement libre dans son mouvement, pourvu -qu'à toutes les forces extérieures qui lui sont^ppliquéus on ajoute une nouvelle force de grandeur indéfinie, dirigée en chaque endroit suivant la normale à la surface donnée.

L'annexion de cette force introduit ainsi une inconnue de plus, qui est sa grandeur. Quant à ses angles avec les axes, ils sont des fonctions connues dos coordonnées du mobile, puisque la force est dirigée suivant lu normale, et que les angles de cette dciniërc s'obtiennent au moyen de fonctions qui dériventde l'équation de la surface, dans lesquelles on attribue h x,y,z les valeurs coiTespondaut à la posi~ tion du mobile. D'un autre i'6té, le problème compoite une incouniie de moins, puisqu'il tout instant les coordonnées du point matériel sont liées entre elles par l'équation de la sui^ face. Somme toute, il y a donc le même nombre d'inconnues que dans le cas où le poiut matériel est parfaitement libre. La solution cherchée sera fournie en conséquence par les trois mêmes équations fondamentales du mouvement, ou par leurs combinaisons équivalentes, dans lesquelles figureront, parmi les forces données, ia force qui représente l'acUon de la surface, et dont l'intensité sera ainsi déterminable à clique instant.

101. — Soit donc, comme précédemment, X, Y, Z, les composantes suivant les axes de la résultante totale des forces données ; soit K la force , de grandeur inconnue, qui représente l'action de la surface, et soit X, fi, v ses angles, qui sont, avons-nous dit, des fonctions connues des coordonnées X, y, z du mobile.

Les trois équations fondamentales du mouvement seront:

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UOOVEUEM d'un POINT ASSUIBITI A DES UAISOKS. 190

(A) X + Kow>.=m^, ï + KcoSfi=m-^,

Z + Kcosi-^m-^i

auxquelles il faui joindre, uomine d'itubimde, les trais relations qui se rapportent aux vitesses :

miUc du dz

d( ' d( ' dt

An moyen de ces six équalious et de celle qui représente la sorfïice, le problème est eomplétenieiit résolu, c'est-àdire que :

Étant connues tes Torces extérieures, on peut déterminer le mouvement ;

ou réciproquement, étant connu le mouvomciit, on peut déterminer les forces extérieures.

Subsidiairemenl, on trouve la valeur de la force normale qui à chaque instant équivaut à la surface.

On peut donnei' aux équations (A) une autre forme en y metiant en évidence les valeurs des cosinus de Ja normale.

On a trouvé eu analyse que ces valeurs sont respectivement les buivaules :

awi=H^, co»a=H^, owi-^hJ; WD '^ dy az

/'(x,y, 7) = uéunt l'équatiou de la surface donnée, et il représentant abréviativemeiit la quantité

Par suite, les équations (A) deviennent .

iM,Googlc

dt dt

En éliminuiit K H eotre ces trois équations, on obtient :

df dm df\

df Uu df\ ' dy dt' dx)

Ces équations ne coniîennent pins la force K, ei, en leur adjoignant l'équation de la siirl^ce,

011 a trois relations entre j:, y et z, qui permettent d'exprinivr ces coordonnées en foiiciion du lemps.

Ce procédé, qui au Tond ne difTèrc pas du précédent, revient à diro qu'on n'a que deux équations du mouvenienl, au lieu de trois, pour déterminer les coordonnées du mobile, mais que la position de celui-ci ne comporte que deux inconnues distinctes, puisqu'il estasi^ujetti à se trouver sur une certaine surracc.

103. — Quoi qn'ilen8oit,etdequelqucmanièrequ'on résolve le problème, on voit que le mobile, tenu de se mouvoir sur une surface, se trouve exactement dans les mêmes conditions que s'il était parfaitement libre, et qu'il fût sollicité, non pas seulement par l'ensemble des forces dont nous avons désigné la résultante pur P, mais aussi par la force K. En sorte que toutes les obsenaiions du chapitre précédent sont rigoui'eusement applicables ici, pounu qu'en les formulant on ait toujoui-s soin de remplacei* la force P, dont il est question, parla rétiultanle de celle même force et de la force K.

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MOt'VEMOT D't.N POINT ASStJtni A litS MAISONS. 201

Donc, pour manifester les cons<-qUL>ncL-s relatives iiti mouvement actuel, il suffit de l'éprendre tontes les équations déduites dans )e chapitre III , et d'y substituer algébriquement à P l'ensemble de P et de K.

Remarque. — Avant de nous liver à eet examen, itous reroiis une remarque importante : c'est que ce n'est plus la foit;e P elle-même qui est siuiéc dans le plan osculateur de la courbe décrite, mais bien ta résullante de P et de K. Pour que la force motrice ( la force P ) fût elle-mAme dans vc plan, il faudrait que l'action normale K s'y trouvât anssi : ciir alors, la résultante des deux forces P et K éunt dans ce plan, ainsi que l'une d'elles K, l'autre P s'y trouverait uccessairement. Mais ce serait là évidemment un cas très-particulier, d'après lequel la trajectoire aurait son plan osculateur constamment normal à la surface, et serait en conséquence une ligne de plus grande ou de plus petite courbure. Or de telles lignes sont une exception parmi la multitude de celles qui peuvent être tracées sur une surface donnée.

Cela posé, examinons successivement les diverses relations du chapiti'e précédent.