CHAPITRE II

HOCVEHENT GÉNÉRAL.

Étant donné un lytième quekonque , ainti que Ir* força qui loUieiUM ta iiveri point* tnatérUlt, Irower U mouvimenl qvt prendroiU Iom tu

ou rtclproquemenl :

Étant connu It mouvemtni At* Aivert pomU matériel* d'un lytUnM «ver ici forttt qui It* nUieittnt.

1S7. — Soil m, m'f m"...'... les masses l'especlive» d'un cwiaiD nombre de poÏDts matériels , consUtués ea système dynamique au moyen de forces iotérieures qui agissent sur chacun' d'eux.

Représentons par P la résultante de toutes les forces 6\térienres qui sollicitent le point m, et par X, Y, Z les projections de cette force P sur trois axes de coordonnées rectangulaires ; représentons également par 1 la résultante de

262 UVKË m. — SÏSTltUES MATÉRIELS.

toutes les roit:«s iiiléi-ieiires , ducs à l'eut du système, qui sollicitent le même point, et pur L, M, N ses projections suivant les trois axes. Cette force I comprend aussi les forces équivalentes à la surface ou à la courbe sur laquelle le point matéiiel peut être assujetti à demeurer.

On peut considérer le poiut m comme tibre et entièrement dégagé du système, pourvu qu'on adjoigne la force I à la force motrice P. En d'autres termes, le point m se comporte comme s'il était absolument seul, et qu'il fât sollicite par l'ensemble des forces P et I.

Les équations générales du mouvement de ce point seront donc :

auxquelles.il faut joindre les U'oïs relations représenUlives de la vitesse, savoir :

dx . du dz

<" ' = Tr " = £• " = *•

Si l'on fait usage de notations analogues pour le point m, on.aura autant d'équations de même forme ;

n,g,t,7rJM,GOOglC

MOUVEMENT tiËMÊllAL. 363

,„„ , dx' , du', , d£

Cl » = *• "=■*• ■» = Si

et ainsi de suite pour chacun des autres pointa du syatàme. Si le système est assigne, on connaîtra L, M, N en fonction des coordonnées du système. En effet, la force I est exprimée par une certaine fonction des coordoonées, qui détermine son intensité. Elle pourrait être également fonction du temps, puisque nous avons vu que certaines forces intérieures sont sujettes ;i varier. Quoi qu'il en soit , son intensité n'en sera pas^moins connue, si la nature du système est supposée donnée. Quant à sa direction, nous pouvons la déduire de la manière suivante. Cette force I, qui représente l'eusemble des forces intérietires, est la

i-ésultanle d'nn certain nombre de forces *', •', menées

du point m aux autres points tn', m", entre lesquels

l'action mutuelle s'exei-ce. La connaissance du système implique qu'on connaisse individuellement l'intensité de i",

*", ; la direclion de chacune de ces forces partielles est

d'ailleurs déterminée, puisqu'elle passe : pour la force »', par les deux points m et m'; pour la force *", par les deux points ■m el m"; et ainsi de suite : ce qui revient à dire que la direction de i' est une fonction des coordonnées des deux points m et m'; la direction de fa force «", une fonction des coordonnées de m et m"; et ainsi de suite. Ces fonctions sont fort simples et connues eu géomëlrie : par exemple, le cosinus de l'angle que fait la force *" avec l'axe des x, est

égal à ,, — —■■■- , ,^. • , ; 'c cosinus de son

angle avec l'axe des y a le même dénominateur, et pour numérateur y — y', etc. En résumé, nous voyons que chacune des forces i, •", est connue en grandeur et en

direction. J)onc aussi la résultante I estcoimne eu graiidciuet en direction ; et en disant qu'elle est conHMe,\^ veux dire

i6ti LIVRE m. — SYSTÈMES M&TËBIELS.

qu'elle n'est ronctioii que de» quanlUés assignées à l'avaDce et des coordoDoées des points : ce qui, dans les équations

(A), (A'), ci-dessus, n'introduit conséquemment

aucune inconnue distincte de ces mêmes coordonnées.

Or, les équalions fondamentales qu'on a établies pour chacun des points matériels suDlsent à déterminer le mouvement, dès que les premiers membres sont assises. Donc, si l'on connaît les forces extérieures, comme on connaît uussi les forces iniérieures , ou du moins , comme elles ne renfenneut que les coordonnées, on voit que théoriquemenl on pouira toujours trouver la valeur de ces coordonnées ; ou réciproquement , ces coordonnées étant connues , on pourra déterminer les forces extérieures. En un mol, le mouvement se déduira des forces, et vice versa,- ce qui est précisément , en ce qui concerne les systèmes dynamiques, la solution que nous nous proposions, envisagée dans sa plus grande généralité.

128. —Qu'on le remarque bien, cette solution est purement théorique, et destinée surtout à satisfaire les exigences philosophiques de l'esprit. Car, dans la pratique, des diflicullés presque toujoui-s insurmontables viendront s'opposer à ce que la méthode précédente fournisse des résultats effectifs. On pressent immédiatement la nature des obstacles contre lesquels on aura à 'lutter. Ainsi le nombre, souvent Irès-graud et même immense , des points matériels conduirait à un système d'équations impossible à manier. En outre, la connaissance des forces intérieures est généralement entravée par notre ignorance de la constitution physique des corps. C'est précisément pour se soustraire à ces difficultés d'application qu'on a été conduit, dans bien des cas, à l'emplacer les systèmes dynamiques par des systèmes géométriques beaucoup plus simples, qui eu fussent assez voisins pour qn'on pi'it en identifier les résultats. C'est ainsi, par exemple, qu'au lieu du cousidérer les corps que nous

MOCVEMENT GËhËRAL. 265

nommons solides comme des systèmes dynamiques (qu'ils sont pouruint en réalité absolue), on les Imite comme des corps géométriques de Tonne invariable; on ne se préoccupe pas des mouvements individuels de leurs particules, et ou leur applique les procédés d'étude, beaucoup plus simples, qui conviennent à cette classe particulière de systèmes géométriques. Mais, bien que, dans la pluralité des cas, l'étude directe des systèmes dynamiques soit, comme nous le disons, inabordable, et qu'on tourne la difflcuilé par des assimilations plus ou moins approximatives, il convient d'autant mieuK de présenter la solution théorique du problème, que, outre la satisfaction philosophique qu'en l'cçoit l'esprit , on peut, au moyen de ces mêmes équations générales, mettre en évidence certaines propriétés qui appartiennent d'une manière absolue à ces systèmes dynamiques, et qui ne sont pas le résultat des investii^ations indireries dont nous parlons. Aussi, dans la suite de ce travail, continuerons- nous à nous occuper des systèmes dynamiques, comme si les impossibilités de solution pratique n'existaient pas , sauf à montrer plus tard, dans des chapitres spéciaux, les résultats qu'on est tenu d'emprunter aux assimilations géométriques. Quant aux conséquences qui découlent des équations générales établies ci-dessus, nous en renverrons l'examen après les systèmes géométriques, afin de pouvoir rapprocher eutre eux les résultats des deux natures de systèmes.

139. — Soit, comme précédemment, m, tA', m",. ...un certain nombi-e de points, constitués en système géométrique par des liaisons du genre de celles que nous avons énumérécs au n° 121. Soit de même P la rosiittiuHe des forces extérieures, et 1 la l'ésullanle des forces de liaisons qui sollicitent

266 LIVBE m. — SYSTÈMES UXÈBIELS.

le point m, celle force 1 coniinuaat à repréHentcr non-seuleioeut les actions de» lîeos établis entre les pointe, mais aussi celles qui pourraient provenir de rassiôettîssemeni à demeurer sar une courbe ou sar une surface donnée.

On peut toujours considérer le point m comme entièrement libre et dégagé du système, pourvu qu'on adljoigae la force I à la force P. Si X, Y, Z et L, M, N sont respeclivemcnt l«s projections de ces deux forces sur les trois axes, les équations générales du mouvement du point m* seront:

i)e même les équations du point m' seront :

et ainsi de suite pour chacun des points matériels du système.

Je remarquerai immédial^ncnt que les forces intérieures

n,g,t,7rJM,GOOglC

MOUVBIUNT GËNÊR&L. 367

L, M, N, L', soDt des quantités connues , si la consU-

lulioii du système est déterminée ; ou plutAt que le nombre d'inconnues distinctes qu'elle» représenleot est égal au nombre d'équations de liaisons du système.

En effet, supposons que la force I, par exemple, provienne d'une double liaison du point m, savoir : son attache inyariable à une tige ri^de qui l'unit au point m', et son ^isscment le long d'un fil lié au point m". Soit f et *" les deux forces qui dérivent de ces deux liaisons, forces qui ne sont pas assiguées a priori en fonction des coordonnées, comme dans le cas des systèmes dynamiques , mais qui se développent spontanément en raison des forces extérieures appliquées aux divers points. Dans le cas présent, les inten> sites seules de ces forces t' et i" sont inconnues, car, pour leurs directions, elles oe sont autres que celles des lignes qui joignent le point m aux points m' et m"; or, les cosinus de* angles de ces lignes sont des fonctions connues des coordonnées, de la forme

expression qui désigne le cosinus de l'angle formé par la force f avec l'axe des /t. Ce sont les mêmes formules qu'on a déjà vues au n* 127; par conséquent, ce» directions nlntroduisent pas d'autres inconnues que les coordonnées ellesmêmes. Ainsi les quantités L, M, N des équations (A) ne représentent pour le moment que deux inconnnes distinctes, les intensités de t" et >", lesquelles figurent de la manière suivante :

n,g,t,7rJM,GOOglC