LIVRE KL — SYSTÈMES MATÉRIELS

Il s'agil doue de (>rouvcr que In variation

y lis

entre deux posîtious du système est rorcémeut nulte.

La démonstration ne diffère pas de celle qui a été donnée' au n° 92. Il suffit d'interposer partout le signe 2 à la suite de la caracbîi'islique S. La variation d'une somme de quantités étant égale à la somme des variations de ces quantités, tontes les transformations de calcul du numéro précité s'appliqueront ici sans difficulté.

Nous ne nous y arrêterons pas davantage.

É^alllbre de« forces qml Mlllclleal ■• «yslème HMlériel.

1&6. — Nous n'avons pas à nous oceupel' des conditions d'éqnilibrc des Forces appliquées à un système dynamique, ou plutôt ces conditions sont immédiatement évidentes : elles consistent en ce que, sur chaque point séparément, la résultante des forces exiéricni'cs qui y sont directement appliquées doit avoir une valeur égale à zéi-o. En effet, on voit bien que si la résulLtute n'cDit pas nulle en quelque point, ce point, lorsqu'on viendrait^ la supprimer, recevrait un ccriaîn mouvement en vertu de ses seules Torces intérieures; d'oti résulterait que les forces cxtcHeures n'éiaîent pas en équilibre, puisqu'elles n'étaient pas sans influence sur le mouvement du sysièmc. Ainsi les conditions d'équilibre d'un système dynamique ne sont autres que celles d'an point matériel unique, répétées autant de fois qu'il y a de points matériels dans le système.

Il n'en est pas de même des systèmes géométriques ; car la suppression des forces extérieures fait disparaître, par

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UODVEMENT RÉNËBA.U 309

coDire-coup, des Torccs de liaisons, d'où il suit que l'ensemble de ces Torces extc'rieures peut éirc en équilibre sans que leur résuluinlc en chaque point soit sëparément nulle. Pour n'en citer que le plus simple exemple, nous ferons remarquer que deux forces égales et opposées, agissant sur deux points placés aux extrémités d'un lien rigide, sont en équilibre, bien que sur chaque point en particulier l'équilibre n'existe pas. L'équilibre dans les systèmes géomélri' qiics pourrait assez bien être nommé équiUbre indirect, pour tïiire comprendre que les forces extérieures ne se con tre-baluncent mutnellement que par l'intermédiaire de certaines liaisons. Ce que nous nous proposons de rediercher ici, c'est précisément les conditions de cet équilibre indirect, c'esl-à-dire les conditions auxquelles doit satisfaire un groupe de ferccs extérieures appliqué à un syslèmegéométrique, pour que ce groupe puisse (Xva introduit ou supprimé sans que l'état de mouvement ou de repos du système soit en rien modillc.

1Ù7. — Cela pose, reprenons les équalious (A), (A'),. .. du mouvement du système, et exprimons que le groupe des forces extérieures peut disparalti'e des premiera membres, sans que les valeurs des. seconds membres soient changées.

Il faut rcniarquci' que les forces inlérieni'cs L, M,N, L',.... se décomposent en deux catégories, savoir : 1° les réactions qui existent dans les liens par suite du mouvement du système, lequel est supposé s'effectuer de la même nianièi-c, avec OH sans les forces extérieures. C'est ainsi, par exemple, que dans un corps solide qni tourne sur lui-même, en vertti d'impulsions initiales et sans l'intervention actuelle de forces extérieures, il s'cxeixe entre les liens des divers points matériels certaines l'éaclions qui ont précisément pour résultatde faire décrire à chaque point la courbe qu'il parcourt effectivement, et de l'empOcher de s'échapper en ligne droite avec une vitesse uniforme \ S" les réactions supplémenlairca

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310 LIVRE III. — SYSTËMES UATËBIELS.

que suscite dans les mi^mes liens la présence du groupe extérieur en équilibre, ivuctions qui n'ont aucun elTet sur le itiouvemenl, et dont Je seul résultat l'St justemeul de déterminer l'équilibre indirect du gionpe en question.

C'est cette seconde catégorie de réuctions, invinciblement liées au groupe extérieur, naissant cl disparaissant avec lui, qui doit, avec ce groupe luï-mènic, être supprimée dans les

équations (A), (A'), sans que les valeurs des seconds

membres soient changées. — On retrouve ici la même observaiion déjà présentée a» n° 106, à l'occasion de la résistance développée par une surface sous l'influence de forces qu'on applique à un mobile sans en modifier le mouvement. —

Afin de ne pas multiplier les notations, nous désignerons par les mêmes lettres L,M,N, L' cette deuxième catégorie de réactions, en ayant bien soin de ne pas perdre de

vue la vraie signiDcation actuelle de ces quantités. Les conditions d'équilibre des Toixes données s'expi-ime-

ronl donc en posant :

e( ainsi de suite pour cliacnn des «points matériels. On obtient par là 3n équation entre les forces extérieures et les forces intérieures.

On a vu, dans le n* 129, relatif au mouvement, que les

quantités L,M,N représentaient autant d'inconnues

distinctes qu'il y avait d'équations de liaisons entre les poînU du système, et que ces quantités L,H,H,..., pouvaient être remplacées parleurs valeurs en fonction desdites inconnues et desdites équations de liaisons. Si l'on effectue la substitution, et qu'on élimine ensuite lesp inconnues distinctes correspondant aux p liaisons, on obtiendra Sri ~—p relalioas

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MOUVEMENT GÉNÉRAI. Ml

t'iiti'Ë les forces extérieures et les fonctions des liaisons. Ce sont là les équations d'éqnilibi-e, exprimant les conditions auxquelles le groupe extérieur doit satisfnire pour être absolument sans influence sur le mouvement du système. C'est par la même élimination qu'au n" 129 on obtient les 3n-~p équations du mouvement, qui, réunies aux équations de liaisons, permeltent de déterminer la position des points à un moment quelconque. On, pourrait du reste se dispenser des raisonnements qui précédent en recourant directement à ces in —p équations du mouvement. Puisque ces équations ne contiennent pas les forces intérieures, il suffit d'égaler les premiers membres à zéro pour avoir les conditions d'équilibre. On retombe alors sur les relations déjà obtenues au moyen des équations (E), (E'),....

Reinarquei.

i" D'après la manière même dont les Zn — p équations d equilibre sont déduites, il est évident qu'elles ne contiennent pas les masses des points matériels. .\\u%\ les conditions d'équilibre sont indépendantes des masses des points auxquels les forces sont appliquées. En sorte qu'on pourrait tout aussi bien étudier les conditions d'équilibre en substituant au système mattTiel une figure géométrique dont les sommets tiendraient lieu des points. D'où il suit que l'étude de l'équilibre peut être ramenre à n'être qu'une pure alTaii-e de géométrie, après avoir, bien entendu, constaté les lois de la composition des forces en chaque point, lesquelles s'établissent exclusivement à l'aide de la mécanique.

S" Les conditions d'équilibre ne dépendent à chaque instant que de la forme du système, et nullement de la positioH ahtolue des points dans l'espace. Car les quantités qui figurent dans les équations de liaisons sont : on bien la distance

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312 LIVRE m. — SISTËUES MATËRIELS.

entit! deux pointa aiiachés ans oxlrëmités d'un lion invariable, ou bien lii somme des distances entre dos points, deii\ à deux, pouvant glisser le long d'un Al d'une dimension totale invariable. Doue les équations d'équilibre, qui ne codtieiiiieul que des transformations de ces fonctions, ne peuvent être influeucées que par des changements entre les distances des points malériels, chose tout à fait indépendante de la position absolue de ces derniers.

Ces deux remarques confirment ce qui avait été énoncé au u° 50.

Coniéqueneet.

1* Si n est le nombre des points matériels, et p celui des équations de liaisons, les équations d'équilibn^ sont an nombre de 3n — p. Or, les composantes X, V, Z, X'.... sont au nombre de 3n, Donc il y en a autant d'arbitraii-es qu'il y a d'équations de liaisons. Ce qui signifie que, ce nombre p de composantes recevant des valeurs quelconques, on pourra toujours réaliser l'équilibre au moyen de valeurs convenables des in—p composantes qui restent à déterminer. Si, au contraire, on n'appliquait pas de forées extérieures à tous les points du système et qu'on ne disposât que d'un nombre de composantes inTérieur à 3» — p, on ne pourrait pas réaliser l'équilibre, puisqu'on aurait moins de quantités à choisir que de relations Ji satisfaire. C'est ainsi, par exemple, que, si l'on avuit denx points matériels iuvariablemeut unis par nne tige rigide, il faudrait, pour réaliser l'équiiibi'e, pouvoir disposer de 6 — 1 ou 5 composantes, ce qui n'en laisserait qu'une ai'bitraii-e. En efTcl, deux forces extérieures, appliquées ù mi pareil système, ne peuvent s'équilibrer que si elles sont égales, opposées et dirigées suivant la tige de liaison : il ne reste donc indéterminée que l'intensité commune des deux forces.

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MOUVEMENT CÈNÊBAL. 313

Eu gvnéi'al, le nombre des conditions dVquilibi-c augniûntc à mcsnrc que le nombre d'équaiioitj de liaisons diminue, cl rice verta.

2° Supposons qne le sysième se réduit>e à u» assemblage de forme invariable ou à ce qu'où nomme un solide géométrique. L'invariabilité sera obtenue : 1° en unissant U'ois points, suivant un triangle; S* en unissant chacun des autres points aux trois précédents. Si ce sysième est d'ailleurs pai^ ruitement libi-e dans l'espace, le nombre des liaisons sera 3H-3(m — 3) ou 3m — 6. Le nombre des conditions d'équilibre sera donc 3»— (3n — 6) ou sera égal àC. Or nous connaissons déjà 6 équations qui conviennent à tous les systèmes libres, et dans lesquelles les forces intérieures ne figurent pas ; ce sont les tixiis équations relatives aux quan* tilés totales de mouvemenr , et celles des moments (n" 130 et 136). Comme les résultats de l'élimiiiatioii ne peuvent changer, quels que soient les procédés employés, les six équations en question donnent pivcisémcnt les six conditions d'équilibre, en égalant les premiers membres à zéro.

3" Supposons que le système soit à liaisons complètes, ou qu'il y ait 3n — 1 équationsde liaisons, il n'y aura qu'une condition d'équilibre.

Or, nous connaissons une équation qui ne contient pas les forces extérieures, c'est celle des forces vives. C'est donc là notre condition cherchée.

L'équilibre sera alors exprimé par la relation

Remarquons que, dans ce cas, on ne pourrait pas prendre nue des équations relatives aux moments ou aux quantités de mouvement, car le sysième, étant à liaisons complètes, n'est pas-libre, et par suite les forces intérieures ne disparaissent pas des équations précitées.

W Quelque soit le nombre des liaisons, l'équation l(Xdx

rmn-n-.;GoOg\c

31& UVRB 111. — SYSTkUeS MATÉRIELS.

4-Yrfy-t-Zdï) = o esl toujours satisfaite, puisque celle équation, ne contenant en aucun cas les forces intérioiii'es, fait nécessairement partie des conditions d'équilibre. )>onc, toutes les fois que des forces se font équilibre, la somme des travaux est nulle 6 chaque instant, ei par suite la force vive totale demeure la même.

5° Toutes les fois que le système, dans sou mouvement quelconque, passe par une position telle que les forces extérieures, à cet instant précis, s'y font équilibre, le travail élémentaire est nul, et conséqnemmcnt aussi la variation élémentaire de la force vive. Donc la Torce vive totale passe par une valeur maxima ou minima.

La réciproque n'est pas vraie, c'est-à-dire que, si la force vive est à un certain moment maxima ou miaima, on n'eu peut pas conclui'c qiie les forces extérieures passent par wne position d'équilibre : car ce qu'on çait seulement, c'est que le travail élémentaire est nul, et cette équation n'est sudlsaute pour impliquer l'équilibre que si le système est à liaisons complètes.

Remarque. Les conditions d'e'quicaleiice de deux groupes de foi-ccs appliquées à un système ne -difTèrent pas de celles de l'équilibre, puisqu'il suffit d'exprimer qu'il y a équilibre sur le système entre les forces de l'un des groupes et celles de l'autre, prises en sens coutraii'c, conformément à rc que nous avons démontré au n" 132. On aura ainsi 3n — p, conditions d'équivalence entre deux groupes.

Antre retnarque.

THÉORÈME DE d'aLEVBERT.

Lorsque, dans l'élud*' du mouvement (n" 139), on prend les équations (A), (A') et qu'on élimine les forces inlé-

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MOUVEltENT <J£NËHAL. 315

l'ieut-es, pour obtenir 3» — p équations eotro les forces intérieures et les coordonnées des seconds membres, on effectue idcQliqueniciit le même calcul que lorsque, dans l'étnde de l'équilibre (n" lA?}, on prend les équations (E), (E).... et qu'on élimine les forces inténeurcs, pour obtenir 3n — p relations qui expriment les conditions d'équilibre des forces extérieures. Si, dans ces dernières équations, on remplace X, Y, Z,X', respectivement par

tPx „ d'y

di' • (U* rfi' <Ù'

ou aura des équations qui exprimeront qu'il y a équilibre, non plus entre les seules forces X, Y,.... mais entre ces mêmes forces combinées avec d'autres, dout les composantes

auraientponr valeurs — m jtîi— "»-j^ i^t qui seraient

consequemment égales et contraires à celles que nous avons nommées (n" U6) forcée conterve'et, dans le cas du système eo mouvement. Or, ces relations d'équilibre sont actuellement identiques aux Zn~p équations de mouvement déduites des équations (A), (À').... : car il suffit, dans les calculs effectués sur ces dernières, de faire passer les quantités des seconds membres dans les premiers. D'où i! suit :

1° Que les forces extérieures ou motrices d'im système géométrique font équilibre à des forces égales et directement opposées aux forces consen'ées de tous les points matériels.

2° Que la recherche du mouvement dû aux forces extérieures peut être ramenée à celle de l'équilibre entre les forces extérieures et les forces conservées, et vice veria.

On énonce quelquefois sous une autre forme l'équilibre entre les forces extérieures et les forces conservées. A cet effet, on nomme force perdue en chaque point une force qui, combinée avec la force conservée, a pour résultante la force extérieure. De telle sorte que, si ME est la force extérieure

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Ïl9 LIVRE III. — SYSTÈMES «ATÊIliEW.

Cl MC la force conservée, la force perdue sera rcpi-éseiilée par l'autre côté MP du parallélogramme MCEP. On voii par ■^■E là que celte même force pci'due peut élrc conùdërée comme la résultanle de la force extéi-icui e ME el d'une force égale et contrait^ h la force consencc. Oi', nous avons dît tout h l'heure que les forces extrTicures et les forces consenées , prises en sens contraires, se foui équilibre sur le système. Il revient donc au même d'énoncer que les forces perdues sont en équilibre. C'est d'ailleurs évident de soi, puisque les forces perdues sontégales et opposées aux forces de liaisons : au moyen de celles-ci, les forces c\iérienres et conservées doivent se trouver en équilibre.

Nous avons peine à nous rendre compte de l'importance excessive qu'on a attachée au théorème de d'Alembert. Si l'on n'y veut voir qu'une très-élégaiile iiilcipi'étalion concrète des équations du mouvement, nous sommes pleinement de cet avis. Mais on a dit de ce théorème qu'il était la base de la mécanique, en ce qu'il permettait de i-amener les questions de mouvement iV des questions de repos. Mais cette réduc- Uon n'est qu'apparente, puisque les vateui-s des coordonnées mobiles figurent de la mi^me manière, soit qu'on les laisse ostensiblement dans les seconds membres des équations (A), (\').... soit qu'on les dissimule sous la désignation de forces conservées. Nous ne voyons pas davantage en qnoi l'intelligence de la théorie du mouvement en est facilitée, puisque ce sont idenliquement les mêmes calculs, les mêmes raisonnements et les mêmes résultats, soit qu'on opèi'e >ur les équations (A), (A').... soit sur les équations (Ëj, (E'). .. il nous semble bien plus pliilosopliiqne de n'y voir qu'une interprétation des (k|ualions du mouvement. Car rien ne sattsfiiil moins l'esprit que de vouloir, à priori et avant toute

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UOUVËUENT GÉKÉRAt. 317

considérât ion direclc de la mécanique, rameavr les problèmes dynainifjncs à des prablcnios de slaliquc. On parait aÏDSÎ sacrifier les élcments concrets de la question à ud artifice analytique.

Le théorème de d'Alembert n'est du reste qu'une application de la proposition très-générale démontrée au n' 123, et consistant en ce que deus groupes do forces équivalents et de sens contraires se Tont équilibre. En effet, les forces conservées dont nous parlions cî-dcssus sont évidemment équivalentes aux forces motrices, puisqu'elles produiraient le mouvement qui a effectivement lieu. Donc, si on les prend en sens contraires, elles feront équilibre anx forces motrices.

THÉORÈMK S<;R LA STABILITÉ ET L'INSTABILITË DB l'ÈQI'ILIBBB d'un SYSTÈME.

1Ù9. — On se rappelle la distinction établie entre fe'quilibre de» forcet d'un lytlème et i'e'qiiilibre de ce tyttème lui même. La pPL-mière expression signifie que les forces sont sans inlliience sur l'état du système, qui peut d'ailleurs (ili'c doué d'un mouvement quelconque; la seconde signifie f)U(t le système est en repos et que conséquemment les forces, qui y sont d'uillenrs en équilibre, le laissent parfaitement immobile.

L'équilibre d'un système se présente avec deux caractères bien différcnls. On dit que l'équilibre est itabte si le système, étant très-peu écarté de sa position actuelle, tend à y revenir en vertu des fgrces qui lui sont appliquées; et on dit qu1l est instable si le système tend au contraire à s'en éloigner de plus en plus, jusqu'à ce que, scion la locution vulgaire, il se mette à chavirer. Va exemple de la stabilité nous est offert par un mobile M, placé sur une courbe AS, dont il occupe le point le plus bas, et sollicité uniquement

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MS

- srSTÈHES MATÉRIELS.

Fig. IS.

par lu pesanteur, qui aciuellement est équilibrée par lu régistaoce de la courbe. 11 est clair que, si ce mobile est très-peu écarté, à droite et à gauche, de sa position, la pesanteur, qui cesse aussitôt d'être équilibrée, puisqu'elle n'est plus normale h la courbe, agit pour ramener le mobile vers sa position .»/ d'équilibre , autour de laquelle il oscillera dès lors indérinimcnt. Pour peu qu'un certain frottement vienne chaque fois détruire ce mouvement , le mobile finira par s'arrêter dans sa position primitive. L'instabilité aurait lieu au contraire si le mobile occupait le point le plus haut de la courbe A'S' : car, à la suite de tout écart, la pesanteur se mettrait à agir pour faire descendre le mobile, et, par suite, pour l'éloigner à chaque instant davantage de sa situation initiale.

Le théorème que nous voulons démontrer est relatif aux foices qui satisfont à la condition que l{Xdx+Xdy+Zâz) soit la différentielle exacte d'une certaine fonction des coordonnées, — ce qui est, avons-nous vu, le cas général des forces de la nature. — Dans une telle hypothèse, la variation de force vive d'un système, doué d'un mouvement quelconque, entre deux positions déterminées, est représenté par (f(«,,y,,2,,a;',,...) — (^(Xa,y^, z^,x\,...'). Lorsque te système passe par une position telle qu'à ce moment précis les forces extérieures s'y trouvent en équilibre, la fonclion <^{x,,gi,z,...') prend nécessairement une valeur maxima on minima, puisque !e travail élémentaire des forces motrices, qu'elles satisfassent ou non à la condition ci-dessus de la dilférentielle exacte, est alors égale à zéro. Cela posé, le théorème annoncé est le suivant :

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UOtîTEUBNT GËNËRAL. 319

Si la fonction '^x„y^,^^,x\,,..') fst un maximum, la position correspondante est une position d'équilibre itahlei c'esl-à-dii-e que si le système, au lit-u d'y passer avec une certaine vitesse qui l'entraîne au delfi, s'y trouvait d'abord eu repos, et qu'on l'en écartât très-peu, il tendrait inévitablement à y revenir.

Si au contraire cette fonction est un minimum, la position coirespondante est une position d'équilibre imtable.

Supposons donc que la fonction pi-enne une valeur ma\ima. Soient x„, yg, Zg, x\... les coordonnées correspondant à la position d'équilibre. Imaginons qu'à partir de cette poeiliou les mobiles i-cçoivent de très-petites vitesses, en vertu desquelles, au bout d'un certain temps /, ils occuperont de nouvelles positions dont les coordoiim^es x^, y,,z^,x\... différeront fort peu des anciennes. Représentons par p, q, r, p'... ces Irès-légères différences, en sorte que jr,=ar|,H-/», ïi=yi)+ ît 2^(=^B + ''> it\=x\-i-p'... Je prétends que ces quantités p,q,r,p'... demeureront Ircs-peiiles quelle qtic soit lu longueur du temps qu'il plaii'a de considérer. D'où il résultera que les mobiles ne pourront que se mouvoir à droite et à gauche, dans de très-faibles limites, et finalement reprendront leurs positions premières, pour pou que quelque résistance, telle que le frottement, vienne graduellement amortir le mouYcmenl.

Kn effet, la variation de force vive, entre les deux positions susdites, sera

limV\—i;mlll=<^(x„y„z,.3/ )-<^{x^,y^,z^,x'^ )

= çK + p, y,+ ?■■ -) — -îK- y». V--0 ■

Si l'on développe le premier terme du second nombre suivant les puissances ascendantes de p, q, r,... ou sait : 1° que, d'après la propriété des maxima et des minima , la somme des termes dépendant des premières puissances sera nulle i 2» que la somme des termes do second degré pourrj,

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320 LIVRE m. ~~ SYSTÈMES MATËUELS.

dans le cas du maximum, se décomposer en autant de carrés, précédés du signe moins, qu'U y a dans \a runrtion de variables indépendantes. Si donc ou désigne par II la somme de tous les termes relatirs au^ puissances supérieures à la seconde, il viendra :

2îmV;— 2imV; = -(A'+ B* + C' + ....) + Rî

A', B% C... représentant les carrés susdits, qui dcvienueBl naturellement tous nuls en même temps que p, q, r,... et qui sont tous très-petits en même temps" que ces deroières (| nanti tés.

Or, je dis que si les vitesses initiales V, ont été choisies suffisamment petites, aucun des carrés A', B'... ne pourra jamais être égal à S^mV,'. Car si, à un certain moment, le plus grand de tous, le carré A', par exemple, pouTail lui être égal, on aurait :

2 ;mVj= — (B"-l-C» 4- ....) + R-

Mais cette relation serait évidemment une absurdité : car si les vitesses V^ ont été prises suffisamment petites, les carrés B*,C',... tous inférieurs àZ^mV^*, qui est une quantité très-petite, sont eux-mêmes fort petits, et, par suite, />, q, r, sont aussi petits qu'on le voudra. D'après cela, un seul de ces carrés B', C',... qui ne renferment que les secondes puissances de;i, q, r,... sera plus grand que le reste total B, composé de puissances supérieures à la seconde. Il en rceulterait que 2îm V,', qui est essentiellement positif, serait égiil à une quantité négative, ce qui est absurde. Il demeure donc acquis qu'on peut imprimer à tous les mobiles des vitesses suffisamment petites, pour qu'ils ne s'éloignent jamais, quel que soit le temps écoulé, au delà de très-faibles' distances de leui-s positions primitives.

Si la fonclion est un minimum, les carrés B', CV.. sont,

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MOUVEMENT GkTit.tJiL. 321

d'upi'f'ïS 1rs règles précédemment invoquées, afTi'Ctés du signe + :iu lieu de l'être du signe — . Alors la démoiisrralion ci-dessus ne s'upplîtiuc plus, et lion no s'oppose ù ce que ces carrés devîeuiieiil égaux à ^î>nVJ, et même supérieurs uti delà de toutes limites. Donc aussi les variations de coordonnées ;>, 9, r,... peuvent prendre des valeui-s inflnimenl croissantes, ce qui est justement le cas de llnstabililé de l'équilibre.

Nous pouvons Taire une application iW-s-simple de ce théorème 5 un sysièmo de eorps soumis uniquement à In |K>santcur, et liés d'ailleurs entre eu\ d'une manière quelconque. Prenons l'axe des z vertical, et soit i:, it', ir",., les poids de ces différents corps; z, s', x",... leurs coordonnées verticales relatives à la position d'équilibre du système. La quantité XiXdx +ydij -t-Zrfï) se réduira à (r.+Ti'+z"+. ..)dx, et la fonclion if correspondante sera (r + r'-f-7c"H-...)i-, laquelle, pour la position d'équilibre, aui-a la valeur ■!:z + Wz'+T^'z"+... L'équilibre sera stable si celle valeur est un maximum, et instable si elle est un minimum. Or, si II est lu poids total du système, et K l'ordonnée verticale du centiT Av gravité, on devra avoir

7TÏ + 7lV+T:"2"+.... = nÇ.

Cela résulte' de i:=mg, n'=m'g,... n=Mff, et de la définition du centre de gravité, d'après laqnclle

mz-i- m'z + = MÇ.

La quantité nS, qui i-eprésenle la valeur de la fonction tf pour la position d'équilibre, montre que l'équilibre sera stable si fi Ç est un maximum, c'est-à-dire si C est le plus grand possible, et que l'équilibre serj instable si Ç est un minimum. Or, la Torce H agissant de haut en bas, il Tant compter les 2 de baut en bas. Donc la stabilité correspondra au cas où le centre de gravité est le plus loin au-rti-ssotts du

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322 LIVRE m. — SYSTËUES MATERIELS.

plan des x^, c'est-à-dire quand il est le plus bas possible, et rin&iabiliié, an cas où 11 est \c plus haut possible.

lËlqMilUa* Am. UMmwmtmt et '« l'^alltbre Àum l« ru de forcée ia»l«nt«néef>.

150. — Nous avons dtijù eu occasion déconsidérer des actions imlantanée» en traitant de l'i m réduction et de la suppression brusque des liaisous d'un point matériel.

D'une manière générale on nomme force* iuttantanées des forces qui jouissent de la propriété d'imprimer des vitesses finies aux masses qu'elles sollicitent pendant un temps extrêmement court et le plus souvent inappréciable ù nos organes. Cette circonstance implique que ces forces aient une très-grande intensité : car, si m est la masse quE reçoit la vitesse V au bout d'un temps très-court t, on anra );i relation mV^P,T, en représentant par P, une valenr moyenne de la force, u^llc que, son action ayant lieu d'une nianii'src eoiittanle pendant la même durée r, la vitesse communiquée soit précisément celle qui résulte de la force instantanée elle-même. Mais do cette relation on déduit

mV P, 1= — , ce qui montre que, la durée de l'action étant trèscourte, la valeur moyenne de la force iustantanée est trèsgrande.

Ainsi, considérées m elles-mêmes, les forces instantanées diffèrent des forces oi'dinaircs en ce qu'elles sont beauccup plus intenses et beaucoup plus rapides.

Mais une autre diiïérencc, essentielle au point de vue du calcul, c'est qu'on ne connaît jamais cette inten&iié ni la loi de sa vai'iation pendant sa durée. On ne peut donc pas faire figuiTr ces forces dans le calcul de la même manière que les autre». On y parvient en remarquant que ces forces

it,Googlc

iHwvmein' gênëkal. S3S

MM loHJoiirs aMÎgnëes par la ^tuuttM de nuuvêtmtnt qu'elim sont smcepiibln de produire. En d'autres terews,

on connaît la valeur de l'intégrale 1 Pdt, «étendue h la du-

rée r de l'action, Taleor qui est précisément représentée par une certaine quantité de moaTement mV, assignée à priori.

Ainsi, toutes les Mb qu'il s'agira de Taire figurer une force instantanée dans les éqnMions, il faudra se rappeler qu'on connaît d'avance la vitesse qu'elle imprinte à une certaine masse, supposée enli^rement libre, mais qn'on ne connitt individuellement ni P ni t.

D'après cela, les équations du mouvement s'établiront fort ittément de la manière suivante ;

Reprenons les équations (A), (A')....

rfi'

et supposons que X; Y, Z; X'... y représentent les composantes de forces instantanées.

Bien que ces quantités ne soientpas directement connues, on n'en a pas moins le droit d'établir les équations ci-dessus, comme dans le cas de forces ordinaires, paroi; qu'il n'y a aucune raisfHi de supposer que les lois générales de la mécanique ne s'appliquent pas ù ces forces spéciales. Bemai-quons que L, M, N, L'... sont des quantités du même ordre que X, Y,... car elles repi-ésenlent les composantes des réactioM instantanées des liens, qui se d<iveloppent en correspondance des actions instantanées extérieures.

Pendant la durée des pereuttiont ( on nomme ainsi ces actions instantanées) la potion des points matéHels ne ctanngB pas sensiblement, et on peut les regarder comme constantes.

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ilh LIVRE m. ~ SYSTÈMES HATËBIEI.S.

lulégroos chacune dea équaiioD& ci-dessDS par rapport an temps, pour la durée totale des percussions. Les premiers membres représenteront alors les quautiiés de mouvemeiil engendrées séparément par les forces insiautanées et par les réactions correspondantes sur les points matériels supposés libres; les seconds membres représenteront les quantités de mouvement acquises par les points matériels sous la double influence des forces et des liens auxquels ils sont eSectivemenl soumis. Si donc nous désignons par v, u, tt, v',... les vitesses inconnues acquises par les divers points du système après les percussions, et par a,b,c,a',... les vitesses conliiies qu'ils recevraient respectivement des forces insianianées, s'ils étaient libres, les équations intégrées pourront

nw + l Ldt=im, «i*+ pM me + f Nrf( = mro , (I') m'a' -+■ jUdt = nw' ,

On a vu au n' 129 que les quantités L, M, N, L... r^irésenlent en n-alité autant d'inconnues distinctes i", ï"... qu'il y a de liaisons ; et que, si l'on fait la substituUou dans lc« équations du mouvement, on fait llgnrer .chacune de ces ini-onnnes multipliée par une ccruîue fonction des coordonnées. Les intégrales ci-dessus représentent donc;> intégrales

dtslincles, de la forme j'idi, respectivement multipliées

par certaines fonctions des courdunnées. Ces fonctions soat en effet hors de l'iulégration, puisque la position des mobiles est considérée comme ne cliangeanl |)as pendant la durée de la percussion. Un peut éliminer ces p intégrales, traitées comme autant d'inconnues, <>ntre les équations (1), ((')■■.

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MOUVEMENT G£:4ÊltAL, KS

ci-dessus ;el on obtiendra 3» — p relations renrermant les 3» inconnues v, », w>, v'.... Mais, d'un autre c4té, ces vitesses doivent satisfîiîre aux liaisons du système. Si donc on différentieparr^piwn au temps chactme des équations do liaisons, on aurap nouvelles relations, où figni-eroni^ , ^ ,... c'està-dire V, H.... On auia ainsi fliialunent in équations pour détcnniner les 3n vitesses composantes, qui sont les incoonues de la question. Quant aux coordonnées qui figurent aussi dans ces relations, elles ne sont point inconnues, puisque les percussions n'altèrent pas les positions des mobiles, et que celles-ci sont naturellement supposées counnes au moment où les percussions commencent à agir.

Ainsi on déterminera les vitesses engendrées par des forces instantanées, absolument comme on détermine des vitesses, au bout d'un temps quelconque, produites par les forces ordinaires.

Pour le mouvement du système, qni fera suite aux percussions, nous n'avons rien à ajouter : car nous nous retrouverons dans le cas normal d'un système qui se meut dans de certaines conditions de liaisons, en vertu de certaines vitesses initiales, et qui peut d'ailleurs être ou non sollicité par des forces motrices.

Nous avons implidtemcul admis, dans la théorie qui pi'é* cède, que toutes les Torces étaient instantanées.

S'il y avait aussi des forces ordinaires, ce ne serait pas une difficulté ; car, leur intensité étant très-fiuble par rapport ans percussions, on n'eu tient aucun compte pendant la durée t; en sorte que les résultats déduits subsistent intégralement.

Les équations d'équilibre s'obtiennent fvec la même fadlilé. Il sufllt d'égaler à zéro les première membres de» 3» — p équations du mouvement, ou de refaire le raisonnement connu sur les relations stiivantes ;

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S3S UVBE m. ~ STSTËMBS UITÈRIELS.

ma-t-j Ldti^o, mb-i-j Hdi = o, me+f 'fiA = o,

mV + j'Vdt = o

Quant aux conséquences générales, relatives tant au mou- Vemeirt qu'à l'équilibre, qu'on pourrait présenter sur k-s perçassions, ta méthode est trop semblable à celle des forces «rdliiaircs ponr que nous croyions utile d'y revenir.

TMvréaiM géméwmmx sar l*lntr»dBCli«H et la

•■npreMlMi brasqae et» llalMns d'aa lyrtèSM <e

fluU ■■térIelB.

CHOCS ET KXPLOaiOMS.

IM. — Jusqu'ici nous avons supposé qne les liaisons gco- ■ëirique» d« sfitème existaient dès l'origine du mouvement. Nous allons maintenant entrer dans des considéra- Uona analogues ii celles dn n* 118, c'est-à-dire examiner le cas où soudainement, pendant le monvement des points matériels, ceira>«I se troorcraient assujettis à certaines liaisons nonvelles. C'est ce qui aurait lieu, par exemple, pour deux poinu matériels, attachés aux extrémités d'un Al flottant, et qui miraient des monvemenls les éloignant de pins «n ptns l'un de l'antre. Tout à coup, la distance des deux points ayant atteint ta ttmite de longueur du fil, celui-ci se tendra et produira une action brusque en vertu de laquelle le mottrement antérlenr des deux points sera modifié de -mairière à rester désonnais compatible avec lenr distance (tereDde invariable. ' Pfous ne nous proposons pas de déterminer tous tes élc-

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MOUVEUË.YI GÉNÉRAL. 327

menls du mouvement qui succède ainsi à tin brusque phê- ■loniène d'introduction ou de suppi-ession de liaisons diiiis i'iutéi-ieiird'uii sysième géomêiriquc. Nous voulons sculemciit dcmonircr deu\ tiiéorènies, rclulirs ii la Toi-ce vive, et qui ne sont que la généralisation de ceux déjà démontrés pour le point matériel unique. Conservons d'ailleurs pour chaque point les mêmes expressions de vitesse con»ervée, perdue et gagnée. Les deux tliéorèmcs eu question sont les suivants :

1° Quelles que soient les liaisons brusquement introduites entre les points d'un système, ou entre ces points et des courbes ou des sui'faces fixes, la force vive du sysième avant l'introduction est égale à la force vive après, plus lu Torce vive correspondant à l'ensemble des vitesses perdues et gagnées par les divers points du système.

2° Quelles que soient les liaisons brusquement supprimées, la force vive api'ès la suppression est égale à la foi'cc vive avant, plus la force vive correspondant ù l'ensemble des vitesses perdues et gagnées par les divere points du système.

En résumé, l'introduction de liaisons diminue la lorce vive, et la suppression l'augmente de la quantité qui correspond aux vitesses perdues et gagnées. Quant à ces vitesses elles-mêmes, elles sont, dans les deux cas, augmentées pour certains points, diminuées pour d'antres, mais contribuent toutes à la fuis soit à la perte, soit au gain de la force vive totale du système.

152. — Inlraductlan bra8<|u« de llaleonK. Nous examinerons successivement l'effet produit par chacune des liaisons qui peuvent figurer dans la con>titution d'un système géométrique, et qui se réduisent à celles-ci : 1° tige ou fil invariable liés par les deux extrémités à deux points matériels; 2' fil le long duquel certains points glissent librement. - Quant aux surfaces ou aux courbes fixes, nous

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328 LIVRE III. — bYSTEUES MATÉRIELS.

ii'avoR&pas iHisuili d<! iiuiis l'ii occuper, puisque le iliêon me est, en ce qui les eouecrnc, démonti'é aii ii" 1 lit.

Soient donc en pi-cmier lien dcii\ points matériels M et M', dou''S (Je vitesses qui, à un ceitaiii moment, sont dirigi'es suivant M V et M' V". Supposons que tout à coup ces deux puiiiis soient assujetlis à ivsloi' désoiniuis à la distance invariable M M', où ils se trouvent actuellement. Celle iiiti-oduciioo de li;iison aura pour ciïcl de (ransfor. mer les vitesses MV et M'V" en deux autres MV,,et M'V|, telles que , pendant l'instant dt qui ' suivra immédiatement l'addition de cette liaison, les deux mobiles aiTivei-ont respeciivemciit aux positions N et N', lesqudles satisfont à la condition que la dislance NN' égale MM'.

Or, on peiitconce^'oirla vitesse V comme décompos*'-e en dfux autres, ruiic dirigée suivant M N et égale à la vitesse consei'viic V,, l'autre dirigée suivant le prolongement du lien MM' et dont je repiésente la valeur par U. La vitesse V est ainsi la lésnltante de V, et de U.

Le mouvement du mobile s'effectuerait tout naturellement suivant MN, si la vitesse V, existait seule, au lieu de V. Mais puisque ee mouvement se produit eiïectivemenl, sous l'influence de la liaison introduite, il en résulte que cette introduction revient à anéantir subitement la vitesse V. Donc l'action de la liaison correspond ù celle d'une force instantanée qui, pendant un temps exiii>memeiU couil, imprimerait une vitesse égale et contraire h la vitesse U. '

Pareillement, pour le mobile M', on voit que la liaison i-evient à produii-e insuntanémciit une vitesse égale et contraire à la vitesse U' qui, combinée avec V',, redonne V.

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lIOLVEMtM «.ËNÈRAL. 329

Cela posé, je dis <|uc la somme des Turccs viv<% des deux points, après l'introduction de la liaison , est égale à la somme des forces vives primitives, diminuée de la somme des Torces vives dues aux vitesses U et U', qui, dans la construction de la fignre, sont tontes deux des vitesses perdues, mais qui pouiTaicnt être, l'une perdue, l'autre gagnée.

En effet, on a :

V* = VJ + t' — 21; V, «PS (U, V,) , et par suite :

imS*= im\] + {m\i* — ml)V,tM{V,V,) (1)

;-Mi' V =-; m' Vj + î m' L'' — wt'U' Vj cos (U', V',} (2)

d'où, en ajoutant :

(5) îmV*+4m'V''a=imVÎ+Jm'V1 + ;inU'+^m'l)'' — — mU V, cos (U, V,) — m'U'V; cos (U', \[).

Mais remarquons que l'action înt<Tieurc, développée par la liaison en M, au moment de l'introduction, est, comme on l'a déjà dit, t'gale et contraii-c ù l'action développée en M'. Donc mU et m'V, qui représentent respectivement les quantités de mouvement communiqu<!es par ces deux actions aux deux mobiles, pendant la duri^e extrêmement coui-te de l'in* troduction, sont égales et de signes contraires. Les deux derniers termes de la précédente équation peuvent alors s'écrire :

mV[V, coB (U, V.) — v; cos (U', v;)] î

nKj,i,.rjM,G00glc

}30 UVRE III. — 3ÏSTÈUES UATfiRlELS.

Cette qiianlilé devient donc :

^|mN.cos(HN,MM') —M'y. cos(M'N',MM')j.

La quantité entre parcnIhL-scs est celle i^iii Tigui-e duiis la démonstration du n° fil, et nous avons fait voir uloi's qu'elle est identiquement nulle. On peut ta l'ctrjnclicr, cl par suite la relation (â) ae réduit à

ïmV'+ 1 m'¥''= -: mVj + i m'V; — {; mil» H- ;m'U'')i

eé qui est jusleoieut ce que nous voBliona prouver.

Oh démontrerait d'une manière analogue, et en s'appuyant sur la seconde partie d.i nièniu a° Ifil, que la relation ci-dessua a encore lieu lorsque certains points glissent le long d'un lil. Elle a doue lieu finalement pour l'ensemble des points du système. Comme d'un autre côté elle se vêritte pour les cas d'assujettissement» individuels, il en résulte qu'on peut écrire en général :

ou , ce qui revient au même :

N. B. Il est visible d'ailleurs que parmi les vitesses U quelquea-uues peuvent être gagnée» et non perdue». C'c^t ce qui aurait lieu, par exemple, si, la liaison étant une tige rigide, ta vitesse M' V était dirigée au-dessous de M' V|. Mais le même résultat subsisterait toujours, comme il est facile de s'en convaincre.

Si l'on suppose les vitesses M V et M' V faisant entre elles un angle aigu, et qu'on prenne des tiges MM' de plus eu plus comtes, on uirivcra, ù ta limite, au cboc immédiat de dcu\ points matériels l'un contre l'autre, assujettis apr<s

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UOUVEHËNT UËNÉBAL. 331

leur choc il rester au contact. Les résultais qui précèdent s'appliqueront inlégralement À ce phénomène.

Donc, d'une manière générale, 'toutes les fois qu'entre les points matériels d'un système on introduit brusquement de uouvclles liaisoDs, ou qult survient des chocs entre des points qui restent au contact après le choc, il y a toujours perte de force vive, et cette perte est égale à la somme des forces vives ducs aux vitesses perdues ou gagnées par les divers points.

Il n'en est pas de même de la quantité totale de niouve- Rient, qui ne change pas par suite de l'iotroduclion de liaisons mutcllcs, et qui ne varierait qu'autant qu'on introduirait des assujettissements individuels. Les réactions instaolances ou continues des liens, étant toujours égales et de signes contraires, sont nécessairement sans influence sur la quantité de mouvement; ainsi, du reste, que nous l'avons examiné en détail aux numéros 130 et suivants. Il n'y a rien de surprenant k ce que la force vive change quand ta quantité de mouvement ne change pas : cela tient à ce que la vitesse figure différemment dans chacune des deux expressions, et que des variations de sens contraires, qui se compensent dans des quantités prises à la première puissance, ne se compensent plus quaRd on les prend à la seconde.

153. — SNppr«ssl*B bras^ae âtm IMi^aB. Supposons actuellement qu'au lieu d'une introduction de liaisons on ail une suppression brusque ou une explosion, qui ait pour résultat de rompre violemment les liens et de lancer les mobiles dans des directions quelconques , autres que celles qnlls anraicnl respectivement suivies en vertu de leurs liaisons primitives. Je dis que dans ce cas il y aura toujours accroissement de force vive, et que ce gain sera égal à la somme des forces vives dues aux vitesses perdues ou gagnées par les divers points matériels.

Soient en effet deux mobiles qui, d'abord assujeuis à rester

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