S78 LIVRE IV. — MOUVEMENT BBLATIF

réd, les secondes celles dn mouvement relatif ou apparent. Soit enHn X, Y, Zet L, M, N les composantes suivant les axes fixes des forces fntérieHi'e et extérieure qui sollicitent le point m. Ce sont lit les composantes de la force réelle totale; seulement on a mis en évidence les deux natures d'actions qui la constituent.

Actuellement, il s'agit de trouver, entre ces diverses quantités, des relations qui permciiciU de i-ésoudre les problèmes qui se rapportent au mouvement relatif.

Les équations dn mouvement absolu du point m sont, comme ou sait, les suivantes ;

"J-Î-. .-I-.-. — «■jT 7-i-T«=^™ —

(A) X+L=in~, Y + M=Lm^, Z + K=m^

Les coordonnées du mouvement absolu et celles du mouvement relatif, n'étant autres qne les coordonnées d'un même point rapporté il deux systèmes d'axes rectangulaires diiïérenu, sont liées entre elles par les équations qui permettent de passer d'un système d'axes à un autre, équations qu'on a établies en géométrie analytique, et qui sont ;

I a^ = F, 4- Mr -f by, + cz, ,

Différenlions deux fois, par rapport au temps, chacune de

ces trois équations, en remarquant que toutes tes quantités qui y figurent doivent participer à la différentiatJon, puisque les coordonnées relatives, aussi bien que Toriginb et la direction des axes mobiles, varient ii la fois avec le temps. Si nous effectuons les calculs, et si nous multiplions de part et d'autre par m,, il viendra, en tenaut compte des équations (A) :

n,g,t,7rJM,GOOglC

TRËOniE GË^ËBAI£. 819

„ /rfr, da Ay, db , dz, dc\

relations fort simples en réalité et qui se déduisent immédiatement les dnes des autres par suite de la symétrie des quantités.

Rem&r<|uoi)s, avant d'aller plus loin, que ces équations (C) peuvent fournir la solution complète de la question : car elles expriment la Torce réelle totale ou le mouvement absolu en fonction de quantités qui dépendent exclusivement du mouvement relatif et du déplacement des axes mobiles ; en sorte que, si ces deux derniers mouvements sont connus, le mouvement réel ou les forces qui le produisent s'en déduisent aussitût) et i-éciproquetnent, si le mouvement réel est connu, ainsique le mouvement des aiies, on en déduit Icmouvement relatif du point matériel. D'ailleurs des relations analogues peuvent être écrites pour chaque autre point matériel du système : ce seront tes mêmes valeurs de Ç,n, X„a,h,....

n,g,t,7rJM,GOOglC

aSO LITKE IV, — MOOVEUENT BELATIF.

et d'autres valeurs de x, y, z, s,, yr, «,, qui y Agiireront. On aura aiosï le mouvement total qu'on se propose de déterminer; el quant à la sépantion des Torccs réelles en forces intérieures et en forces exiérieures, elle s'elTectuera comoie il a été eiLposé dans le livre précédent, c'est-à-dire au moyen des équations de liaisons, il n'y a donc théoriquement au~ cune difficulté.

168(frt>). — Mais les équations (C), sous la forme qu'on vient de leur donner, ne révèlent rien directement sur la manière dont le mouvement relatif influe sur l'appareDce du mouvement réel. Ces équations en fournissent la valeur algébrique, mais elles ne font point pénétrer, pour ainsi dire, dans la connaissance concrète du phénomène. Aussi, allonsuOus leur fhire subir certaines transformations qui puissent mettre les résultats en harmonie avec les propositions démontrées plus haut,

A cet eOel, remarquons en premier lieu que si le point m, au lieu d'avoir son mouvemenl propre indépendant des axes mobiles, était tout h coup invariablement lié avec ces axes, et avait pour seul mouvemenl celui qu'il recevrait alors de cette liaison, les valeurs de ses coordonnées absolues ne seraient plus les mêmes que précédemment; mais, pour les obtenir, il suffirait de remonter aux valeurs («)de x,}/, z, et d'y supposer que les coordonnées relatives Xt, yr, z, ne varient pas avec le temps. Car, dans cette bypotbèse, la situation du point matériel par rapport aux axes mobiles ne change pas pendant le mouvement de ces derniers, ce qui revient à exprimer qu'il est invariablement lié avec eux. La force absolue capable de donner au point m uu tel monve-

tPx iPy d^z ment serait reprcsenlpc par "«-jtî. "* j^i "t-rrï) ces dérivées étant prises comme si x,, y., z, étaient indépendantes du temps dans les valeui's (>), et comme si ^, », C* a, a'y a", k... en étaient seuls dépendants.

n,g,t,7rJM,GOOglC

THfiORlK GËNËBALE. 381

La diflei-entiaiion, faite h ce poiot de vue, donne, pour les , . (Px d'y tPz

dl'

Ainsi, les qualre premiei's termes des seconda membres des équalions (C) représentent les composantes, suivant les axes fixes, d'une Torce capabie de communiquer an point matériel le mouvement qu'il prendrait s'il était tout ù coup invariablement lié aux axes mobiles, de manière à former avec eux un solide géométrique, aux mouvements duquel il participerait dès lors exclusivement. Cette force, que nous avons déjà été amenés à considérer dans le premier cbapilre, a reçu le nom de forée d'enti-ainement. Keprésentons-eD les composantes par X. , Y,, Z,. Il vient en conséquence ;

-^^KS -dT+Tù-dr+Te-s)-

Ayant de pousser plus loin cette transformation, posons

n,g,t,7rJM,GOOglC

382 LIVRE IT. •<- HOIIVEIISKT lELATIP.

c«ruiiaB réftulUU algébriques qui nous serxiroat à simplifier les calculs. Si l'on difTéreiitic les six équations (1) qui exprimeot les coaditions auxquelles satisfont, dans tous les cas, >, on en tire les six relalions suivantes :

ada -t- a' du! -+- a"da" =: o ,

adb + o'dfr' + a"db" = — {bda + b'da! + b"da") , bdb + b'db' + b'W = o ,

cda + (fdà -I- c"do" ^ — (arfc + a'dc' + o"(/c") , cdc + e'dc' -|- c"dc" = o , Wc + b'dc' + f'rfc" = — {cdb + c**/*' + e'db") . Pour abroger, nous éci-irouâ :

Icdb + c'tit' + e"db" = pdi , adc + a'de' -+■ a"dc" = fdi , bda + b'da' + b"da" = rdt î

p, q, r, ôtanl des fonctions convenables du temps, telles que leurs intégrales soient égales aux intégrales totales des premiers membres. On peut considérer tous les cosinus comme dépendant exclusivement de ces trois quantités, puisque, . selon notre remarque, les neuf cosinus iic représentent réellement que (rois inconnues distinctes.

Reprenons maintenant In iransfonnation des équations(D), qui se trouvera facilitée par les relations que «ous venons d'écrii'e.

Mulliplions respectiveiDent ces équations (D) par a, a', a", et ajoutons-les membre à membre. Dans cette somme, le

terme -j^i sera multiplié par a*-l-fl"-Ha"', quantité qui

est égale à l'unité i les termes -^t-jfCt seront mullipliés par ai+a'i'+a"^", ac+a'c'+a"e", quantités qui stnt

n,g,t,7rJM,GOOglC

THfioiu; GbHÈnALC. 383

nulles. Des réduciions analogues se produiront dans les termes suivants, ea vertu des relations (2) et (3). Finalement, toutes les simplifications Taîtes, l'équation deviendra :

fl(X + L) + fl'{ï+S') + o"(Z + N) = oX. + a'Y. + tt"Z.+

Mais remarquons que, a, a', a" étant les cosinus des angles formés par les trois axes fixes avec l'axe des « mobiles, et X, Y,... étant les protections sur les mentes axes fixes des forces extérieure et intérieure qui sollicitent le point m, le premier membre de cette cqnalion représente la somme des projections sur l'axe des x mobiles de toutes les composantes de ces forces, c'est-à-dire la composante de ces forces elles-mêmes suivant cet axe. Pareillement, les trois premiers termes du second membre représentent la composaute de la force d'eotratnement, suivant le même axe des « mobiles. Désignons par a, ê, y, les angles de la force réelle extérieure avec tes axes mobiles ; de même par >, p, v, a, , Se , y. , les angles de la force réelle intérieure et de la force d'entraînement avec les mêmes axes. Désignons d'ailleurs par P, I et P. ces trois forces, et par r,, ti„ te,, les projections de la vitesse relative sur les axes mobiles. L'équation ci-dessns peut alors s'écrire :

m-~ =PcoB«-l- IobX — P.coso, — 2m(^, — m,).

Si les mêmes calculs qu'où vient de faire sur les équations (D),enles multipliantpara, a',a", sont répétés en les mul> tiptiant par b, h', k", ou obtiendra une équation semblable à la précédente et se rapportant à l'axe des y mobiles, au lieu de l'axe des x. ËuBo, en multipliant par c, c', e", on aura la relation eoncernaut l'axe des z mobiles. Le système des équations (D) se trouvera ainsi remplacé par le suivant :

n,g,t,7rJM,GOOglC

384 LITBE IV. — MOnVEHEin RELATIF.

|«-T3^ = PcM8a + Icosl — P.coso. — 2m(^,- rv.),

(F) /m^' = PcosS+Icos,(A — P.cosg.— 2mK~pœ,),

I (Pi.

\ m -Tj- = F cos 7 H- 1 C08 V — P, cos 7. — 2m (pw, — gv.) .

169. — Nons allons déduire de ces équations plusieurs cfHtséqnences iniéres&aiitcs.

1° Les premiers membres représentent les composantes snivant les axes mobiles d'tinc force capable de produire le mouvement du point maiériel par rapport ù ces axes considérés comme ti\cs. Celte force est donc ce que nous avons appelé la force apparente. L'ensemble des trois équations nous montre que la force apparente est |a résultante de la force réelle ( extéiieure et intérieure) et de deux forces fictives, dont l'une a été reconnue être égale et contraire à la force d'entraînement, et dont l'autre, couséquemment, ne peut qu'être égale et contraire à la force de rotation composée.

La valeur de la foi'ce d'entraînement est fournie par les expressions (e) : ses composantes suivant les axes fixes sout les suivantes ;

' /<CÏ iPa^ d'b , d'c\

(F) Y. = «(5ïr + ^^rfïr+y^^ + ^-^),

Os valeurs ne dépendent, à chaque instant, que de la position relative du mobile ik ce même instant et des lois du mouvement des axes mobiles par rapport aux axes fixes.

La force de rotation composée a pour projections sur les axes mobiles:

n,g,t,7rJM,GOOglC

THCOBIB GÉItÊBALE. 385

2m {qw, — ru,) , 2m (rv, — pxv,) , 2m {pu', — qv,). Si donc on la désigne par Pc, on a :

Pc = 2m\/i<fWr — »-Br)* + (rv, — pw.y + (pu, — go.y .

Ces valeurs ne dépendent, à chaque instant, que de la vitesse relative dn point matériel à ce même instanl, et des quantités p, q, r, c'est-à-dire des lois du mouvement des axes mobiles.

3" Les termes qui figurent dans les équations (F) représentent aussi bien les accélcra^ons dn mouvement projeté sur les axes que les composunles des Torces correspondantes suivant les mêmes axes. On retrouve ainsi les résultats connus, savoir : que l'accélération du mouvement relatif projeté sur une direction quelconque est égale à l'accéléralion du mouvement réel moins les accélérations des mouvements d'entrainement et de rotation composée.

i" Beprésentous par a.,, €c,'7<:, les angles de la Ibrce de rotation composée avec les axes mobiles. Les équations (F) pourront se mettre définitivement sous la Torme :

: P COS « + I cas >. — P. C09 ce, — P< C08 OTc ,

(A,) / m~i^-=Pcos6 + Ico8u— P. cosg. — Pccosë. ,

d'z, t -TY = P cos 7 + I cos v — P, cas y. — Pc cos yt-

Nous voyons d'après cela que le mouvement relatif d'un point matériel appartenant !\ un système quelconque peut être traité comme un mouvement absolu, pourvu qu'on ajoute aux forces réelles deux forces fictives égales et contraires aux forces d'entraînement et de rotation composée. En d'autres termes, cnlt'c les coordonnées i-elalives du point matériel et les composantes de toutes ces forces snivunt les axes

386 LIVRE IV. — HOUVEMlaiT BELATIF.

mobiles, il existe identiquement les méfiies relations qu'«i- Ire les coordonnées absolues et les coni|>osaDlcs des forces motinces suivant les axes fixes.

170. — Ou |>eut donner il la valeur de la force de rolaiion composée une autre forme qui mette mieux en évidence la manière dont elle agit sur le point matériel.

Je rcmai'que premièrement que ta direction de celte force est peipcndiculaire à deux droites qui feraient avec les axes mobiles des angles ayaut respectivement pour comuus les quaiuilés :

V/b; -f a', + w\ ' Vv) + K

Vf-hf + t*' Vp' + f + r^' l/p'H-v' + r»'

Il suffit, pour le déiooQtFer, de chercher la valeur de l'angle que fait la direction de la force avec chacune de ces deux droites, et de vc'rifier que le cosinus est identiquemeul nul. En effet, faisons le produit des cosinus, deux à deux, des angles formés respectivement par la force et par la première droite avec chacun des axes mobiles. Ce produit donne, comme on sait, le cosinus cherché : or, le auméraleur est égal à

V, [qw, — ru,) -t- u, (rvr ~ pir,) + w, (jm, — ^r) ,

quanliléquiseit-duit identiquement à zéro,quandoneflectuc les calculs indiqués. On verrait de la même mauiôi'c que le numérateur de la fraction qui exprime le second cosinus se réduit également à zéro.

Soit donc M la position du point matériel par rapport aux axes mobiles, ù l'origine de l'instant considéré, MVr la direction de la vitesse relative par lapport aux axes mobiles,

n,g,t,7rJM,GOOglC

et M Ma longueur du déplacement subi pendant l'instant dt, en vertu de cette même vitesse et par rapport auK mêmes axes mc^îles. Soit enfin M I la position de la droite qui ftiit avec les mêmes a^es mobiles des aitgles dont les cosinus

8om rcspeciivenieni égaux à

. .-— — .- -^^ . Il est clair que la droite MV,, qui est la direclion de la vitesse relative, fait avec les axes mobiles des angles dont les co)>intis sont repn^senlës par -

- , --. — '-,-^=^ t:, , '. ' . • ; ■ Ces deux lignes MV, et

M I sont donc celles dont on a p»rl<^ ci-dessus. Puisque la force quo nous considérons en ce moment est perpendiculaire à leurs deux directions, elle est perpendiculuîre aussi à leur plan -, donc son action sur le point matériel N se réduit à l'élever normalement au-dessus de ce plan. Mais, pendant un temps infiniment petîl, les quantités p, q, r peuvent ctrc considérées comme constantes; par suite, la direction M I est aussi constante, ou, si. l'on veut, cette droite reste immobile. Le mouvement imprimé par la force consiste donc à décrire nn arc de cercle infiniment pelil, autour de M I comme a\c, avec NC comme rayon, et normalement au plan VrM I. .Ainsi, pour le point matériel considéré, la droite M lest l'axe insianiuné de roiaiion autour duquel tourne le système enlier des axes mobiles, pendant le temps di, quand on conçoit le mouvement de ce système comme décomposé en une translation égaleà l'entraînement du point, et en une rotation autour de ce même point. Actuelle-

n,g,t,7i.dt,G00glc