MÉTHODE DES UOUVEUENTS VIRTUELS

f S" — ThécrèMc d» forées vîtes. Oa peut prendre pour dcplacenieiii virtuel du système son dêplacemeat eOectif pentlniu un temps inflDiment petit. Cur, au bout du temps dt, les positions réelles des points du système sont compatibles avec les liaisons, telles qu'elles existent à cet instant précis : mais ces liaisons sont elles-mêmes alors ce qu'elles étaient auparavant, puisqu'elles sont indépendantes du temps. Donc les liaisons avant le déplacement conviennent encoi'e après, et, par suite, les éléments rcctilignes, qui joignent ces positions voisines, sont des déplaceraenls virtuels. Or, si l'on introduit cette hypothèse dans l'cqualion des momeuts virtuels, elle devient :

2(X£ir+ïrfy-|-Z(/2) = 2m /^rfj!+§dy-l-^</a) J

ce qui est justement la relation coiinuo des forces vives.

158, — É^«lllbrc. Pour retrouver les propositions de l'équilibre, nous devons introduire dans l'équation des moments virtuels la définition que nous avons donnée de cet état particulier des forces appliquées au système, élat qui consiste en ce que ces forces peuvent être ialroduites ou supprimées, sans que le mouvement ou le repos du système soit en aucune façon modifié.

Or, il est clair que, pour que les choses se passent ainsi, il faut de toute nécessité que le premier membre de l'équation des moments virtuels soit égal à zéro ; faute de quoi le second membre ne resterait pas le même, et, par suite, le mouvement changerait, selon qu'où stipposerail les forces existant ou n'existant pas.

L'équation qui exprimera la condition d'équilibre sera donc celle-ci ;

(E) l{\ix + ySy + ZSz) = o,

à laquelle il Pdut joindre, bien entendu, toutes les équations

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352 tlTKE Ui. — SYSTfeUES HATÊRIELS.

(N) du o' 155, puisque les qnanlités ix, Sy, an lieu

d'élre absolument quelconques, sont assujetties à avoir des valeurs telles que tontes les équations de liaisons soient saiisraites par les coordonnées des positions correspondantes.

Pour que des foices appliquées à un système géométrique se fassent équilibre, il faut donc que la somme de leurs moments virtuels soit nulle. On peut aisément roctlra en évidence les 3«— p conditions déjà trouvées, auiqiielles les rD'ires vxlérieui'es doivent satisrairc. Il siiflit de ix'prendre le calcul Ibit ci-dessus pour établir les in — p équations du mouvement ic'est-à-direqu'ii suffît cl'éliminerpquaniilés 9st Sy, $1, Sx' au moyen des relations (N), de substituer leurs valeurs dans l'équation (E), et d'égaler ensuite i zéro lescoefllcientsdesSn — p quantités restantes. Il reviendrait, d'ailleurs, au m^mc d'aborder directement les Sn—p équations du mouvement, et d'annuler le premier membre de chacune d'elles. De quelque manière qu'on Hisse le calcul, on aboutira nécessairement aux mêmes conditions que dans le chapitre précédent.

Il est bien visible que réciproquement, toutes les fois que la somme des moments virtuels est nulle , les Torces soui en équilibre : car l'équation (E) représenieen réalité 3» — p éqaaitoBS distinctes, qui out précisément pour résultat d'annuler les premiers membres des 3n — p équatious du inouvement. D'où il suit que le mouvement n'est- pas changé, selon qu'on suppose les forces extérieures supprimées ou établies dans le système.

On voit en même temps que, toutes les Tois que les forces se font équilibre, on a :

ce qui signifie que la somme des moments viiiucls des forces conservées est constamment nnlle.

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MÉTHODE DES MOUTEMESTS ÏIBTIELS. 3jS

Un n'éprouve aucune dinicitUé à tirer du l'âiiintioii (E) toutes les conscqii<jiiccs relulives à réquililrc. Le théorème de d'Alcmbeit sVtablit do la munière suivante : Uu système étant en mouvement sons l'aotion de Torces extérieures quelconques, établissons l'équation des moments vii-tuels (M) relative à ce mouvement, ei mettons en facteur commun cbacnn des coefficients Sx, Sy, $x. Cette équation prend alors la forme :

Rien ne nous empéebede considérer X — "iTTr» Y — w-tti

Z — m-fâ comme représentant, pour chaque point, les trois

composantes d'une certaine Torce qui lui serait appliquée ; et, d'après ce qui vient d'être dit plus haut, on voit que ces nouvelles forces sont en équilibre sur le système. C'est ce qu'on énonce en disant que les forces extérieures font équilibre à des forces égales.et conti-aires aux forces conservées ; ou que les forces perdues du système se font équilibre. On présente souvent de cette manière la mécanique des - systèmes de points matériels ; c'est-à-dire qu'on commence par établir que, dans un système en équilibre, la somme des niomenis virtuels est nulle ; et on ramène ensuite les problèmes du mouvement aux problèmes de l'équilibre, en exprimant que l'équilibre a lieu pour les forces perdues du système , et que conséquemment la somme des moments virtuels de ces dernières est égale à zéro. On nomme celte mélbode combinaison du théorème de d'Alembert avec le principe des momentt virtuel». Mais malheureusement ce n'est là qu'une transformation factice des problèmes du mouvement; car, malgré l'énoncé différent qu'on donne ainsi ii l'équation (M), on ne fait pas autre chose en réalllé qu'exprimer l'égalité eutre la somme des moments virtuels

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SS& LIYKE UI. — SYSTÈMES UATËUELS.

des forces extérieures, d'uDe part, et la somme des moments virtuels des forces coiiservëes, d'autre part. Quant aux calcols, ils restent identiquement les mêmes : il est indilTërent en effet d'opérer rélimiaution de Sx, Sy, ^z, ...... au moyen

de l'équation (P) ou au moyen de l'équation (M), puisque ces deux équations se confondent l'une avec l'autre.

Nous croyons inutile de reproduire ici toul ce qu'on a déjà vu sur l'équilibre, et qui se déduirait évidemmentdii principe des moments virtuels, en raisonnant de la même manière que pour le mouvement.

159. — iBlr*daeti*ii et raplnre bmaque des IImIkobs. Les théorèmes des n" 141 et suivanu ae démontrent uns la moindre difilculté.

Examinons d'abord le cas de l'introânciion de liaisons.

On peut totijours supposer qu'à partir du moment où l'introduction commence, et pendant la durée de l'introduction, aucune force extérieure ordinaire n'agit sur les points matériels, car l'action de ces forces disparaît devant celle des forces instantanées qui interviennent dans cette période.

L'équation des moments virtuels, à l'origine de l'introduction, sera donc :

Or nous pouvons prendre pour déplacement virtuel à cet instant, c'est-à-dire pour déplacement compatible avec l'état actuel des liaisons , un déplacement qui , après llntroduction, sera compatible avec le nouvel état du système; et notamment le déplacement effectif qui succède immédiatement à cette introduction : car, d'une part, la position des points matériels, avant et après, se trouve la même, puisque la durée de l'introduction est infiniment petite ; et, d'autre part, le déplacement effectif étant compatible avec les anciennes liaisons augmentées des nouvelles, est, à plus forte

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MÉTHODE DES HOOVKMEIITS VUTUfiLS. SS5

r*is(Mi, compatible avec les andeaiMs liaÏMas senleniMit. Si donc nous représentons ce déplacement effectif par «l»„ dy,, dz,, nous aurons :

ou bien, Im l-r^ é> + -^ du + -j^ dtv) == o .

iVenoos l'intégrale par rapport au temps, pour la durée extrêmement petite de l'introduction i on aura , en représentant par V(, u^, v>, les composantes de la vitesse V, qui succède immédiatement à l'introduction :

en remarquant que, pendant cette durée, les quantités dx^, dy„ dz, ne changent pas , et sont conséqucmmcnt hors de l'intégration.

Cela posé, sçit U une vitesse dooi les composantes suivant les axes soient respectivement égales à » — »,, u — «(, w — w,. La vitesse initiale V, qui av,u etw pour projections, est la résultante de la vitesse U et de la vitesse V,

dx, du, dx, ,T qui a pour projeclioDS v„ u, et 10, ou tt^> "^' t; ■ IJ wt

donc ce que nous avons nommé antérieurement la vitesse perdue, et V, la vitesse conservée.

LVquation précédente devient, en introduisant ces notations :

o = 2m}e, (p — »,)-»- «4 (» — «,) + ir, («p — tP,)! = 2mCV,««(U,V,).

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356 LIVRE in. — SYSTÈMES HATÊSIELS.

D'an autre cAlé, puisque V est la résultante de Uet de V,, on a :

T» = l' + Vj + 2 U V, cos (U, V,) .

et par suite, en muUiplianC par ^ m, et Taisant la somme de toutes les rdations aoalt^es pour les divers point» matériels du système :

2imT'=2ïmVÎ + 2;ml]'+2niUV,cos(D,V,).

A cause du résulut prëcÀlent, cette équation se réduit à celle qu'on connaît déjà :

On démontrerait de la même manière le théorème relatif i la rupture brusque des liaisons.

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LIVBE QUATRIEME.