AXES ET MOMENTS D'INERTIE

coBa = Sl/L, C08S=ïi\/L. ««y = ÇWi;.

Pour avoir le lieo des points N, il faut, entre ces trois relations ei l'équation (c) qui donne la valeur de L, éliminer les angles a, S, 7, qui varient d'un axe d'inertie à l'autre.

En fjî&ant la substitution des valeurs des cosinus dans l'équation (c), on voit que L disparaît comme facteur commun aux deux membres, et il reste entre \, fi, E; la relation suivante :

(*) l=a£"-<-frB*+cÇ*— 2Ç»i2«i*y— îKSmase — 3r,Ç2«y«-

Cette équation est celle d'une surface du second degré, dont le centre est en 0, puisque les termes du pi-emier degré manquent. H est vîuble, en outre, que cette surface ne peut être qu'un ellipsoïde : car, la valeur L étant toujours positive et finie, la longueur du rayon vecteur, égale à Tp^' ^^

elle-même réelle et finie. Donc la surface ne peut être un paraboloïde, ni un hyperboloïde à une ou deux nappes.

Nous nommerons désormais cet ellipsoïde elUptoîde een~ irai, afin de rappeler qu'il a pour centre le centre d'inertie.

Le point étant arbitrairement cboisi, on voit qu'à chaque point de l'espace correspond, pour un même système de points matériels, un ellipsoïde central différent, pour lequel les rayons vecteurs sont déterminés par les valeurs des moments d'inertie relatifs aux divers axes qui passent par ce point. Pour chacun de ces ellipsoïdes, les longueurs des droites menées du centre aux divers points de la surface nous fournissent une image très-nette des rapports de grandeur qui existent entre les moments d'inertie relatif aux différents axes qui se croisent à ce centre.

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- TBËORÈMF^ OËOHËTHIQDES.

177. — Par tout point de l'espace, on peut toujours mener trois axesd'inerlie rectangulaires tels qu'en appelant ;r, y, z les coordonnées d'un poiot matériel quelconque du système, par rapport à ces a^^es, on fasse évanouir les sommes des rectangles 2mxy, ^mxz, "S-myx.

En effet, clioisissons pour les axes en question les trois droites rectangulaires qu'on nomme en géométrie axet principaux de l'ellipsoïde représenté par l'équation (r). On sait que ces lignes jouissent de la propriété, qu'en les prenant pour axes de coordonnées de la surface, les rectangles des coordonnées de celte surface dîsparaisseal de l'équation qui la représente : c'cst-à-dirc que leurs coefficients sont séparément nuls. Mais, puisque ces axes de coordonnées de l'ellipsoïde sont supposés éu% pris aussi pour a\es de coordonnées du système, il en résulte que les coefficients des susdits rectangles dans l'équation («) deviennent précisément les quantités Imxy, Imyx, S,tHxz. Donc ces sommes sont séparément nnlles.

Ces axes géométriques principaux de l'ellipsoïde central sont nommés axei principaux (;{'in«rft>. Ils jouissent de la propriété que, si on les prend pour axes de coordonnées du système matériel, les sommes des rectangles disparaissent dans la valeur du moment d'inertie par rapport à un axe quelconque. II est d'ailleurs visible que ces axes principaux d'inertie sont les seuls qui, pour un même point de l'espace, satisfassent à cette condition, puisque, pour un même point, il n'y a qu'un seul ellipsoïde central, et que chaque ellipsoïde n'a qu'un seul système d'axes géométriques principaux.

La valeur du moment d'inertie relalifà un axe quelcon-

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AXES ET MOMENTS D'iNERTIB. &17

que sera ainsi fonction des moments d'inertie pris par rappoil aux axes pHiicipaux. Si l'on désigne ces momenu respecUvemenl par A, B, C, la valeur de L sera foiimie par la i-etaU(Hi :

(m) L = 4 cos'a + B cos'S + C cos'y ,

dans laquelle x, S, 7 rrprésentent dttsormais les angles Termes par l'axe quelconque avec les trois axes d'inenie principaux.

l'ar analogie, les moments A, B, C ont reçu le nom de titorruiiU d'inertie principaux.

Quant à l'équation de l'ellipsoïde central, elle se :timpUfie également avec ce choix de coordonnées, et prend la Tonne :

(t) AP+Br,= + CÇ' = l;

et il ne Tant pas perdre de vue que les coordonnées X, %, C soui prises actuellement par rapport aux axes priacipiux.

Contéquenee».

V Quand les (rois moments principaux sont égaux outre eux, tous les autres sont égaux aussi au moment principal. Car, si A = B=C, il en résulte L=A (co8'a+co8*6+ cos'y)=:A.

L'ellipsoïde centrât est alors uue sphère, représentée par

l'cquation P+ti'+Ç'^-t-, et dont le rayon est égal âr/'=-

3' Quand deux des moments principaux sont éganx entre eux, toutes les droites qui forment le même angle avec l'axe du moment inégal donnent lieu à des moments égaux. Car si, dans la valeur de L, on suppose A= B, il vient L = A(cos'«+cos'S) + Ccos'7=Asin'y+Ccos'y. Ij valeur de L ne dépend plus que de celle de y.

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kti APPENDKK. — TRtOltans eKMttTMQUES.

Dameeu», t'eUipsoïde central est de i^volmioB,etil y a Boe iii&aiié d'axe& priitcîpux pour an n^ne p<dnl de fespaee. Seulement tous ces qrsièHies d*axes priiicipatn ont an axe commun, qui est l'a&e du œomeiil inégal.

Pr*pMlllM qaairUMC

178. — Paimi tous les momenU dlnerlie, piîs par rapport à des axes quelconques qui se croiseat co un même point de l'espace, le plus grand et le plus petit possible sont toojours deux des moments d'inertie principasx.

La démoasiration ne peut porter sur le cas où les moneBis principaux seraient égaux : car on sait qu'alors tous les autres moments seraient aussi égaux. Supposons donc les moments principaux inégaux, et, par exemple, A >B>C. Je dis que A sera le moment maximum, entre tous les moments possibles, relatirs au même centre, et C le moment minimum.

La relation (m) du n" prdoédcnt peut s'écrire :

L = A — (A ~ B) cos'S — (A — C) cos'y.

Les deux derniers termes étant essentieltement négaliCs, d'après les hypothèses Taites sur les trois moments principaux, il en résuie L < A. Ainsi A est un maximum.

Nous ferons voir de la même manière que L est toqiours moindre que C, ou que C est un minimum. Nous n'avons qu'à écrire la relation sous la forme :

L = C + {A — C) cos'a -H (B — G) «b'É ,

dans laquelle les deux derniers termes sont c positife.

Cette propriété des moments d'inertie peut servir à démontrer qu'il D'yaqn'wi sevI système d'axes principaux.

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&!■$ ZT WMBtTS U'iffERTlE. &19

Car, s'il pouvait y en avoir deux, on répëteraN les mêmes raisonneneiits pour cbsieun d'eux, «t l'on pronverait ainsi qtt'il y a, de part et d'antre, un momeni d'inertie qui est le ptas gnmà de twn : résultat dont l'absurdité ne cesse que si ces deux moments sont égaux, c'est-à-dire si les deiin axes principaux correspondants se confondent.

Remartpu. — L» propriété du maximum et du minimum fournit un moyen algébriqne de trouver les axes principaux que nous avons déterminés par des considérations géométriqnes.

KeprenoDS , en effet , la valeur générale d'un moment d'inertie qnekoitqae, en fonction des coordonnées, et sans préMippMer les HKHnents principaux. Cette valeur trouvée au n" 176 est :

(C) L = acos'a + 6cos'o-+- ccos'y— 2c»9a cosc^mu^ — — 2cosa( cosy2nu!2 — 2cosê cos y 2 myz.

Cherchons les directimis des lignes par rapport auxquelles doit être pris le moment L, pour qne sa valeur soit nn maximum ou im mintinum. On connaîtra ces directions par ce caractère, que la valeur L ne variera pas, qnand ou fera varier très-peu dans l'équation ci-dessus les valeurs a, €, y. C'est la théorie conwie des maxima et des niinima. Différentions donc successivement, par rapport ù t>., ê, y, celle éq«Hi«n mise préalablement sons la forme .-

L (cos'a + coa'S + cos'y) = a cos'st + b cos'S + e cos'y — — 2/" cos s( cos o — 2; cos « cos y — 2A cos ê «» y,

en représentant, pour abréger, par f, g, h les sommes des rectangles. La difTéreniiatio», effectuée en regardant L comme constant, founiit les trots relations ;

(L — a)co3« + /'coBS-f-sra»y^o, /■ C08 « + [L — fr) C08 ê -H A cos y = o .

ji cos a + A cos S 4- ('■ — c) cos y = o .

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UV) APPENDICE. — TBÈOUtJifS GfJJMÉTIIIQUES.

auxquelles doivent saïUfiiire les valeurs de «, S, 7 et L qui répondeut au maximum et au inÎDiinum. On tire de là, par une élimination conveuuble, l'équation snivante, qui ne contient que L, et qui est du ti'oisième degré par rapport à cette iiicoiinne :

(2) (L-B){L-/.)(L-<:)-(l,-fl)A'-(L-fr)!,»-(L-c)/» + 2/jA = o .

L'une des trois racines donnera le maximum, l'anlre le minimum, et la troisième, qui ne peut être, cooséquemment, ni un maximnm ai on minimum, sera intermédiaire entre les deux. Chacune de ces racines correspondra à un certain système de valeurs pour les angles x,ë, y : car il srrait filcile, au moyen des relations (1), d'exprimer leur cosinus en fonction de L. Ainsi chacune des trois valeurs du moment, fournies par l'équation du troisième degré, déterminera une direction d'axe correspondante.

Remarquons qu'on pourrait supposer que les directions dont il s'agit coïncident avec les axes coordonnés, si l'on admettait dans l'équation (S) :

Car il est bien visible qu'alors cette équation serait salisfaitc en donnant à L une quelconque des trois valeurs a, h, c. Ainsi, la condition pour que trois axes de coordonnées rectangnlaii'es soient des axes principaux , est exprimée par :

2jiury=o, ^nuiz = o, Imyi = 0.

C'est justement là ce qu'on a déjà trouvé par l'autre méthode.

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