MÉTHODE DES MOUVEMENTS VIRTUELS

relatîbii quî se simplifie coasidérablemeot en effaçani les facteurs communs et se change en celle-ci :

(2) X Jit + Y îy + Z Jï -+- K îa> + L 3y + M d3 = du . , dw

Or le premier membre, sous la forme actuelle, représeute précisémeul le travail ou momeut de chacune des forces P et I pour un déplacement infiniment petit S*, dont ta direction est d'ailleurs tout à f^it quelconque ; quant au second membre, il représente le moment, pour le même déplacement, de la force conservée, c'est-à-dire de la force qui a

dv du dw pour composantes, suivant les axes, w»-^» '""^T"' "*~Si '

Jusqu'ici, nous avons laissé la droite St tout à fîait arbitraire; si nous voulons que les moments considérés soient des moments virtuel*, il faut exprimer que celte droite St est celle d'un déplacement compatible avec les liaisons. Dans ce cas, le moment de la force 1 disparaît nécessairement de l'équation (2) : car, si le mobile est libre, la force de liaison est nulle, et si le mobile est assujetti à demeurer sur une surface ou sur une courbe, la force I est perpendiculaire â lu direction de tout déplacement virtueli et, par suite, son moment est nul.

Donc enfin l'équation (2) se réduit à celle-ci :

(M) XSx + Tl$y + Z5z =

\dt-

laquelle démontre la prc^ositiou annoncée, savoir : que le moment virtuel de la force extérieure est égal au moment virtuel de la force conservée.

CeUe proposition, ne l'oublions pas, n'est que la trani' formation algébrique du théorème général du n" 66; et, comme c'est ce ihéorème qui sert exclusivement de base

n,g,t,7rJM,GOOglC

aux équations du mouvement trouvées dans les cliapitr^s précédents, on peut s'attendre ù voir ces mêmes équations implicitement contenues dans la proposition actuelle. C'est, en effet, ce que nous allons ntoatrer.

118. — 1° li« polHt MatérM «st llhw. — Dans ce cas, tout déplacement est virtuel. Par conséquent, isrSy, Sz sont absolument quelconques et indépendants les uns dçs antres. Donc les coefficients de chacune de ces trois quantités dans l'équation (M) doivent être séparémeut nuls; ce qui Toarnit les trois relations

„ - dp „ ibi (te

lesquelles ne sont atUres que celles qui conviennent au mouvement d'un point libre. Ainsi, le principe des moments viituels revient, en définitive, aux équations fondamentales ordinaires, et cela doit être : car celles-ci, exprimant que la proposition du n° 66 a lieu pour les trois directions des axes, expriment par là même qu'elle a lieu aussi pour une direction quelconque, et, par suite , pour celle dont les cosinus

ont été représentés cinJessuspar -j-, s-^, ^.

2' Le ^iBlBialériel eBlaMaJclll Adeaiearcr «ar ■ae ■■rfacc. — Dans ce cas, tout déplacement n'est pas virtuel i or l'équation (M) ne convient qu'à un déplacement virtuel ; il faut donc exprimer qne Sx, Sy, $z ne sont pas entièrement quelconques, mais doivent satisfaire à la liaison supposée, et que, par suite, la position dont les coordonnées sont a; + iaf,y+îy,ï+^i estnne position virtuelle, ou que ses coordonnées satisfont & l'équation delà surfece/'(af^ y, x)=o. Ainsi, les valeurs arbitraires qu'on peut assigner à ix, 8y, iz, dans l'équation (M) sont renfermées dans le cercle de celles qui conviennent ii la relation

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MÈTqOOE DES HOOVEUENTS VIRTUELS.

en ayant égard&oe que /'(*,yj7)=30, etàceque dx,3y,it sont des infiniment petits, dont les puissances supérieures à la première sont négligeables.

Dès lors, il faut éliminer entre ces deux équations une des trois quantités Sx,- Sy, ix^ et exprimer qpe celles qiù restent dans l'équation finale sont désormais quelconques ou que leurs coefllcients sont isolément nuls.

£n efTectuant ce calcul, on trouve :

*■ dz ^dx~ \dt.dz dt dxj' dy 2» \4t' dy dt ' dxj

A ces équations on dut joindre l'équation de la surlace pour trouver les trois coordonnées on fonction du temps.

Ce sont précisément celles qu'on adéjù établies an n° 141; et cela doit être, car, dans l'une comme dans l'autre méthode, on fait disparaître la force de liaison en exprimant qu'dle est normale au déplacement, ou que ce déplacement est virtuel puisqull est situé dans le plan tangent.

On peut aussi mettre les équations du mouvement sous la forme (A) du numéro précité. Il sufiit pour cela de fttii-e l'élimination par un autre procédé, entre les deux équations (H) el (N). Employons pour faire disparaître Sz la méthode dite des coetScients indétenninés. Nous multiplierons (N) par une . constante h, et nous :^ouieroos à l'équation (M) : la quantité k sera déterminée par la con-

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233 LIVRE ». — POINT HATÈUSL.

ditioii que dans l'équation résaltaote le coefflcient de ix Boit nul. Cette équation résultante est

. m (x+»|)i.+(ï+»|)»,+(z+Ag}.=.

(dv ^ du s dm . \

La valeur de h doit être telle, avon»-nous dît, que le coefflcieul de Sz soit nul; celte valeur étant ainsi déterminée et portée dans les coefficients de 9x et de Sy, il faudra, d'après la nature de la question, que ces coefficients eux-mêmes soient nuls. Cela revient ù avoir les trois relations :

Si on élimine h, on retombe sur les équations (C) précédemment trouvées. Mais au lieu de faire l'éUmination, interprétons le sens de ces trois relations.

Elles expriment que, suivant chacun des trois axes, le mouvement a lieu comme si le point matériel était parfaitement libre et sollicité par l'ensemble de deux forces : l'une dont les composantes sont X, Y, Z, et qui n'est autre qne la force extérieure ; l'autre, qui représente conséquemment la

force de liaison , dont les composantes sont ^'j=~t^;/'> k -J-. Cette force de liaison, que je désignerai par K, est donc égale ùtt, en posant pour abréger

vW^DW

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H£TE10DB des HOnVEHEHTS YIRTUBLS. 233

D'après ces noEationa, les composantes A -7^, A-t^, h^

de la force de liaison seront respectivement représeotées par

KhÏ, KB^, KB^; ax ay as

mais on sait que les angles X, jn, v formés par la normale à la surface avec les axes coordonnés, ont pour cosinus

ax ay dz

donc les trois relations (2) prennent la forme : X+KC0BX = mT-, Y+KcoSfi=m^, Z+Kcosv=w>-^.

Ce sont lik précisément les équations (A) du n° 101.

i' 1j« point walérlel «si «Majclll à deMieNrer tmr ■■e «•■rbc. — Dans ce cas, il faut exprimer que Sx, Sy, Sz ne sont pas quelconques dans l'éqaatîon (>1), mais représentent un déplacement virtuel, c'est-à-dire le seul déplacement qui peut avoir lieu sur ta courbe donnée. Il faut donc que ces trois quantités satisfassent aux deux équaLions qu'on obtiendra eu substituant à x, y, z, dans les deux équations de la courbe, les coordonnées z+^2:, y-i-Sy, z+Sz. Dès lors, il fkut éliminer entre l'équation (M) et les deux nouvelles équations dont nous parions, deux des quantités Sx, èy, Sx, et écrire ensuite que le coefHcient de la troisième est nul.

Soit f{x, y,z')=o et (f (x, y, 2)= o les deux équations de la courbe : l'élimination devra avoir lieu entre l'équation :

(H) TiSx + \Sy + Z Sz=m (^$x+^$y-h^3z\ ,

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23A LIVRE II, — POINT HATÈKIEt»

et cellefr-ci :

Employons la méthode dés coefficienU tndélenninés; à cet effet, multiplions les ëqaations (N) respectivement par h et par l, et ajootons avec l'équalion (M), il vient :

En égalant à zéro chacun des maltipllcaienrs de Sx, Sy, Sx, on a les trois équations :

entre lesquelles il faut éliminer A et / pour avoir l'équalion qui, réanie à celles delà courbe, permettra de trouver f,y,t en fonction de t. Si l'on fiiit celte élimination, on trouve X dx -h Y dy + Z ds = d 'fm V ,

ce qui est prédsément l'équation (C) du n* lOS. On devait s'y attendre, puisque, dans l'une comme dans l'autre mé- Ihode, on fïit disparaître la force de liaison en se fondant sur ce qn'elle est perpendiculaire à la courbe ou au déplacement virtuel.

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MemODE DES MOUVEMENTS VIBTCBLS. 335

On peut aussi, comme ci-dessus, interpréter directement la signification du système de« équations (3). En reproduisant les mêmes considératioDS, il est fiicilede

voir que les quantités A^» *"T'' * J "P'^^teM les trois composantes d'une force qui serait justement la force de liaison dans lliypoUièse où le mobile senit assujetti seulement à demeurer sur une sur(ïice ayant pour équation

/■(jî, y, z) = o. Pareillement , les trois quantités l -^ ,

/ —r*- , l 'rX- représeutent les trois composantes de la force

de liaison qui correspondrait h la surface >} (x, y, z) = o. Or, le point matériel qui serait assujetti à se trouver simultanément sur chacune des deuiL snrfôces fÇx, y, z) = Of ? C't 9/ 2) = serait assiùett) par li à se trouver sur leur ipiersection, c'est-à-dire sur la courbe donnée. Par conséquent, l'ensemble des deux forces de liaisons qui correspondent respectivement aux deux surfaces représente la liaison qui corrrespond à la courbe. Donc, les trois quau- . tités

r^résentent les trois composantes suivant les axes de la force qui équivaut à la liaison de la courbe. Cette force est d'ailleurs nécessairement normale à la courbe, paisque les deux forces relatives aux surfaces, dont elle est la résultante, sont respectivement normales à ces surfaces, et que par suite le plan de ces deux normales, dans lequel est ladite résultante, est perpendicDlaire k l'interseclion des deux surfaces, qui est la courbe donnée. Si donc la force de liaison relative à la courbe est représentée par K, et ses angles par >, p, v, on peut écrire :

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286 LIVBE II. — POINT HAltBIEL.

et par sniie, les équations (2) prennent la forme des équations (A) du n" 108.

A* L« palMl B«t4ricl étant libre •■■ aMMJeltl, le« f«reea >« f*Bl é^ylllbre. — Il feut exprimer que ces forces sont sans influence sur le mouvement du mobile, et que, par suite, le premier membre de l'équation (M) eU nul, ce qui donne la relation

Si le mobile est libre, cetie relation donne les u-ois conditions

S'il y a une snrface, il faut combiner (M') avec l'équation

d.r dy ' az '

absulnment comme nous faisions tout à l'beure dans le cas du mouvement. On en déduira les deux conditions d'équilibre déjà connues :

x''r ■,''f-„ xéL zï„

ay dx dz ax

Enfin, s'il y a une courbe, on combinera la même équation (M') avec les relations

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