CHAPITRE PREMlEfi

DtFINITtONS ET PROPOSITIONS PRttUllINAlRES.

119. — On dU que des points matériels rorment uo lyttème, lorsqull existe entre ces points, par des moyens quelconques, UDC certaine dépendance en vertu de laquelle le mouvement de l'un d'entre eux est iofluencé par le mouvement des antres; ou, pour dire autrement, en vertu de laquelle si tous ces points, excepté l'un d'eux pris arbitrairement, viennent à recevoirdes mouvements, ce dernier recevra par contr&-coap no certain mouvement correspondant.

Si dans uu système on pouvait distinguer deux groupes,

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2flO LIVBE Ul. — SrSTËUES HATËKIELS.

indépenclanis l'un de l'autre el ofihint d'ailleurs entre les points de chacun d'eux la solidarité que nous veDons de définir, on n'aurait plus en réalilé un système, mais bien deux systèmes à chacun desquels s'appliquerait ce qui a été dît ci-dessus.

Selon que la dépendance des poidts est obtenue au moyen de forces ou au moyen de liaisons analogues à celles que nous avons considérées dans le Chapitre IV dri Livre précédent, les systèmes sont appelés dynatnique* ou géométriques, termesqui seront éclaircis parce qui va suivre.

Dans les systèmes de l'une et de l'autre nature, on reconnaît des systèmes liiret etàfi» systèmes aMu;'ef/M. Les premiers sont ceux pour lesquels il n'y a pas d'autres liaisons que celles qui existent entre les points, de telle sorte qu'un d'entre eux, pris au hasard, peut recevoir, au moyen de forces convenablement disposées, toute espèce de mouvements, sauf à influencer les autres points d'une manière coi^ respondante. Les systèmes assujettis ou qui ne sont pas enUèrement libres sont ceux dans lesquels un ou plusieurs points sont non-seulement liés aux autres, mais astreints en outre à demeurer sur des courbes ou des surfaces assignées àprioW, de telle sorte que ces points ne peuvent pas, quelles que soient les forces appliquées, prendre tous les mouvements imaginables, mais ils ne peuvent au contraire se déplacer que suivant des directions compatibles avec ces surfaces et ces courbes. La distinction des systèmes libres et des systèmes assujettis, prise dans toute sa généralité, n'offre qu'un médiocre intérêt pratique. Aussi les traiterons-nous simultanément, en avertissant chaqne fois que nos déductions conviennent soit à un cas soit à l'autre.

120. — SjrsiéBies dyBanlq^ea. — Les systèmes dynamiques sont, avons-nous dit, ceux dans lesquels la dépendance des points est due uniquement à des forces. Pour que celte dépendance ait lien effectivement, il est nécessaire que cha-

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que point soit individuellement sollicité par qttelfiue Torce fonction des coordonnées des autres points. Car, si un seul n'était pas soumis ù de telles forces, tous les uuii-es points pourraient changer de positions, c'est-à-dire recevoir des mouvements quelconques sans que le premier subit aucune modification dans l'état actuel des forces totales qui le régissent : par suite son mouvement propre n'en serait aucunement altéré, ce qni est contraire à l'hypothèse où nous sommes que tous les points matériels forment un système.

Le caractère algébrique d'un système dynamique est donc qu'il y ait pour chaque point au moins une équation de la Torme

équation oii F reprt^entc une des forces destinées a i-ealiser la dépendance, et x,y, z,x', y',.... les coordonnées desdîveis points.

Ainsi, un système dynamique de n points matériels implique au moins n équations de la forme ci-dossus. Il peut d'ailleurs y avoir un nombre quelconque de ces équations, car chaque point pcnt t^lre soumis à autant de ces forces qu'il plaira de supposer.

On peut ajouter que, pour que le système existe réellement, it faut :

1° Que chaque point ligure au moins une fois, par quelqu'une de ses coordonnées, dans le groupe d'équations en question. — Car si un point restait à l'écart de ces relations, son mouvement pourrait varier ù l'infini sans qu'aucune de5L forces F fiît changée, et par suite sans que le mouvement d'ancun des autres points fût modiOé. .\iiisi, ce point ne ferait pas partie du système.

2° Que les équations ne puissent pas être séparées en deu\ groupes tels que Ion points qui figurent dans l'an des groupes ne figurent pas dans l'autre. — Car alors les deux gi-oupcs

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2k2 MtHE m. — SYSTtHES UATËRIELS.

de points maiériels qui correspondeDt aux deux groupes d'équations formeraient réellemeal deux systèmes parfaitement distincts, puisque le mouvement des points matériels de l'un serait sans influence sur le mouvement des points matériels de l'autre.

Toutes les forces analogues à la force F seront appelées par nous force» de Uaiiont ou force» intérieure», par opposition aux forces qui ne contribuent pas à la dépendance et que nous conUnuerons, à nommer, selon ce que nous avons déjà fait au chapitre IV, force» extérieure». Quant aux équations analogues à l'équation ci^dessus, nous les appellerons équation» de fiaitoTU.

Nous ferons cette remarque importante, que, dans un système dynamique libre, tous les mouvements sont possibles, c'est'ii-dire qu'au moyen de foices extérieures convenables on peut mouvoir simultanément tous les points suivant des directions absolument quelconques. Car chaque point est en rc'-alilé comme un point libre, sollicité par l'ensemble des forces extérieures et intérieures, qui' ont une seule résultante. Or, en combinant avec cette i-ésnltanle une nouvelle foi-ce extérieure convenable, on peut obtenir une nouvelle résultante précisément capable de produire le mouvement qu'on a en vue.

Telle est sans contredit la manière la plus générale possible de concevoir et de présenter les systèmes dynamiques. Alais, dans la réalité des choses esicrieures, une si grande généralisation est inutile. La nature, plus bornée dans ses moyens d'action que notre imagination, ou plutât plus ingéiiieusc fi les combiner pour en faire sortir une inflnie variété de résultats, n'offre que des systèmes dynamiques caractérisés par cette condition :

Que toutes les forces intérieures agissent suivant les lignes droites qui joignent les points deux à deux , et ces forces soni deux à deux numériquement égales et opposées. C'est

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pnoponnotM pkAliminaires. m

là ce que , dans notre e!t.imen des lois de la nainre , ail premier livre, nous avons nommé la loi d'égalité entre l'action et la réaction.

En outre, ces forces sont, la plnpiirt du temps, Fonction uniquement de la distance entre les points matériels. Cette der- * nière condition souffrant quelques exceptions, par exemple pour les phénomènes calorifiques, où le temps intervient, nous nous bornerons à attribuer aux forces intérieures la propriété exprimée par la loi de réaction. Ainsi nous considérerons dans nos calculs, en fait de systèmes dynamiques, tous ceux où les forces intérieures sont deux h deux égales et opposées. — Les systèmes abstraits, hors de cette catégorie, seraient sans utilité puisqnlls seraient sans application possible.

ISl. — Syslènes gévnélriqaM. Dans ccs systèmes la dépendance est réalisée au moyen de liens tels que ceux du chapitre IV. Ces liens sont en effet les seuls auxquels on puisse recourir pour concevoir l'existence d'un système qui n'est pas dynamique. Quelle que soit la manière dont les points matériels puissent être mis en relation, autrement que par des forces, la question se ramène en définitive h la liaison de deux points.

Or on ne peut imaginer deux points liés entre eux que d'une des manières suivantes :

1° Au moyen d'une tige rigide et invariable de longueur;

2" Au moyen d'un fil parfaitement flexible, mais inextensible, aux extrémités duquel les deux points sont invariablement attaches. — Cette liaison revient à la première, car, tant que le fll est tendu, il se comporte comme une tige rigide, et, dès qu'il cesse de l'être, il cesse en même temps d'être une liaison ; . 3* Au moyen d'un fil parfaitement Hexibte, mais inextensible, le long duquel les points matériels pourront librement glisser, comme feraient des anneaux. — Pour qn'en pareil