VIRTUELS

1 5à. — Noos nous proposons ici d'appliquer aux systèmes {(éomëtriqucs la méthode qui a Tait l'objet du cinquième chapitre du livre ii, et qui au fond ne diffère pas de celle qui a été employée dans le nhapitrc prccédoni. Elle repose sur le principe de» moment» virlueh étendu aux assemblages quelconques de points matériels et consistant en ce que ;

Dans tout mouvement d'un système géomélriqne libre ou assujetti, la somme des moments virtuels des forces extérieures est égale à la somme des moments virtuels des farce» conservées.

Quant aux systèmes dynamiques, l'usage de cette méthode est tont à fait sans iniérët, ainsi que nous le verrons plus lois. Il en est de ces systèmes comme du point matériel libre, au n° 117.

Nous allons d'abord reprendre, en les généralisant, les définitions posées dans le chapitre précité.

MÉTHODE DBS MOl'VEUENTS VIRTUELS.

Définilioni.

On nomme potitiont rirtuelhs des points matériels d'un système quelconque, les posilions que pourraient occuper simultanément les points de ce système, sans altérer les liaisons de toute nature auxquelles ils sont soumis; ou, en d'autres termes , les positions compatitilra avec l'ensemble des liaisons du système.

On nomme de même motivemetitt ou dépîacementi vir^ tuelt des points, les mouvements simultanés dont les irar jectoires ne passeraient qnc par des positions virtuelles.

Ainsi :

Pour un système dynamique libre, tous les points de l'espace sont des posilions virtuelles; car »vec des forces dlntensité et de direction convenables on peut y amener simultanément tous les mobiles de ce système, sans altérer en rien leurs liaisons , qui se réduisent à de pures forces mutuelles qu'on peut toujours combattre par des actions extérieures suffisantes.

Au contraire, pour deux mobiles, par exemple, liés ensemble au moyen d'une tige invariable, les positions virtuelles seronlrestreintes à celles qui satisferont à la condition que la distance reste égale ù la longueur de la tige de liaisouj eu sorte que, si l'un des mobiles occupe déjà une certaine position déterminée, le mouvemcnl virtuel de l'autre ne peut se produire que suivant la surface d'une sphère dont le centre serait le premier mobile, et le rayon la tige considérée. Si en outre l'un des mobiles est assujetti & demeurer sur une courbe ou snr une surface donnée, il faudra que les positions virtuelles satisfassent i*! une nouvelle condition, coQsistant en ce que le mobile en question u'abandonne pas cette courbe ou celte surface.

336 LIVRE m. — sysTkHËS matériels.

ParcilleiDpnt ponr trois mobiles, dont deux lies aux ex- Iréniîiés d'iifi Bl et le troisième glissant le long de ce fil, les positions virtuelles seront i-cstreinics à toutes celles pour lesquelles la somme des deux distantes demeure constante ; et, si en outre les deux points matériels extrêmes sont invariableuient fixes, les positions virtuelles du troisième se réduiront aux points d'un ellipsoïde, et ses trajectoires virtuelles à toutes les lignes qu'on poun'a tracer sur cette surthce.

N. B. Dorénavant , quand nous parlerons de positions virtuelles et de mouvements virtuels, il sera entendu qn'il s'agit spécialement des positions infiniment voisines et des éléments rectilignes qui les joignent aux mobiles dn système.

Quant aux moments virlueli, aux force» contervéei, etc., nous n'avons rien à^jouler ft ce qui a déjà été convenu dans le n" 116.

Cela posé, nous allons procéder à la démonstration du principe des moments virtuels.

156. — Soit donc un système quelconque, dynamique ou géométrique, libre ou assujetti. Soit m uii point matériel de ce système, P sa force extérieure, [ sa force inlérîtrure, pt X, Y, Z, L, M, N les composantes de ces deux forces suivant les axes de cooi-données. Soit enfin une droite quelconque, menée parle point m, et i» une portion arbitraire de cette droite, dont les projections, suivant les axes, seront désignées par ix, Sy, dz, de telle sorte que les angles de cette même droite auront respectivement pour cosinus

àx $1 $1

Nous supposerons d'ailleurs, comme au n* il7, les quantités Sx, $y, tSz, S* infiniment petites, ce qui n'altérera en rien la géiiéraliié de la position de cette droite.

n,g,t,7rJM,GOOglC

HËTBODE MS HOtTTEHBNTS V11TUEL3. S37

En s'sppuyant sur le même principe que dans le n" pre- Kilê, OB établira la même relulioa (S), savoir .

larjuclle signifie que le momcut de la force extérieure, plus le moment de la force iotrâ-iciirc, suivaut une direction tout à fait quelconque, est égal au raomeulde la force conservée; pi-oposilion qui n'est que la tnin>roi'mation algébrique de celle qui exprime que dans le mouvement projeté suivant une droite quelconque la somme des composantes des forces extérieure et iRtéricnre est égale à la masse du m(ri)ile multipliée par son accélération. Noms partons ainsi de la même base qui a servi à édifier les théories du cbafrilre pré* cèdent : nous devrons donc arriver exactement aux mêmes résultats.

Pour un autre point matériel m' on établira une relation tout à fait semblable. Si nous en faisons autant pour chacun des points du système, et qtic nous ajoutions ensemble toutes les rdations ainsi obtenues, il viendra :

,, /(/c . du ^ dw ^\

=^"'(sr *' + **»+!?*')

équation dans laquelle les directions de toutes les droites menées par les divers points sont absolument arbîtRiires. Si nous voulons que les moments considérés soient des moments pirluett, il faut exprimer que les directions de ces droites sont celles de déplacements compatibles avec l'ensemble des liaisons du système.

Quand le syslèmc est dynamique, toutes les directions sont vii'tiKlles, ainsi qu'où l'a expliqué plus haut. Par consé-

J38 LIVBE m. — StSTËMEft U&T&UELS.

queiit, Ss, 3y, 3z, Sx".... peuvent avoir des valeurs lout à Tait quelconques et iiidëpendaDtcs les unes des autres, ce qui exige, pour que l'ëquation ci-dessus soit constammefit satisfaile, qu'on ait sépurémeni pour chacune de ces quantités :

du , M dw

■'dt' '-■-■'■-"■^. Z + îi=m-^,

dt '

en sorte qu'on i-ctombc immédiatement sur les équations connues du mouvcmenl des systcmcs dynamiques; aussi ne nous en occuperotts-nous pas davanlagc.

Si au contraire le système est gcomélrique, toutes les directions ne sont pas virtuelles. Mais pour celles qui satisfont à cette condition, je dis que ta somme des moments correspondants, dus aux forces intérieures, est nécessairement nulle. Pour le démontrer, il suffit de i-efaire des raisonnements identiques à ceux qui ont déjà été présentés au o" l&l, quand il s'est agi de faire voir que la somme des travaux élémentaires dos forces intérieures est égale à zéro dans les systèmes géométriques libres ou assi^cttis. En effet, tout ce que nous avons dit alors reposait sur les deux bases suivantes : 1' que les liaisous subsistaient intégralement au bout du déplacement considéré ; 2° que ce déplacement était infiniment polit. Ur, ici les liaisons subsistent clans toutes les positions virtuelles du système, puisque c'est là la définition même des positions virtuelles. D'ailleurs, les lignes dx, Sy, .... qui joignent ces positions virtuelles aux mobiles sont, par hypothèse, infiniment petites. Donc la même démonstration subsisterait pour faire voir que la somme des moments virtuels des forces intérieures est nulle. Par suite l'équation (a) se réduit à celle-ci :

(H) 2(Xd^-+-ï3i,+zaz) = im(JoV-Hjay-|-^ô.).

n,g,t,7i.dt,G00glc

M£rH01)£ U£!> UUUVËMbNTS VIRTUELS. 339

Elle exprime que la somme des moments virtuels des Torccft extérieures est égale à lu somme dos moments virtuels des forces conservées.

Elle est identique dans sa rorme avec celle qui conviendrait ù un groupe de points matériels libres indépendants les uns des autres. Mais il y a' dans le fond cette dilTérencc essentielle, que les droites Sx, 5ij, ..., an lieu d'être menées dans l'espace d'une manière quelconque, ne l'eprésentent plus que des directions compatibles avec l'ensemble des liaisons du système. En sorte qu'il faut exprimer que les poîntsdc l'espace qui ont pour coordonnées x + Sx,y + Si/,x + 8z, z' + dx', sont des positions virtuelles, ou, en d'autres termes , que ces coordonnées satisfont aux équations de liaisons, aussi bien que les cooi'données x, y, t, x, .... elles-mêmes.

Soient donc f=o, ^ = o, y= u,.... les diverses équations de liaisons du syslônie. Il faut y subslituei- .r + ^^ , tf-t-$y,-...-d lu place dox, y, .... ce qui nous donuo :

,^d.+|j,+|fe+^^-+ =„.

Ce système d'équatio»s(N),rcuni à l'équation (M), exprime les conditions delà question, puisque les droites par rapport auxquelles sont pris les moments des foices se trouvent assujetties à n'avoir que des dii'cclions de niouvemeuts virtuels.

Les quantités Sx, Sy, 5z, $x', .... étant d'ailleurs quelconques, dans la limite des restrictions que nous veuoiis d'indiquer , il faut en éliminer autant que possible cuire

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S&O LIVBC m. ~~ SYSTÈMES MATtBlELS.

les équalions (N) et (M), et ensuite aunuler séparément le coefilcieiit de chacune des quantités restantes. S'il y n p équations de liaisons, on pourra éliminer p de ces quantités, ce qui léduira à Sn — p le nombre de celles qui continueront à Ogiircr dans l'équation (M); et en égalant à zéro leurs coefliciciits, on aura Sn — p équalions entre les forces extérieures et les cooixlonnées. Ce seront là les 3n —p équations du mouvement, qni,réunicGauxpéquaUonsde liaisons f=o, (f = 0, .... permettront de résoudre complètement le problème.

Les in — p équations du mouvement que nous obtenons ainsi sont identiques à celles qu'on trouvait par une autre méthode dans le chapitre précédent. On Se rappelle, en effet, que le procédé de calcul consistait à exprimer L, M,N,.... en fonction des tensions du système et de leurs angles, entre les points deux à deux ; que ces tensions constituaient autant d'inconnues distinctes qu'il y avait d'équations de liaisons; qu'on éliminait entre les Sn équations (A), (A*) .... ces p inconnues, et qu'il restait finalement in —p relations entre les forces extérieures et les coordonnées. Or, quelle que soit la méthode suivie, on ne peut jamais arriver qu'à un même système d'équations provenant de l'élimiiiaiion. Par conséquent, les 3n — ^p équations ne différent pas de celles déjà trouvées.

156. — Nous n'avons rien spécifié sur la manière de faire l'élimination des p quantités Sx, dy, .... entre l'équation (M) et les équations (N). Il est certain, en effet, que le résultat est parfaitement indépendant du mode de procéder; par conséquent, il n'y a pas lieu de s'en préoccuper au point de vue de la marche générale du raisonnement.

Mais les procédés de calcul, bien que donnant des résultais déBnitirs identiques, déterminent, dans la transition, certaines formes d'équations qui peuvent mettre en évidence des propriétés intéressantes £■ remarquer.

n,g,t,7rJM,GOOglC

MÉTHODE DES MOUVEUENTS VIRTCELS. ZUi

A cet ctTi-t cmptuyons, pour cfl'ct:tucr IVIi mi nation dont nous avons parie, la mtitliode dite des coeflicienU indélerminét, à hquellc nous nvons déjii eu recours au u* IIS. Cette métbode consiste, comme on s'en souvient, à mnlliplier chacune des équoiious par une constante indéterminée, à ajouter toutes les équations entre elles, et à déterminer ensuite ces constantes par la condition que les multiplicateurs des inconnues,qui contiennent nécessairement les constantes en question, soient séparément nuls.

Multiplions donc respectivement les équations (N) par des coefficients indéterminés X, u, v, .... et ajoutons toutes ces équations avec l'équation (M) ; il vient alors :

Choisissons tes indéterminées X, j/, v, .... de telle sorte

que chacun des mnlUpIicateurs de !Sx, ijf soit nul. Il

vieot alors les 3n relations :

[''+*2^+CsJ + ="'1-

ilii I.1VBE m. — SVSTËUES UATËRIELS.

SI entre ces ^n équations on élimine X, p, v, .... il roMera S» — p 1-elulions entre les forces extérieures X, Y, Z, X', . .. et les coordonnées. Ce seront piecisément les 3n — p équations du mouvement cherchées.

Sans cITectuer cette élimination, nous allons déduire des équations (L) «ne conséquence intéressante.

Remarquons, en elTet, qu'on représenlant par L, M, N les trois composantes suivant les axes des Torces de liaisons agissant sur le point m, parL', M', N', les composantes analogues pour le point m', et ainsi de suite ; on a les 3» relations connues :

En comparant ces relations, chacune à chacune, avec les relations (L), on voit que, les seconds membres étant égaux, les premiers doivent l'être aussi, et que par suite on a :

«-^ï+^-Sh-

Considérons d'abord la première de ces relations. La quantité L , qui eiit la composante suivant l'axe des x de la force totale dos liaisons aboutissant au point m, est égale à la somme des composantes des forces qui représentent respectivement ces diverses liaisons : c'est donc là ce que

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MÉrnoDB ixà mouvements virtuels. 343

rept-csenie aussi le second membre. Or, le tenneX^ étant

le sent où figure l'équation de liaison /^ o , est aussi par conséquent le seul qui puisse représenter la force de liaison correspondant à cette équation f=o et agissant aupointm. Donc X ^ est égal h la composante suivant l'axe des x

de la force intérieure en tn due à la liaison f=o- Et ainsi de 8uit« pour chacun des autres ternies. La seconde équation montrerait pareillement que X -^ est égal à la composante suivant l'axe des y de la Torce intérieure en tn due à la liaison /*= o. Et de même pour tous les antres ternes et pour toutes les autres équations.

Ainsi les trois quantités X-jt-, ^ j^, ^-f' représentent

respectivement les trois composantes suivant les axes de la Torce intérienre en m duc ù la première liaison /*= o. Semrf* d<i df ax '^ dy' '^ lit composantes de In liaison <s/ = o; etc., etc.

Par suite, les valeurs de ces diverses forces iuténeurea sont facilesù calculer; car, soit ■ lu force intérieure agissant en m et due seulement à la première liaison f= o : on aura, en appelant a, ë, ■/ ses trois angles avec les axes :

, (// . . ^d[ . -df

tco!a = >T^, icos6 = A-t'-, icos7 = 3l^;

d'oit résulte

ea désignant abréviaiivement par H la quantité

iM,Googlc

r.IVRE III. — SYSTEMES lUTfillIELS.

mw^''

On trouverait pareillement, ponr le point m', que la force intérieure t", due à la mente liaison f=o, donne lieu oui relations

de df ' ay

et ainsi de suite pour chaque liaison et pour chaque mobile.

l*- La constante indéterminée ^ est proportionnelle 6 la force intérieure due en chaque point à la liaison f=o ; la coDstaule \f. est pareillement proportionnelle i la force intérieure due en chaque point & la liaison (f ^o ; etc.

S* La force intérieure i, qui agit en mparsuiic delà liaison /'=o, est normale Ji la surface qu'on obtiendrait, si, dans l'équation /==o, on regardait toutes les coordonnées, excepté celles du point m , comme constantes , ou , en d'autres termes, si l'on regardait tous les points comme ixes et le point m comme seul mobile. C'est ce qui résulte des valeurs des cosinus des angles , qui sont justement celles qui ctHtvieniient à la normale de la surface en m , et qu'on a en occasion de rappeler au n' 101. Cette conséquence était, dn reste, facile à prévoir : car le mobile m, par suite de sa liaison /'=:o, se trouve assi^tti :

Soit ik demeurer à une distance invai-iable d'un autre mo-

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MÉTHODE DES UOUVEHENTS VtBTUELS. 345

bî'o, ce qui l'oblige ù se monvoir sur la sphère donl celui-ci est le ceiiirc ;

S«il ù glisser le long d'un fil dont les deux exlrémilés sonl invariablement liées ù deux autres mobiles, ce qui l'oblige à se mouvoir sur rtUipsoïde dont les deux derniers mobiles sont les foyers ;

Soit à demeurer sur quelque courbe ou surface donnée, indépendante des autres points.

Dans ions les cas, la force inléiienre, due à la liaison, se trouve nécessairement normale ù la surface représentée par l'équation /==0, où toutes les coordonnées, autres que celles du point m, seraient regardées comme constantes.

8" Les forces intérieures , dues à la même liaison dans différents points, sont numériquement éj^ales et opposées deux à deux. En cifet, l'équation (=0, soit qu'elle exprime que la distance des deux points m et m' reste constante, soit qu'elle exprime que ces deux points glissent le long d'un fil de telle manière que c'est la somme des distances partielles qni est constante, est nécessairement symétrique, au signe près, par rapport aux, coordonnées Xy y, z, eix', y', x' -. car ces quantités figurent dans l'équation f=^Q par des binômes, telsquc(jr— y). D'après cela , les quantités -j- et -^,

seront égales et de signes contraires, et II et H' seront égaux. Donc les intensités de i et i\ dans les relations cidessus, seront égales, et les cosinus de leurs angles seront égaux et de signes contraires. Ainsi ces forces seront égales et opposées, et ne seront autre chose que la tension que nous avons déjù dé^gnée par i' dans le n" 1 29. Les valeurs de

L, M, N, L' écrites ci-dessns mettent bien clairement

en évidence la véritable signification de ces quantités dans les équations dn mouvement (A), (A'),— - On voit qu'elles représentent en chaque point la somme des composantes, suivant le même axe, de toutes les forces intérieures provc-

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34S LIVRE m. — STST&MES HATËBIBLS.

nant des lialsous mutuelles aboutissant au même poiut. Si quelque mobile se trouve spécialement assujetti k demeurer sur une courbe ou sur une surf;iec donnée, la coitstanle indéterminée par laquelle on aura multiplié l'équation correspondante aura la même BigniPication que plus haut, relativement à la réaction normale de cette courbe ou de cette surface.

167. —Actuellement revenons h l'équation générale des moments virtuels,

et montrons comment clic se pi-âte à toutes les déductiont déjà obtenues dans le chapitre précédent.

1° — ProprlétcB de U quantité de iii*«v«BieBl et 4» ' eenlre de gravité. Si le système est parfaitement libre , on peut prendre pour posidons virtuelles des points matériels celles qui se trouveraient ù l'extrémité d'cicmeots rectilîgnes égaux et parallèles, menés dans des directions quelconques par ces divers points matériels. Car la figure géométrique alTeclée par ces positions est la même que celle qu'affectent les mobiles : par suite , les liaisons existant entre ces mobiles conviennent à ces positions. De telles positions virtuelles résulteraient de la translation de tout le système, parallèlement à lui-même, et sans en altérer aucunement la forme géométrique. Dans le cas où nous nous plaçons, les

quantités Sx, Sx', sont égales outre elles ; de même $y,

iy',.... et de même aussi ^2, Sz', L'équation des moments devient donc :

8xlX + SsS.X+SzlZ==SxXm^+êylm^+$zXm'^-^^.

Or, $x, ijf, is étant indépcDdants entre eux, puisque les

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MÊTBOnt DES MOUTKIIENTS TIRTDELS. 367

élomcnts recUlignes peuvent film menés dans une direclion quelconque, on doil avoir sëparémeiit ■■

rf( dt' dt

Ces équations ne pourraient évideaiment pas être obtennes s'il y avait dans le système quelque mobile assujetti à demeurer sur nne courbe on sur une surface donnée. Car l'élément rectîlignc, mené par ce mobile dans une direction quelconque, sorlirail de la courbe ou de la surTacc, et, par suite, l'extrémilé de cet élément ne constituerait pas pour le mobile en question une position virtuelle.

Les relations que nous venons de déduire étant identiques à celles du n" 136, on peut en tirer toutes les conséquences connues, relativement it la quantité de mouvement et an centre de gnivité.

2° — ProprlAtéfl des «Ires. Si le système est toujours parfaitement libre, nons pouvons prendre pour positions virtuelles celles qui se trouveraient à l'extrémité d'éléments rectilignes, proportionnels à leui's distances respectives ù une droite quelconque, et perpendiculaires à ces distances. Ces positions virtuelles sont, en d'autres termes, celles qui correspondraient à une rotation simultanée de tons les points matériels autour d'une droite quelconque, sans altérer la Toime du système. Il est visible que, les relations géométriques entre ces positions étant les mêmes qu'entre les mobiles, les équations de liaisons seront satisfaites par ces nouvelles coordonnées. Or, dans une semblable hypothèse, les quantités $jr, ix', Sy, dy'.... ont entre elles nne certaine dépendance, que nous allons trouver.

Soit >, ft, K les angles d'une droite quelconque , menée par l'origine des coordonnées, et par rapport à laquelle on conçoit la rotation qui établit les posilions virtuelles dont nous venons déparier. Towies les quantités 9r,iy ponr^

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M8 LIVRE III. — SVSTËMBS MATÊKICU.

rtHit être exprimées en funciioo de ces trois angles. En cO«l, 1* le déplacement ia possède une direction perpendiculaire h celle de la droite : donc le cosinus de l'angle est nul, ce qui s'exprime, comme on sait, par la relation •■

(1) 3* cwX •+ Syu$n+ 3zcmv = Q;

S* La distance de la position virtuelle h l'origiae est égaUt: ila distance du mobile lui-même ; donc on a

ce qui se réduit à

(2) xix + ySy + 2$z = o .

Ces équations (l)et (3) permettent de trouver Ht, 3y, Ht en Tonciion d'une constante indéterminée A; les valeurs sont :

3ar = (z cos fx — y cos v] A ;

(a) îy = (ji cos K — a C08 X) A ;

5i = (y cos i — a; cos ^) A.

On anrait pour èx', $y', Sz' les valeurs analogues :

Sx' = («' cos f< — y' cos v) A' ;

(a!) îy'= (.«'co8v — î'cosX) A';

îz' = (y' C08 > — x' cm |«) A'.

Avant de poursuivre, Je remai-que que les indéterminées A et A' sont égales. Cela résulte d'une condition que nous n'avons pas encore exprimée, et qui consiste en ce que les deux déplacements sont proportionnels à leurs distances k la droite, ou, ce qui revient au même, en ce que la longueur comprise entre les deux positions virtuelles est la même qu'entre les mobiles : ce qui donne, après réduction, l'équation :

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HtTHODB DES HOUTEHEU'» TIKTUELS. Ih9

(3) x$x'-i-ySy'+ z3z'+ x'5x + y'îy + ï'Îï = o

d'où l'on Ure, en y,reinphçai]t ix, iy, Sz, 3x', 3g', Hz' par leurs valeurs ci-dessus :

(A'— A)}a»X(y'2— i'y)+COefi(z'a!— »'2)+CMn{»'y— j'a!)j = o,

relation qui ne peut être satisraîtc, pour des valeurs quelcoitques de X, fx, v, qu'autant que h'=k.

Pour chaque autre point du système, on trouverait un groupe semblable h (a), dans lequel fi{;urerait toujours la même constante indéterminée h. Si maintenant on porte les valeurs de tous ces dëplacemeuls virtuels dans l'équation des moments, celle-ci devient, en supprimant la constante h commuue à tous les termes :

a»v2(Y*-Xs) + c«fi2{Xî — Zï) + co8).2(Zy — Ï2) = .- /du dv \ y. /do dm \ ,

Pour que celle relation soit satisraite, quels que soient X, ft, v, il faut qu'on ait séparément :

équations qui ne sont auti-cs que celles du n* 136, d'où sont déduites toutes les piopriétcs des momenis et des aires.

On arriverait plus sîmpicmeut aux mêmes résultats, en remarquant que les positions virlnelles concspondant à une

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35U U\t£ m. — SISTËUëS HATiiUELg.

rotation du système, au lieu d'iiii'c établies par rappM'l à une droite quelconque, pourraieut l'èlrc par rapport à cliacun des trois a\e$ successivement. Car ce qui est vi-ai pour les trois axes est vrai pour une droite quelconque, et rice verta.

Supposons donc qu'où prenne d'abord pour positions virtuelles celles qui cori'cspondruicnt à une rotniion autour de l'axe des x. Dans ce cas, on a pour le point matériel m :

êz=iSs-r

et ainsi de suite pour chacun des autres points.

Mais l'emarquons que la proportionnalité des déplacciiiculs S», $»',.... aux distances à l'axe des adonne :

= A \/y' + 2' , $s' = k Vy'^ + z'*

h étant une constante indéterminée. Par conséquent, les quantités ci-dessus deviennent ;

îa; = 5y = — Aï iz = hy

$3^=0 $y'=~ht' 5z'=hy'.

Eu faisant la substitution dans l'cqualion des moments vit^ tuels, elle se réduit simplement h

On obtiendrait les deux auti'cs relations eu iroagiuanl tour à tour une rotation par rapport à l'axe des y et à l'axe des z.

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