LIVRE UI. — SYSTÈMES H&TËIIIELS

cas le fil fasse liaisoii, il est iadispensable qu'il soit fixe par

deux de ses points, ou invariablement attaché à deux points

matériels : car, autrement, les mobiles glissant le long du

fil s'en échapperaient, sans aucune résistance possible de

celui-ci.

Les liens considérés se rédairont donc au premier et au troisième, celui-ci satisfaisant d'ailleurs à la condition que nous venons d'énoncer.

Nons n'avons pas à nous préoccuper des liens qui pourraient s'allonger ou se raccourcir, tels, par exemple, que des ressorts. Car, de deux choses l'une : ou bien la l'ésistance qu'olTre le lieu à varier de longueur est une force constante, et alors il n'y a plus, à proprement parler, de système, c«tte force constante n'éunt qu'une force motrice de plus, indépendante de la position des points matériels^ ou bien cette résistance varie d'une certaine façon avec la distance des points unis par le lien , et alors nous rentrons dans te cas des systèmes dynamiques, puisque le lien équivaut exactement à une force fonction des coordonnées des points.

Avant de po&rsuivrc ces réflexions sur les systèmes géométriques, nous devons rappeler au lecteur celte circonstance capitale , que , dans la nature , il n'y a pat de tyiiintei géométriquei. Il en est des liaisons entre les points comme du mode d'assujellissement d'un point unique, étudié dans le précédent livre. Tous les liens sont matériels, et par conséquent toujours plus ou moins sujets à s'allonger et à se raccourcir. Aucune lige n'est complètement rigide, ni aucun fil parfaitement flexible. Là où l'on veut une résistance absolue, on trouve plus ou moins de facilité à céder, là oà l'on veut celle Ricililé complète, on trouve plus ou moins de résistance. Ainsi plusieurs corps matériels, unis entre eux par les moyens que la nature met k notre disposition , sont unis en réalité par des forces intérieures variables, qui font rentrer le système dans la catégorie des systèmes dyna-

n,g,t,7rJM,GOOglC

PROPOSITIONS PRËLIMINAIBES. 2fi5

miques. Pareillemeut , quand on envisage dans sa constilution iulérieure un de ces corps que nous nommons tolidet, et qui sont formés par uu assemblage de points matériels, on trouve que ces systèmes, en apparence géométriques, sont dynamiques en réalité, pour les mêmes motifs que des corps réunis entre eux. Car, dans un corps , si solide qu'il puisse paraître , les points matériels ne sont pas liés par des verges soi-disant rigides ou par tout autre mode semblable, mais ils sont tenus à distance par ces actions mystérieuses qu'on nomme moléculaires, et qai ne sont qu'un cas particulier des forces intérieures des systèmes dynamiques. Ainsi partout ce sout ces derniers qui, dans la réalite, se substituent à ceux que nous appelons géométriques. Mais, quelque idéale que soit uotre conception, nous n'en devons pas moins répéter ce qui a déjà été dit dans le oours de cet ouvrage, que ceruins systèmes naturels sont assez voisins de nos systèmes géométriques abstraits, pour qu'il y ait un immense avantage à traiter ces derniers , afin plus tard d'en faire des types d'assimilation à l'égard des systèmes effectifs. Cette restriction était nécessaire, pour que l'esprit ne se méprit pas sur la véritable nature des objets que noos considérons ici.

Le caractère algébrique d'un système géométrique, c'est qu'il y ait au moins une équation de la forme

d étant une quantité constante qui, selon les cas, représente la longueur de la tige ou la longueur toule du fil prise entre les deux points qui lui sont attachés invariablement.

Une seule elquatiou de cette nature sulSt pour qu'il y ait système, à la condition que tous les points y figurent à la fois par quelqu'une de leurs coordonnées. Car, cette condition étant remplie, si la position de tous tes points, excepté

n,g,t,7rJM,GOOglC

246 LIVBE m. -- SYSTËHBS HATÊUELS.

«l'un seul, vieDt à varier, la position de ce dernier devra varier aussi pour que l'équation ci-dessus continue à être sa- Usfaile.

Au contraire , si quelque point ne figurait pas du tout dans l'équation , ce point ne ferait pas partie du système, puisque ses coordonnées seraient indépendantes des autres.

Il est aisé de comprendre pourquoi une seule relation suffit à établir le système géométrique, tandisque, pour le système dynamique, il faut au moins autant d'équations ' qu'il y a de points. £n effet, si, dans le système dynamique, on Avait une seule relation

et que tons les points, moins un, vinssent à varier de position, il ne SMsit pas nécessaire que l'autre point variai aussi pour que l'équation fùl touiours satisfaite ; mais, au contraire, cet autre point ne changerait pas, et ce serait la valeur de la force F qui varieriiit en conséquence.

11 peut y avoir entre les points matériels d'un syslèioe géométrique plusieurs équations de la Tonne de celle qu'on a posée plus baut , mais il ne saurait y en avoir un n(Hnbre supérieur à celui des coordonnées de tous les poiats. Car déjà un nombre égal sufllrail à déteruijoer d'une manière invariable la valeur de toutes les coordonnées, et, par suite, les points matériels seraient tous parfaitement fixes et incapables de prendre aucun mouvemeut.

Comme dans les systèmes dynamiques, nous appellerons équations de liaisons les équations semblables à celle qu'on a vue , et forces inlérienres ou de liaisons , les forces équivalentes ù chaque instant aux actions des liens sur les points maiérielfl.

On peut dire que le caractère dislioctif des systèmes géométriques, c'est que tous les mouvements n'y sont pus simultanément possibles pour tons les points, cmnme dans les

n,g,t,7rJM,GOOglC

PROPOSITIONS PRËLIMINAIBES. 247

systèmes dynamiques. Ainsi, l'oo ne pourrait les mouvoir de manière à faire varier la longueur des tiges ou des (ils. Toutes les forces motrices qu'on appliquerait aux points pour leur imprimer de tels mouvements n'auraient d'autre résultat qae de développer dans les liens une résistance indéfiniment croissante. C'est là une différence capitale entre les forces intérieures de pareils systèmes et celles des systèmes dynamiques. En effet, les variations des forces intérieures de ces derniers convspondent ù des variations dans les positions des points, tandis que , dans les systèmes géométriques, ces positions peuvent rester les mêmes si les forces extérieures tendeol uniquement h imprimer des mouvements qui devraient faire varier la longueur des liens.

Ainsi, en général, quelques-uns des points étant supposés prendre des mouvements tout à fait quelconques, if reste toujours autant de coordonnées inévitablement déterminées qu'il y a d'équations de liaisons dans le système. Si le nombre des équations est égal à celui des coordonnées moins une, toutes les aiiii-es se trouvent a priori fonction d'une seule, et c'est celle-là qui, variant uvec les forces motrices, impose aux autres des valeurs complètement déterminées. En d'au- 11*66 tenues, le^ valeurs des coordonnées, en prenant x, par exemple, pour variable, deviennent :

wh"^" mL.,„

l- = îW. (.. = ,„,

et l'on voit que le point x, y, z, quelles qito soient les forces motrices qui le sollicitent, ne peut so mouvoir que suivant la courbe déterminée par les équations y^=f(x'), t^=i^(x'). — Dans ce cas, on dit que lo système est à liniton» complète», voulant dire par lu qu'une seule lùiison de plus rendr'ail tout mouvement impossible. — Si le nombre des équu-

n,g,t,7rJM,GOOglC

2/l8 LIVRE lU. — SYSTÈMES MATÉRIELS.

lions esi égal ù celui des cooittonnûes moins deux , loulcs les cooi-doiiiiées peuvent se metti-e sous la forme :

Cl l'on voit <(ue le point x, y, z, quelles que soient les forces qui le sollictteut, ne peut se mouvoir que sur la suiface déterminée par l'équation z=,f(xj y).

Nous avons dit, à propos des systèmes dynamiques, que tous ceux qu'offre rcellemenl la nature jouissent de cette propriélé remarquable, que toutes les forces intérieures y sont égales deux à deux et directement opposées. Nous allons voir maintenant que la conception idéale des systèmes géométriques entraine nécessairement la même propriété pour les forces équivalenles aux actions des liens absolus établis enirc leurs points.

En effet, pour ce qui concerne en premier lieu deux points matériels liés aux extrémilés d'une lige ou d'un fil tendu invariable, nous savons, d'après le traisicme axiome du 11* âO, que les efforts développés en cliaque point, par suite même de la liaison , sont égaux et opposés. Si nous considérons , en second lien , un nombre quelconque de

points matériels. M, M', M" , M '*', dispersés le long

d'un fil parfaitement tendu et d'une longueur totale invariable entre les deux points extrêmes M et M '"' qui lui sont attachés, la démonstration se fera simplement de la manière suivante. Concevons, à un instant quelconque, que le point M", qui, ainsi que tous les points intermédiaires entre M et M'"', peut glisser le long du fll, concevons, dî»-je, que ce point cesse de glisser effectivemeiiL, tandis que le point M' garde sa liberté. Ce dernier se trouvera dès lors assigetti à demeurer sur la surface d'un ellipsoïde dont M et M" sont

n,g,t,7rJM,GOOglC

PROPOSITIONS PBËUMIKAIRES. 3A9

l«s Toycrs. Toute Toi'ce extérieure, soUiciiant ]e mobile M', peut être décomposée en deux, l'une normale ii rdlipsoîde, laquelle a pour résultat de maintenir le fil tendu, l'autre taugente à celte surface, laquelle fait par conséquent glisser libi-emenl le point sur ta surface, c'est-à-dire le long du fil, saus développer aucune action intérieure. Quaut ù la force exténeure normale, nous avons vu au chapitre IV du livre precédeat, qu'elle fait naître deux forces intérieures égales, dirigées respectivement sui- ^' IL' M" -- vant M'M et M'M". D'un

'\.^^ autrecôté, nous savonsque

>. l'eRbrtenM', dirigé suivant

\ M'M, développe en M un À effort égal et opposé ; et de même que l'effort en M', dirigé suivant M'M", développe eu M" ai) effort égal et opposé. On poursuivrait le même raisonnement pour les autres points, et on arriverait ainsi à voir que la tension du fil a une valeur numérique constante sur toute sa longueur, et qu'entre deux points successifs M et M', M' et M", les efforts sont directement opposés.

Pr*foallIoa prcailcre,

123. — Deux groupes de forces équivalents et de sens contraires se font équilibre.

La signification de cet énoncé est celle-ci : Supposons que deux groupes de forces soient tels que, successivement appliqués à un même système de points matériels, ils lui communiquent le même mouvement; je dis que si ces deux groupes sont appliqués à la fois, mais en ayant soin de faire agir chaque foi-ce de l'un dans uu sens

n,g,t,7rJM,GOOglC

2S0 UVHE 111. — SVSTËUE8 MATÉRIELS.

diamélralement opposé à sa dîrecdon primitive, lee actions combioées de ces deux groupes s'anéantiront réciproquement, et que par suite il y aura équilibre.

En effet , soit S et S' les deux groupes de Torces équiva- Eenis, et M un point quelconque du système matériel. .

Désignons par F l'ensemble des forces quelconques. exté> rieures ou intérieures qui sollicitent le point M, avant l'in* troduciion du groupe S ou du groupe S'; par P les forces du groupe S qui sont directement appliquées à ce point, et par 1 l'ensemble des efforts intérieurs qui se développent en ce ra£me point par suite de la présence du groupe S sur les divers pointe du système. Après l'application du groupe S, le point M se trouvera coinme im point libre sollicité par la résultante des forces F, P et 1.

En U0U8 servant de notations analogues à l'égard du groupe S', on voit qu'après l'application de ce groupe le point M se trouvera sollicité par la résultante des forces F, P' et r.

Puisque les deux groupes sont équivalents, il s'ensuit que la première résultante est égale à la seconde, et conséquemment que la résulunte de P et de I est égale à la résultante de P' et de I'.

D'nn autre cdlé, deux groupes identiques à S', mais appliqués en sens contraire l'un de l'autre, se feraient évidemment équilibre, car cela revient i appliquer sur chaque point des forces égales et directement opposées, lesquelles se détruisent réciproquement. Donc, puisque le groupOS', agissant en sens contraire, fait équilibre au même groupe, agissant dans le sens primitif, il s'ensuit que le point M', qui, sous l'influence de l'un d'eux, est sollicité par F, P' et 1', n'est plus sollicité que par F sous l'induenco des deux groupes S' combinés. Ainsi le groupe S', en sens contraire, donne lien eu M à deux forces — P' et — V qui détruisent les deux premières P* et r, ou qui ont une résultante égale et directe*

n,g,t,7rJM,GOOglc'

PWPOftlTlOIjS PRËLIIUHAIRES. 261

meai oppoBée. Mais déjà la résultante de P'et de l' vUit égale à la résultante de P et de I : donc cette dernière est égale et directement opposée à la résultante de — P' et de — 1'.

Cela posé, appliquons le groupe H et le groupe S' en sens contraire. Le point M se trouvera soflicilé par la force F, plus la réuiltaute de P et de I, plus celle de — P'et de — V : or ces deux résultantes, étant égales et directeiuentopposées, se détruisent. Le point M est donc sollicité seuieuieut par k', et par suite prend le mémo mouvement que si les deux groupes n'existaient pas.

Cette démonstratioa convenant ù tous les poiuts, on voit que lesdeux groupes équivalents, agissant eu sens contraires, se font équilibre.

CoHte'qnenee*.

1° Si le système est primitivenieut en repos, il continuera à y demeurer sous les efforts des deux groupes équivalents et opposés.

2° Dans un système dyuamique, l'équilibre de deux groupes ne peut avoir lieu qu'autant qu'ils fournisfteut, sur chaque point individuellement, des forces égales et opposées. En effet, les deux groupes en équilibre, pris co sens coolraîros, sont équivatenls, c'est-à-dire communiquent à tous les poiuts des mouvements identiques. Pr les forces intérieures, qui dépendent uniquement des positions des points, étant alors nécessairement les mêmes, quel que soit le groupe qui agit, il eu résulte que pour chaque point les forces extérieures sont aussi les mâmcs. Donc les deux groupes en équilibre fournissent sur chaque point des forces égales et opposées. — Au contraire, pour les systèmes géométriques, les forces intérieures ne dépendent pas des positions des points, mais de l'étut des forces extérieures qui les soUlcilciit. C'est pour-

n,g,t,7rJM,GOOglC

253 LIVBE m. — SYSTÈMES H&TËMELS.

quoi deux groupes de forces extérieures, dans un élut dïffiérent, peuvent, en développant des Totales extérieures dîRérenles aussi, se ti-ouvcr parratiement équivalents.

3* Lorsque des forces se font équilibre sur un système géoméli'ique, on peut ies augmenter ou les diminuer toutes à la fois, dans la même proportion, sans altérer l'équilibre : car doubler, tripler chaque force revient à superposer deux, trois groupes de forces, individuellement en équilibre, et développant chacun des forces intérieures convenables au moyen desquelles cet équilibre a effectivement lieu.

4* L'équilibre d'un groupe de forces sur un système géométrique ae dépend ni des masses des points ni de leur position dans l'espace. Il ne dépend pas non plus du temps, pourvu que les forces extérieures varient toutes de la même manière avec le temps, en conservant leure rapports numériques et les mêmes directions.

Pour un système dynamique ces propriétés ont évidemment lieu parce que les forces des groupes sont en équilibre sur chaque point isolément.

5* Lorsque des forces se font équilibre sur un système, chacune d'elles, prise en sens contraire , est équivalente à l'ensemble de toutes les autres. Donc celie&^i ont une résultante unique, qui est égale et directement opposée à la première force.

Cette propriété ne convient qu'aux systèmes géométriques: car, pour un système dynamique, nous venons de voir qu'un groupe de forces extérieures ne peut se trouver en équilibre qu'à la condition que sur chaque point individuellement l'équilibre a lieu. Donc une seule des forces du groupe ne peut être équivalente à toutes les autres prises en sens contraires.

n,g,t,7rJM,GOOglC

PROPOSinoifS PBÉUHINAIHES.

Remarque».

133. — Ce qui précède a pour principale udiitë de permetlre, à volonlé, de ramener la recherche de l'équilibre à celle de l'équivalence, et réciproquement.

Nous ne terminerons pas sans faire, au st^et des systèmes dynamiques, tine observation importante, qui nous montrera combien est incomplète la conception de l'équilibre, telle qu'elle est présentée dans les traités de italique, oii l'on se propose d'étudier cette circoRSlancc directement et sans la raitaclier aux considérations beaucoup plus générales du mouvement. En effet, imaginons un système dynamique soumis à des forces extérieures quelconques et actuellement en repos. Si ces forces viennent à être suppi-imées, les points matériels, en vertu des forces intérieures qui ne sont plus contre-balancées par les autres, prendront certains mouvements; d'où il ressort bien que le groupe des forces extérieures ne se trouvait pas en équilibre, puisqu'il n'était pas sans influence sur l'état de mouvement ou de repos du corps. Si le système était au contraire géométrique, les points resteraient en repos après la suppression du groupe, puisque cette suppression fait disparaître du même coup toutes les forces intérieures, qui sont dues uniquement n la présence des forces extérieures. <J'est donc en défmissant l'équilibre d'après l'influence que les forces exercent sur le mouvement , ou le repos, qu'on peut décider que l'équilibre n'avait pas lieu dans le premier cas et existuit au contraire dans le second. En statique, dès que les corps sont en repos, on les tient pour être en équilibre. La conséquence inévitable est de commettre une erreur sur le véritable état du groupe appliqué au système dynamique, ou de faire entrer en ligne de compte les forces intérieures de ce système comme forces extérieures, c'est-à-dire de supprimer la conception des sys-

n,g,t,7rJM,GOOglC

3SA UV9E m. — STSTËHCS MATUIEL5.

tèmes dynamiques H de ne plus s'occuper que des systèmes grâmi'trrques : point de vue bien peu philosophique, puisqu'en définitive les systèmes dynamiques soot les seuls qui e&istent dans la nature; point de vue d'ailleurs conalamment démenti par le langage scientifique lui-même, oii les mou de tyttème planétaire, par exemple, sont aflectés i l'enaemble des astres qui gravitent autour de notre soleil en venu <)e forces intérieures égales deux à deas ei directement opposées.

PrcfOsItUa dcaslèMC.

On appelle moment de la motte d'un point matériel par rapport à un plan, ou simplement moment, le produit de la masse de ce point par la perpendiculaire abaissée sur le plan. — Récipt^uement, le plan se nomme plan du moment. — Si plusieurs points matériels, indépendanu on à l'état de système, sont dispersés d'une manière quelconque dans l'espace, on nomme plan moyen det moment» ou simplement plan moyen uu plan tel que la somme des moments des points situés d'un cAté soit égale à la somme des moments des poinu situés de l'autre cdté. Cela posé, ta présente proposition consiste en ce que : Pour un groupe quelconque de points matériels , il y a . toujours une infinité de plans moyens.

Car, si l'on mène un plan quelconque, et qu'on forme les produits rclalirs aux moments, les deux sommes, pour la droite et la gauche du plan, que je représente respectivement par l-mx et Xm,7, , seront généralement inégales, — sans quoi le plan serait immédiatement un plan moyen. — Mais si l'on mène un autre plan, parallèle au précédent, à la distance d, les deux sommes analogues pour ce nouveau plan seront :

n,g,t,7rJM,GOOglC

PROPOSITIONS PRËLUIINAIRES. 355

^ m {x + a) = ^mx -h (X 1 m ; lvi,^±^ — <x) = lm,x, —oc^m,.

Ces sommes pourront toqjours être rendues égales en donnant à » une valeur telle que :

i mx + a 2 m i= 2 7n^x, — al m,;

,, . Zm,x, — 2 ma:

Cette niâme démonstration prouve qu'il y a une infinité de plans moyens, puisque le premier plan mené a une direction tout » Tait arbitraire.

Cfmte'quence».

1° Aucun plan parallèle à un plan moyen ne saurait être lui-même un pian moyen : car, pour peu que le plan moyen avance ou recule parallèlement à lui-même, tes deuK sommes varient simultanément en sens contraires et par suite cessent d'être égales.

3° Si toutes les masses sont égales, le plan moyen des moments est en même temps le plan moyen des distances, puisque l'égalité lmiv^=lm,x, se diauge en 2j^=Xi:,.

3° Si toutes les masses sont à égale distance du plan il en résulte que Zm=^,, c'est-à-dire que la somme des masses situées d'un cAté est égale à la somme des masses situées de l'autre : en d'autres termes, le plan est un plan moyen des masses.

A" S'il n'y a que deux masses, l'égalité 2nMî=î2»»,a', devient mx=m,x„ ou x,:x::m: m,. Donc les distances au plan sont en raison inverse dos masses correspondantes.

n,g,t,7rJM,GOOglC

256 riVRE m. — ststïmes matéwels.

12d. — Tous les plans nioveos se coupent en no m^me point.

Pour le démontrer, je viiis prouver que tout plan mené par le point d'iutersccLÏon de trois plans moyens est Iniméme uu plan moyen. Comme aucun autre parallèle utr saurait l'être également, il en résultera bien que tous les plans moyens se coupent en un même point.

Prenons donc trois plans moyens l'cctangulaires entre eu?c, et plaçons l'origine des coordonnées à l'intersection de ces trois pians. Je mène par cette origine un plan quelconque, et je dis que c'est encore là un plan moyen, c'est-à-dire que la somme des moments est la ni<^me de part et d'autre de ce plan, ou, si l'on préfère, que la somme algébrique de Ions les moments par l'apport à ce plan est nulle ( en comptant comme positives tontes les perpendiculaires silui-es d'un côté, et comme négatives toutes celles qui sont de l'autre ).

En effet, la perpendiculaire menée d'un point quelconque m, dont les coordonnées sont x, y, z, sur ce plan, qui a pour équation A^ + bM + C9 = o, (E, «, 0, étant les coordonnées du plan ), cette perpendiculaire, dis-je, est égale, d'après

. ,. . , . , AjT+By + Cr

ce qu on a vu en géométrie analvtique, a — — - :=- ;

par conséquent, la somme algébrique de tous les moments aura la valeur suivante :

hx + By + r,2 \

+ B2»Jy + Clmz) .

Mais par hypothèse les plans coordonnés sunr des plans

n,g,t,7rJM,GOOglC

PROPOSITIONS PKËLlMINAinËS. 257

moyens, c'est-à-dire que les sommes algébriques des moments pris par rai^rt à ces plans sont nulles ; donc ^mx=o, lmy=o, 2»ir=o.

Il en résulte que la somme ci-dessus est identiquement nulle, quels que soient d'ailleurs A, B, C, ou quelle que soit l'inclinaison du plan considéré.

Le point de rencontre de tous les plans moyens a reçu le nom de centre de» moment». Ainsi le centre des moments est un point tel que tout plan mené par ce point est un plan moyen des moments.

Ctm teqv en ce* .

1' Le centre des moments de deux masses égales est au milieu de la ligne qui les joint : car tout plan qui passe par ce point satisfait évidemment à la condition que les deux perpendiculaires sont égales. De même le centre des moments de deux masses inégales est sur cette ligne et la divise en raison inverse des masses.

2" Si toutes les masses sont égales, le centre des moments est le centre des moyennes distances.

3° Si tontes les masses sont égales et unirormément distribuées suivant une figure géométrique régulière, comme un cercle, une sphère, un cube, etc, le centre des momenls coïncide avec le contre de figui-e.

Bemiirqueii.

Si les points matériels cliangent de positions relatives, comme ceMI a lieu dans un mouvement quelconque, te centre des moments cliange Ini-mème avec le temps. Mais il n'y en a pas moins à chaque instant, pour la figure actuelle affectée par les points, un certain centre des moments, dont la place est assignée par la condition que trois plans rei'Uingulaii'fs

n,g,t,7rJM,GOOglC

358 UVBF. Iir. — SYSTËHBS MATËniELS.

qui s'y cuiipciit sont, a cet instant pi-écis, des plans moyens.

Si l'on supposa que toutes les masses des points matériels considérés sont sollicitées par la pesanteur, les momenu des masses de ces points seront proportionnels aux momenu de leurs poids. Par conséquent tout plan moyen pour les moments des masses sera aussi un plan moyen pour les moments des poids, et le centre des moments des masses sera le centre des moments des poids.

Celte circonstance a Tait donner de préférence an centre dont il s'agit le nom de centre de gravité, qui signifie centre des moments de la gravité ou centre des moments des poids.

Bien entendu, ce centre n'en existerait pas moins si les masses n'étaient pas soumises à la pesanteur, ou si leurs poids n'étaient pas exactement proportionnels, comme cela aurait lieu ponr des corps situés en des régions suAlsamment éloignées dn globe. Seulement le terme de centre de gravité n'a plus alors d'autre signification que celle de centre liet momenla det mattes, qui est la propriété caract^risUque de sa position dans le système.

PropMiUI*» qaalrtiMc.

136. — La somme des masses d'un nombre quelconque de points matériels, multipliée par la distance du centre de gravité à un plan quelconque, — ou ce qu'on nomme le moment du centre de gravité, — est égale à la somme des moments de tous les points matériels par rapport ù ce même plan. .

N. B. Par ce mot tomme, il fànt entendre nafUrellemeDI la somme algébrique.

Soitdoncm, m', m".... les masses des points matériels, X, x', x". .. leurs distances à un plan quelconque, et \ la distance du centre de gravité à ce m^meplan. Je dis qu'on aura :

n,g,t,7rJM,GOOglC

PHOPOSITIONS PRÉLIMINAIRES. 259

llm=:^mx = mx + mV+ mV-«-.,.,

En efTet, menons par le centre de gravité un plan parallèle an précédent; S sera la distance entre lea deux. Les distances des divers points par rapport à ce nouveau plan, qui est un plan moyen, seront * — ^, »' — ^, y— E, et l'on aura, d'après la proposition II*,

i rtt (a: — E) = O ,

d'oft

ce (lui est jusirmcnt ce qu'il s'agissait de prouver.

1° Le centre de gravité, au lieu d'être défini un point par lequel tout plan mené' ett un plati moyen, peut être égalemenl défini m» point tel que ion moment par rapport à un plan quelconque ett égal à la somme dei momenti de tout le» points. — Cette propriété nous fouitiit même un nouveau moyen de déterminer le centre de gravité. Il suffira de mener trois plans quelconques, par exemple les trois plans rectangulaii-es de coordonnées, et de chercher ensuite le point qui satisfait à la condition qne la somme des masses multipliée successivement par chacune des trois coordonnées donne des produits rcspectivenient égaux à la somme des moments des points matériels par rapport à ces mêmes plans.

3° Si' l'on cherche le centre de gravité de trois masses m, m', m,", il revient au même de chercher : 1° le centre de gravité n de deux d'entre elles, m et m'; 2° de chercher le centre de gravité de m" avec n, comme si en n étaient accumulées les deux masses m et m.'. Le point G ainsi déterminé sera le centre de gravité des trois masses données. Il snflit n.

rmn-:n-.;G00g\c

200 LIVBE m. — STSTiHES UATËUEIS.

pour cela de montrer que tout plan XX mené par ce pwol est un plan moyen. En effet, soit s, x\ x" et h les dislances à ce plan des p(rints m, tut , m" et n. On a par coustruction ( m+m' ) A= '''■ **■ m"x"; on a aussi , d'après

la proposition ci-dessus, mx + m'x' = (m+m') A; donc m3e+m'x'=m!'»".

y En généralisant la conséquence qui précède, on voit qu'on peut obtenir le centre de gravité d'un nombre quelconque de points matériels en cherchant d'abord celui de deux d'entre eux, puis en combinant avec le troisième, puis avec le quatrième, et ainsi de suite ; le tout se luisant uniquement par des constmctions linéaires.

n,g,t,7rJM,GOOglC