DES MOUVEMENTS VIRTUELS
116. — NouBDOus proposons ici de trouver, par ane autre méUiode, les équations fondamentales du mouvemait d'un point matériel libre on assujetti à des liaisons quelconques. Nous mettrons également en évidence les principaux résultats déjà obtenus.
Cette méthode, qui, au fond, ne pentâifférer de celle qu'on a précédemment employée, — car les vérités exprimées par le calcul sont nécessairement identiques sons des formes diverses, — a reçu le nom de méthode det mouvements virtuels. La proposition dans laquelle elle se résume est appelée principe des moments virtuels, et consiste ea ce que:
Dans tout mouvement d'un point matériel, libre ou assujetti à des liaisons quelconques, le moment virtuel des forces extérieures est égal au moment virtud de la force conservée.
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226 UVBE U. - POWT HATËBIEL.
L'inlelligence de cet énoocé néces^te quelques définidons préalables.
Définitiom:
On noDinie potîtion virtuelle d'un point matériel toute position que pourrait occuper ce point sans altérer les liaisons auxquelles il est soumis, ou, en d'autres termes, toute poaiUon compatible avec l'état de ces liaisons.
On nomme de même mouvement ou d^laoement virhtel tout mouvement dont la trajectoire ne passerait que par des posilions virtuelles.
Ainsi :
Pour un mobile libre de liaisons, tout point de l'espace est une position virtuelle, et toute ligne continue est une trajectoire de mouvement virtuel : car, avec des forces convenablement choisies, le mobile peut toujours £tre transporté dans cotte position et suivre cette ligne continue ;
Pour un mobile lié à une surface, tous les points et toutes les lignes de cette snrfoce sont des positions et des trajectoires virtuelles, et les points et les lignes bors de cette surfoce ne sont pas des positions et des trajectoires virtuelles, car le mobile ne saurait y passer sans manquer à ses liaisons ;
De m£me, pour un mobile lié !h une courbe, Il n'y a de positions virtuelles qtie les points de cette courbe, et de trajectoire vlrtnelle que cette couite elle-même ; c'est-à-dire qae les mouvements virtuels n'existent que dans deux sens, Btiivant les deux parties opposées de la tangente au point considéré.
N. B. Dorénavant, quand nous parierons de positions virtnfllles, il sera entendu, à moins de stipulation contraire, qm uoas envisageons uniquement les positions Infiniment voisines ; par suite, la trajectoire d'un mouvement virtuel se
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UËTHODE DES UOGVEUENTS VIRTUELS. 227
réduira à l'éléinent rectîligne infiuimeot petit qui joial le mobile à l'uae de ses positions virtuelles.
On nomme monoent virtuel d'une force appliquée à uo mobile la valeur numérique de cette force multipliée par la projection, sur sa propre direction, du déplacement virtuel infiniment petit que l'on considère. — Le momeot virtuel n'est, comme on voit, que le travail virtuel de la force, dénomination qui serait préférable i toutefois, nous conservercHns la première qui a prévalu dans l'usage.
On appelle ftn-ce conêervée d'un mobile la force qui déterminerait à chaque instant le mouvement effectif de ce mobile, s'il éuit complètement libre. Ainsi, v, u etir étant à tout moment les projections de la vitesse effective, la force capable de produire un semblable mouvement a pour composantes, suivant les axes, m-jr- » *"Trt m—jr-. Cette force
est ce que nousappelons la force conservée; elle n'est autre que la force motrice elle-même si le mobile est libre; et, dans le cas où il se trouve assujetti, elle est la résultante de la force motrice et de la force de liaison. Cette force conservée est nommée aussi par certains auteurs forée totale, pour indiquer qu'elle représente l'effet total reçu par le mobile, tant de ses forces extérieures que de ses forces de liaisons.
Le moment virtuel de la force coniervée sera donc ég;al au produit de cette force, que l'on conçoit menée en grandeur .et en direction , multipliée par la projection du déplacemeot'virtuel sur cette direction ainsi tracée.
Cela posé, nous allons procéder à la démonstration du théorème sus-énoncé.
117. — Soit m un point matériel quelconque, libre ou assujetti à des liaisons, P la réstillantc des forces extérieures ou motrices, eti la résultante des forces inlérieures ou de liaisons (laquelle disparaît si le point est libre).
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324 LIVRE II. — POINT M&TÈRIfL.
Soit X, Y, Z les composantes de P, et K, L, M celles de I ; soit enfin une droite quelconque, menée par le point m, et St nne portion arbitraire de cette droite, dont nous désignerons les projections sur les axes par Sx, êy, Sz. Les angles de wtie droite avec les a:ies auront respectivement pour cosinus
.Sx $y $j Ss ' $j * Ss'
dans lesquels Sx, Sy, Sx ont des valeurs tout à fuît indépendaiites les unes des autres si la direction de la droite est véritablement quelconque. — Rien n'empêche, d'ailleurs, de supposer S:t, Sy et Sz infiniment petits, tout eu restant indépendants ; cela n'altérera en rien la généralité de la position de la droite, et nous y trouverons cet avantage que, si nous voulons, par exemple, exprimer que ladite droiie se confond avec la tangente d'une coupbe, il suffira d'écrire :
Sx^dx , Sy='dy, Sz = dz .
On sait, en vertu de la sixième proposition (n° 66), que la projection de la force motrice sur une droite quelconque , est égale à la masse du mobile multipliée par l'accélération de la vitesse projetée sur la même droite. Appliquons ce théorème général à la droite désignée ddessus, eu remarquant que, quelles que soient les liaisons du mobile, oit peut toujours le considérer comme effecUvement libre, pourvu qu'on entende par /<>rc« mofrice l'ensemble des deux forces P et I. Il viendra :
«1 i./^ ^f^^ ^Z Sz\ (¥. Sx h dy M M
../l'(fl^vl+fl)1 ,
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