LIVRE IV. — MOUVEMENT RELATIF

vemenl relatif projeté psl égale à l'ucoéléraiion du mouvement réel, également projeté.

W Si le mouvement réel est nul, le mouvement relalir est égal et contraire à la ti-anslaiion.

5* Si le mouvement relatir est nul, c'est-à-dire si le point est en repos relatif, le mouvement réel est égal à la liatislation .

Pr*posilUn ^Mlricae.

I6fi. — Lorsque les axes de conrdonnées mobiles possèdent une simple rotation, le mouvement absolu d'un point matériel s'obtient en composant son mouvement relatif avec la rouiion des axes mobiles

Soit M un point matériel T /l ^^ *''*'" '* mouvement »st rap-

porté à un système d'axes doués d'uae rotation autour d'une certaine ligne fixe.

Soit IK cette droite fixe, "^ M N la couriie réelle, décrite rig. 31 par le point M , 9U bout du

temps f , et V I T l'angle dont le système des axes coorflonH4''s a tourné tout d'une pièce autour de la l'giio I K, au bout du même temps. La rotation est indifféremment variée ou uniforme. C'est celte rotation qui aura pour elTct de dissimuler it l'observateur le véritable mouvement du point M, et de lui fïiire attribuer à ce point une position autre que N, à cause, précisément, de ce que le mouvement est rapporté aux axes comme si ceux-ci étaient fixes.

Rien ne nous empêche , dans la position actuelle du point matéi'iel en N, de faii-e tourner le système des axes et de ce poiut matériel, supposés invariablement liés, d'un angle

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PROPOSITIONS PRÉLIUINAIRBS. 369

NCméga) à VIT, mais engendré en sens conirairc, de telle aoile que, lorsque le point N est en m, la ligne TI coïncide avec VI, et, par saite, les axes mobiles sont remis dans leur position primitive comme si leur mouvement roiatoire n'avait pas eiisté. Il est clair que la rotation que nous imprimons acinellemeut aux axes et au point matériel ne change aucune distance mutuelle, et par conséquent n'altère pas la position relative du point matériel par rapport aux axes mobiles. Le point m représente ainsi la position réelle N, appréciée par l'observateur comme si les axes étaient restés fixes.

Au lieu de ramener les axes en une fois après le mouvement MN, on peut supposer que la rotation commune soit imprimée d'une manière continue, au fur ei à mesure du déplacement réel du point M, et de telle sorte qne les axrs de coordonnées soient constamment maintenus h la même place. Alors la trajectoire Mm se dessinei'a graduel' lement aux yeux de l'obseryntenr, et lui représentera la trajectoire réelle M H qn'il ni voit pas directement.

T^es choses se passent donc à tout moment pour l'observateur comme si le mobile possédait, au lieu de son mouvement réel , un auirc mouvement résultant de la composition de ce mouvement réel avec un mouvement égal et ctmtraire à la rotation des axes. Ainsi le mouvement réel peut s'obtenir en composant le monvemenl relatif avec la rotation; ou, ce qui revient au même, le mouvement relatif s'obtient en composant le mouvement réel avec une rotation inverse de celle des axes.

CoHtéqtiencet.

f A tout insuut, la vitesse réelle est la résultante de la vitesse relative et de la vitesse de rotation. Nous ferons remarquer que cette vitesse de rotation dé-

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tTO m'as ir. — uotivEUENT relatif.

pead à la fois el du laouvemeiit rolaloire des axes el du mouvement rclatir. En effet, elle e&i égale, ù chaque iusUBt, it la vitesse angulaire muliipliée par la distance du point matériel à t'axe de lotatiun. (k*, cette distance dépend uniquement du dépLacement relatif: car, si le déplacement rela> lif était nul, elle demeurerait constante.

f Si I on projette le mouvement absolu sur une droite quelconque, l'accélération de ce mouvement projeté est égale à la somme des accélérations de la vitesse relative et de la vitesse de rotation , également projetéesj^cette vitesse de rotation étant toujours, bien entendu, rapportée à la positiou du mobile relativement à la droite fixe).

On peut dire aussi que l'accélération du mouvemest relatif projeté est égale à la différence des accélérations de la vitesse réelle et de la vitesse de rotation, également projetées.

8* Si te mouvement réel c3t nul, le mouvement relatif est égal et contraire à la rotation : ce qui signifie que les objets semblent tourner autour de la droite fixe du même angle dont tournent tes axes de coordonnées eux-mêmes, mais en sens inverse.

C'est l'apparence qu'offre perpétuellement l'aspect du ciel. Les corps stellaires semblent tourner autour de l'axe terrestre, et décrire chaque jour une circonférence entière, tguoiquecesoîtla terre qui, en réalité, tourne sur elle^nâne, et que les dtoiles puissent être considérées comme immobîlee. Les étoiles ont bien aussi un mouvement réel , mais , va l'extrême éloignement, ce mouvement niniine pas sur le phénomène obsené.

U° Si le mouvement relatif est nul , c'est-à-dire si le point est en repos relatif, le mouvement réel est égal à la rotation. C'est l'apparence qui se manifeste pour la plupart dos objou autour de nous. Ils nous semblent immobiles , parce qu'ils paiticipent réellement à notre propre rotation.

MetnarqiM. — Si le point matériel passe , à un oeiiain

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PROPOSITIONS PBÊLIVINAIBES. 371

moment, par l'axe de rotation, la vitesse angolaire est nulle pour lui, àcemomentprccis.ct sa vitesse réelle est simplement égale à sa vitesse relative.

Mais cet étal ne dure qu'uo instant, car, immëdialement

après, le point matériel, par suite de son mouvetnenl, quille

l'axe, et la vitesse de rotation se rétablit pour lui aussitôt.

L'accélération qui , conséquemincnt , n'est pas nulle ù cet

instant, peut loi^ours être exprimée en fonction de la vitesse

u ^ relative et de la vitesse de

^-f' rotation des axes à ce môme

^^ I instant. Car soit M la posi-

ïf^— — ■ ^ Y 'ion du point matériel , ac-

Fig. H, luellement sur l'uxe de rota-

tion ML Dans un temps infioiiDent petit dt , le point M viendra en N, en vertu de sa viiesse relative ; par suite de la rotation des axes, il décrira aussi , du point C comme centre, avec NC pour rayon, autour do l'iixc Hl, un arc de cercle ëléineniaJre, dont l'angle sera égal à uidi, en appelant u In vitesse angulaire , et le rayon à V, dt sin d, en appelant Vc la vitesse relative, et h l'angle N MC ; en sorte que cei arc de cercle , qui est un infiniment petit du second ordre, a )K)ur valeur uVr sin d.<i/'. D'un autre c6lé, si cp est l'accélération, t un temps quelconque, et a l'arc parcouru pendant ce temps, on sait qu'on a en général :

, , Il '

a = î (ft' ou ç = — j .

Ici l'arc s est égal à wV, sin i. df, le temps r est égnl à dt, il en résulte : (f^SuV> sin 3.

Propoullloa elntinléaie.

167. — Lorsque tes axes de coordonnées mobiles possèdent un mouvement quelconqnc, le mouvemciU absolu d'un

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