AXES ET MOMENTS D'IXEHTIE

Prftp«alll*M eln^nlèMc.

179. — Les points de l'espace pour lesquels les axes principaux d'un système sont parallèles chacun à chacno sont symétriquement placés par rapport au c^utre de gravité. Soit un point de l'espace, et OA, OB et OC les trois a^es principaux d'un système matériel, relativement à ce point.

Prenons pour axes de coordonnées trois droites GX, G¥ el GZ, parallèles au\ axes principaux, et placéesau centre de gravité du système. Soit p, q, r les coordon- Y nées du point 0, et x, y, z celles d'un point quelconque M du système. Les coordonnées , par rap- ~X port aux axes piincipaux, seront x—p,y—q,z—r.

Les conditions qui expriment que les axes OA, OB el OC sont principaux , sont , comme on sait , les suivantes :

Développons ei mettons en dehors du signe £ les quantités p, q, r, qui sont les mêmes pour tous les points. Soit d'ailleurs M la masse totale du système. Les relations ci-dessus deviendront :

jMpç + 2fnxy — qXmx — pimy = ,

(1) {m pr+ 'S.mxz — r'Si^nx — p1\m = o,

(Hl^r-f- 2my£ — r^my — y 2 nu =^0.

433 ÂPPElfDlCE. — TH£0K1UI£S fi&MIÉrtlQCES.

Mais, puisque G est au oentre de gravité, lea quantités Simx, Imy, Imz sont séparément nulles. Ces équations se réduisent donc aux «iiivMitefl :

tip<}'t-2mxt/ = o, Mpr + 2nu:z^o, fA)fr-i-^tHy=o,

Aura lesquelles la masse totale et les sommes des rectangles sont eatiireroeniiadépcadun tes de la position du point 0. Oa ■e pevt éridemment y satisfaire que par les valeui^ actuelles dep, g, r, ou par des valeurs égales et de signes contraires, dont les produits deux à deux, serout les mêmes.

Donc, les deux systèmes d'a\es principauji. parallèles sont relatife à deux points de l'espace tels que la droite qai les }oiiit est divisée en deux parties égales par le centre de gravité.

Pr«>f«rftUa sixième.

180. — Si, par un point quelconque pris sur l'un des axes principaux relatifs au centre de gravité, on mène deux droites parallèles aux deux autres axes, ces deux droites, avec le premier axe choisi, constitueront un système d'axes principaux relatifs au point considéré.

Reprenons, en effet, les relations (1) du numéro précé-. dent, qui expriment tes conditions des axes principaux pour un point quelconque de t'espace.

Dans le cas oii les axes de coordonnées GX,GY etGZ sont les 3XPS d'inertie principaux relatifs au centre de gravité G, les sommes des rectangles, Imxy, Imsez, Imj/x, sont séparément nulles. En sorte que les relations (1) se réduisent k celles^ :

Mpfcso, Mpr = o, H^t=BO,

n,g,t,7rJM,GOOglC

AXU ET )IOM£.%TS d'inERTIE. kil

lesquelles sont ideatiqiieiiient satisfaites, pourvu qoe deux (le« trois qaantilés py q, r, vùtax nulles à la fois, c'est-àdire pourvu qu« le poiot soit piis eui* I'ud des «es principaux. — Il est d'aillMin viubie que cette Mndition, qai est Buffisanlef est en même temps nécessaire.

' 18t. — Lorsque deux des momeats d'inertie principaux, relatifs au centre de gravité, sont égaux entre eux et moindres que le troisième, il y a toujours dans l'espace deux points pour lesquels les trois moments principaux sont égaux entre eux. Ces deux points sont d'ailleurs situés sur l'axe principal correspondant au moment inégal, et à égale distance, d'un odié et de l'autre, de ce centre de gnvUé.

Pour le démontrer, je dis en premier tieu que tout poîM pour lequel les trois moments d'inertie |Hincipaux mM égaux est nécessairement placé sur l'un des axes principtsK relatife au centre de gravité. En effet, on peut, par le point en question, mener trois droites parallèles aux axes principaux du centre ; mais ces droites seront elles-mêmes des bxm principaux pour le point où on les a menées : car, les trois moments d'inertie principaux ayant été supposés égaux ea ce point, il en résulte que toute ligne qui y passe eu ua axt principal. Ainsi, nous voyons d'abord que les trois droites menées par le point parallèlement aux axes principaux dM centre de gravité sont elles-mêmes des axes principanx relatifs à ce point. D'un autre côté, le parallélisme de ces axM principaux avec ceux du centre implique, d'après la proposition précédente, que le point est situé sur l'un des axes relatifs au centre.

£n second lien, je dis que, si les trois moments d'inertie sont égaux pour le point dont nous parlons, il y en aura né-

kih \PPENDICE. — THÉORËHES GÉOMÉTRIQUES.

cessairemeut deux égaux aussi pour le centre de gravité. Eu effet, soit A, B, C les iDoineiits principaux du eestre. Remarquons que le point donné est sur l'un des axes principaux du centre, surt'axe relatif au moment A, par exemple. Par conséquent, si A' est la valeur commune des trois moments pour ce point, on a tout d'nbord A'=^A. Mais, ou outre, si l'on désigne par p la distance du point au cenlm de gravité, on voit qu'en venu des relations existant enu-e les moments pris pour des axes parall^es ( n' 175 ) on peut écrire :

A'=A = B + M;>*, A'= A = C + SIp'; d'oîi résulte :

On voit donc que, dans le cas où deux moments sont éganx et moindres que le troisième, il existe sur t'axe de ce troisième deux points symétriquement placés par i-apport nu centre dtj gravité, pour lesquels les trois moments principaux sont égaux.

Cette proposition pouiTait éirc formulée d'une autre manière, en disant qu'il y a deux points de l'espace dont l'ellipsoïde centrai se réduit à une sphère, lorsque l'dlipsoîdc central relatif au centre de gnivité est de révolution autour de son plus petit axe.

Coniéquenee. — Si les trois moments principaux du centre sont égaux, la valeur ci-dessos de p est nulle, et, par suite, les deux points en question se réduisent à un seul, qui n'est autre que le centre de gravité lui-même.

n,g,t,7rJM,GOOglC