Relations (E) et (F) des n" 81 et M

L'équation (E),

se maintient intégralement, parce que la force K perpendiculaire à la couri)e ne donne pas de composante suivant la tangente. Nous pouvons donc attribuer à la composante tangeniielle de la force motrice donnée toutes les propriétés qu'elle possède dans le mouvement d'un point entièrement libre.

Au contraire, l'équation (F) doit être remplacée par celltH^,

où G représente la composante, suivant le rayon de courbure, de la résulunte des forces P et K, ou bien la somme des composantes de cliacune de ces deux forces. C'est r«tie force G qui est la force centripète, c'est-à-dire la force appliquée suivant le rayon de courbure de la trajectoire, né~ cessaire pour empécber à chaque instant le mobile de pour*

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MOUVEMENT b'UN POINT ASSUJETTI A DES IJAISWiS, 213

suivre sa roate dans la directiou de la taugente. Kéciproqoemenl, on dit qne le mobile est animé d'ane force c«Dtri- Aige égale et contraire à G.

De là résultent ces conséquences :

1" La vitesse du mobile est due uniquement à la composanle tangeotielle des forces exlérieiires, en sorte que, si ces forces sont constamment taugentes, elles impriment la même vitesse que si le mouvement avait lieu librement et en ligne droite, et que, si elles sont obliques, toute la portion de ces forces qui n'agit pas suivant la tangente est perdue pour la vitesse.

3* Si la vitesse est constante, la composante langeuUelle est nulle; et, par suite, la force motrice est nulle ou perpendiculaii-e à la direction de la tangente.

Z" Si la force extérieure est nulle ou dirigée suivant I» tangente, la force centripète est égale à l'action de la courbe.

h' Si la vitesse est constanleet le rayon de courbure cons-

r étant le rayon du cercle décrit dans ce casl

5* Sa le rayon de courbure est infini , c'eslrà-dire si la courbe donnée est une dioite, la force centi'ipète ou G est nulle. Donc l'action de la droite et la force motrice donnent, suivant la normale, des composantes égales et contraires. On voit aussi que le mouvement le long de la droite a lieu comme si lu force motricu était simplement remplacée par sa composante suivant cette droite.

E«|Ball«n de la f«rc« vive.

110. — La force K ne fournil évidemment aucun terme dans l'équaiion générale

rmn-n-.;GoOg\c

Uh LIVRE 11. — POINT MATÈBIEL.

car le travail de la force K, c'esl^à-dire sa valeur nuatériqoB mulUpliée par la projeciion, sur sa propre direction, de l'élément parcouru, est une quantité nulle, puuque la force K est perpendiculaire ù la trajectoire. C'est ce qu'on peut ëgaleiueut reconoattre en remarquant que l'équatîoa ciniessus représente le travail de la composante tangeolielle, Tdt,- or cette composante est la même, soit qu'où tieane compte de la force normale K, soit qu'on ne s'en préoccupe pas.

Ainsi, la variation de Toree vive d'uu mobile assujetti à se mouvoir sur une courtte est égale au travail de la force motrice pendant le même temps.

SignaloHB eu particulier les conséquences suivantes : Sui^;>osons qu'entre deux plans parallèles on ait autant de courbes fixes différentes qn'on voudra, et que le mobile, parconrant l'une ou l'autre de ces courbes, soit sollicité entre les deux plans par une force constante perpendiculaire à ces plans, lia variation de force vive sera exprimée par la relation

i m Vj — ; m V; = P . rf;

d représentant la disunce des deux plans. Donc la variation de force vive sera indépendante de la forme de la trajectoire à laquelle le mobile est lié et de la direction de la vitesse au départ. Si le mobile se ment, par exemple, le long d'une droite parallèle à la direction de la force, — ce qid rendra son mouvement rectiligne, — il acquerra la même vitesse, en arrivant au second plan, que s'il avait été assujetti à parcourir une courbe quelconque. Lorsque la force considérée est la pesanteur, on appelle hauteur de chute la portion de verticale comprise entre les deux plans ; la conséquence ci-dessus s'énonce daus ce cas en disant qu'un mobile acquiert toujours ta même vitesse, pour une même hauteur de cbute, quelle que soit la ligne parcoume. Si le mobile estsolUcité par une force dont Is composante

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MOCVEUENT d'un POIHT ASSUJETTI A DES LUISONS. 315

taugealielle est oousiante, Ia varijUon de force vive, é^le à / Trf« = T {<| — »„), est donc propoilionnelle à la longueur de l'arc parcouru.

Si le mobile, sollicité par une force coustaute en grandeur et en dlreciion, repasse plasîears fois par un même plan perpeudiculairc à la direclîon de la force, il aura chaque fois la même vitesse, puisque le produit P.d, qui marque k variation de force vive, est alors nul.

111. — Terminous par une lemarque relative à la solution des problèmes qu'on peut se proposer sur le iBouvement qu'on vient d'examiner.

Après qu'on a éliminé la force étrangère représentMtve de l'action de la courbe, l'équation qu'il faut joiudi'e aux deux équations de la courbe donuiH-, pour trouver les eeordoanées en fonction du temps, équation déugnée par (C) au u° 108, n'est autre chose que la relation même de U force vive. Au moyeu de cette relation et des équations de la courbe on déterminera les quantités x, y, z en feoctîon du temps. Ces trois inconnues sont en effet les seules qui figurent réellement dans le système, puisque, d'une part, ,- d* ., d» x/dx'-i-dv^+d:t^ „

faudra donc effectuer ces remplacements pour obtenir la solution ; et l'on se trouve dès lors en présence de difficultés algébriques exacteiuent au même ordre que celles qu'on rencontre dans le mouvement d'un point matériel libre.

Mais il est un cas où la solution est beaueoap pins aisée et ne nécessite pas ces «tAislitutions préalables, c'est lor8(}ae la composante taugeniielle de la force molrice est sne ronelion connue de l'arc t ; car alors, lo premier membre de l'équation des force» vives,

r'r rfj^ ; m V. — ; mv',

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sera une fonction connue de l'arc », et, par suite, la vitesse du mobile à un moment quelconque sera aussi une foacdoii connue de ». Tous les autres étcments peuvent ainsi être exprimés en Tonction du temps ; oir, puisqu'on vient de trouver

V=4i (*), commeon a aussi V=-3-, il en résulte que

*=)f ((), Mais, ta courbe étant assignée à priori, dès qu'on connaît la longueur de l'arc en fonction du temps ou connaît la position du point et conséquemmeiit ses coordoniiéeb.

Donc, en nous résumant, nous voyons :

Que tontes les fois qu'un mobile, par suite de ses liaisons, n'a qu'un mouvement possible (le mouvement suivant la couri>e même), l'équation de la foi'ce vive, combinée avec les deux équations de la courbe, suffît à résoudre le pmblème;

Que la solution est grandement facilitée lorsque la composante tangentielle de la force motrice est une fonction connue de l'arc » : car on peut alors exprimer immédîalement la vitesse en fonction de cet arc.

■■ pvlat matériel «isuJetU à dcMcarer sar ■■« e«Brbe d»aaée.

113. — Pour que l'équilibre d'un groupe de forces ait lieu il n'est point nécessaire que la résultante soit nulle : il suffit que cette résultante soit perpendiculaire ù la courbe. Sa grandeur, ainsi que sa direction dans le plan normal, peuvent d'ailleurs être tout à fait quelconques, car la résistance de la courbe la détruira toujours, ou, en d'autres termes, il se développera toujours dans la courbe une résistîince convenable , parfaitement égale et opposée à ladite résultante, et qui, par suite, l'annihilei-a.

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MOtVEMENT u'UN POIBT ASSUJETn A DES LIAISONS. 217 Les forces considérées doiveni donc satisfairv à cutle «eale condiliou de donoer une l'ësultante perpendiculaire à la courbe, condition qui est exprimée par l'équation :

p 'rfï"'"p"S"'"p"rfï ■*"**'

laquelle revient complètement à celle-ci :

et signifie que le travail de la résultante est constamment nul. On peut aussi trouver immédiatement cette relation on exprimant que la suppression des forces ne change pas le mouvemeut , et que , par conséquent , le plumier membre de l'équation (C) du n' 108 est égal à zéro. C'est pourquoi l'un dit que l'équation des forces vives suffit à exprimer les coudilions d'équilibre d'un point matériel assujetti à demeurer sur une courbe donnée. «

om la iiapprcMlaii bras^ae de» llalflaa* d'aa palal matériel.

CH0€ BT EXPLOSION.

113. — Jusqu'ici , dans le mouvement d'un point matériel assqjettt à certaines liaisons telles qu'une surface, une courbe, un lien tendu, nous avons implicitement supposé que ces conditions existaient dès l'origine, et que le mouvemeot s'était toujours effectué en rapport avec les liaisons cou sidérée s.

Nous allons maintenant examiner le cas où le point matériel , en train de parcourir une certaine trajectoire, serait tout à coup dévié de son mouvement, soit par roblîga<

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218 ■ UÏEE II. — POINT MATÉâlEl.

tioD brusque de demeurer désormais aasujelti à ceriaînes liaisoDS délenniiiées, soii, au coatrairc , en ctanl souslniit aux liaisons qui le régissaient auparavant.

C'est ce qui auruil lieu, par exemple, pour un mobile qui, dans sa route, rencontrerait soudainement une surface fixe, 6ur laquelle il serait dès lors contraint de glisser. Il y aurait ainsi introduction brusque de liaisons. Il y aurait, au contraire, une suppression, si le mobile, étant primitivement assujetti à demeurer sur ta surface, eu était tout à coup Mi'acbë et lancé dans une direction quelconque.

Ces pfaéDomènes d'introduction et de suppression se présentent fréquemment dans la nature ; nous en reparlerons plus loin, et nous éclaircirons les termes de ehoeeli'exploêion , sous lesquels ils sont pins généralement désignés.

Lorsque le mouvement du mobile est parfaitement connu, avant Je phénomène d'introductioo on de snppression, et qu'on connaît aussi les circonstances de ce phénomène luimême, le mouvement subséquent s'en déduit sans difficulté théorique. Od pourrait donc se proposer ici de déterminer U trajecMire, et, en g éoéral, tons les éléments du moure- Dient qui succède an phénomène. Mais une semblable !«cherche, prise dans toute sa généralité, n'offrirait qu'un médiocre Intérêt, et l'on se borne habituellement à mettre en évidence certaines pi'opriélés <|ui ont seules une importance réelle, et qui concernent exclusivement la force vive du mobile. Ces propriétés sont renfermées dans les deax propositions suivantes :

1° Quelle que soit la li.-iison brusquement introduite à hb moment quelconque du mouvement, la force vive aivaRt l'introduction est égale à la force vive après, plus la force vive corresponds Bt à la vitesse perdue pendant l'Introduction ; en appelant vitesse perdue celle qui, composée en grandeur et en dii'cctioo , d'après la construction parallélo-

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HOUVEUENX D'UN POINT ASSQJETTl A DES UAISONS. 219

grammique, avec la vitesse finale, donne pour résultante la vitesse primitive.

2° Quelle que soil la liaison brusquement suppriitice, la force vive api-ès la supprcàsiun est égale à la force vive avant, plus la force vive correspondant à la vitesse t^agiiée pendant la suppression; en appeluDl pareillement vitesse gagnée celle qui, composée avec la vitesse primitive, donne pour résultante la vitesse finale.

En résumé , pour un point matériel , toute inti'oduction de liaison diminue la vitesse, et toute suppression l'augmente; et la force vive diminue ou augmente elle-même d'une quantité correspondante.

C'est ce que nous allons démontrer successivement. IIA. — iMlradHClioB bruMiBC de llaliwBg, Pour éclaii^ cir davanuge ce qui va suivre, considérous tour à tour chacune des liaisons diverses auxquelles nous avons r«coDDU qu'un point matériel peut être assujetti. Ces liaisons Fevienneot toutes à faire glisser le mobile sur une surface ou sur une courbe assignée à priori.

i- luiroductiofi brus4)ue d'une surface.

Soit MU KU^le M, qui, parcouraol une certaine trajectoire soas l'actiou des fwces qui le sollicitent, arrive en M avec une vitesse actoellemenl dii-igée snivaot MI. Supposons qu'à cet instant précis le mobile soit brus^iement assiyetti à se mouvoir désormais sur la surface A M B.

La vitesse M I peut être décomposée en deux autre», situées dans le même plan, l'une suivant la normale MN à la suriace, l'autre suivant la ungente MT déterminée par

Fig. la.

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22V LIVBli 11. — I>U1NT MATERIEL.

riutersectiun de la surface avec le plan normal I M N.

Si le mobile possédait la seule vitesse MT, rien ne l'empéclierait de glisser snr la surface, cl, par suite, d'obéir à la liaison introduite, sans déterminer nltérieurement, de la part <le celte surface , d'autre action que celle qui se développe dans le cas ordinaire de liaisons existant dès rori|i;iiie du mouvement. Mais, pour qu'il en soit ainsi, lu vitesse Dorniale .MN doit être détruite. Donc l'introductiou de la sui-fkce revient à anéantir brusquement la vitesse uormale .M>'. Cet anéantissement se fait au moment môme où le poiiif M est dans sa position actuelle, et sans quil puisse continuer à se mouvoir suivant la direciion M 1, puisque la surface est impénétrable et oppose conséqnemment un obstacle absolu. La deslrticlion de la composante normale de la vitesse a donc lieu initanlanèmenl.

Quand nous nous exprimons ainsi, c'est, bien entendu, au point de vue théorique, et dans la conception idéale d'une surface matbématiquement inflexible. Mais n'oublions pas que , dans la nature, les choses , de toute nécessité , se passent un peu différemment. 11 n'y a pas de surface, si dure qu'elle soit, qui ne se déforme légèrement sous la grande et brusque pressioa que le mobile, avec sa vitesse acquise, vient exei-cer sur elle. C'est pendant le temps trèscourt, et généralement inappréciable, de cette déformation, que la surface, par sa résistance continue, détruit la composante normale de la vitesse. Mais, quoique le phénomène ait ainsi une durée réelle, sans laquelle , d'ailleurs, il ne se concevrait point, cette durée est assez petite pour que le phénomène abstrait, relatif à une surface mathématiquement inflexible, puisse servir de type d'assimilation au phénomène réel, et pour que le nom d'insiantaué lui soit attribué aussi bien dans la réalité que dans la conception théorique.

Pour en revenir à notre démoustratiou, nous voyons que l'iotrodoction brusque de la surface joue le rAle d'une force

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