UÏBE IV, — MOUVEMENT RELATIF
ment, supposons que par le point M on mène deux systèmes d'axes coordonnés, l'un parallèle aux axes fixes, l'auti'c parallèle aux axes mobiles dans leur situation actuelle et invariablement lié avec eux. Les valeurs des angles a, a', a", b... conviendront à ces nouveaux axes, ainsi que les variations que subiront ces angles par suite de la rotation autour de M I. Les coordonnées du point N, par rapport à ces nouveaux axes mobiles, seront égales respectivement à
puisque M N est la longueur parcourue, pendant l'instant dt, avec la vitesse relative. Par conséquent, les coordonnées du même point N, par rapport aux nouveaux axes fixes, seront respectivement '
(«p, + bu, + cw,) dt , {a'v, -t- b'u, + c'tc,) dt , (d'v, + 6"Wr + c"rv^ dt.
Si nous voulons exprimer qu'il y a une rotation înstautauée autour de l'axe Al I, il Taut différentier ces coordonnées du point N, en y l'cgardunt a, b, c, a'... comme dépendant seules du temps, et r„ u,... comme ne changeant pas. Sôit U la vitesse angulaire de rotation, et a, S, y ses angles avec les nouveaux axes fixes ; la vitesse absolue du point N sera 11.NC; et on aura, pour les trois axes :
KC . ii . cos « = ( 0, -^ + «, T- + ro,
da
INC. ii.cmS={v,^ +
da' db' d^\
dr^^'H^^-W]
.,,. ,, / dd' db" dc"\ .
Multiplions la première équation par a, la deuxième par a, la troisième par u", et ajoutons : la somme dos premiers membres it-préscntera lu projei:tiou de lu vitesse 11 NC
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THËOBIE GÉNÉRALE. 389
sur l'axe des x mobiles; la somme des seconds membres contiendra des quanlités qui figurent dans les relations du n" 168 (hit). Si l'on Tait les rëduciions qu'on a indiquées à celte occasion, il viendra :
N(; . 11 cos a, = (yw, — ru,) dt ,
en représentant par a, l'angle rormé par la vitesse relative avec l'axe des x mobiles, tin obtiendra de la même manière :
NC. flcoser = (n>, — pw,)rf(, NC . ii cos y, = {pu, — qt>,) dt.
'Faisons les carrés et ajoutons : nous aurons :
NC,,, . ,
-^ii — V(qTi!, — ru,y + (tv, — pat,)* + {p«, — ^,)\
Mais, si nous désignons par <S l'angle Tormé par la vitesse relative M N avec l'axe instantané M I, il vient :
NC = MN . sin 5 = V,d( sin S ;
d'où, en substituant :
ii . V, wn 5 = \/(tfw, — rw,)' + {rv, — pm.y + (p«, — ^,)».
Par suite, la valeur précédemment trouvée de la Torce de rotation composée prend la Tonne
P.= 2mliV, sinîî
ce qui nous montre que celle force est égale au double produit de la masse parla vitesse angulaire et par la vitesse relative projet!^ sur un plan perpendiculaire h l'axe instantané de rotation, et qu'elle est à la fois perpendiculaire ù la direction de la vitesse relative et à celle de l'axe instantané, On pourrait trouver directement cette valeur par la considération géomélriqne d<'jà pi-ésentée dans la remaïqiie du
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390 LITRE IT. — MOtlVEMEHT BEr.ATIF.
n* 166. Pendant la rotation insiaiitai»^, on pent, en etiel, regarder la force comme conManle en grandeur et en direction : si donc on désigne vcltc force par P, et par e l'arc in- 6nïment petit parcouru, on a
- 1 At* A^rtii n —
di"
e^ j — rf(', d'oii
( L'arc e est un infiniment petit du deuxième ordiv, puisque le rayon NC et l'angle décrit sont tous deux infiniment petits. ) Or, ff=llNC. dt = ilV, sinô.rf/' ; conséquemn^^nt , comme plus haut, rc=:3mllV,sind.
Cette méthode est, comme on voit, beaucoup plus simple; mais elle ne doit pas dispenser de la précédente, qui démontre l'identité de cette valeur de la force avec celle déjà trouvée bous une autre forme analytique.
Remarque. — On peut obtenir une valeur très-simple de la vitesse angulaire!^. En effet, on tient de tronver :
fiV, sin i= \/{qw, — m,)' + [rv, — pw,y + (pa, — jp,)*. Or \,^yv\ + u\-i-w],
rfn î = l/l — cos'î.
Mais i étant l'angle des deux directions MI et MVr, on aura la valeur de son cosinus eu faisant la somme des produits, deux ù deux, des cosinus des angles que ces deux angles forment avec les axes. Doue, en ayant égard à la valeur ci-dessus de V,, on trouve :
par
et
suite :
— pa,)'+lpu,-
Vp* + 9' + r' \/v\ + ^,'hv
rmn-n-.;GoOg\c
THÉORIE C.tnkRliLE. 391
Si l'on substitue la valeur de V,sm^ dans la première relation, on obtient la valeur de ii, qui, toutes réductions faites, est la suivante :
Ainsi la vitesse angulaire autonr de l'aice instantané de ro> tation est simplement fonction de p, q, r, c'est-à-dire fonction des cosinus des angles que les axes mobiles forment avec les a\.es fixes.
On voit en même temps que les produits de cette vitesse par les cosinus des angles que fait l'axe instantané avec les axes mobiles sont respecLivemcnt égaux à p, q, r. Ces trois quantités représentent donc les projections, à tout instant, de la vitesse angulaire sur les axes mobiles.
ni. — Actuellement, reprenons les équations (Ar):
!m~ = Pcosa+IcosX — P. cosa, — P. cosoc, m ■^' = Pcos6-tiIcosu— P, cos6, — P, cosS,, rf»2r m -j-7 = P cos 7 -1- 1 cos u — P, cos 7, — P, cos 7^ ;
et voyons ce que deviennent pour le mouvement relatif les différents théorJ^mes démontrés pour le mouvement absolu.
Nous rappellerons que dans les équations ci-dessus il n'y a plus de trace des axes fixes, et que toutes les quantités y sont estimées par rapport aux axes mobiles , en sorte que ces équations sont bien celles qui convienuont à un mouvement relatif dans lequel on fait complètement abstraction de la mobilité des axes, et où l'on agit exactement comme si l'on avait affaire à un mouvement absolu.
D'une manière générale, on voit que toutes les propriétés du mouvement réel peuvent être étendues au mouvement appai-ent, pourvu qu'on adjoigne constamment aux forces réelles
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S92 LIVRE IV. ~ MOUVEMENT EELATlr.
deux forces ficlives égales et coiiti-aîres à lu force d'eniraliieineiit et à la force de rotutJoii composée. Dès lors il n*y a aucune difllculté à uppropi-ier à ce nouveau mouvcmeDt ions les ënoucés qui se rapportent au mouvement absolu. Nous pourrions donc nous dispenser d'entrer dans aucun délail à cet égard. Toutefois, nous passerons en revue les propriéii^i les plus importantes, autant pour familiariser l'esprit avec le mouvement relatif que pour faire ressortir un certain nombre de conséquences.
1° QBaaIIlé létale de MOHveMeal el ceaire de gravité à'um système. — Si l'on établit pour chaque point matériel des relations analogues au groupe (Ar), et qu'on ajoute cusuite toutes les équations concernant te mt^me axe, on aura trois équations finales, dans lesquelles toutes les forces intérieures disparaîtront, car ces forces, étant égales et opposées deus. à deux, donnent, suivant les axes mobiles aussi bien que suivant les a\es fixes, des sommes algébriques de composantes identiquement nulles. En conséquence, la quantité totale de mouvemeut, projetée sur une direction quelconque, sera égale à la somme des impulsions des forces réelles eittérieures et des forces fictives, projetées sur la m<;me direction } et le centre de gravité se mouvra comme si toutes les masses y étaient condensées, et toutes les forces extérieures et fictives transportées parallèlement à ellesHnèmes. Si les foices extérieures sont elles-mêmes réciproques, ou plutât si toutes les forces réelles se réduisent à des forces intëi'ieures, ainsi que cela a lieu pour l'ensemble du système planétaire, la quantité totale de mouvemeut et le déplacement du centre de gravité, rapportés aux axes mobiles, seront dus aux seules forces ficlives correspondant au mouvement de ces axes. C'est là ce qu'on doit observer quand on rapporte le centre de gravité du système solaire à des axes qui participent au mouvement terrestre.
2* Th^rène Jcs«ire«. — il est pan'iliement évident
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