LIVRE IT. — UOUVEUENT RELATIF

point m a (ôrîel s'obtient à chaque instant en composant son inonvement relatif uvec celui qull possèderuit, s'il ôtait tout à c(Hip învariublemonl lie aux axes mobiles.

En effet, prenons le point géométrique qui c»incide artuellement avec la position effective d» point matériel, et supposons-le invariablement lié aux axes mobiles. Le mouvement de ces derniers, qui constituent un système de forme invariable, pourra être décomposé en une translaiiou égale au déplacement de ce point géométrique, et une rotation autour d'un nxe instantané passant par ce mi^me point. Nous nous trouvons ainsi dans le cas, à la fois de la pi-oposition III et de ta remarque de la proposition IV. Si donc nons imprimons aux axes mobiles un mouvement contraire de (ranslatioii el de roution iuslantanées , qui les maintienne au repos , nous voyons que la place réelle occupée par le point matériel , au bout du temps dt, est donnée par la composition de son déplacement relatif avec son déplacement à'enirainemettt; ea entendant par lit le déplacement qui résulterait pour lui de sa soudaine liaison invariable avec les axes mobiles. Quant au niouvemeni de rou-nion instaDtaiiée, il n'influe pas sur la posit on du point matériel, ptiisque c'est un infiniment petit du second ordre par rapport à des inlîniment petits du premier ordre, ainsi qu'on l'a vu daus la rem^irque précitée. Il u'eiilre en ligne de compte que pour l'accélération, qu'on a vue être représeniée par uVr sin 5. Quant à la vitesse de rotation , elle est nulle à l'insiant considéré, loujutirs pour le même motif.

N. B. Nous désignerons désormais par le terme àe rotation compote'e le mouvement qui résulte pour le point matériel de la rotation instantanée du système. L'épithète de eompotée est destinée à rappeler qtte , tandis que la vitesse angulaire dépend uniqiiemeiii du mouvement pi-opre aux axes mobiles, le rayon de l'aiv décrit datis cette rotation

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PBOPOSITIONS PKËUHINAIBBS, S73

par le poim matériel considéré dépend dt: la grandeur et de ladirct'iiun de sa vitesse relative.

Conte'quetieet.

l" A tout instant, la vitesse réel e est la rt'suiaiitc Je la vitesse relative et de la vitesse d'entraînement.

2° Si l'on projette le mouvement absolu sur une droite quelconque, l'accélération de ce mouvement projeté est éga'e à la somme des accélérations des mouvements d'enirjliiement et de rotation composée, également projetés. On peut dire aussi que l'accélération du mouvement relatif projeté est égale à la diflërence des accélérations des moavements d'entraînement et de rotation composée, également projetés.

S' Si le mouvement des axes se réduit à une simple translation, la rotutiun iostantanée est nulle ; l'entraînement devient égal à la translation, et l'un rciombe sur les conséquences du n" I6S.

U' Si le mouvement se réduit à une simple rotation, on rapportera le mouvement des axes, non plus au mouvement du point supposé invariablement lié, mnis au mouvement d'un point sîtné sur l'axe de rotation lui-même. Alorsl'eotralnement disparaît, cl l'on retombe sur les conséquences, du n" 166.

5° Si le mouvement l'elatifcst nul, c'est-à-dire si le point matériel est en repos relaiif, la rotation composée est constamment nulle, puisque ce point ne quitte pas l'axe de rotation instantanée, et, par suite, le mouvement réel se réduit au seul mouvement d'entraînement. Cela doit dire, car alors le point matériel n'a évidemment |ins d'autre mouvement que celui qui résulterait pour lui de sa liaison invariable avec le solide géométri(|ue formé par les axes mobiles. Cei le circonstance se produit pour tous les corps placés autour

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37f| LITRE IV. — HOUVEUENT SEUTIF.

de nons, et en repos reltiiit Les a\es coordonnés, auxquels 00 rappurtc kur niouvcmcnt, ne sont pas simplement animes d'une i-otalioii pi-ovenanl de la relation de la lerre ellemême, mais aussi J'une translation, par suite de ce que la teire se li'ansportc autour du soleil. Le mouvement de ces crps, qui nous semblent en repos, est égal, en réalité, à l'entralDemeiit qu'ils subiraient, s'ils éialent invariablement lies aux axes de coordonnées teiTcstres.

6* Si le mouvement réel est nul, le mouvement relaiifesl égal etconiiaireàcelui qui résulte de l'entratuemenl , ci, en projection, l'iiccélération relative est égale & la différence d- s accëlcralions d'entraînement et de lolation composée.

Attire» contèquencei.

7' Si l'on conçoit une Torce capable de ptoduire l'entraînement du poini matériel, cl une autre force capable dn prodiiin; sa rutation composée, ces deux forces combinées avec celles qui pruduiraieni le monvemeni relatif auront pour résutiante la force réelle,

Bcciproquement, tn force capable du mouvement n-laiif, ou ce qire nous avons nommé la force apparente, est la résultante de la foicc réelle et de deux forces fictives égales et contraîi es aux deux forces d'entraînement et de rotation composée.

8" Si l'on projette le tout sur une droite quelconque, h composaiiie de la force réelle sera égale A la somme di-s accétéralions des inouvL'ments relatifs, d'entraînement et de rotation compos4>e, miiliipiiées par la masse du point matériel.

Réri|iroqucmcui, rnccêlcralionilu mouvement relatif sera égale h. la compos^mte de la force réelle, moins le pro luit de la masse par la somme des accélérations des mouvements d'entraînement et de rotation composée.

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Ce sont là justement les deux problèmes que uous avons indiqués au n' 160, et dont la soluiîon ne nëcessJte plus que la connaissance des grandeurs et des directions des vitesses d'entralnemenl et de rotatiun composée. Il est visible qu'on pourra les obtenir en fonction : 1° de la position relative du point maiéi'iel, à l'instant considéi'ô; 2* du mouvement propre uux axes de coordonnées mubiles. Dans les deux problèmes , on n'aura h déterminer qu'une seule catégorie d'inconnues, savoir : la force réelle pour le premier, ei le mouvement relatif pour le second.

Le chapitre suivant a pour objet d'exprimer les vitesses d'entrainrmcnt et de rolaiion composée eti fonciion des coordonnées mobiles et du mouvement des axes, ei, p:ir suite, de résoudre complètement les problèmes qu'on a énoncés.

On n'^iura cvidemuient aucune dîfliculté pour étendre la solution au cas d'un système de points matériels. Car, pour chacun de ces points , considéré isolémcnl , les vitesses d'entraiiiement et de rotation composée se déterminent de la même manière, c'est-ii-dire en envisageant le mouienient qui résulterait pour ce point de sa liaison invariable avec les axes mobiles, et de la rotation instantanée du solide autour d'un axe passant par ce point : c'est-à-dire que chaque point matériel aura son entraînement et sa rotation composée, différents de l'entraînement et de la rotation composée des antres ; mais, pour chaque point, ces quantités pourront être exprimées séparément en fonction de la posî tjon relative de ce même point et du mouvement propre aux axes de coordonnées.

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