THÉORIE GÉNÉRALE

que les termes provenant des forces iatërienres disparaissent, et que , si en outt-e les Torces extérieures sont rt'ciproques, la somme des musses respectivement multipliées par les projecdons des aires décrites sera égale à la somme des moments des projections des forces fictives.

S' Tlié«r«n>« des f«r«cH vtvc«. — La variation élé- Dientaire de la force vive de chaque point, estimée dans le mouvement relatif, sera égale an travail élémentaire de toutes les forces, réelles et fictives, de ce point : ce travail étant pareillement estimé dans le mouvement relatif. En effet, le travail de la force réelle extérieure aura pour expression Pd»iCOs(P,dÉ,}, en appelant dt, le déplacement relatif infiniment petit : cette expression pourra se mettre sons la forme PVrd/cos(P,V,)i le travail de la foi'ce réelle intérieure s'écrira de même IVrrf*cos(I, Vr)j celui de la première force fictive sera — P. Vrrf/cos(P, , V,) ; quant à celui de la force fictive égale et contraire à la force de rotation composée, il sera évidemment nul, puisque la direction de cette force est perpendiculaire à la direction de la vitesse relative : c'est du reste ce qu'on vérifiemit également en multipliant respectivement par v,di, u4t, icMt les derniers termes des équations (F,), et ajoutani, ce qui donne le travail de cette force : la somme des quantités ainsi formées se réduit à zéro. Finalement l'équation de la force vive d'un point matériel se simplifie et devient :

(H,) di tiv; = I Pcos (P,V,} + Icos (I, V,)— P.cos(P.,V,) I V, df .

Par suite, l'équation des forces vives d'un système quelconque, dynamique ou géométrique, sera :

(Lr) ldimV',=iy,dt I Pcos{P,Vr)-Mc08{r,Vr)— P.Coa(P,.V.) j j

ce qui signifie que la variation élémentaire totale de la force vive relative d'un système quelconque est égale à la somme

n,g,t,7rJM,COOglC

394 LiVRE 1¥. — MOUVEMENT BELATIF.

des travaux élémentaires des forces réelles (exlerienrcs et iniéiieurcs), et des forces ficiives égales et contraires aux. forces d'entraînement; ces travaux étant tous estimés dans le mouvement relatif comme s1l s'agissait du mouvement absolu.

Si le système est géométrique, le terme dâ aux forces inléiieurcs disparaît, ainsi qu'on l'a démontré au n" IM, par sitite, l'équation des forces vives devient :

(G,) dl\ niv; = 2V, rff j P C09 (l',V,) — T, cos (P„V,) | .

Ces relations ne diffèrent de celles qui se rapportent av mouvement absolu qu'en ce qu'un y introduit un terme dû au travail des forces fictives égales et contraires aux forces d'entraînement, c'est-à-dire égales et contraires aux forces qui seraient capables de produire le mouvement de chaque point s'il était tout à coup invariablement lie aux axes moUles.

L'équation (Gr) ne convient qu'aux systèmes géoméiriques parfaitement libres. Je veux dire par là que, si quelque point s'y trouvait individuellement assujetti à demeurer sur une courbe ou sur une surface donnée, le terme dû au travail de cette force d'assujettissement ne di^pai-atiraii pas de l'équation. Ce travail, représenté par IVr df co» (I, T,), ne serait pas nul elTeclivcment, parce que la direction de 11 force I, normale à la surface, n'est pas perpendiculaire à ■ la direction de la vitesse relative, mais seulement à la direction de In vitesse réelle , qui est la résultante de la vitesse relative et de la vitesse d'entraînement Dans le mouvement absolu, celte circonstance ne se produit pas, et le travail disparaît toujours dans l'équation des forces vives, parce que c'est précisément la vitesse réelle qui y figure.

L'équation de la force vive d'un point matériel, dans le mouvement relatif, nous pei'met d'appi-écier ce que devient la même équation dans le mouvement absolu, lorsque te

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THÉORIE GËNËBALE. 395

point esc sssiijclli à demeurer sur une courbe ou sur une Hiirfurc qui, au lieu de rester (lue, est elle-niènie douée d'tiii certain mouvement duns l'espace. En effet, si l'on prend un système d'axes rectangulaîi-es invariablement liés à la courbe ou à la surface, les équations de cette courbe ou de celte surface, l'elativemcnt à ce système d'axes mobiles , seront les mêmes qnc dans le cas où tout est flxc. Or, nous pouvons rapporter le mouvement du point matériel aux a\es mobiles, ce qui nous fait rentrer dans la théorie précédente du mouvement relatif. Il y aura donc lieu d'en appliquer les conséquences, et, par suite, d'établir l'équation (Hr) ; en remarquant que le terme dû à la force d'assiljeuÏEsement I disparaît, puisque, la vitesse relative s'exerçant suivant la courbe on la surface ,' la direction de la force lui est perpendiculaire ; de sorte cjiie la relation de la force vive, convenable au cas où la courbe ou surface d'assujettissement est mobile, est celle-ci :

(l{ mv;=] P cos (P,V,) — P. C08 (P,.Yr) j Vr dt ;

dans laquelle P. représente la force qui serait capable de produire renlraliicmcnt du point matériel, si on le supposait tout à coup invariablement lié avec la courbe ou la surface mobile. Cette relation diffère, comme on voit, par suite de la présence de cette force fictive, de la relation qui convient à la fixité de l'assujeuissemeni.

Memarque. — L'équation des forces vives peut être établie directement, pac la considération des moments virtuels, et sans passer par les équations générales (Ar) d'où nous l'avons déduite.

En effet, remarquons que le mouvement absolu d'un point matériel peut élrc considéré rximme résultant 1° de son mouvement relatif; 2° d'un mouvement égal à celui quil recevrait sll était tout à coup lié d'une manière inva-

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396 LITRE IV. — MOUVEHEHT RILATIP.

riable avec les ases mobiles. La vitesse absolue est la résuliante, h chaque instant, de la vitesse i-elative et de la vitesse d'entraînement. Soil V, V, et V, ces ti-ois vitesses, r, u, w, r,, Ur, 10,, el Vp, u., u>, leurs composantes suivant trois a\es fixes ; de sorte qu'on a :

Le principe des forces vives dans le mouvement absolu donne :

(1) dimV* = rV(/(cos(P,V);

en reprcscnlant pour abréger par la seule letti'e P la résultante de toutes les Torces, tant Intérieures qu'extérieures, qui sollicitent le point m ; soit d'ailleurs X, Y, Z les composantes de P. On peut i-euiplacer réquaiio»- ci-dessus par

(2) X WÛ+ Y ud( + Z ndt = wi (i-tfo -H lula + tvdw) .

A cause des relations qui existent entre les trois vitesses, absolue, relative el d'entraînement, cette équation de^ vient :

(3) Xp. dt + Ym, tit + Zti-, dt + \v. de -h \ii, dt + Zw, dt =

- + n\, de

(, dv, , du, , da',\

-+- m (Pr dv, + u, du, + tSr dvc,) .

Or, le mouvement d'entraînement est compatible avec Téut du point matériel, s'il est libre ou s'il est assujetti à demeurer sur quelque courbe ou surface qui soit elle-miïme invariablement li<'e avec les axes mobiles. Dans ce cas, un peut prendre le mouvement d'entraînement pour déplacc-

n,g,t,7rJM,GOOglC

THËOBIE GËKÊHALE. 397

meut virtuel daas le mouvement absolu, et par suite ou peat établir l'équation des moments virtuels :

Xv, dt + ïw. dt -\- Zav di = m{-i'Vtdt + --f-u.dt +

"ar

w,dt)

ce qui fait disparaître les trois premiers lennes de chacua des membres de l'équation (3). La somme des trois termes restant dans le premier membre pourra s'écrire PV,dt cos (P, Vr). Quant aus autres tenues du secoud membre, on a évidemment :

m (Pt dPr + Mr dUr + tP, rftpj =

= d ; m {p? + «; + roî) = d i m t; ;

., . . dv, dv, dwt

a un autre cote, remarquons que "* -37 ■ "* 37 > "* ~yr

sont les projections , suivant les axes, de la force capable d'imprimer au point matériel son mouvement d'eulralnement : en appelant cette force V,, les trois lennes qui s'y rapportent pourront s'écrire PrVrd/ cos (P,, V,). En sorte que l'équation (3) devient :

PV, dt cos (P,V,) = rf-i m v; + P.V, dt cos (P„V,) ,

d'où l'on déduit la relation déjà trouvée =

1 V? = [ P cos {P,V,) — P, cos (P„VO ï\,di.

iin passe de là aisément au cas d'un système géométrique parfaitement libre : car le mouvement d'entratnemeot d'un point quelconque peut toujours être pris pour mouvement viitucl ; il est compatible avec les liaisons du système, puisque, celui-ci étant supposé libre, rien n'empécbe de le faire participer, à un moment donné, au mouvement des axes mobiles. Au contraire, s'il existait quelque point indi-

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SjM LIVRE IV. — HUUVEUENT RELATIF.

vidueUemant afisiOetti à demeurer sur une courbe ou sur uoe surface donnée, la démonstration ne t'appliquerait piu6 ; car le mouvement du système conçu à un certain moment comme iuvariablemem lié avec les aites ne serait plus compatible avec l'état des liaisons, à cause de l'assujetlissement supposii. Nous reirouvons doue ici la même remarque présentée plus haut, lelalivcmenf au travail de la Torce intérieure d'asuijeltisMment , (jul ne disparaît pa« de l'équation des forces vives. Le seul cas oti, malgi'é les assnjcUissemenU initivîdueU, la démonstration ci-dessus s'appliquerait toujours, et où, par conséquent, le travail des forces intérieures correspondantes ne figurerait pas, serait évidemment celui où toutes les courbes et surfaces d'assujettissement, au lieu d'être fixes, auraient le même mouvement que les axes : car, par suite de cette circonstance, l'entratncmetit continue à <^tre compatible avec l'état des liaisons. C'est justement le cas examiné plus haut, de la force vive d'un point matériel glissant sur uae courbe ou sur une surface en mouvement.

172. — Il est intéressant de voir ce que deviennent les théories que nous venons de présenter, lorsque les axes mobiles, an lieu d'avoir le mouvement le plus général que nous leur avons supposé, ne possèdent qu'une simple translation, qui, conséqneniment, n'altère pas leur direction primitive dans toute la suite de leur déplacement.

Les équations du mouvement relatif sont dans cette hypothèse :

= P cos a + I cos > -

(A.) ».-i*=Pc»,S+Ico.^-»J,

dl'

= P eus y + 1

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THËOBIE GËNfRALE. 39Q

En eSét, la force de rotation composée disparaît; quant h la force d'cniraliicment, elle est, pour chaque point, égale à la niasse multipliée par l'accélération de la translation commune, ou multipliée par l'accélération du déplacement de l'origine des axes mobiles, dont nous désignons les coordonnées par ^, T), Ç.

Rien n'empécfac de prendre les axes fixes parallèles à la diiTction constante des axes mobiles : alors les composantes des forces seront les mêmes par rjpport à l'un on l'autre système d'axes. Les équations cl-dcssus )>euvent alors s'c-

On voit qu'elles ne diffèrent de celles du moavement absolu que par la présence du dernier terme. Tour que l'identité fitt complète, il faudrait qu'on e&t :

d'où 5 = « , r. = c't , î; = c"( ,

c, c et c" étant des constantes. Ainsi, quand la Iranslaiion des axes est un mouvement rectiligne et uniforme, les équations du mouvement relatif sont identiques à celles du mouvement absolu. Un ne doit pas s'en étonner, car les accélérations suivant les coordonnées sont les mêmes dans les deux moovemenu, piiisqu'à chaque instant les coordonnées absolues sont égales aux coordonnées relatives augmentées respectivement de quantités proportionnelles à la première puissance du twnps.

n,g,t,7rJM,GOOglC

- HOU?EHENT BELITIF.

On déduit de la dernière rorme donnée aux équaUoDS (A^ diverses conséquences.

Les équations du centre de gravité sont :

= In.^'=.2X-

dt* dC dt' '

en représentant par M la masse totale et par x„ y,, z, les coordonnées relatives du centre de gravité. Nous voyoDS donc que le mouvement relatif du centre de gravité a lieu comme si toutes les masses étaient condensées en ce point, et qu'elles y fussent sollicitées par toutes les forces du sys tème, auxquelles on ajouteiaît une force égale et contraire ît celle qui pourrait communiquer à cette masse totale le mouvement de l'origine des coordonnées.

Si les forces réelles sont nulles, le mouvcmeni du centre de gravité ne sera pas nul ou uniforme , comme lorsqu'on le l'apporte à des aiLes fixes, mais il sera égal et contraire à la translation de l'origine des coordonnées, il serait nul ou uniforme, dans le mouvement relatif comme dans le mouvement absolu, si la translation des axes était elle-même i-ecliligne et uniforme.

Voyons également ce que devient le théorème des aires dans le cas d'une simple translation. Les équations diBëreront de celles du mouvcmeniabsolu,cn ce qu'il faudra ajouter aux moments des forces extérieures réellûs les moments des forces égales et conirnires aux forces de translation. Pour l'équation qui se rapporte au plan des xy, par exemple , il

lUudrdit inti-oduii'cletcrmc — iwil -j^jr, — j^y- )• 'l'MWcl

n,g,t,7rJM,GOOglC

THËORIi: GËNÉRALK.

peut se mettre sous la forme — (t-j Imx, — -j-jZmy,).

II en sera de même pour les deux autres équations ; en sorte que les relations des aires deviendront les suivantes :

Xr , X', , /."r désignant les projections des aires «lécrîtes

sur les plans de coordonnées mobiles. Ces équations seront

identiques à celles qui conviennent au mouvement absolu,

si les tenues dus aux Torces de translation sont nuls, ce qui

peut avoir lieu d'une de ces trois manières :

1* Quand la translation est rectiligne et uniforme; parce

. , rf-S rf"»! rf'Ç . j. -j .,

quators ^i'j7ï>37t ^^^ ludividuellemeot égaux a zéro.

2° Quand l'origine des coordonnées mobiles coïncide constamment avec le cenii-e de gravité du système ; parce qu'alors, en veriH des propriétés connues du centre de gravité, on a : Imx, =o, 2«iy, =o, "S-mx, ^o.

3' Qnand la force qui pourrait produire la translation de l'origine des coordonnées est dirigée constamment vers le centre de gravité; parce que cette force étant, dans tous les

cas, jHvportionnelle à^„ t-j, T-,,notrehypothèsereviem à dire qu'on a :

^ tL t^ dt^ di^ dt^

va représentant par »„ y,, 2,, les coordonnées relatives du

n,g,t,7rJM,GOOglC

&92 LIVRE tV. — UOUVEUeHT RELATIF.

ccDtre de gravité. Mai», M éunt la masse totale, les théorèmes connus donnent :

tiit,t=^mr,, Hy, ^= Imt/r , Hz, ^= ImZr.

Les relations ci-dessus peuvent donc se mettre soat la forme :

iPl <H rf»);

di' a? a?

Xm^ Ztnyr S.mz, *

ce qui annale évidemment les moments des forces de Iran»* lation.

En nous résumant, on voit que, lorsque les axes mobiles se transportent parallèlement à eui-mémes, d'un mouvement recliligue et uniforme, les équations du mouvement relatif et les propriétés qui s'en déduisent sont identiquement les mêmes que dans le mouvement absolu; et qne, lorsque, la translation des axes étant quelconque, oo place l'origine de leurs coordonnées au centre de gravité, les équations des aires subsistent encore intégralement.

Ces conséquences sont applicables à un système d'axes mobiles placés au centre de la terre, pendant un temps assez court pour qu'on puisse regarderie mouvement de ce centre comme rectiltgne et uniforme. Les équations du mouvement d'un système de points matériels, rapporté» à de pareils axes pendant cette période, ne diffèrentpas dans leur forme des équations qui conviennent à des axes absolument fixes.

De l'^rrear e*aiaiiM «kas l'appréeUU*» ëei fereea Tlvea qaaad •■ ■égllg« les MeaveMeal» rdallfi

173. — La théorie des forces vives dans le mouvement relatif nous permet de déduire une conséqneace fort impor-

THfiORIG GÈSittALH. AOS

tan4e que nous alloDs exposer, et dont nous indiquerons il principale application.

Supposons que dans un système quelconque de points matériels en mouvement on introduise subitement des liaisons telles que tous ces points soient désormais assujettis à demeurer à des dislances invariables les uns des autres, c'est-^-dire à constituer un solide géométrique. C'est c< qu'on nomme abrëviativement toUdifier le système. La force vive du système avant la solidification est, comme on sait, égale à la force vive après, plus la force vive due aui vitesses perdues ou gagnées par suite de la solidification (n° 152). Soit donc, pour un point quelconque, V la vitesse avant , V, la vitesse après et Vr la vitesse perdue ou gagnée ; on a :

ou bien dI.'jmV = dXimy\+dlimV',.

D'un autre cAté , concevons trois axes mobiles , dont le mouvement soit à chaque instant celui que prendrait le système des points matériels, s'il ëlbit tout à coup solidifié. Cette concordance est toujours possible, puisque les trois a\es constituent de leur cAté un solide géométrique. Le mouvement des points matériels avant la solidification, par rapport à ces axes mobiles, est précisément te mouvement perdu ou gagné par la solidification : c'est aussi ce que nous avons nommé plus haut mouvement relatif. Quant au mouvement du système, après la solidification, c'est ce que nous avons appelé mouvement d'entraînement , c'est-à-dire le mouvement que recevrait chaque point matériel, si tout i coup, dans la position où il se trouve, il était invariablement lié aux ixes mobiles : car, pai' une telle liaison, opérée en chaque point, le système se trouve solidifié. Nouâ aurons d(Mic, d'après cequi a été démontré au troisième paragraphe

n,g,t,7rJM,GOOglC

hdh LIVRE IV. — MOUVEMENT REtATIP.

du n' 171, en snpposani d'ailieiirs le systèm» pm^iiitiHuoril libre :

(G,) rfi-imV', = i'V,d([Pcos{P, V,)— P.co8(P„V,)].

Nona pouvons négliger ici le travail àh aux forces Intérienresdes liaisons mutuelles, si nous admettons qu'an évalue la force vive pour des époques où les points mulériel& repassent par des positions telles qne leurs distances redeviennent les mêmes qu'auparavant ; ou si le système est à liaisons géométriques.

Combinons cette équatiu) avec la précédente; on en déduit :

= dSimV' — 2V,rf([Pcos(l',V,) — P.co8{P„V,)].

On sait d'ailleurs qne, dans le mouvement absolu,

dl 'i mV = SV* P cos (P, V) .

NoDS négligeons également le travail des forces de liaisons, moyennant les mêmes restrictions que plus haut. Il résulte des deux derniè'fes équations :

dlim\l = iydi P C08 (P, V) — lV,rf([Pcos {P, V,) —

— P. Cos{P.,V,)].

Mais V étant la résultante de V, et de V, , sa projection sur la direction de la force P est égale à la somme des projections de ses composantes , c'est-à-dire que Vcos(P, V)a V, co8(P, V, )+V, co5(P, V, ). L'équation ci-dessus se simpliâe et devient :

(1) dl i-mV; = 2V.rfl p cos{P, V,} + iP.V.di cos (P., V,).

Comparons celle relation avec celle qu'on établirait pour un système solide, dans lequel la vitesse absolue dn poiot matériel considéré serait constamment égale à la vitesse V, ,

iM,Googlc

THÉORIE «ÉKËRALE. U9S

P éiuiii la foi'ce l'éetle qui le sollicite. Ca système, qui sei'iiit précisément le système précédent solidifié ù un moment doDDé, aurait pour équaiiun des Torces vives :

(2) (/.SimV;=i;V,rflPco»(P. V.).

Il t-ésulte de ce rapprochement que, si, dans un système quelconque, OD preud pour équation des fui-ces vives réelles l'équatiou (2), c'est-à-dire si l'on assimile le système quelconque à uD système cousiamment solide, oq commet, euire deux époques pour lesquelles les distances mutuelles des points redeviennent les mêmes , une en'enr repi-ésentée par l'intégrale, prise entre ces époques, du dernier terme de l'équation (1), lequel exprime le travail de la force d'enti atuemeut estimé dans le mouvement relatif.

Si les déplacements relatifs des points matériels sont assez petits pour n'être pas aperçus par nous, le mouvement appo' rent du système u'est autre chose que le mouvement qu'il aurait, s'iléuit réellement solidifié, c'est-à-dire invariablement lié à des axes mobiles. Ce sont les vitesses des points dans ce mouvement apparent qui figurent dans l'équation (s). L'erreur commise provient de ce qu'on néglige les très-peUls déplacements relatifs qui ont lieu réellement en même temps que le mouvement dVnsembte, et qui s'exei^ cent par rapport aux axes mobiles, invariablement liés au système conçu tout à coup comme solidifié. Nous vei'i-ons dans la Mécanique spéciale, à l'occasion des corps solides physiques, dans quel cas le travail du à la force d'entraîné' ment et à la vitesse relative est tout à fait négligeable dans le calcul.

Remarque. — Il est presque superflu d'ajouter que, »i l'on évaluait la force vivo entre des époques pour lesquelles les points ne repasseraient pas par les mômes di^tiinces mutuelles, il y aurait à tenir compte du travail des forces iuté rieui'cs, lequel dépend, comme ou sait, de l't^rii'ment' ou

n,g,t,7i.dt,G00glc

kWi * LiTRE IV. — HOUTEHCMT REUTIF.

da rapprocbement des points matériels. Mais, lorsque les monvemenU relatirs «ont tm-pettls, on peut toajoors admettre que la variation de dUUnce n'îuflue pas sensiblemeut sur l'estimation de la force vive. On sait, en eflei (n* ii3), que, R étant la Torcc mutuelle et r la distance, le travail élémenlaii-e est exprimé par S.Mr, et, par snite, le travail entre deux époques quelconques sera représenté par £R,.Ar, en désignant par R, l'intensité moyenne, et par Àr la variation de distance entre les deux époques considérées. Si le système possède sensiblement la même forme, on ponrra négliger ce terme, puisque Ar est très-petit au bout d'un temps même très-long.

Quant aux forces d'assujettissement, c'est-à-dire celles qui proviennent de l'obligation individuelle des points à demeurer sur des conri>e8 ou des surftices données, elles n'introduiront aucun terme dans l'équation des forces vives, si les mouvements relatif^ sont assez petits pour que le système ait Vapparence d'un solide géométrique. Car cette assimilation implique que le mouvement du système réel, conçu tout à coup comme solidifié, est compatible avec ses liaisons ^ectives. Le travail des forces intérieures disparaît donc, ainsi qu'on l'a démontré au n* 171. Mais si, au contraire, les mouvements relatif^ avaient des grandeurs quelconques, il ne serait pins exact de dire que le mouvement da système solidifié est compatible avec ses liaisons. Les forces d'assujettissement donneraient lien à un terme de la forme 2 IV, dt cos (I, V,) lequel s'ajouterait au demi«- terme de la relation (1) ci-dessus, pour représenter l'erreur totale qu'on commettrait, en assimilant le système à un solide géométrique, dans l'appréciation de ses forces vives réelles.

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