UES ET MOMENTS D'INERTIE. AW

distances respectives ù l'axe d'inertie, le moment d'inertie total sera égal à ;«»•'-+- mV'' + »»"r"'+..., quantité qu'un représente ordinairement par Xmr'.

i.a grandeur du moment d'inertie varie évidemment avec la position de la droite. Un conçoit des lors qu'entre cette position et la grandeur du moment correspondant il puisse y avoir des relations intéressantes à connaître. C'est justement là l'objet des théorèmes l'enfermés dans le présent chapitre.

Remarque. — Le moment d'inertie ne varie pas lorsq«e les points matériels, an lieu de conserver leurs situatiMis actuelles, tournent d'une manière quelconque autour de l'axe d'inertie, de manière à décnre des cercles perpendiculaires à cet axe. Car, tontes les distances restant alors les mêmes, les produits mr', m't^... conseiTcut leurs valeurs primitives.

Pr*|MslllMi preailArc.

175. — Le moment d'inertie d'un groupe de points matériels , par rapport ù un axe quelconque , est égal au moment d'inertie pris par rapport à un axe parallèle passant par le centre de gravité du groupe, plus le (M^oit obtenu en multipliant la masse toUle par le carré de la distance des deux axes, ou, ce qui revient au mt^me, par le carré de la distance du centre de gravité au pi-emier axe.

Plaçons l'origiiie des coordonnées au centre de gravité , et prenons pour axe des z une droite parallèle à l'axe d'inertie donné.

Soit donc OX, OY, OZ les axes de coordonnées, AB l'axe d'inertie parallèle à OZ, et M' un point matériel, de niasse m.

Le moment d'inertie du syslêmc, par rapport à A B, est égal à la somme des produits analogues à m MT'', M I étant

n,g,t,7rJM,GOOglC

APPENDlt^E. — TH&OBkifU U&OIIÊTBEQUES.

la pei-peodiciilaire abaissée sur A B. Lemomentd'inertîepftr Z B rapport à OZ est la somme

des prodoits analogues à MK', MK éunt la perpendicolaire abaissée wr OZ. U ■'agit de Taire voir que :

2m Siï' = ImW + ^ ■ + SI . KÏ* ,

M éiant la masse loule et yy P Kl ladistancedeBdeuxaies

"i- M. parallèles.

&i effet , soit #, y, r les coordonnée du point M* et ce, 6 celles du point A oà l'axe A B coupe le pUa dea «y. Ona :

Si' = PÂ' = (a: - «) ' + (y - Ê)' = aj> + y' + Jt" + S' —

2«T — 2Sy = iâlt' + ÏÛ' — 2a» — 26y , à cause de a^ + y* = Mr' , ei «' h- S* = kT • En multipliaDt par la masse m, il vient ;

Faisant la somme de toutes les relations analogues pour les divers points matériels, on obtient :

imlir = 2mM~K' + M.kT — 2(J(2iiU! — 262my.

Mais, puisque l'origine des cooi-données est au centre de gravité, les sommes Itiue, 2my sont nulles, ainsi qu'on l'a démontré an cooiineBcement du livre III. Donc, euAu, on a la relation annoncée, qu'on écrit ordinairement sous la forme:

(p) ^mr» = 2iiiR» + Ma*,

iM,Googlc

AtlS ET HOHEIin D'iNERTIB. AU

en désignant par r la distance à un axe quelconque, par R la distance à un axe pai-allète passant par le centre de grarîté, et par a la distance des denx axes.

Pour (ont autre axe d'inertie parallèle au prudent, le nouveau moment sera égal à 2mR*, qui ne change pas, pins Ma', oà a seul a cliangé.

On représente génératement la quantité XmR*, constante pour tons les axes parallèles, par M.K' ; ce qui fïit que la proposition ci-dessus est exprimée par ta relation ;

(p) 2mr' = M(;K' + a').

1* Parmi tous les moments d'inertie relatifs à des axes parallèles, celui qui est pris par rapport à l'axe passant par le centre de gravité est un minimum.

V Les moments d'inertie pris par rapport h des axes parallèles également distants du centre de gravité sont tons égaux enti-e eux.

8° La différence des moments d'inertie pour deux axe& parallèles quelconques est égale à la masse totale multipliée par la différence des carrés des distauces du centre de gravité aux deux axes.

k* Si le moment d'inertie est, comme on vient de voir, susceptible d'un minimum, il ne l'est pas d'un maximum : car en prenant l'axe sul&amment éloigné du ceutre de gravité, on peut faire croître an delà de toute limite le terqie correspondant à la distance des deux axes parallèles.

H9m«rtfu*. — Nons avons dit plus haut qu'on représentait habituellement par M.K* le moment dlnertie 2mR' par rapport à un axe quelconque. La longueur K est cntière-

n,g,t,7rJM,GOOglC

412 APPENDICE. — THËORËMES G£0M£TII1QD£S.

de voir qae si (ous les poiats malériek dn groupe coDsidéré éiaieiit distribués sur une surface cytiudriquede i-évolulion, dont l'axe serait l'nxe d'ineitie supposé et le rayou la lougueor K, leur iiiomeut d'inertie serait eiicore égal à M R* ou ^mR'. Ainsi, K est le rayon d'un cylindre de révoluUou tel que, si toute lu niasse y était répartie d'une manière quelconque, le moment d'iuerlie serait le même que pour le groupe donné. Cette longueur K a reçu quelquefois le nom de raifva de giration. Nous en verrons plus tard le motif.

Pr«p*altt«a deaxI^MC.

170. — Le moment d'inertie par rapport à un axe quelconque est égal à la somme des moments d'inertie par rapport à trois droites rectangulaires menées par un même point de cet axe, l'especUvement multipliés par le carré du cosinus de l'angle correspondant, moins les doubles sommes des rectangles interceptés sur ces droites respectivement multipliées par lesproduits descosinus correspondants, deux à deux.

Soit A B un axe dlnenie quelconque, et OX, OY, OZ trois droites rectangulaires meuées par un même point de cet axe, et faisant avec lui des angles a, €, y. Soit M un point matériel du groupe, et x, y, z les lon- , gueurs interceptées par ce point

^.^' ^ ^ sur ces trois droites comme axes

^ / de coordonnées. Représentons

' /y par L le moment d'inertie du

FI» )^^■ système par rapport à l'axe A R,

et par a, 6, c les moments dlneilie par rapport aux droites OX.OY.OZ.

n,g,t,7rJM,GOOglC

AXES ET MOMENTS n'rNEBTIi;. ùlS

Ji' dis qu'on uora :

En «ITet, le curré de la distance M I d'un point quelconque à l'axe A B a pour valeur :

ÔM* . Mn' MOI = Ôm' (l — C09' MOI) [

mais

En snbgtituant, Il vient :

Ml' = OM' — (a!C08a + yC08S + ZC0S7)*=a^+y' + 2' — — {* cos a + y cos 6 + 2 cos y)' ,

Développons le carré indiqué dans le second membre. L'équation peut alors se mettre sous la forme ;

Mi"=a^(i — cos»a) + s' (1 — coa' S) + «' (f — cos'y) —

— 2xy cos a CM S — 2a» ces a cos y — 2yz cos € ces y .

Mais on sait qu'entre les angles a, 6, y existe la relation ros'« + co6'S+coB'y=^l. Far conséquent, on peut, dans celle équation, remplacer

1 — cos'se par co8*6 + cos'y ;

1 — cos'Ê par coï'a + cos'y ;

1 — cos'y par cos'a + cos'S.

Si nous faisons la substitution et si nous mettons en facteor commun chacun des carrés des cosinus, nous obtiendrons :

Hl' =cos'a (y' + «')+C08'S (x' + 2')+cos'y [x* + y*) —

— 2a:y cos a cos € — Ixz tmaatsy — 2yî cos é cos y ,

iM,Googlc

hlh APPENDICE. — TH&Oilbll£S GÈOUëTRIQUES.

MultiplioDS par m, et faisons la somme de toutes les équations analo^es pour les divers points du système, en remarquant :

l* Que les Iroîs angles a, S, ■/ sont constants pour tous les poîDU, et que, par cooséq»ent, on peut mettre leurs cosinus hors du signe S. ;

2* Que £n>(ir*+;*) représente le moment d'inertie, pris par rapport ft la droite OX, c'est-à-dire la quantité désignée plus haut par a ; qae pareillement 2m(x'+z^) et I,m(x'+y*') représentent les quantités h clc;

On obti«it précisément la relation annoncée (c).

Cette rcbtion nous permet ainsi de trouver la valeur du moment d'inertie pour un axe quelconque passant par nn point donné, quand on connaît les moments pour trois droites quelconques passant par le même point et rectangulaires entre elles.

176 (âm). — Nons allons dëdoire de cette pK^Msitkm moe conséquence remarquable.

Concevons qu'on mène par le point autant d'axes d'inertie qu'on le voudra, et prenons sur chacun des axes une longueur ON égale à l'unité divisée par le nombre qui représenta la raàne carrée du moment d'inenie coirespondant. Tons les points N ainsi cdRenus appartiendront à la surlJKC d'un ellipsoïde dont le centre est placé an point ou as centre des moments.

En effet, soit l, ti, % les coordonnées d'un quelconque de ces points N, et L le moment d'inertie ponr l'axe correspoDdant A B.

On a d'abord :