LIVRE IV, — MOUÏEMEHT BELATIF

avGc eux , les points maiériels pnraltraîeDt avoir un autre mouvement que celui qu'ils ont réellement. Ils pourraient même sembler se déplacer lorsqu'ils seraient au contraire absolument invarinbles. En d'autres termes, l'observateur dont nous parlons constaterait ce qu'on est convenu de nommer le mouvement relatif de ces points matériels. Par suite, les relations qu'on établirait entre ce mouvement, tel que l'observation le manifeste directement, et les forces qui sollicitent les mobiles seraient essentiellement erronées, et conviendraient, non aux forces réelles, mais aux forces qui semblent les mouvoir, et que pour cette raison on nomme forcet apparente*.

Ainsi, on appelle mouvement relatif i'un point matériel ou d'un système de points, le mouvement qui s'effectue par rapport à des axes de coordonnées mobiles. On appelle force* apparente* celles qui semblent agir sur les points matériels, ou qui seraient capables de produire ce mouvement relatif envisagé comme un mouvement absolu.

Les forces réelles ne produisant pas le mouvement relatif, mais bien un mouvemeut réel qui diffère essentiellement de ce mouvement relatif, on appelle force* fictive* les forces qui devraient être combinées avec les forces réelles pour engendrer le mouvement relatif traité comme un monvement absolu. En d'aaires termes, les forces fictives sont des fmxes qnî, combinées avec des forces réelles, conserveraient au mouvement des points matériels son même aspect , si les axes cessaient tout à coup d'être ro(Ailes et devenaient de véritables axes fixes. Au moyen de l'introduction des forces ridivcB , l'observateur, entraîné tout à l'heure avec les axes mobiles, ne s'apercevrait pas qu'ils sontdevâans ' fixes.

Lesproblèmesque le présent livre a pour objet de résoudre sont les deux suivants :

1* Ëtaut connu le mouvement de» axes de coordonnéee

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mobiles, ainsi que le mouvement relatifdespoiais matériels, trouver les Torces réelles qui les sollicitent;

3° Etant connu le mouvement des axes ainsi que les forces réelles qui sollicitent les points matériels, trouver leur mouvement rclaUf.

Subsidîairemeiit, la solution de chacune de ces deux questions permettra de déterminer les forces Actives, ou, ce qui revient au même, le groupe des forces apparentes.

161. — Pour obtenir ces résultats, nous démontrerons un certain nombre de propositions préliminaires. Mais, dès maintenant, il est bon de faire sentir la haute utilité des problèmes que nous avons en vue. On peut dire qu'ils sont les seuls qui aient véritablement une portée objective, et que les livres précédents ont traite d'une pure abstraction, dont l'unique objet était de fuuriiir une base aux déductions actuelles. Car, dans la nature entière, ou tout an moins dans notre système planétaire, il n'y a pas un seul point qui soit réellement fixe. La Terre, à la surface de laquelle s'accomplissent la plupart des mouvements qu'il nous importe d'étudier, est douce d'une rotation autour de son axe des pdies et d'un mouvement révolutif autour du Soleil. Cet astre luimôme, qu'on avait longtemps cru immobile dans l'univers, est réellement emporté) dans l'espace avec une vitesse considérable, dont la valeur et l'exacte direction sont d'ailleurs encore inconnues. 11 serait donc impossible de faire choix d'un système d'axes de coordonnées qui ne fût pas eu mouvement. Nous sommes destinés h n'étudier jamais que des mouvements relatifs ; ce qui rend extrêmement désirable de coDuatire les éqnations exactes qu'on peut établir entre ces mouvements et les forces réelles. Sans cela nous serions exposés il prendre pour une force réelle ce qui serait une force apparente, et, par suite, nous commettrions les plus grandes erreurs dans notre appréciation des propriétés mécaniques de la matière.

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360 UVRE lï. — MOUVEMEM RELATir.

Si, malgré cet obstacle fondamcatal à l'étude directe des pfacnomcDes du mouvement, nous avons pu établir la (héorie des mouvements absolus , et , ce qui semble surprenant , la baser sur robsenalion naturelle clte-mème, c'est que, grâce aux énormes dimensions de notie planète par rappoit aui positions relatives des mobiles que nous y considérons, ou peut envisager généralement le mouvement des axes coordonnes comme identique à celui de tous ces corps euxmêmes : car les uns et les autres participent à la vitesse quelconque de la région terrestre qu'ils occupent : en sorte que ce mouvement commun iiluilue pas sur les mouvements i-elatirs, ainsi que nous Tavous exposé dans noti% loi fondamentale. D'où résulte que tes équations qui conviennent aus forces et aux corps dans ces mouvements relatifs conviendraient encore si le globe était dans un repos absolu. Mais on conçoit que celle circonstance avantageuse ne se présente pas pour les mouvements â grande portée, comme ceux de l'astronomie. Si de leur observation on voulait déduire immédiatement les forces réelles correspondantes, on comiiiellrait de grossières eri'curs dues à l'influence du mouvement des axes auxquels on aurait coutume de les rapporter. La théorie du mouvement relatif est donc de première nécessité en astronomie. Dans les phénomènes terrestres euxmêmes, cette connaissance pouixa être fort utile, non au point de vue du mouvement absolu, — comme nous l'avons expliqué plus haut, — mais au point de vue des mouvements que nous i-éalisons autour de nous, comparés les uns avec les autres. Pour n'en citer qu'uti exemple, nous dirons que dans un corps solide réel, — où les molécules, comme ou sait, ne restent pas à des distances invariables, mais subis* sent cnti'c elles de très-petits déplacements, — il peut être foi-t intéressant d'étudier ces mouvements relatifs , abstraction faîte du mouvement géuéial du corps lui-même. La théorie que nous nous proposons d'établir permet d'ap-

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PBOroSlTIONS PRËLIMINAISES. 361

préckT la valeur des forces capables de ces petits déplacements.

163. — Comme deniièi'cs définïtioiis, indispensables à ce qui va suivre, nous rappellerons certains termes, dont nous avons déjà fait usage, et dont il importe ici de préciser nettement le sens.

On nomme tolide géométrique un système de forme invariable ou dans lequel les distances mutuelles des points restent constamment les mêmes. Ces solides sont dits géométriques par opposition aux corps solides naturels ou phytiquet, dans lesquels les particules ne gardent point les mêmes distances relatives pendant le cours du mouvement. Les solides géométriques ont d'ailleurs une forme quelconque, et les points matériels sont plus ou moins nonibieux, plus ou moins espacés, sans aucune analogie nécessaire avec les corps effectifs.

Lorsque le mouvement d'un système invariable s'effectiie de telle façon que tous les points matériels décrivent des trajectoires égales et parallèles, on désigne ce mouvement sous le nom de iranêlalion. Il est clair qu'en pareil cas la vitesse est la m6me pour tous les points : celte vitesse commune est fréquemment appelée vttegie de tranilation. On voit aisément qu'un solide géométrique ne saurait avoir de translation s'il possède quelque point fixe; et que, s'il y a quelque point assujetti à demeurer sur une courbe ou sur une surface donnée, la translation ne peut avoir lieu que parallèlement à cette courbe ou à une ligne tracée sur celte surface. Ou voit également que toute droite menée arbitrairement dans le système se transporte parallèiemeiil h eUemême.

Lorsque le mouvement du système consiste h tourner autour d'uue droite, on nomme ce mouvement rotation. Dans ce tas, tous les points matériels décrivent des arcs de cercle parallèles , perpentliculaires à la droite Qxc, et proportiou-

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S63 LiTu rr. — Hom'EUEirr relatif.

nets à leurs distances à cette droite. On peut exprimer la vitesse de tous les points en fonction de celle de l'un d'eux : car ta vitesse d'un point quelconcjue est égale à celle du point choisi, mnltipliée par le rapport des rayons. Ordinairement le point qu'on choisit est celui qui est situé à l'unité de dislance, et on désigne sa propre vitesse sous le nom de vitette de rotation ou de viteue angulaire. La vitesse d'un point est donc égale à la vitesse de rotation multipliée par le rajroa dn point considéni. — La vitesse angulaire elle-même, qui n'est que la vite&se absolue d'un certain point , est égale, d'après la définition générale du n" k, à la limite du rapport de la longueur parcourue au temps, ou de l'arc décrit au temps, puisque, le point clantsitué à l'unité de distance, l'arc et l'angle décrit ont la même valeur oumérlque. La droite Bxe autour de laquelle tourne le solide se nomme axe de rotation. — On remarque immédiatement que, pour qu'un pardi mouvement puisse avoir lieu, Il Ihut que le système n'ait d'autres points Axes ou assujettis que ceux qui se trouvent sur l'axe de rotation.

Pr*p»siUMi |HP«Mlére.

163. Lorsqu'un système invariable possède un point Axe, son mouvement, quel qu'il soit, consiste, à chaque instaol, à tourner autour d'une certaine droite passant par ce point fixe.

Soit le point fixe du système, M et M' deux points quelconques, M V et M'V les directions de leurs vitesses à l'instant considéré. Pendant le temps infiniment petit suivant, la droite OM décrira un élément de surface conique, situé dans le plan des deux droites OM et MV; et tous les points de cette droite parcourront des cléments rectilignes, cont«iHiB dans l'élément plan, parallèles entre e«x el perpendi-

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pioposrncws rafiLiMiNAiiiES. S63

cnlairee à la direction OM. Si dtHic on conçoit uo plan mené par OM, normalement à l'élément plan décrit, et entraîné ^ dans le mouvement de la

droite OM, tous les points de ce plan décriront des cléments rectilignes qui lui seront perpendiculaires ; ce

ment doit consister à tourner autour d'une certaine /y' droite passant par le point "B- »• et contenu dans ce plan

lui-même. On verrait, de la même manière, que le mouvement d'un second plan mené par OM', et normal au plan des deux droites OM' et M'V, doit consister à tourner autour d'une certaine droite qu'il contient et qui passe par le point 0.

L'intersection des deux plans normaux est la seule droite autour de laquelle ils puissent tourner en même temps. Donc le système entier tourne autour de cette intersecliou, qui reste immobile à la fois dans le solide et dans l'espace, et qui est conséquemment l'a\e de rotation. Mais cela n'est vrai que pour un temps infiniment court ; car, aussitât après, OM et OM' décriront de nouveaux éléments de surfaces coniques qui ne seiont pas dans les mêmes plans que les anciens. Par suite, les deux plans normaux n'auront plus les mêmes directions, et leur intersection cliangera, tout en continuant néanmoins de passer par le point fixe. Ainsi, pendant ce deuxième instant, ce sera un nouvel axe et une nouvelle rotation. La perpétuelle mobilité de l'axe lui a fait donner le nom d'axe inttimtaue Je rotation.

Le mouvement quelconque d'un système solide, assujetti à pirouetter autour d'un point fixe, se réalise donc par la saccession d'une infinité de rotations de durées infiniment

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36fi [.[VRE IV. — MOUVEMENT BEUTIP.

petites, à chacune desquelles correspondent DU axe. inslantanë.ct nne vitesse diO'éi'ente.

Cette conception est de mùnic nature que celle de lu translation d'oD point unique. Pour se rendre compte de la trajectoire de ce point, on imagine qu'il décrit successivement une infinité d'clémeuu rectilignes dont l'ensemble constitue la courbe conliuue.

Remarque, — L'axe instantané change bien évidemment de position à la foit dans le corps et dans l'espace, d'un instant à l'autre ; ou plutdt , c'est à chaque instant une nouvelle aie de poinu immobiles du corps qui sert d'axe de rotalion, et cet axe ne se confond pas, dans l'espace, avec la place qu'occupait l'ancienne file des points, puisque l'intersection des deux plans qui le dùlerminent a changé de direction. Ainsi, c'est une nouvelle ligne tnicée dans le système, et cette ligne occupe une autre position. — Béciproqaemeiit, l'axe instantané ne peut rester le mtime dans le solide sans demeurer immobile dans l'espace.

Pr*p«>ltl«H deaxIéHe.

164^ — Le mouvement é'étnentaire d'un systèiAe invariab'e i|uc1conqiic peut éire décomposé eu une translation . égale au mouvement absolu d'un de ses points , ei une j. rotation autour de ce point considéré comme un poiDl fixe.

Swii M, M', M", ... des

points du s][stèmp, qui, dans

le mouvement quelconque

de «clui-ci, parcourrni , pen-

d.iui un temps inrmiinentpitit, les éicmcuis rectilignes M \,

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PROPOSITIONS PRÉLIUUfAIRES. 365

M'N', M"N". .. c) occii]»!!! conséqiieniTncnl les positions N,N',N"....aubotit de l'insiani i-onsi'lcré- J'' dis qu'on piuL omenor lous ces poînu h ces diverses position:', en imagiDant qu'ils participent rous à nae iranslaiîonégileati mouvement do l'un d'eux, dn point M, par exemple, etqnlls rffectuent, en outre, une rotation amour d'un ax.e instantané passant par ce même point. Prenons, en effet, M' m', M" m"..., égaux et parallèles h MN. La seule translation du système, représentée pir MN, amènerait ces divers points en N,m',in",.... Mais d'un autre c6té on sait que le système peut être amené de lu position Nm'nt".. . à h position NN'N".... par une rotation autour d'une droite passant par le poiul N : or, par liypollièse, ces deux positions conviennent également à l'invariabilité de forme du .<ysième. Donc le système peut être amené delà position MM'M".... à lu position NN'N".... 1° au moyen d'une truiishition égale au déplacement du point M ; 2° !in moyrn d'une rotation autour de ce point considéré comme fixe.

On peut continuer le même raisonnement pour tont le cunrs du mouvement, et l'on voit que le mouvement total dn solide, au l'outd'nn temps quelconque, est repiéseoié par ua<- peipéluel e coml)iii:iison de trans':itions égales aux déplucements d'un des points, et de rot:ition3 autour d'axes iiistanlanés, entraînés par ce point le long de sa. tiMJecloirp abs'iluc.

Bemurque. — On peui varier à l'infini la combinaison d'une translation et d'une rotation pour produire le mouvement clémentaîre effectif d'un solide géométrique : car le point choisi dans la démonstration qui précède, pour donner le mouvement de translation, est pris lout h fait arbitrairement, et rien n'empêche d'en prendre un autre à la place , pour lequel la translation et la rotation nécessaiiemcnt différentes , se composeront toujours néanmoins en un même mouvement effectif du système.

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366 UVHE IV. — HOUVEMEMT &EU.TIP.

De plus amples développements seront donnéâ ultérirarement à ce sujet dans la Mécanique spmale, quand nous nous occuperons en particulier des corps solides. Ce que nous présentons ici est uniquement destiné à IVtude du mouvement relatif en général, ou plutôt doit nous permettre de tenir conveuablement compte du déplacement des axes mobiles, qui constituent de véritables systèmes de foime invariable.

Prop*dll«m froisléwe.

165. —Lorsque les axes de coordonnées mobiles possèdent une simple translation, le mouvemeni absolu d'un point matériel s'obiienl en composant sun mouvemeni relatif avec le mouvement des axes mobiles.

Soit M tin point matériel, ^ dont le mouvement est rapporté h un système d'axes OX, OY, OZ, doués euxmêmes d'une translation dans l'espace. Soit MN ^ te mouvement absolu de ce point matériel, pendant un

temps t, etOTC', D'Y', O'Z'

la position dus axrs mobiles au bout du même temps. Le mouvement relatif du point Hf. M. M sera son mouvement réel

observé des axes 0'X',0'Y',OT,comme si ceux-ci étaicntreslés fixes. On ne changera rien à l'aspect des choses, en imprimant à l'ensemble des axes et du point matériel un mouvement commun. Or, imprimons un mouvement qui ramèneles axes à leur position primitive. Le point N se trouvera alors trans-

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PBOPOSIIIOnS PBÊLIMIMAIBES. 367

poiié en m, qu'on détennine en menant Ni» égal et parallèle à (y. Le point m sera la position relative du point mati4riel an bont du temps /, c'est-à-dire sa position appréciée comme si les axes de coordonnées éuiient restés fixes. Au lieu de ramener les axes eu une fois après le mouvement MN, on peut supposer que le mouvement commun ait èié introduit dès l'origine, et de manière à maintenir constamment les axes à la même place, en sorte que le mouvement Mm se dessine graduellement aux yeux de l'observateur, au lieu du mouvement réel qu'il ne peut constater directement.

D'où il ressort qu'à tout moment les choses se passent pour l'observateur comme si le mobile possédait, non son mouvement réel M N, mais une combinaison de ce mouvement avec un mouvement Nm égal et contraire à la trao»lation des axes. En d'autres termes, le mouvement réel résulte de la composition du mouvement relatif avec la translation ; ou bien le mouvement relatif résulte de la composition du mouvement réel avec une translation inverse de celle des axes.

Comaqueneet.

1" A tout instant, la vitesse réelle est la résultante de la vitesse relative et de la vitesse de translation.

2° Si l'on projette le mouvement absolu sur une droite quelconque, l'accélération de ce mouvement projeté est égale à la somme des accélérations de la vitesse relative et de la vitesse de translation, également projetées.

On peut dire aussi que l'accélération du mouvement relatif projeté est égale à la différence des accélérations de la vitesse réelle et de la vitesse de translation, également projetées.

3° Si la translation est uniforme, l'accélération du mou-