THÉORÈMES SUR LA QUANTITÉ TOTALE DE MOUTEMCKT

130. — Considérons un certain nombre de points matériels, consUtués en système dynamique ou géoméirique. Nous avons vu qu'en représentant par P l'ensemble des forces extérieures qui sollicitent le point m, et par 1 l'ensemble des forces intérieures provenant, soit d'actions mutuelles entre les points, soit de liens géométriques*, soit enfin de l'assujettissement à demeurer sur une courbe ou sur une surfkce donnée, nous avons vu, dis-je, qu'on peut regarder le point m comme parfuitement libre et sollicité par l'ensemble des deux forces P et I. Les équations (A) de son mouvement sont, en nous servant des notations précédentes :

Nous remplaçons -r- par -t^ , et de même pour Ici auti-ps termes analogues, afin d'éviter de réécrire perpétuellement les équations i-elalives à la vitesse r=-T--, w^=^i "* = 37- Dans nos raisonnements, nous nous servirons indifféremment de-j- ou de -j-r- suivant la commodité du calcul.

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MOUVEMENT GËNËRAr. 271

Pour le point m', on a pareillement les équations (A') : X+L«. -j^,

/ fPz'

Z' + N' = m' i^i- î \ aO

et ainsi de suite, pour chacun des antres points du système.

Faisons tout d'abord une remarque capitale.

Les quantités L, M, N, L', M'...... qui y Dirent représentent les sommes algébriques des composantes, suivant

chuquc axe, des forces intérieures »', »", i'" , relatives à

chaque point. Or, dans l'ensemble du système, ces forces intérieures, soit qu'elles proviennent d'actions mutuelles, soit qu'elles résultent de liaisons géomélriques, peuvent être groupées par couple de deux, égales et directement opposées; par conséquent, leurs composantes suivant le même axe de coordonnées sont, deux à deux, égales et de sens coptraires. Les forces dues ft l'assujettissement à demeurer sur une courbe ou sur une surface douuée échappent seules à cette dualité. Pour chaque liaison de ce genre, il ne se développe qu'une scnle force sur l'unique point qui y est soumis, et les forces provenant des divers assujettissements ne sont pas susceptibles d'être groupées par deux ; pour qu'il en fût ainsi, il faudrait une circonstance trèsparticulière, savoir : que les surfaces ou les courbes eussent, deu\ à deux, Icui'S normales parallèles, et qu'en outre elles fussent également pressées par les points matériels qui les parcourent respectivement. 11 reste donc établi que, dans

l'ensemble des équations (A), (A') ci-dessus : 1" chaque

quantité due à une action ou à un tien mutuel correspond à une autre quantité égale et de signe contraire, par rapport au même axe de coordonnées ; 3" que toutes les quantités

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373 LIVRE Kl. — SYSltllES MATÉRIELS.

dues aux assujettissements manquent nécessairemeat de réciproques.

Cela posé, ajoutons ensemble les premières équations de tous les groupes (A), (A') Les termes L,L' disparaîtront dans le total, puisqu'ils se composent de quantités égaies deux à deux et de signes contraires, si le système est supposé libre. — S'il est assujetti, il demeurera un terme représentant la somme des composantes, suivant l'axe des x, de toutes les Torces d'assujettissement.

Restons dans l'hypotliésc du système libiv. L'équation totale sera donc, en continuant it désigner par la notation ^ la somme de toutes les quantités analogues :

1\ == Im -r-r .

Faisons de même pour les secondes équations, et aussi de même poui- les troisièmes : on obtiendra deux autres relations de même forme; si bien que, finalement, on aura le groupe des trois équations ci-dessous :

(s) ÏX=I»'?Î, ÎT = v„^, ll^y.m%

On tire dcK), par une intégration simple :

(1} lj^''\dt^lm{v,~v^), vjr''Yri(=i: m («,-»„),

i / '7. <U = lm (m, — tr,,} ;

ce qui nons montre que la somme des impulsions drs composantes des forces suivant chacn» des trois axes est égale à la somme des variations des quantités de mouvement de tous les points, projetées sur les mèmi-s axes. Or, on sait que la propriété qui a lieu pour cliacuo des

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UOL'V£llKNT r.tatKM.. 373

troi» axes, a lieu aussi pour une droite qnelcoHque ; en sorte que la relation ci-dessus s'énouce de la manière la plus g^ nérale eu disaut :

Que suivant une direction quelconque, lu variation de la quantité totale de mouvement est égale à l'impulsion totale d<^ forces, quel que soit l'intervalle de temps conridéré.

Ainsi, la quantité totale de mouvement qu'un système libre, dynamique ou géométrique, peut acquéiir suivant une direction quelconque, sous l'action des forces qui te sollicitent, est tout à fait indépendante des coordonnées des points d'application de ces forces, aussi bien que des masses des points matériels sur lesquels elles agissent directement. Elle ne dépend pas non plus des liaisons de ce système, et est exactement la même que si les points étaient isolés les nns des autres, sans aucune solidarité entre eux. On voit aussi que les forces qui donnent, suivant la direction considérée, des composantes égales e( de signes contraires sont absolument sans influence sur la qnanlité de mouveineni du système.

' Si toutes les forces extérieures sont égales deux à deux et de sens opposés, ou s'il n'y a que des forces intérieures, les termes £X, ^Y, XZ sont séparément nuls, et les relations (1) deviennent :

(2] I mt> = constante , 1 mu =^ constante, Imtr^constante.

Dans ce cas, la quautitc touile de mouvement suivant chacun des tixiis axes, ou plus généralemenl, snivani une direction quelconque, ne varie pas avec le temps. — Cette propriété est connue sous le nom de principe de ta cotuertationde la quantité totale de mouvement.

Ainsi, tout sysicuic libre, quelles que soient d'ailleurs les actions intérieures ou les liens géométriques qui existent entre les points, conserve la même quantité de mouvement, suivant une direction quelconque, tant qu'aucune force

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27A LIVRE m. — SYSTËUËS MAIËRIELS.

extérieure ne vient agir sur lui. Clinque poial matériel indivlduelleineiit ne gnixle pas ta même viiesset mais à mesure que celle de l'un d'eux varie d jds un ceriaiu sens, celle de quelque autre varie en sens conli'aii'e, en proportion inverse des masses, de telle sorte qu'il y ait toujours une compensation parraite, et que la somme algébrique totale demeure la même. Ces variations individuelles, constamment compensatrices, s'effectuent par l'inlerniédiairc des forces de liaisons, qui agissent comme forces accélératiices sur certaines parties du système et comme forces reUrdatrices sur d'autres. Si les liaisons du système viennent à être modifiées d'une manière quelconque, la quantité totale de mouvement n'en sera pas altérée, parce que les actions intérieures coirespondant à ces changements de liaisons seront toujours égales deux à deux et contraires. D'après cela, le système étant, par exemple, rendu tout ù coup invariable de forme, au moyeu de liaisons convenables, cette quantité de monvement s^a encore la nicme dans le nouveau corps solide et dans l'ancien système. On peut dire aussi que des forces, capables de ramener le système au repos au bout d'un temps déterminé, fourniront toujours la même somme de composantes suivant une direction quelconque, quelle que soit l'époque du mouvement et ('('lal dn système.

1.^3. — Cela nous montre que, dans tous les phénomènes mécaniques qui se produisent nu moyen de forces mutuelles, la quantité totale demouvemeutn'esl point altérée; de façon que si elle était nulle à l'origiue elle reste nulle parla suite. C'est ainsi, par exemple, que, dans le phénomène du boulet lancé hors du canon, on peut être assuré qu si le canon a toute facilité pour^tm recul, ta qunnlilé totale de mouvemeut de ce canon cl de sou boulet demeure exactement nulle, ou que l'un maVche en arrière comme l'autre en avant, eu raison inverse des masses respectives, pai-ce que le phénomène est ilil aux actions mutuelles développées par la

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MOUVEMENT CËNËRAL. 275

rombostion do In pmidrc, tcstiiicllcs »ohI, en vertu de )a loi do i-éaction, égales et opposées. Dans l'ensemble des inoiivements planétaires, loiitos les forces se niduisent à des actions réciproques entre les astres et le soleil et entre les astres eux-mêmes. La quantité totale de mouvement demeure donc invariable, parce qu'il n'y a d'ailleurs aucun point individuellement assujetti à paicourir quelque courbe ou quelque surface fixe. Mais niions plus loin encore, et disonsnous que, dans cette partie de l'univers qu'il nous est donné de connaître, il n'y a en i-éalité qu'un vaste système dynamique, non-seulement , comme nous l'éiioticioiis luut à l'heure, au point de vue des actions générales qui s'exercent d'asirc à astre, mais aussi pour les objets tes plus minimes qui nous entourent. Chaque corps, chaque atome n'est qu'un détail de ce tout immense constitué en système dynamique, il n'y a pas d'action isolée ; chacune a sou contrepoids inévitable dans la nature. Les objets que nous faisons mouvoir à l'aide de supports qui nous semblent fixes correspondent à des quimtités de mouvement égales et contraires qui s'absorbent dans ves supports, et qui souvent échappent à notre observation, soit à cause de leur grande masse relative, soit parce que leur fixité appai'eute élublit . leur solidarité dynamique avec une portion du globe où la vitesse communiquée en raison inverse des masses est nécessairement inappréciable. Mais toujours, quoi que nous fassions, quoi qu'il arrive, soit dans l'étendue des espaces planétaires, soit dans le domaine de notre action directe, ce n'est, après tout, qu'un nombre plus ou moins grand de points matériels, conslitués en sysu'ïme dynamique, qui se meuvent en vertu d'actions intèrieureg , et jamais de forces extérieui'es. De sorte que la conservation de la quantité totale de mouvement, suivant toute direction, s'y réalise avec la plus rigoureuse exactitudf.

C'est là certaii)em4-nt un spectacle bien fait pour fiapper

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276 LIVRE in. ~ systUies uatëbiels.

l'uttcnlioii d'un esprit philosophique, que cet univers, où le mouvement, eomme la oiatièic, ne se perd jamais ; où, comme elle, il se transforme iiicessammeni, disparaissant d'un cùLé pour l'cparattre de l'aiilre, et dont le total demeure invariable.

Kous croyons inutile d'njouter que les prapriétés que nous venons de démontrer ne sont que l'expression, sous une autre Torme, de la loi Tondameniale de ré;)ctîun. Un s'aperçoit, en effet, que no» équatious le bornent à écrire algébriquement que , daus ta nature, toutes les forces sont deux 6 deux ^ales et directement opposées.