Beprenons le groupe d'équations {g) du n

(,) 2X=2«^, 2ï = Img!, iZ-i?^-

Considérons le centre de gravité d'un système quelconque, centre qui , ainsi que nous l'avons dit , varie h chaque instant de position, suivant le mouvement des points matériels. Les cooiïlonnccs Ç, r,, %, de ce centre perpétuel lemeut mobile sont constamment déterminées par la condition :

ou, en appelant abrévialivement M la masse totale Im du système ,

(A) M£ = Imx , tir, =lmy , Mii = lmz.

Si l'on difli-i'encie deux fois chacune de ces trois êqua-

dt*

n,g,t,7i.dt,G00glc

»OU\EMENT nËNËRAt.. 371

Pur suite, les ûqHaiions (g) devieniictit :

(2) 2X = 1«J|. 2ï=M?,-, iZ^M^f.

Or, si l'on prend un |>oint maléiid unique, dont la masse soit égale à M, c'esl-ii-dire qui nëcttssiic, pour se mouvoir, la mt^me forL-e que la masse M, cl si l'on applique à ce point une Torce unique, dont les composantes suivant les trois axes aient respeetivemcnt pour vulcurs numériques 2X, JSY, 2Z, ce point matériel ret'cvra un mouvement qui sera justement représculé par les équations (3) ci-dessus. De lu on déduit la conséquence suivante :

Dans tout système de points matci'iels, unis entre cirx d'une manière quelconque, ou même absolument iudôpeiidunis les uns des autres, le centre de gravité se meut comme un point matériel unique, dont la masse serait égale à la masse totale du système, et qui serait sollicité par une force dont les composantes, suivant les trois a\es, seraient respectivement égales aux sommes algébriques des composantes de toutes les forces cMérieures du système.

On énonce aussi cette proposition en disant :

Que le centre de gravité se meut comme si toutes les masses y étaient condensées en un point unique, et toutiis les forces extérieures transportées parallèlement à elles-mêmes,

Il ne faut pas perdre de vue (|ue cette vérité est subordonnée à l'exactitude des équations (jjr), lesquelles, comme on sait, ne subsistent qu'autant que le système est enlièrement'libret ou qu'aucun point matériel u'cst assujetti à se mouvoir sur une courbe ou une surface donnée ; car , dans le cas contraire, la force d'assujettissement ne disparaît pas

en ajoutant les équations (A), (A'), et elle subsiste dans

les équations (<;).

Mais, dans l'hypothèse de la liberté complète du système, on voK que toutes les forces intérieures sont absolument

n,g,t,7rJM,GOOglC

278 nVRE tu. — SYSTtUES UATËBIELS.

sans iiifliieuce sur le mouvement du centre de gravité. Ce mouvement est indépendani aussi des points d'application des Toi'ces c^ttérieures. Il ne dépend que de la valeur des sommes algt'tbiiqiies des composantes , en sorte que les forces peuvent être distribuées d'une manière quelconque sur les divers points du système, quitter certains d'cnli'e eus pour lître rirportêcs sur d'autres, diminuer ou auginciiler individuellement; pourvu que k'S sommes algébriques lolales restent les mêmes, le mouvement ne sera aucunement modifié.

13â. — Cela nous montre que râ£j/rac/ton<^u point tnate'riel ujiiquf, introduite au commencement de ce cours, est susceptible d'être réalisée a» point de vue mécanique. Je veu\ dire par là que, dans chacun des corps que nous voulons étudier, il y a toujours un point mathématique qui se meut d'après les lois abstraites du point matériel unique, sims qite la forme ou les dimensions du coi^ puissent influer sur son mouvement. C'est là ce que nous entendions, lorsque, dans les premiei-s numéros de cet ouvrage, nous parlions du mouvement envitage' en bloc , et sans tenir compte des mouvements individuels des diverses particules. Nous sommes impuissants à réaliser directement un point matériel de dimensions négligeables sur lequel nous fassions agir une force : car une parcelle de matière, si tenue qu'on la choisisse, est encore un corps fini, auquel les lois abstraites ne sont pas rigoureusement applicables; mais ces lois, dépourvues d'une portée concrète immédiate, en ont une iodireclement, dans chaque corps, pour le-poInt géométrique dont nous parlons : en sorte qu'il y a un grand intéi'èt à édifier d'abord celte théorie comme si nous devions l'adapter à des objets réels, puisqu'elle convient exactement, dans tous les <;as, à un certain point spécial de tous les corps possibles, solides, liquides, gazeux, et douc^ en général d'une constitution quelconque. Ces mêmes considéfutiuiis

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MOUVEMEHT fiÉHÉRAt. 279

melteol en lumière le degic de i-igueur qu'on doit atteindre en traitaat tin corps donné comme un vrai point matériel. Il ne suffirait pas, en effet, de savoir, « priori, que ce corps est plui ou moi/iê petit, pour en conclure I';ippro\imution provenant de celte fïiusgc assimilation -. car nous ne saurions alors nous i-eudre comple de Teri-eur doni seront entachées les conséquences. Bien iiVmpi'clierail de concevoir que le Tait de dimensions finies, si peiiteft, d'ailleurs, qu'on se plairait à les imaginer, cliange radicalement les résultau qui conviennent excluf^ivemenl à une pure abstraction. Au contraire, après avoir démontré que, dans tout corps, il y a ton* jours un point qui satisfait absolument à l'assimilation, on en peut conclure avec certitude le degré d'approximation apporté par des dimensions quelconques. Les itajecioires des divei'ses particules ne dilTéreront plus évidemment tes unes des autres que d'après l'étendue de ces dimensions ellesmêmes : en sorte qu'on voit tout de saite que, pour une pai^ tie matérielle suffisamment petite, l'eireur commise devient véritablement négligeable. On peut dire aussi que tout corps, aussi grand qu'on voudra, pourra toujours sertir de potnf matériel, pourvn qu'on considère seulement dans ce corps le mouvement de sou ceutrc de gravité : peu importera, d'ailleurs, les endroits précis où seront directement appliquées toutes les forces qui le sollicitent.

135. — Les équations (3) ci-dessus font voir également que, dans tout système ou collection de points, pour lequel les forces exiérieures sont nulles ou donnent, suivant les axes, des composantes égales et de signes conU^ires, le mouvement du centre de gravité est rectiligne et uniforme. C'est ce qu'on nomme le principe de la c&ntervatioa du centre degravité. En effet, par suite de l'hypothèse £X=o, 2I¥ =o, ^Z^o, les équations (3) fournissent :

« T i«..ot. , -M j^ = consl. , H .: ~ consl. ;

àt dt di

Mi

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380 T.IVHE m. — STSTturS MATÈltltlS.

vc qui nous apprciHl d'ubord que la vitesse lie ce ceulrc est constnnle. En ouIit, on déduit par une nouvelle intégration :

0, e,, «', .... étant six constantes. Or ces relatbns sodI évidemment les équsUons d'une droite.

Ce résultat donne lieu à des réflexions de même ordre qiK celle» que nous avons déjà fîiiies à l'occasion de la quantité totale de mouvement. Puisque, dans la nature, il n'y a ni point, ni courbe, ni surface réellement ixc, et que tout, en déflniUve, s'y résout en forces inlérieures égales et opposées deux ii deux, s'eserçant sur toutes les molcculcs de notre monde [danétaire, dont l'ensemble constitue un seul et vaste système dynamique, le centre de gravite général jonit d'un mouvement détciminé par les équations (3). Il est immtdvile ou se meut nuiformément en ligne droite, sans qu'aucune action locale, se développant sur un point ou sur un autre, puisse jamais l'en faire dévier. Nous ignorons si les mêmes lois fondamentales qui régissent le sys~ tème planétaire gouvernent aussi le reste de l'univers. Mais ce qu'on peut affirmer, c'est que, dans le cas où notre système serait complètement indépendant des autres parties de la création, son centre de gravité, qui se confond sensiblement avec le soleil, serait immobile ou se mouvi-ait uniformément en ligne droite ; et dans le cas, au contraire, on la loi des actions réciproques se vérifierait entre toutes les parties du monde, le mouvement s<^aire ne serait plus uniforme, mais ce résu lut conviendrait aloi-s au centre de gravité universel. Les observations astronomiques ayant constaté, depuis une soixantaine d'années, que le soleil, avec (ont son conégOf est emporté dans l'espace suivant une Ingecloiro et une vitesse encore inconnues, il est p<>nni8 de pcoser que le mouvement de noire centre de gravité Ucnl à caque nous faisons partie d'un système dynamique bcan-

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UOtlVEMEKT GÈNËHAL. 381

cOBp plus gcnéral, comprenant l'casemble du nwnde, et dont le ceulre de gravité est sans doute immobile. Si frfus tard r;i&lrotioinie parvient à reconnatti'e que la translation du soleil n'est pas uaîforuie, ou pourra en conclure sAremeui qu'il n'y a pas iudépendance entre nous et les autres astres ; et alors, la dépeaduace se trouvant aîB^ démontrée, il y aura une forte probabilité poui' que la loi de réaction soit pleinement obsenée. Mais ce ne sera jamais une certitude complète , car la dépendance pourrait être réalisée suivant tout autre mode que la parfaite réciprocité d'action. Rien n'empêcherait, par exemple, que noua fussions portés vers les autres asU'es, sans qu'ils fussent eux-mêmes portés vers nous, ou que l'une des deux actioos fût un certain multiple de l'antre.

Si nous euvisageuns un ordre de phénomènes moins vastes, nous pouvons faire également quelques réflexions înléressanies. La loi de réaction préside à tous nos efforts mécaniques. Nons ne pouvons susciter, soit par le jeu de nos propres oignes, soit par les agents qui nous obéissent, aucone force sur un corps, sans développer eu même temps une autre force égale et contraire s'exerçan t faulement snr quelque autre corps. Nous sommes condamnés à ne jamais déiriacer le centre de gravité de l'ensemble des objets matériels entre lesquels se produisent nos actions motrices. Aussi, dès que nous voulons mouvoir un corps quelconque, il est indispensable que nous en ayons un autre sur lequel s'appuie l'effijri ccMitraire, et qui reçoive en quelque sorte le contre-conp du résultat que nous ctaercbons. En un mol, chacun de nos eSéu utiles correspond inévitablement à un effet inutile qui doit s'absoi'ber dans la masse des objets environanls. Il y a un double intérêt à ce que ces corps étrangers, qui, malgré nous, s'associent à tous nos phénomènes mécaniques, aient une masse aussi grande que possible. Car les nKHivements coutraires qu'ils recevront seront alors fort petits, ce qui les

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m LtmE m. — SYSTÈMES MATËBIEI^.

bissera mieux à iiolre disposition : il sera néaic désirable à ce point de vue que ces corps ne bongeni pas d'une manière appréciable, aAa de donner it nos opérations dans chaque lieu une base constante, qui souvent leur est absolnment nécessaire. De Ih ces supports ou point» d'appui, qui ne sont pas en réalité des objets fixes, — car il ne peut y eu avoir dans lu nature, — mais qui ont pour but, en nous reliant autant que possible avec le globe Ini-mèmc, d'absorber les réactions dans une masse assez grande pour que le moRventent en devienne insensible : de sorte que les corps qu'on se propose effectivement de momoir se meuvent senis en apparence. Un autre motif, qui conduit également i adopter de telles di^ositlons, est tiré de cette circonstance que toutes les forces dont nous nous servons ne peuvent généralement agii' que le long d'un espace limité. Ainsi la poudre qui meut le boulet, ou la vapeur qui meut le piston, n'agissent que suivant la longueur du canon ou du cylindre. Il font donc tâcher que le mobile proAte de toute celte longueor. Je m'explique : supposons que le canon soit aussi l^r et aussi libre que le boulet, il eu résultera que le recul sera égal à la projection, et que, parconséquent, le boulet se trouvera hors du canon lorsqu'il aura parcouru un espace absolu égal seulement à la moitié de la longueur de ce dernier. Au contraire, si le canon ne recule pas sensiblement, le boulet ne s'en échappera qu'après en avoir suivi la longueur entière. 11 aura donc profité de la force deux fois autant que dans la première hypothèse. Celte considération vient ainsi se joindre à la précédente pour faire établir, dans toutes nos opérations mécaniques, un certain nombre de points d'appui, qui reçoivent le nom de points fixes quand leur mouvement est inappréciable. On les retrouve dans tous nos phénomènes, depuis les plus simples jusqu'aux plus complexes. Dans l'acte de la marche, par exemple, les êtres animés, qui, abstraction faite des objets environnants, cons-

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MOUVEMENT GËNfiftAL. 283

lilaeiit autant de systèmes dyuamiques, înipuissaDts à déplacei' leur cciiire de gravité, ne peuvent se trauspoiitir dans un sens quelconque que s'ils trouvent un point d'appui qui Iburnit ta réaction en sens contraire. Placés sur le sol, ils peuvent s'élever ou s'abaisser, parce que la résistance du plan fixe développe nécessairement une réaction verticale. S'ils peuvent aussi avancer ou reculer Itorizontaicment, c'est que le so) est susceptible de fournir une reaction horizontalc ; cette réac^on a lien en effet, et elle est dne au frotlement que les aspérités dn plan font naître sous les pieds du moteur. Sur un sol sans frottement, parfaitement poli, la marche serait impossible. On sait combien elle devient déjà difllcile sur la glace ou un plancher ciré. Ce sont des fiiits de même ordre qui se produiseut dans le transport d'an convoi de chemin de fer. L'ensemble des rails et des véhicules constitue une machine dont les rails sont le point d'appui. La réaction grâce à laquelle le convoi peut progresser, se développe à chaque instant au contact des roues de la locomotive et des rails. La résistance au glissement est suffisante pour que le point de contact actuel des roues soit momenlanénicnt fi\e et comme lié aux rails. Ce perpétuel appui joue le rdle du frottement sous les pieds de l'éire animé en marche. Ces réflesions sur le centre de gravité sont évidemment la seule manière générale d'envisager tes phénomènes mécaràcjues de l'univers et de rendre compte de certaines conditions rondamenlales qui président ù leur accomplissement.

THÉOnKMES DES AIRES.

136. — Reprenons encore les équations (A.), (A')... pour en déduire de nouvelles conséquences, communes aux deux soi'tes de systèmes.

FonnoDS, uu moyeu des trois équations (A),les relalioniiGOU-

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'2»k LIVBE III. — SYSTÈMES MATÊSIEtS.

ccriiaiil les moments pt les uîrcs, que nous avons déjà elublies pour un seul point matériel au u' 89,etqui sont lessuivauies :

Les premîei-s membres y i-eprésentenl, comme ou sait, le momeul de la projection de la force motrice totale sur cbaciiu des trois pluos coordonnés, et les sccouds membrei» désignent le pi'oduit de la masse par la projection sur les mêmes plans de l'aire cjue décrit le rayon vecteur mené de l'origine au mobile.

Daus le caa qui nous occupe, la force moU'ice totale de cbaqne point est distinguée eu force extérieure, désignée par X, Y, Z, et en force intérieure ou de liaison, désignée par L, M, N. Tour donner aux relations ci-dessus la forme qui convient aux notations actuelles, il faut y remplacer la force totale unique par la double force exléiieure et iuiérieuie. Par suite, les équations des momcuta, relatives un point m du système, deviendront :

Y» — Xy + My — La: = m

= ™fâ.-

dfi

((Px (Pz \

Zy ïî + Ny Mz = m (^ y - 5 2 )

Les premiers membres y mettent ainsi en évidence le double moment de la force extérieure et de la force intérieure, projetées sur chacun des plans coordonnés.

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UÔUVEMENT GÊNÊBAL. 285

^blisBons les relaiions analogues pour ctipcun des autres poîiils du système.

Cela posé, ajoutous ensemble les premières équations de tous ces groupes (a), (a').... Le premier membre de l'équation résnltaute repri'seniera : 1" ta somme des momeuts de toutes les forces extérieures projetées sur le plan des ;ry/ S* la somme des moments de toutes les forces intérieures projetées de roéme. Ur, Je dis que cette deniière somme est nulle. Eu eiïet, les Torées intérieures, provenant séparément de cbaque liaison dynamique ou géométrique, sont deux i deux égales et de diifctious opposées. Donc elles se projetteront deux à deux suivant une même li|;ne droite et avec des signes contraires. Par suite, la somme algébrique des deux moments coirespondants sera égale à zéro. Donc enfin la somme de tous les moments relatirs à l'universalité des Torcea intérieures du système se trouvera identiquement nulle.

En conséquence , l'équation finale dont nous parlons, comme aussi les deux autres équations provenant de l'addition des deuxièmes et des troisièmes équations de tous les groupes (a), (lO--- deviendront :

ce qui nons montre que toutes les conséquences relatives au point matériel unique sont textuellement applicables k un système quelconque parfaitement libre, pourvu que, dans Ions les énoncés, /emom^n/, /'atr«, et en général, la quantité qui y ligure, soient remplacés par lu tomme de* mametiti, de» aire* et en génénil la tomme det quattlitét anahguet concernant les divers points matériels.

SK6 LIVRE III. — SYSTfeHES HATËRIELS.

IS7. — Nois allons formuler les conséquences principales.

El) premier lieu , nous remarquerons que les forces intérieures n'inflnent nullement sur la somme des projections des aires décrites. Cette somme est exactement la même que si tous les points étaient indépendants les uns des autres. Ainsi lii somme des moments de tontes les forces extérieures projetées snr chacnu des trois plans coordonnés, on, re qui revient au même, projetées snr un plan quelconque, est égale il la somme des aires décrites, projetées sur le m^me plan, respectivement mullîpliées par les masses des mobiles.

Une première intégration des équations (A) montre également que l'impulsion de la somme des moments de luutes les forces extérieures est égale , dans le mouvement projeté sur un plan quelconque, à la variation de la somme des moments de toutes les quantités de mouvement.

Si les forces extérieures sont deux à deux égales et de sens opposés, ou s'il n'y a pas de forics extérieures, les premiers membres des équations (*) sont nnls, ci, par suite, en désignant par rf>., dk', tfX" les aires cicmeutaires décrites par le point m, suivant chacun des plans coordonnés, les relations (A) deviennent

Itn

dxm.

Un en déduit par une double intégration :

(2) irai i= i A( , Im): = { A'( , ImW = i A"(.

Nous ne faisons figurer qu'une seule conslanie dans chaque éqnation, parce que nous supposons que les airos sont comptées ù partir de l'origine du temps. S'il en était autremeni, et si les aires étaient évaluées depuis un moment quelconque, il faudrait ajouter une deuxième constante dont la valeur S4<rait égale, pour chaque plan coordonné, à la somme

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MOUVBIUNT GËKËRAL. 2ft7

de» masses respeciiveiiient miillipliëes par \e& [HvjecUons des aires comprises entre les rayons vecteurs initiaux et ceux depuis lesquels les aires décrites sont comptées.

Aiusi, pour un système dynamique ou géométrique, dont les forces extérieures sont nulles ou égales denx à deux et (^posées, la somme des projections des aires sur un plan quelconque, respectivement multipliées par les masses de* points matériels, augmente uniformément ou d'une manière proportionnelle au temps. C'est ce qu'on nomme le principe de la ûontertation de» airêt, ou, plus judicieusement, le principe de la proportio-nnalilé de» aire».

Cette conséquence est susceptible d'être présentée sons une autre forme, en cherchant une signiflcalion diflërente aux seconds membres des relations (A). Dans te cas de forces extérieures nulles, on en déduit immédiatemenl, d'après les conudéinlions développées au n° 91 ;

An lieu de l^ire ressoi'tir,comme tout à l'heure, que la quantité entre parenthèses, des-premiers membres, représente ledoable delà projection de l'aire décrite, remarquons qu'elle peut se mettre sous la forme ux — vy, vx — wx, wy — uz, et qu'elle désigne alors, pour chacun des trois plans coordonnés, le moment de la pi-ojection de la vitesse du mobile considéré. Il en résulte que, suivant chaque plan coordonné, ou en général suivant un plan quelconque, la somme des moments des qnantiiés de mouvement de tous les points matériels ue varie pas avec le temps. C'est là ce qu'on

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268 LIVBE III. — SYSTËHES MATÉRIELS,

iMMimo la coruerratùm du moment de la quantilé totale de mouvetnetit.

On peut donner à ce principe une int^ipratation pins coacrète pout-étre, en imaginant des forces tattantaneet,

— c'est-à-dire des forces asseï grandes ponr produire nne vitesse finie dans une durée négligeable, — telles que, si ou les appliquait soudainement à tons les points matériels dn système, elles les mmèneraient' ati i>epos. Soit ¥., F, G les composantes de la force totale qui sollicite le point m pendant l'acLioii du groupe de forces instantanées appliqué -au syst^e. Cette force E, F, G provient h la fois de la force instantanée directement appliquée à ce point m, et aussi des forces de liaisons qui se développent spontanément en cf> mftme point par suite de la présence de tontes les autres forces instantanées sur les différents points du système. Soit r la durée très-courte au bout de laquelle tous les points iont mmenés au repos : on aui'a, pour le plan des ;ry .-

« (tiar — py) = / {F* — Ey) rf( = «rFrf( — y/ firfl;

— z et y peuvent être mis hors du signe / parce que , pendant cette durée très-courte , la position du point m ne change pas sensiblement. — Désignons par E,, F,, G,, une valeur moyenne de cette force E, F, G, telle que

E,T=/^Erf/, T,z = rFdt, G,r=r

Gdt:

il en résulte que l'équation ci-dessus peut ^irc mise sous la forme

infttc — vy) =t(F,3; — E,y).

Donc, si l'on suppose que la somme des moments des quauiités de mouvemcntest constante, on en conclura aussi : T£(P,jr — ^E,y] = const. ; ou bien ^(F,^ — E,y)=cconsl.

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MOUVEMENT fiÊHÉRAL. 2M

Or, la quantité entre parenthèses représente le moment db la force £, F, G, projetée sur le plan des xy. De pins, il IMt remarquer qu'en efTectuaut la somme on fait disparaître tout fx qui est dû aux actions instantanées intérieui^ : car elles sont nécessairement , deux h denx , égales et cooiraires , quelle que soit d'ailleurs leur intensité ; en sorte que, dans l'équaiion finale ci-dessus, £, F, G ne représentent plus qne tes compDsaDtes de la force instantanée extérieure. Cette relation, ainsi que les deux autres qu'on établirait (lareiltement, ûguifient donc que, sui¥ant chaque plan coordonné ou en général suivant un plan quelconque, la somme des moments du groupe de forces instautauées capable de ram^ier le systèine au i-epos possède la même valeur, quelle que soit l'époque du mouvement on on le fasse intervenir, H par snite quelles que soient les vitesses individuelles des divers points matériels.

On pent encore présenler d'autres oonséqncnoes, en reprenant noti'e remarque de tout à l'heure, savoir que les actions intérieures qu'on peut susciter soudainement entre les points niatc'ricls sont toujours égales deux à deux et opposées. Il suit de ]ik que si, par des moyens quelconques, l'état des liaisons vittiil à être modifié, soit par suppression de certaines d'entre elles, soit par addition de quelques autres nonveltes, la conservation du momeut de la quantité totale de mouvement ne sera pas altérée, non plus que la conservation du moment du groupe de forces instanianées capable de ramener le système au repos. Si l'on conçoit par exemple que le système soit tout à coup rendu invariable de forme, au moyen de liaisons nouvelles convenables, le corps solide qu'on obtiendra aiusi sera ramené a» repos par un groupe instantané dont le moment sei-a le même que précédemment

1 38. — En résumé, nous voyons que les moments des quantités de mouvement et des It)ree3 sont l'objet de déductions

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204 UWf. III. — SYSTËUKS MATËRIElâ.

purallèles il celles gui oui dûjîi eu' établies ii la fin du 11° 13 1. Knlre les dcus séries d'idées il y a concordaflC(> parfaite. Ainsi uous avons ù reniarqiici', comme au n" 133, que, l'univers constiuiant ua système dynamique, à aciions reei|M'oques, la proporlionnalilé de la somme des projecUons des aires, respectivcinenL multipliées par les masses de touB tes puinls maiêriels, s'y vciitte nécessairement. En n^ligexnt les infiniment petits de cet univci-s, et en envisageant en outre chaque astre de noli'e système solain; comme un point matériel unique, on peut dire que la somme des projeclions, sur un plan quelconque, des air^ décrites par le soleil, les planètes et leurs salellite-s, respectivement multipliées par k>s masses de ces astres, augmente unirormément avec le temps. Un voit aussi que la somme des aiomenls des quantités de mouvement de tous ces astres demeure constante à toute époque, qu'elle ne serait pas altérée si le système du monde était tout à coup solidirié, et qu'enfin le moment du groupe de forces inslanuinëes capable de le réduire au repos ne change jamais avec la portion et la vitesse des diverses parties.

Les plus simples phénomènes qui s'accomplissent autour de nous montieut de pei'pétuelles applicalioos des théorèmes précédents, et notamment du principe de la conservation des aires. Les remarques relatives au mouvement des étivs animés sont présentées avec beaucoup de netteté dans la Mécanique ratioutielte de M. Dehiunay. Craignant d« lesafi'aiblir en y retouchant, nous nous bornons à les reproduire ici testuellemcnt 1

« Si nous supposons, dit ce géomètre, qu'un être animé u soil isolé au milieu de l'espace, qu'aucune force extérieure u ne lui soit appliquée, ei qu'il soit primitivement immobile, H non-seulement cet être animé ne pourra pas déplacer son u centre de gravité, mais encore il ne lui sera pas possible « de se donner un mouvement de rotation autour de ce

n,g,t,7rJM,GOOglC

« point Eh effet, de quelque manière qu'il fasse jouer ses Il muscles, il ne peut développer que des foi-ces inlirieures } « l'iibsence de toute force extérieure entraîne donc comme « conséquence que la somme des aires décrites, en projec- « tioD sur un plan quelconque, pur les rayons vecteurs émau nés de ce point, conserve consiumment la même valeur u dans le même temps ; doue cette somrn^ d'aires doit restei' '< constamment uulle, puisqu'elle l'était pendant la première « durée, en vertu de l'hypothèse que nous faisons que l'être « animé était tout d'abord immobile. Ainsi, lorsqu'il fait « mouvoir certaines parties de son corps de telle maniàre « que la somme desairasqui leur correspondent, eu pro- « jection sur un certain plan, ait une valeur positive, il y a « nécessairement d'autres parties du corps qui se meuvent « en même temps dans un autre sens, de manière Ji fournir ■ « une somme d'aires négatives sur le même plan, afin que la " somme totale des aires relatives à toutes les parties du H corps soit égale à zéro. S'il s'agit d'un homme, par exem- <( pie, et qu'il tourne sa tête à droite, le reste de so» corps « tournera nécessairement vei-s la gauche; s'il porte une <c jambe en avant, comme pour marcher, le reste de son i< corps s'inclinera on sens contraire, c'est-à-dim que la tête « se portera ëf^lement en avant et le milieu du corps e» ar-

« Lorsqu'un homme est debout sur le sol, et que, primili- « vement on repos dans cette position, il commence à mar- H cher devant lui, il fait passer son centre de gravité de

« l'état de repos à l'état de mouvement Eu vertu du

« tht^rème des aires, et conformément à ce que nous av<His << dit il n'y a qu'un instant, en même U>mp3 qu'il avance une << jambe , le milieu dn corps tend à reculer avec l'autre (' jambe; cette autre jambe reculerait en effet, si rien ne s'y « opposait, et le centre de gravité du corps tout entier n'a- « vancemit pas, La seconde jambe ne pouvant reruler ainsi

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2d2 LIVRE III. — SYSTfiHES HATËRIELS.

« qu'en glissant sur la sul-facc du sol, celte te»(lauc« au gli»< u scmenl développe nn fh>ttemeut qui s'y t^posc, au moins

«jusqu'à une certaine limite

« De même lorsqu'un danseur, s'appuyant sur le sol par •< la pointe d'UD seul pied, veut se douner un mouveraeni « de rotation autour de la verticale passant par son centre H de gravité, il ne peut pas produire ce mouvement par la 1 seule action de ses forces musculaires, parce que ces for- ■ ces éiani intérieures ne peuvent pas Taire que la somme « des aires décrites autour du centre de gravité, en projec- « tîon sur un plan faorizontal, passe d'une valeur nulle ù une « valeur différente de zéro. Mais si le danseur veut piroiiet- « ter vers la gauche, il donne il son corps un mouvement de « torsion, en vertu duquel la paitie supérieure tourne vers << la gauche, tandis que la partie inrérieure tend à tourner « vei« ta droite ; ce dernier mouvement ne pouvant so Faire « que par un glissement des diverses parties du pied sur le « sol, il en résulte le développement d'une résistance au ■' glissement en chacun des points de contact du pied sur le « sol, et ces résistances sont des foi-ces extérieures, pour << lesquelles la somme des momenu, par rapport à la vertj- « cale menée par le centre de gravité, n'est pas nulle, de « sorte que, par suite de l'action de ces forces extérieures, x le corps du danseur peut prendre tm mouvement de rota- « tion autour de la verticale. — Lorsqu'il a tourné un peu a de celle manière, sans que son pied cesse de toucher le a sol, il le soulève brusquement pour fhire disparaître la « toreion qui en est résuliiie pour son corps, et en répétant u plusieurs fois de suite la même manœuvre, il parvient ù « se douner un mouvement de rotation assez rapide. Si le « danseur était sur un sol très-glissant, ou bien, s'il ne s'ap- « puyait sur le sol que par un seul point, il lui serait im- « possible de tourner sur lui-même, comme ooos venons de K le dire. '>

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MOUVEMENT GËNËRAL. 293

139. — IMaa iIm MaxlMMH ér» rnirm. Nous avons iin<; dernière conséquence ù déduire du théorème des aires : elle fcru l'objet dti prcsciil paragraphe.

La viileur de la somme des projeclions des aires décrites pendant un certain temps n'est évidemment pas la même, quel que soit le plan de projection que l'on choisit. Cette somme doit varier au contraire avec la position de ce dernier. Il y a donc indubitablement un certain plan pour lequel cette somme est un maximum. C'est ce qu'il est d'iilleurs Tacile de démontrer.

Soient en effet dk, dk\ dX", les projections sur tes plans coordonnés d'une aire élémentaire dij coirespondant au monvement du point matériel tn. Appelons 4> un plan arbitniire Taisant avec les plans coordonnés certains angles s, 6, y. La projection da de da sur ce plan, aura pour valeur :

= cosa(A + cm èd).' -i- rx» y dk" \

mci) = cos « . mX + C09 Ê . nik' + cos y . m>," . et Itttta = CM a . Itnk -i- cos S.^in>.'+ cas y . liiù." .

Mais on sait, d'api-ès le n" 137, que :

Irai. =\ M, Inù' ^ 7 A'( , 2 wû" = \ A"/.

Donc :

Imta = (A cos a + A' cos ê + .\" cosy) ', 1.

Or, soit n un plan Taisant avec les plans coordonnes des angles dont les cosinus soient proportionnels à A, A', A"; la

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39/l LIVRE 111. — SYSTfeME:5 MATÉRIELS.

quantité eiilie parenthèses i-eprésenteru le cosinus de l'angle des deux plans $ et FI, multiplié par une certaine constante. C'esl-à-dii-e que

Sn.w = Kcos(<I»,n)f.

Cette valeur de Ima sera évidcmmenl un maximum quand cos (4>, II) sera lui-même un maximum, ou quand les deux plans se conrondront ensemble. En d'autres termes, le plan pour lequel la somme de projection des aires est maxima est celui qui fait avec les plans coordonnés des angles dont les cosinus sont respectivement proportionnels à A, A', A", et par suite égaux à

VA* + A» + A'" ' 1/a» + A'» -H A"= • i/A'-+-A''H-A"' '

Ce plan est appelé plan du maximum de» aire». On peut dire aussi que c'est le plan du moment maximum de la quantité totale de mouvement ou le plan dn moment maximum du groupe de foreras înslantanées capable de réduire le système an repos. Nous remarquerons en passant que la somme des projections a la même valeur sur tous les plans qui font le même angle avec le plan II, et qu'elle est nulle sur tous les plans qui lui sont perpendiculaires.

Le plan du maximum est aussi nomme plan invariable, parce que sa position ne change pas avec le temps. Celle dernière propriété est une coijst^quenec directe de la proportionnalité des aires au temps. Car, si à un instant quelconque, la somme des prujectious est maxima , elle devni l'être toujours.

La connaissance de la position du plan invariable s'oblieudra eu déterminant A, \',A". Or, ces quantités seront connues si à un moment quelconque on cunualt les vitesses et les positions des mobiles. En effet, on a :

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MOUVEMENT GËNËRAL.

Jl^î , ^

dt \dt dt I

cp qui dclermine bien les trois qtiaiititcs A,A', A", si les coordoiinces et les vitesses sont cotitiiies à nn certain moment. Quant à l'équation du plan invariable, elle s'en déduira aisément, et sera :

K"x + K'y -»- Aî = y.

Ou voit en int'me temps que la position du plan se déterminera géométriquement par une coiistruotiou fort simple : car, si l'on porte sur les axes des z, des y et des x, qui sont respectivement perpendiculaires aux plans des x}/, des xx et des yz, auxquels correspondent les projections A, A' et A", si l'on porte, dis-je, des longueurs proportionnelles à ees quantités A, A' et A", la diagonale du parallélipipède ainsi construit sera peipendienlaire au plan du maximum. En eiTet, le plan perpendiculaire à la diagonale Tonne, avec les plans cooi'donnés, qui sont respectivement perpendiculaires aux cAtés du parallélipipèdc, des angles donl les cosinus sont «'■ganx à

V/A*-|-A"-|-A"' ' I-'a' H- A'' + A'" ■ KA' H- A'» -f- A"' "

Pour l'ensemble du système planétaire, il existe donc un plan invariable, ou un plan pour lequel lu somme des aires pixijctf'i'S , respectivement multipliées par les masses de toutes les molécules matérielles, est un maximum. Le grand Laplace, qui le premier a fait resstîrtir la propriété du plan

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