LIVRE 111. — SVST^ES MATÉRIELS

tu variable Cl s'en est servi pour ûuiblir uu plan aslroiiomique immuable dans la suite des sïiicles, a déterminé sa posiitoa d'une manière inexacte, d'npiès laquelle on ne la l'Clfouverait pas la mOmo à diverses époques, eu la calculant d'après les mêmes données. L'erreur commise a été celle-ci. D'une part, Laplace avait assimilé chaque planète à un point matériel unique, négligeant ainsi les inégalités de trajectoires dues aux positions relatives des diverses molécules de la planète. L'assimilation serait pennise si la planète, en même lemps qu'elle se meut d'un mouvement général de trauslatiou, ne possédait pas un mouvement de rotation sur elle-même, qui change considérablement les aires décrites. D'antre part, Laplace avait négligé les aires analogues dues anx révolutions des satellites, ou pluldt il avait supposé leur masse réunie an ccnti-c de la plauèlc, sans tenir compte des différences de trajectoires. Ainsi les quantités dont s'est servi l'illustre géomètre pour assigner la position du plan invariable sont erronées doublement : 1° à cause des aii-es dues à la rotation des planètes et du soleil lui-même ; 2" à cause des aires dues à la révolution des satellites autour de leurs planètes respectives.

THÉORËUK DES KOHCES VIVES.

140. — Définition. On nomme force vive d'nn ensemblo quelconque de points matériels la somme des forces vivos de Ions les points, — Il est à remarquer que tons les termes de cette somme sont essentiellement positifs, puisque dans le- produit imVMa vitesse figure au carré.

Cela pose, reprenons les équations (A), (A*),.... relatives aux. divers points d'un système dynamique ou géométrique.

La combinaison des trois équations (A) qui concernent le seul point m permet, comme on sait, d'établir pour ce point la rclaliou des foi-ces vives, dans laquelle la foi-ce eu évi-

n,g,t,7rJM,GOOglC

)IOUVEME>T GËNËltAL 2'J7

dvnue est la Torce mou-îec (olalc dn point m, c'est-ù-dii'e l'ensemble des furets eMéricHrc et iiilnrienre. Distinguons ces deux forces dans la relation ett question, de même qu'elles sont dietinguées dans les équations fondamentales (A). Cette relaUoii sera donc :

Elle signifie que le travail élémentaire de la force exicrieuro, pins le travail élémentaire de la force intérieure, est égal à la variation ëléménlaire de la force vive du mobile. On peut égalemi-nt la mettre sous la forme

en représentant par dp et di les projections, sur la direction de la force P et de la force I, de l'espace élémentaire parcouru €U. Pour le point m', on aura une relation toute semblable, et de même |)onr chacun des autres points matérîcfs. Si nous ajoutons toutes ces équations entre elles, le second membre de l'équation finale représentera la force vive totale du système ; quaut au premier membre, il désignera, d'une part lu somme des travaux des forces extérieures, et d'autre part la somme des travaux des forces intérieures = ce que nous écrirons ainsi, d'après les notations précédemment adoplées.

(10 l?dp + lldi=ld{m\\

Actuellement, distinguons les deux natures de système : car, à l'iiivei-se des théorèmes déjà étudiés, les résultats ne seront plus ici les mêmes, selon qu'il s'agira d'un système géométrique ou d'un système dynamique.

lâl. — Occupons-nous, en premier lieu, des systèmes géométriques.

Je dis que le terme 11 di, dû à toutes les foix'cs iiiléricures, disparaît nécessairement de l'équation (L).

n,g,t,7rJM,GOOglC

298 LIVRE 111. — SYSTbHBS MATÉRIELS.

Pour ce qui est des Torces d'assiijeuisseineiit ou des forces proviinant de l'obligalîoa individuelle des poiols à demeui'eisur des courbes ou des surfaces dornires, cela esl évideut à priori, car on sait que les espaces élémentaires parcourus sont perpendiculaires à la direction de ces forces, et que par suite les travaux correspondants sont nuls. Quant aux forces de liaisons mutuelles, nous le démontrerons aisément. Soient en elTet deux points matériels M et M', unis par la lige lîgide ou le fil invariable MM'. Ces deux points, dans leur mouvemetit élémenlaîre, prennent des positions quelconques N et N', influlmwt rapprochées de leufs positions primitives, et telles d'ailleui-s que NN' égale MM'. — Les deux points N et N' ne sont pas généralement situés dans le même plan que M et M', en soite que le quadrilatère M N N' M' est ganche. — Pendatit ce mouvement, le i>oint M est soumis h une force de liaison 1 sui vanl MM', et dirigée par exemple de M vers M' ; et rcciproquemenl, le point M' est ng- î*- soumis h une force égale et inverse , — I.

Le travail de la force I pendant le déplacement élémentaire sera I x M N . cos (MN, MM'), et le travail de la force — 1 sera — I X M'iV. cos (M'N', M M'). Je dis que la somme de ces deux travaux

I i MN . cos {MN, MM') — M'.N', cos (M'N', MM") }

est identiquement iiiillc.

Tour le montrer, menons N'« égal et parallèle à MM', cl joignons Mn, N». Un sait quc

MN.co8(MN, MH') = M«.cos(Hw, MH') + Nm. Cos{N(i. MM), parce que la projection, sur une droite quelconque MM', da

rmn-n-.;GoOg\c

MOUVEMENT GËNËRAL. 399

c(Vté MN qui Ternie le polygooe MnN est égale à la somme des projections des autres côtés Mn, Nn, de ce polygone.

Op M« . cos (Mn, MM')= M'N' . cos (MTf'.MM') : donc, en siibsiiitiant dans la somme ci-dessus des deH\ li-avanx élémentaires, on trouve qu'elle se réduit à

IX Nn. cos(Nii. MM').

Mais mN' et NN' sont égaux tous deux à MM' ; donc N« est l'élément d'une circonférence décrite du point N' comme centre, avec «N' pour rayon. Donc la projection de cet élément sur le nyon n?i', ou, ce qui revient au même, sur la droite parallèle M M', est nulle , puisque cet étéuient est normal au rayon.

Donc enfin la somme des deux travaux élémentaires dus à la liaison des deux points matériels est nulle.

Si le lien, au lieu d'être une lige ou un fil invariublc, était un fil le long duquel les points pourraient glisser, on aiiiverait au même résultat.

En eflct, supposons que les deux points iftl M GlM', par suite du glissement, ne gardent pas la intime distance pendant le mouvement, et soit N, et N' leurs positions voisines ; K'N, étant, par exemple, plus grand que MM'. Joignons M/i, »N,.

La somme dc^ deux travaux se réduira comme précédemment ù

1 xnN,. cos(»iN,,MM').

quaiHilé qui M'est pas nulle, puisque N'Ni

^''' "■ n'est pas égal à «N', et que par suite «N,

n'est pas l'élément d'une circonférence. Prenons NN' égal

à «N', et joignons Nw. Ou sait que ■

«N,.C0s(nN,.MM■}=^ll.c«8(N«,MU'}-^-N^,.cos(N^,,MM').

n,g,t,7rJM,GOOglC

300 Ut RE lir. — SYSTÈMES MATËBItLS.

Le pi-tmiicr trrmo <lii second mcmbi-c csi nul, comme on l'a vu pfêcédeminciit, eu soi'tc que tiiialemcrit la somme des deux ti-avauxae reduità ï . NN, cosnN'N, , Mais le cosinus d'un angle infiniment pelil est égal à l'unité. Si donc on représente par dt la variation élémentaire de distance des deux points, on voit que le truvail dà aux Torccs de la liaison est égal à

Idl,

qiiaiilité qui doit d'ail'eurs être affectée du »gne moine, puisque la force est snpposce dirigée en sens contraire de la variation de distance, et que, conséqnemment, si l'une est estimée positivement, l'nulre doit l'élre négativement. Eu sorle que la véritable valeur du travail élémentaire est

expression dans laquelle la force el la longueur sont essenticUemeot positives.

Si au lieu de s'éloigner les deux points se rapprochaient, le travail élémentaire serait

+ \dl.

Cela posé, considérons plusieurs points M, M', M",

M^', dont les deux extrêmes sont invariablement liés à un fil, taudis que les autres glissent librement le long de ce fil. Le travail de tontes les forces intérieures, dirigées suivant les portions du fil comprises entre les points deux ù deux, sera égal h la tension du fil, qui est la même partout (it* 121), multipliée par la somme algébrique des rapprochements et des éloignemcnts. Or, la totalité du fil gardant la même longueur, — ce qui fait que la somme des rapprochements et des éloignements est égale à zéro, — il en résulte que le travail élcmeulaire dO ik toutes les pailies de celte liaison est nnl à chaque instant.

n,g,t,7rJM,GOOglC

UODVEHENT RÊNÉRAL. 3d1

Actuellement, si nous i-evenons au terme 1\ di de l'équation (L) ci-dessus, on voit que les diverses culogorics de travaux dont se compose cette somme sont nulles séparé* meiil. Donc 'ce terme disparaît, et par suite l'équaiion des forces vives du système géométrique se réduit à

(G) 2Pdp = rf2imV';

ce qui montre que dans nu système géométrique la variation élémentaire de force vive est égale à la somme des travaux élémcnlaii'es des foi'ces extérieures, et que par suite la variation de force vive, dans un temps donné, est égale au travail des forces exléi'ieures pendant le mâme temps. Ce résultat a lieu quelles que soient les liaisons géométriques, et quels que soient aussi les assujettissements des diverses parties du système. On voit, d'après la même équation (G), que la variation de force vive d'un système est absolument égale à celle qui se produirait si tons les points matériels étaient entièrement libres et indépendants les uns des autres.

Si les forces extérieures sont nulles, ou si, sans élre nulles, elles satisfont à la condition qtte ta somme de leurs iravaux élémentaii-es est perpétuellement égale à zéro, la force vive totale du système demeure constante. Donc, si un système géométrique est, à uncertain moment, abandonné par les forces qui le sollicitaient, ce système continueia à mt mouvoir de telle façon que la force vive (otalc ne soit pas altérée. La vitesse individuelle des divers points pourra varier à l'infinî, mais ces variations se combineront de manière à ce que 1-, mV garde la même valeur. C'est ce qu'on nomme le principe de la conservation de* forces river, tout à fait analogue à celui de la consenalion de la quantité de mouvement.

Lorsque les forces extérieures ont, à uu certain moment,

n,g,t,7rJM,GOOglC

30a I.IVRI: lir. — SYSTEMES UATËRIELS.

des valeurs telles que la somme de leurs iravaux élémentaires soit nulle, la variation correspondante de la force \i\o est elle-même un maximum ou un minimum. Héciproquement, si cette dernière condition a lieu, on est assuré qne les forces extérieures passent pm- des valeurs telles que la somme de leui's travaux est momcjtianémcnt nulle.

Ifi3. — Remarque importante. Lorsqu'un système géomctrique est à liaisons complètes, c'est-à-dire constitué de telle soi-te qu'un seul mouvement y soit possible dans les deux sens, on a nécessairement alors, entre les « poinis matériels, 3n — 1 équations de liaisons, qui sont autant de relations entre les seules coordonnées. Pour que le [MVblème soit résolu, il suflit d'avoir une seule équation de plus entre ces mêmes coordonnées et les forces extérieures du système, car on dispose alors de 3» équation" pour exprimer les 3» coordonnées en fonction des forces extérieures. Toutes les forces intérieures sont par cela même éliminées. Or, cette nouvelle équation est piécîsémcnt fournie par la relation (G) des forces vives, que uous venons de trouver, et qui ne contient pas effeclivemeni les forces intérieures. — Cette équation des forces vives est celle à laquelle on arriverait infailliblement si, au moyen des 3n équations (A), (A'),.... et des 3n — 1 équations de liaisons, on éliminait toutes les quantités dues à la prt'sence des forces de liaisons. Nous avons ainsi ii notre disposition un pi-océdé immédiat pour trouver le résultai de cette élimination. — Cette remarque trouve une frc>quente application dans les mouvements des appai-eils spéciaux, connus sous le nom de machine*, à l'aide desquels l'activité humaine réalise les effets mécaniques qu'elle a en vue. La plupart du temps ces appai'eils sont des systèmes qu'on peut très-approxiniativement regarder comme géométriques, et qui sont alors caractérisés par la condition d'être à liaisons complètes. Aussi, pour la détermination du mouvement, y fait-on un perpétuel usage de

n,g,t,7rJM,GOOglC

UOUVEHEHT eÈNËHAI.. S0$

l'équation des foi-res vives, de prér<>reiice ii tout autre mode analytique.

(les machines sont i-^eliement des systèmes dynamiques, oit une muliitude de mouvements individuels se produisent. Mais tous ces mouvements, à l'exception du principal, qui estrehiî qu'on a en vue, sont à peu près négligeables, et l'on i-egai-de alorrt tous les points comme assemblés par des liens géométriques absolus. — C'est la môme assimilation qu'on fait loi-squ'on paHe de forées exle'rieiire» et de fofee* d'a*iHJetti*iement. Dans lo sens itgoureux des mots, il n'y a que des forces intérieures, pHis(|ue tout système, considéré en lui-même, n'est malgré nous qu'une partie intégrante du système dynamique de l'univers. Chaque fois qu'on emploie de pareilles locutions, il faut sous-eotendre qu'on ne tient pas compte des corps environtianu, ni des réactions qui s'y produisent, ni du mouvement réel qu'y reçoivent les courbes on les surTaces censées fixes. Cesi donc parce qu'on néglige volontairement (a contrepartie de ces forces prétendues extérieures ou d'assujettissement, que la fraction de matière à laquelle on restreint les déductions peut être envisagée comme nu système dans lequel existeraient des actions sans récipi'ocité.

l/i3. — Considérons maintenant les systèmes dynamiques.

f/équaiion des forces vives est, comme on a vu, celle-ci :

Le terme di'i aux forces intérieures ne disparaît plus, parce que la démonstration contenue dans le n" l&l n'est pas applicable à ce genre de liaisons. Mais si l'on reprend ce qui a été dit à cette occasion, on voit que le travail élémentaire dA aux deux forces mutuelles qui s'exercent entre deux points quelconques est toujours représenté par Rrfr, R désignaat l'intensité de ces forces mutuelles, et dr la variation

n,g,t,7i.dt,G00glc

304 LIVRE III. — SYSTÈMES UàTËRIEIâ.

de di&utuce des deitx poinu. Le &igiie + on le signe — doit d'ailleurs être adopté, suivant {jne la foitie agit dans le sens de la variation de distance ou en sens contraire. — I^a relation des forces vives des stsièuics dynamiques sera donc :

(H) irdp ± IRdr = Id kmy^ ;

ce qui 010011% que la variation élcnientaîre de force vive est égale à la somme des travaux élémentaires des forces extérieures, plus ou moins la somme dos produits obtenus CH mullipliant chaque force mutuelle par l'éloignement ou le rapprocliement des deux points entre lesquels elle s'exerce. On peut dire aussi, en passante l'intégrale, que la variation de force vive, dans uu temps donné, est égale à la somme algébrique des travaux dus aux forces extérieures et aux forces intérieures.

Il résulte de là que, s'il n'y a pas de forces exiérienrcs, la force vive varie seulement d'après le travail des forces iniérienres, et, si la force vive demeure constante, c'est qu'à tout moment le travail des forces extérieures est égal et contraire à celui des forces intérieures.

Ces faits nous montrent une différence radicale nouvelle qui sépare les systèmes dynamiques d'avec les systèmes géométriques : dans les premiers, le travail des- furces inlérienres indue sur l'eut de la force vive, tandis que dans les derniers ce travail est toiyours nul. Pour qu'il fût nul aussi dans k's premiers, il faudrait, ou que les distanc(» des points deux à deux ne variassent paspendant le mouvement (ce qui revient à dire que le système se comportci'ait comme un coips solide), ou qtie, les forces mutuelles ayant la même intensité entre plusieurs points, la somme des éloigucments fût égale à la somme des rappt-ochements (ce qui reviendi-ait au cas géométrique de points matériels glissant le long d'un fil invariable).

Dans le système planétaire, toutes les forces se réduisent

n,g,t,7rJM,GOOglC

UOU\EUENT GË^ËRAr.. }05

à des actions miiiiidlis s'exei-çml deux à deux outre des points dont lu disluiico varie pcrp;.^tiiull(!inciit. Il un résultu que la furcc vive uugmenic ou diminue lotijoui-s, à l'invei'sc de ce (|iii se passe pour la qiiaiiiiiô de mouvement qui, oomme ou l'a vu, demeure constanle.

Iftù. — Supposons que toutes les forces tant intérieui-es qu'extérieures d'un système soient Tonction des coordonnées dej points d'application, et que la qtianiilc X (Kdx -f- Y</y+Zdz), où X,Y,Z désignent maintenant la force totale, soit la dirrércnliellc cxacù; d'une certaine fonction des coordonuées,/(x,y,2,T', y',....)i je veux dire par là qu'on ait ;

Xilx + y dy + Zdz + \'<tx- -h Yfly- + .... =

dx dy ' dz dx' ' dy ^

D'uprès celle bypoUièse, l'inl^ralc totale de iu quantité 1 (X4£v+¥(/y + Z<'2)sera précisément égaie à cette fonction fix,y, Xyx', y',....).

L'équation des forces vives, iutégi-ée entre deux positions du système, donnera :

Donc, toutes les fuis que le système passera par nnc position tellequc/'(a;, y, z,y, ....) prenne la même valeur en y ■■eniplaçantar,y,7,2',.... par les coordoimés correspondant ik cette position spéciale, la variation de force vive depuis l'origine repassera aussi par la même valeur, ce qui revient à dii-c que lu force vive du système sera la même pour loules ces positions spéciales.

Cette circonslAncc, où l(Xdx + Ydy + Zrfz) est uue dif féi-cniielle cxacie, se produit notamment quand les foi-ccs motrices sont dirigées vers des centres (Ixes et qu'elles sont fonction des distances de leurs points d'application à ces centi'cs. Il en est de même quand les forces se réduisent à des I. «i

n,g,t,7rJM,GOOglC

306 LITRE III. — STftTËMES yiTËRlELS.

aclions mutuelles s'exerçant entre les points deux à deux et ronclioii des dislances de ces points. En eftel, s'il s'agit, par exemple, d'une action mutuelle entre les points m elm', on a ;

Xdx -f- Ydy + Zdz + X'dx' + Y'dy' + Z'dt' = Kdt- ;

et comme d'ailleurs

il s'ensuit que R(/r, et aussi la somme de toutes les quantités analogues, est la différentielle exacte d'une foncUon des coordonnées.

Nous concluons de là que dans un système dynamique, réduit h des forces intérieures Tonclion des distances, la foive vive passe par la m^me valeur toutes les fois que les distances des points redeviennent les mttmes. Lors donc que dans le mouvement de ce système les points s'écartent ou se l'approclienl, il y a gain ou perte de force vive, mais la valeur primitive se rétablit quand le système reprend la même forme, quel qu'ait été d'ailleurs son déplacement général dans l'espace. On voit ainsi que dans le système planétaire, où toutes les actions semblent dépendre nniqucment des distances, ta force vive totale, qui varie incessamment, passe périodiquement par la même valeur, aux époques OH les disinnces mutuelles des astres se retrouvent dans le même état qu'auparavant. On potiiTait nommer rc théorème principe de la périodicité de la force vire.

Cette conséquence s'applique évidemment aux systèmes géométriques dont les forces extérieures satisfont à la condition ci-dessus, puisque, dans tous les cas, le travail des forces intérieures est égal h zéi-o.

Un autre exemple très-simple de la périodicité de ta force vive est celui où un système quelconque, dont (es forces intérieures seraient géométriques ou fonction des distances,

n,g,t,7rJM,GOOglC