BelaUons (E) et (t) des n" 81 et

Dans l'équation (E),

T doit repi-csenter aclnellement la composante, suivant la tangente à la trajectoire, de la résultante des forces P et K, ou, ce qui revient au même, lu somme des composantes tangeuiielles de ces deux forces. Or K étant noiTuale ne fournit pas de composante ; donc T continue à représenter la composante tangentielle de la seule force motrice P. Dans l'équation (F) ,

nKj,i,.rjM,G00glc

N doit représenter la' composante, suivant le rayon de courbure, de ta même résultante des forces P et K, ou bien la somme des composantes de chacune de ces deu\ Torces. Désiguons cette somme par : la relation (F) devieut donc

C'est cette force G qui est la force centripète, c'est-à dire la force qu'on doit appliquer, à chaque instant, au mobile, suivant le rayon de courbure de la trajectoire, pour que ce mobile, au lieu de continuer sa route suivant lu tangente, parcoure la ligne qu'il décrit elTectivemcnt sur la surface. Réciproquement, pour nous servir des iocutioas adoptées, nous dirons que le mobile est animé d'une force centrifuge égale et coutraire à G.

On déduit de là les conséquences suivantes :

1° La vitesse du mobile est due uniquement à la composante tangentielle des forces extérieures; eu sorte que, si ces forces sont constamment tangentes à la li'ajectoire, elles impriment la môme vitesse que si le mouvement avait lieu librement en ligne droite, et que, lorsqu'elles sont obliques, toute la portion de ces forces qui n'agit pas suivant la tangente à la trajectoire est perdue pour la vitesse.

T Si la vitesse est constante, la composante tangentielle est nulle, et par suite la force motrice csCnulle ou perpendiculaire & la direction de la ungente.

t" Dans le pi'emier cas, c'est-à-dire si la force motrice est nulle, la résultante G de la formule ci-dessus représente simplement l'action normale K de la surface. Ainsi le plau osculaieur de la courbe est constamment normal à la surface. C'est là, comme on sait, le caractère distinctif de la eourke la plu» petite potHble menée entre deux points sur une surface. D'où l'on voit que, lorsqu'un point matériel se meut sur une surface en vertu d'une vitesse initiale, cette vitesse

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MOUVEMENT D'DH POINT ASStJETTl A DBS LIAISONS. SOS

demeure constante, et la courbe parcourue jouit de cette propriété qu'entre deux quelconques de ses points l'aix; rectifié a une longueur moindrcque pour toute autre ligne menée entre ces deux mêmes points. D'après cela, sur uuo sphère, la trajectoire esi toujours un grand cercle, puisque, entre deux points quelconques, un grand cercle peut toujours êti'c mené, et que c'est la courbe de longueur minima.

^i" Pour que cette troisième conséquence subsiste, il suffit que le plan osculaleur de la courbe soit normal à la surface, ou que la force désignée par G se confonde en direction avec la résistance normale de la surface. La nitime couséi|ucucc aura donc lieu si la force motrice se réduit à une force tangeittielle, ou si elle est située dans nu même plan avec la tangente ei la normale. Dans les deux cas, en effet, G se confond avec K .

fi" Si la force exiérieui-e est nulle ou dirigée suivant U tangente à la trajectoire, la force centripète est égale à l'aotjon de la surface.

Si la force extérieure est située dans le plan de la tangente et de la normale, elle fournit une composante suivant celle normale, et alors la force centripète est égale à l'action de la surface, augmentée ou diminuée de celte composante selon que celle-ci agit vers le centre de la courbe ou en sens oppose.

6° Si l'action de la surface et la composante dont il vient d'être parlé sont égales et de sens opposés, la force centripète est nulle, M par suite le rayon de courbure est infini, ce qui montre que la trajectoire est une ligne droite. Ainsi, toutes les fois qu'un point matériel suit une ligne droite sur une surface, la force motrice est située dans le pian mené par cette droite perpendiculairement à la surface, et sa composante normale est détruite par la résisWnce de la sui-face.

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- POIM MATÉRIEL.

TIIÈOnËMIi DR LA FOIICB VIVE.

Idtt. — Toules l(« formes t|iic nous avons donnràs à l'équation de la force vive penvent «Itre déduites de l'une d'elles; par exemple, de celle-ci :

X (ir + ï rfy + Z (/î = (/ - m V.

Voyous si la présence de la foi-cc K apporte quelque modification. Non, évidemment ; car la somme des travaux élémentaires des (rois composantes, suivant les axes, de lu force K, est égale au travail de celte force K elle-même, c'est-ù-dirc à coite force K multipliée par la projection, sur sa propre dirociîon , de l'espace parcouru : or ce produit est nul, puisque la force K est normale à la surface, et, par suite, perpendiculaire à tout élément de courbe décrite sur cette surface. -- C'est ce qu'on pouvait également reconnaître en i-emarquant que l'équation ci-dessus représente le travail de lu composante tangentielle Tds; or cette composante est la même, soit que la force normale K intervienne, soit qu'elle n'intenienne pas.

Donc tout ce qui a été dit précédemment sur lu force vive, et toutes les conséquences qu'on en a tirées, peuvent s'appliquer intégralement au cits actuel, sans se préoccuper aucunement de l'action due à la présence de la surface.

Ainsi, les théorèmes des n" 86 et 87, relatifs aux surfaces de niveau, trouvent ici leur application. Seulement, le mobile étant déjà assujetti à demeurer sur une certaine surface, il n'y a pus lien de considérer toute espèce de trajectoire entre les surfaces de niveau, mais les seules trajectoires décrites sur la surface fixe. En d'autres termes, les surfaces de niveau sont remplacées par des courbes de niveau, résult;int de l'intersection desdites surfaces avec la surface fixe. Comme

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MOUVEMENT d'uN E>OL^T ASSUJETTI A DES LtATHONS. '2U&

cas pailiculier de ces ibéoi'èmes, supposons, par exemple, une surface coupée par deux plans parallèles, et un mobile ussujetti à demeurer sur celte surface et sollicité par une force constante, de direction perpendiculaire aux plans. La va- Halion de force vive du mobile entre les courbes d'intersection des plans considérés sera toujours la même, quels que soient les points où ces courbes seront rencontrées par le mobile, et quelle que soit la forme de la trajectoire intermédiaire. En effet on .aura toujours :

i m v; — i m V' = / 'prfp = Pp^ — Ppt = Prf ;

en appelant d la distance entre les deux plans, distano« qui ne rhange pas avec la situation des points de départ et d'arrivée. Si le mobile pari successivement avec des vitesses t'-^ales, mais diversement dirigées, la vitesse d'airivce V, aura toujours la rot^me valeur numérique. Si l'on n'avait mené <|u'un seul plan d'intersection, le mobile, parti d'un [Htint de la courbe et sollicité par une force telle qu'on l'a supposée ci-dessus, repasserait par cette courbe avec une vitesse égale à la vitesse de départ- On en voit un exemple bien simple en laissant tomber une bille le long de la paroi d'un vase suffisamment arrondi : lo mobile remonte jusqu'au bord, sauf la légère différence due au frottement.

105. — Pour les théorèmes des moments et des aires, il faut de toute nécessité faire entrer eu ligne de compte la force K qui, dans ces formules, donne lieu à des termes qui ne sont pas nuls. Les énoncés des conséquences n'ont plus alors qu'un médiocixr iiUéi-ét : anssi ne nous arrêterons-nous pas à les reproduire.

Quant au tliéorèmc de la moindre action, il s'applique évidemment dans les mêmes conditions que pour le point libre, et sans qu'il soit nécessaire de faire intervenir l'action de la surface. Car ce théorème se déduit de l'équation des forces

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2M LIVRE It. — POINT MATËUBL.

vives, el celle-ci ne sabit aucuu cbaDgement daos le cas actnel. Ainsi la courbe décrite par tin mobile sur une surface

est toujours telle que l'intt^grate / Vd» est un minimum. On

en a vu un exemple au n* 103, quand la force centripète était supposée se confondre avec la direciion de la normale. La courbe décrite a alors une longueur minima cotre deux positions déterminées du mobile.

Éf|aillbre des forces appliquées A nu polat natérlel awiyJeUi m demeurer sur un« Burfaee donnée.

106. — Comme précédemment, nous dirons que des forces se font équilibre sur un point matériel assujetti à demeurer sur une surface, lorsque ces forces peuvent être introduites ou supprimées sans que le mouvement de ce point soit cliangé.

Il n'est point nécessaire ici, pour que l'équilibre ait lieu, que la résultante de ces forces soit nulle : car, l'action de la surface étant équivalente à une force normale de grandeur indéAnic, il suffit évidemment que lu i-ésultante des forces extérieures puisse, eu se combinant avec une force normale de grandeur quelconque, fournir une résultante définitive nulle. Or ce résultat ne peut ('We atteint qu'autant que la résultante des forces appliquées est perpétuellement normale à la surface, car deux forces ne s'annullent qu'à ta condition d'être directement opposées.

Ainsi la condition nécessaire et sufllsante pour qu'un groupe de forcos soit en équilibre, c'est que la résulljiute de ce groupe soit constamment normale it la surface sur laquelle le point matéi'ie) est assujetti à demeurer. Quant it la valeur absolue de cette l'ésultanle, «Un peut <'tre quoiroiiquo, la sur-

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HOUVEMEirr d'un POl\t ASSUJETTI A DES LIAISONS. 207

tice développant toujours une aciion de grandeur convenable pour la détruire exartemeni.

Celte condition géométrique fort nette est exprimée algébriquement par les deux relations :

X x Ji___ z

Ôm5 COS fjl ' COS X COS V '

X,{i.etv représentant les angles formés par la normale avec les nxes. — Pour no faire figurer dans ces relations que les données du problème, il suffît de remplacer cos X, cosj;^ et COS y par leurs valeurs connues en fonction des coordonnées et de l'équation de la surface, valeurs qui sont, comme on sait, les suivantes :

rm '/. =^ a -— , awu = HT^, cosK=H:f} car dy az

H représentant abréviativement la quantité

Par suite, les deux relations ci-drssus deviennenl :

dy

flz dx '

qu'on écrit aussi sons reitc forme :

fP, X Y Z

^' ~K ^r-iT'

flx rfy dz

Ces équations s'obtiiunnu du reste immédiatement en reprenant les équations (C^ d>i mouvement , du n" 101, et

iM,Googlc

fîgalaot à zéro les premiei-s membi-es, afin d'exprimer qne les forces peuvent ùire supprimées sans influer en rien sur le mouvement du poiut matériel. On obtient ainsi les équations (£) elles-mêmes.

Quant à la valeur de l'action totale K développé pai* la sur- . «»V*

face, elle est évidemment égale à ± V^X'-+-Ï*+Z'H ,

P valeur qui se déduit tout de suit« de la connaissance du groupe appliqué au mobile et de la vitesse initiale de ce mobile. Les deux termes de cette valeur représentent, l'un la réaction qne développe sur la surfuce la présence de la force extérieui'C normale X, Y,Z; l'autre la réaction due au mouvement que poursuit le mobile en vertu de sa vitesse initiale, et qui ne dépend va rien de l'introduction ou de la suppression du groupe extérieur supposé en équilibre. C'est la même observation qui a fait l'f^jet de la cinquième conséquence du n" 103. Le signe dont doii être affecté le premier terme, c'eslà-dire le sens dans lequel agit la i-éaction due à la foixe extérieure, est toujours contraire à celui de la i-ésuliante de ce groupe.

107. — Nous avons dit, au commencement de ce chapitre, que, lorsqu'un mobile est assujetti à glisser le long d'un Dl fixé par ses deux extrémités, il se trouve, par le fait, assujetti à demeurer sur une surface, qui est précisément l'ellipsoïde de révolution dont ces deux points fixes sont les foyers.

Par suite, il faut, pour l'équilibre d'un groupe de forces qui sollicitent un pai-eil mobile, que la rt-sultante soit dirigée suivant la normale. Cette condition générale nous fournit ici une remarque intéressante.

La normale à l'ellipsoïde est située dans le même plan que les deux parties du fil qui vont dn mobile aux points fixes, cl, en outre, elle partage leur angle en deux parties égales. Or, c'est la n'sisiaiicc combinée de ces deux fils dans If sens du k'tir lungui-ni , ou rv qu'on iiomnio leur teuiion, qui

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MOUVEMENT Bt'VH POINT ASSVJETl'l A. DES LIAISONS. 309

procure la résistaoce de la surface et qui dëiruit la reiiulianie (lu gi'oupc en ^uilibre. Donc, puisque les tensions de ces deiiK fils font équilibre à une force dirigi'C suivant la bissectrice de leur angle, ces tensions sont égales (u* GW). Ainsi, ' toutes les forces qui agissent normalement à la suifacede l'ellipsoïde déterminent dans les deux pailles du fil la même tension, et ces deux parties sont situées daus le plan normal. Des forces obliques sont susceptibles de se décomposer en deux, l'une, suivant la normale, qui a l'effet que nous venons de voir, l'autre située dans le plan tangent et qui a son entière efllcacité pour mouvoir le point matériel sur l'élément de contact. Ainsi, rdlipsoïde intervient dans le mouvement pour détruire toutes les composantes normales des actions motrices, et cette destruction a lieu au moyen d'une tension qui se développe dans le âl et qui a la même valeur numérique suivant chacune des deux portions de ce Bl.

P«lMt NMtériel aMaJetll i 4e««Hrcr «ar ■■• «•■rbc

108. — Eu reproduisant ici les considérations relatives k la surface,. nous verrions que l'action exercée par la court» sur le mouvement du point matériel équivaut à une force de grandeur indéfinie, dont la direction, au lieu d'être déterminée comme dans le cas de la surface, est seulement astreinte à être perpendiculaire h la courbe ou à se trouver, avec mie position d'ailleurs quelconque, dans le plan mené normalement à cette courbe.

Nous pouvons donc envisager le mobile comme parf^itfiment libre, pourvu que nous ajoutions aux forces extérieures une force de grandeur indéfinie, située, en chaque point, dans le plan perpendiculaire à la trajectoire.

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519 UVBE H. — POINT MATÉRIEt..

Nous introduisons ainsi deux nouvelles inconnues, savoir : i* la grandeur de celte force; S° un de ses angles. ■ — Je dis un de ses angles, car si un seul est connu, la direclion s'ensuivra, puisqu'elle est perpendiculaire à la direction connue de la tangente. — Mais, d'un autre c4té, le problème com-^ porte deux inconnues de moins, puisque, à tout instant, lea coordonnées du mobile sont liées entre elles par les deux équations de la courbe. H y a donc finalement le même nombre dinconnnes que dans le cas du mouvement du point matMel libre, et, par suite, ta solution pourra être rournie par les équations relatives à ce mouvement, dans lesquelles figureront, parmi tes forces données, la force qui représsnte l'aciion de la couriie et dont l'intensité et la direction seront ainsi déterminables h chaque instant.

En nous servant des mêmes notations que précédemment, on aura le système d'équations fondamentales,

cos

Y + Kcoi

Z + Kcos:

dx

dt

dz

auxquelles il but joindre la relation qui exprime q«e la force K est perpendiculaire i la direction de la tangente, rdatiofl qui est celle-ci :

, . ^dx du dz

Au moyen de ces équations et de celles qui représenlent It courbe, le problème est complètement résolu ; c'est-Jt-dire que :

Étant connues les forces extérieures, &a peut délenniaOT le mouvemeni ;

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MOUltMEKT d'un POINT ASSUJF.rrl A DES LIAISONS. 2H

OU réciproquement, étant connu le Tnoavement, on pent détenniner les force» extérieures.

Snbsidiairement, on trouvera la valeur ei la direcUon de la force perpendiculaire qui, à chaque instant, équivaut à l'action de la courbe.

On peut donner aux équations ci-dessus une autre fornie, en éliminaDt l'action K el ses cosinus >, u.,v,ce qui se fera ir^simpleinent de la manière suivante : mnttiplîons les trois

équatioDs[A) respectivement par t >-^» -j—.etajouKms-

les, en remarquant que le muitîplicaienr de K est nul en vertu de la relation (c), et que le multiplicateur de m n'est iwtre chose que la différentielle, prise par rapport ih » ,

de ^ , c'est-à-dire la différentielle de - V ;

par suite, les équations (A) sont remplacées par l'équation unique suivante :

(C) X rfa; -+- Y dy + 2 rfz = rfi m V ,

laquelle, réunie aux deux équations de la courbe, fournit trois relations entre ;r, y, z, etpemielconséquemmentd'exprimer les coordonnées en fonction du temps ou de résoudre les problèmes du mouvement.

Celte méthode, qui, au fond, ne diRëre pas de la précédente, — car elle ne fait qu'effectuer les éliminations implicitement indiquées dans le système d'équations (A) et (c) — signifie qu'on n'a plus, dans le cas actuel , pour déterminer les coordonnées du mobile, qu'une seule équation, au lieu de trois qni conviennent au point matériel libre, mais que la position de ce mobile ne comporte en effet qu'une seule inconnue distincte, puisqu'il est assujetti à se trouver sur une certaine courbe assignée d'avance.

Quoi qu'il en soit du mode adopté pour la mise en équations, nous répéterons ce qui a déjà été dit à l'occasion de la

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212 I.IVHE 11. — POINT HATËRIËL.

surface, &avoii' : qu'il demeure entendu que le mobile, assiijeiiî à se mouvoir sur une courbe, est exactentent dans les mêmes coudltions qu'un mobile libre, pourvu qu'au groupe de forces dont la résuliaote a toujours été désigné par P, on adjoigne la force K. D'où il suit que pour manifester toutes les conséquences relatives au mouvement actuel il suffit de reprendre successivement les diverses équations qui concernent le mobile libre, et d'y substituer partout à la force P l'ensemble des deux forces P et K.

Nous remarquerons aussi que ce n'est plus la force motrice P qui est située dans le plan osculàteur de la trajectoire, mais la résultante de P et de R.

Cela posé, examinons les équations relatives au mobile libre.