RECHERME DES CENTRES DE GRAVITÉ ET DKS MOMENTS

D1NEBT1E DES SYSTEMES A POINTS HATÉRIELS

TRfiS-RAPPROCHËS.

ISa.— Nou&avoDs dëjji indiqué, ail n* 1S6, comment on procédait théoriquement pour ifouver le (^nire de gravité d'uu nombre quelconque de points matériels. La méthode générale consiste it former pour chaque point le produit analogue à mx, et h diviser ensuite la somme de tous ces produits par la masse totale, pour avoir la distance du centre de gravité au plan par rapport auquel les distances x sont évaluées. On peut aussi ramener la recherche à celle de deux points matériels seulement, en commençant par déterminer le centre de deux points, puis le centre d'uh troisième avec les deux premiers réunis à leur centre ; et ainsi de suite.

On procède d'une manière analogue pour les moments d'inertie. On forme tous les produits mr*, r désignant la distance de chaque point à l'axe d'inertie. La somme de ces quantités donne la valeur du moment total par rapport h cet axe.

Mais il est visible que cette méthode, tantpour les centres de gravité que pour les moments d'inertie, toujours sufll-

f|26 APPE^UICE. — TBf»BËMES CÈ0UËTRKH''e5.

santc en théorie, e&l véi-ilablement illusoire en pratique. Ciir, dans les cas réels qu'on est amené à considérer, on im' connaît ni le nombre des points matériels ni leur situation exacte. Ils écliappent, en effet, par leurs faibles dimensioDS, à toute investigation directe. Le procédé ne serait applicable qu'à des corps finis, envisagés séparémenl comme des points matériels par rapport à l'ensemble du système qu'ils constituent, et pour chacun desquels on connaîtrait déjà le centre de gravité ou le moment dlnertie, suivant les cas. Ces corps étant, en effet, en noiiU>re très-limité dans an même système, et leur position étant nettement discernable, on pourrait, au moyeu de ta mëliiode générale, trouver le centre de gravité ou le moment d'inertie de l'ensemble. Mais ce n'est là, comme on voit, qu'uu accessoire qui nécessite la connaissance préalable relative à chacun de ces corps isolément, pour lequel le procédé génénd est totilemeat ijiapplicable.

Celle diOlcullé disparaît pour tous les corps théoriques conçus comme absolument amtintu, c'est-à-dire dans lesquels on supposerait que la matière s'étend sans aucune tféparatioD, sans aucuns vides on pores interposés entre les parties matérieltes. La question est alors ramenée à de pures recherches de calcul intégral, comme nous le bkhitrerons amplement par la suite. Il est donc très-flitorel d'examiner si l'on ne pourrait pis utiliser ces résultats piwr lescoi^s réels, qui sont tous tlitt>»ntitMt ou constitués en systèmes dynamiques dans lesquels les points matérids se trouvent toujours séparés les uns des autres. Les distances qui existent entre eux sont d'ailleurs, dans tous les cas, extréloement petites, ce qui ne veut pas dire qu'elles sont négUgesbles par rappoit aux dimensions des particules : on admet au contraire qu'elles sont du même ordre ; seulemant les unes et les autres sont très-faibles devant les i^mensiODS totales du système.

SYSTkliE6 A fOlnrS l'KtS'-RAPPKOCBÉS. hH

L'analysfi a établi crue vérité bteo importaate, que Iw ceuire» de gravité et les moments d'inertie peuvent, dans le* corps réels, eue rechercliés par les mêmes procédés de calcul intégral que dans les corps continus actifs. C'est ce que nous allons démontrer, au moyen d'une proposition plus générale, qui convient non^eulement aux centres de graiité c* aa\. moments d'inei'tie, mais encore à toute recherche dnas laquelle on est amené à faire une aomme de termes obten» en multipliant la masse de chaque point matériel par ne certaine ToncUon de ses coordonnées.

1&3. — Lorsqu'un système est formé de p<nnts matériels irès-rapprochés, on peut le traiter comme un corps ab c téii ment plein, dans toutes les questions où l'on a à considérer les pi-oduits des masses des points par certaines fonctions de leurs coordonnées respectives.

£a effet, supposons un corps absolument plein, et concevons-le décomposé en un certain nombre de volumes v, v', v"... Soit p, p',p"...la densité moyenne dans chacun de ces' volumes : les masses seront respectivement égales à pv, p'r', pV...

Acuiellement, imaginons que chacune de ces parties soit remplacée par un point matériel de même masse qu'elle et placé à son centre de gi-avité : l'ensemble de tous ces pointa matériels constituera un système dans lequel les vides seront en rapport des dimensions de ces volumes r,e',e"...

Soit U use certaine fonction des coordonnées d*un potM quelconque du corps.

Pour la solution d'une qnestion telle que la recherche da centre de gravité, du mcnaent d'inertie, on ponr toute autre analogue, on sera conduit, dans le système composé des points matériels pr, ^oV, pV',.,. à effectuer une somme de

â2S APPENDICE. — TDËOHKHES GÊOUtTMQUBS.

termes IpvV, dans laquelle p, t> et II varieront de valeur d'un point matériel à l'autre.

La même question, relative au corps absolument plein,

conduira à effeciuer une iniégrale / pdtj, U , étendue à tout

le volume du corps, et dans laquelle [i et U varieront, nonseulement d'une partie à l'autre, comme dans le système, mais aussi d'un point géométrique à l'antre dans une même partie.

La différence entre l'intégrale / pc/rU et la somme £prU

représente l'erreur commise en considérant le système comme uu corps plein. Il s'agit de montrer que cette erreur est négligeable, lorsque les points matériels du système sont trèfr-rapprocliés.

Lintégrale / fUf/c est égale à l'intégrale définie, prise

entre les limites correspondant à la première partie, plus l'intégrale prise de même pour la seconde partie, pins celle de la troisième; et ainsi de suite pour chaque partie.

Pour une partie quelconque, soit U, la valeur de la fonction U quand les coordonnées y sont celles du centre de gravité de cette partie. Dans toute l'étendue d'une même partie, on peut toujours développer U suivant une série de termes U,-|-a« + ëw' +.... on a représente une certaine foDCtion, au premier degré, des différences qui existent entre les coordonnées du centre de gravité et celles da point considéré, S une fonction, au second degré, des mêmes différences...; u, u'...,des fonctions des coordonnées elles-mêmes du centre de gravité. Si nous négligeons les termes affectés des différences au second degré, vu leur petitesse par rapport 6 ceux du premier degré , l'ini^grale

j pVrfjî, étendue h la partie coosidérée, sera égale i

rmn-n-.;GoOg\c

BYSTËUES A POINTS TIlËS-tlAPPKOCHËS.

fiuU, + / pcttu/e.

Le terme analt^iie de la somme relative au système des poiuls matériels sera simplement :

La quantité f ^xudvesi donc i'expi-cssioii de l'erreur commise, en ce qui concerne lu partie v. Cette erreur sera évidemment accrue si l'on donne te même signe h x, daus toute l'étendue de la partie, et si, eu outre, on lui atu-ibue censtaroment la plus grande valeur x^ qu'elle puisse y atteindre.

L'erreur exacte est donc moindre que f pix,adi> ou que «, / pudv.

Llntégrale / pudr est d'ailleurs elle-même une quantité

de la forme ^Ut, u, éunt une certaine valeur moyenoe de la fonction u dans toute l'élendne de la partie. De sorte que, finalement, l'erreur susdite est moindre que

Eu raisomiaut pour les autres parties comme uonsvenous de le faire pour l'une quelconque d'entre elles, ou voit que l'erreur totale commise dans l'assimilatioD du systèntc avec le corps plein sera moindre que :

«,ppw, -I- «j'p'o'u; -l- a.';fv"u'; + ....;

somme de termes qui sera évidemment moindre que celle qu'on obtiendrait en y douuaut paitout à a, et à u, les plus

4S0 APPKRDICE. — THËORÈMES GË0H£TIIIQIIE9.

grandes valeurs «,<" et u/"' qu'elles y reçoivent effectivement. Or l'on aurait ainsi :

.«;"'wi"'{pp -+- pV + p"o" + ) ,

en représentant par M la masse totale du corps ou du système.

Mais M est une quantité finie : de même u/"' est nécessairement fini, puisque c'est une certaine valeur qu'acquien la Touction u, qui est toujours finie. Au contraire, a,^"' qui est une foDCliou au premier degré, des diOerences qui existent entre les coordonnées de deux points d'une même partie, peut avoir une valeur indéfiniment décroissante, si les parties sont prises de plus en plus petites.

Ainsi, quand on rraite un corps plein comme un corps disconliiiu, on commet une erreur dont la graudeur dépend des dimensions des parties entre lesquelles on le conçoit séparé; et réciproquement, si l'on traite un corps discontiuD comme un corps plein, ou commet une erreur qui dépend des dimensions des parties renfermant de la matièret qu'on peut considérer dans ce corps. D'où il suit que le degré d'approximation est marqué par les dimensions an- dessous desquelles les parties r-tsblies dans le corps cesseraient de contenir de la matière. En d'autres termes, l'approximation dépend de l'espacement réel qui existe entre les points matériels dn système.

Dans les corps naturels soit liquides, soit solides, etc., l'espacement des points matériels parait être extrêmement faible, par rapport aux dimensions des corps eux- mêmes. U y aura donc lieu d'appliquer à la recberche de leurs centres de gravité et de leurs moments d'inertie les procédés de calcul intégral dont nous nous serons servis pour les corps pleins.

Xemarqve. — La démonstration repose snr ce qne la

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SYSTEMES A POINTS TKfcS-nAPPROCHfeS. AS1

vateui- de u, en passait t d'un point à un autre de la même partie, est toujours finie. Cela signifie que les variatioDS de U, pour d'assez faibles variations des coordonnées, ne sont jamais très-grandes. Il pourrait ; avoir telles ronctions des coordonnées pour lesquelles cela n'eàt pas lieuj mais ces TonctioDS ne sont éTidemment pas du genre de celles qui correspondent aux questions que nous avons en vue, lesquelles se réduisent à la masse multipliée par certaines poissa Hces des coordonnées.

Reebereh* 4*» ttwArt» 4« gravllé.

1 %!t. — C«rps mUêma. — Concevons qu'on décompose le volante du corps en une infinité de petits parallélipipèdes rectangles obtenus en Taisant passer une infinité de plans parallèles aux trois plans coordonnés.

La densité du corps sera généralement variable d'un point à l'antre, et soit p cette densité qnî est une fonction des coordonnées. La masse d'un des petits parallélïpipèdes ainsi formés sera exprimée par ^dxdydz, en représentant par dx, dy, dz, ses trois dimensions inftniment petites. Le moment de cette masse par rapport aux trois plaus coordonnés sera : x(idxdydz,pour \ep\Aaàesyz,ypdxdt/ dz pour le plan des xx , tl zpdx dy dz pour le plan des xy.

Les intégrales de ces irois quantités, étendues au corps tout entier, et prises par conséquent dans les trois sens, rcprésenterMit les sonmies, i la limite, des moments de toutes les parlwvles matérielles iaUniment petites, entre lesquelles on peut concevoir le corps décomposé. En divisant ce» imégralcs définies par la masse toule du corps, on obtiendra les dislances da centre de gravité aux trois plans coordonnés, c'est-à-dire les coordonnées de ce ceiiti'e. Elles seiswt donc fournies par les trois relatimis snivantes ;

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APPENDICE. — TRÊORtMES GÊOHÊTBIQUES.

Mr, i= I i f çxdxdydz,

>l2, = C"f"r'f,zdxdsdz î

dans lesquelles x„ et x, , y^ et y, , z„ cl z, , désigucnt respectivement les limites, dans les trois sens, entre tesquelics doivent (ttrc étendues les triples intégrales définies, pour comprendre la niasse entière du corps donné. Ce sont les mêmes intégrations que celles qn'on a vues en géométiie pour trouver le volume d'un corps. Les quaniilés à intégrer diffèrent d'ailleurs en ce qu'ici elles contiennent de plus p et x, on p et y, ou p et z, dont l'une est relative h la densité et exprime par conséquent qu'on s'occupe de la masse au lieu du volume, et dont l'autre exprime qu'il s'agit du moment par rapport aux plans coordonnés.

Quant à la masse totale M, qui figure dans les i-elations précédentes, on peut suf^ser ou qu'elle est connue a priori, ou qu'elle résulte de la connaissance de la densité et du volume. Dans ce dernier cas, sa valeur est évidemment exprimée par :

'■-JJ,../,. f^"»""

Lorsque le corps considéré est du nombre de ceux qu*un nomme homogènes, c'est-à-dire lorsque la densité est consunte dans toute son étendue, les relations précédentes se simplifient, parce que p peut sortir de sous les signes / . Si l'on représente abréviativement par V le volume total du corps, qui est égal à / '/ 7 'dxdydz, on a

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RYSikUES A POINTS TRÈS- RAPPROCHES.

xdxdydz, ydxdi/dz ,

yz, =f''r''(''zdxdydz.

I^ méthode que nous venons de présenter est absolanwnt f^éncrale, pour tous les corps ou anins quelconques de matière dans lesquels tes particules sont siifllsamment rapprochées. La déteimlnalion du centre de gravité ne dépendra que de la connaissance de la loi suivant laquelle varie Li densité, et de la connaissance des limites entre lesquelles devront être prises les intégrales ci-dessus, limites qui sei-ont évidemment Toiimies par la Torme du la surface dn corps. Quant à l'état physique du corps, solide, liquide on autre , il n'a aucune influence sur la position dn centre de gravité.

On ne devra pas perdre de vue que, d'après les propositions démoutrées au commencement du livre III, la recherche pourra, dans bit^n des cas, être abrégée, lorsque la configuration du corps décèlera immédiatement un ou plusieui's plans moyens, dans lesquels, par conséquent, le centre devra se trouver.

i&b. — Avant de poursuivre nous parlerons de ce qu'on nomme centre» de gravite dei turfacet ou des ligne», dont la connaissance Tacilite beaucoup celle des centres de gravité des volumes.

Quelques explications sont néce^aïres à cet égard. On ne se rend pas bien compte, en effet, de ce que peut être le centre d'une ligne ou d'une surface, puisque, d'après leur définition géométrique, ces objets sont immatériels, et que, conséqucmmeni, la notion du centre de gravite, invinciblement )i('>e à celle de masse, n'a plus aucun sens immédiat.

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&34 APPENDICE. — TnEORkUES GÉOMÉTRIQUES.

Voici ce qu'on doit entendre par de semblables expressions : Le centre de gravité d'vne »ur face n'est auire que celui d'un solide iuûnimenl mince comprisentre la surrace donnée et une auire égale et parallèle qui en serait inflninient voisine. La question se trouve donc ramcni'c à celle des solides euxtnëmcs, et on la résoudra par des intégrations semblables, mais plus simples en ce i|u'elles ne seront étendues qu'à deux sens au lieu de l'être ù trois. Los relations s'établissent d'ailleurs sans la moindre difliculté. Eu cRel, soit e l'épaisseur infiniment petite du corps superficiel, ^ la densité constante. Si l'on décompose la surface en cléments par une série de plans infiniment rapprochés, parallèles à deux des plans coordonnés, ceux des xz cl des i/z, par exemple, l'aire de chacun de ces éléments sera exprimée, comme on l'a tu en géométrie, i^xr dzdy l^l + p'+ç', où/> et 9 désignent les dérivées partielles de : par rapport à ;r et par rapport à y dans l'équation de la surface z^/'(j', y)- La masse comprise sous l'élément superficiel considéré, qui a pour épaisseur t , sera égale à pE dx dy 1^1 +;>' + 1/' ; et son moment par rapport à chacun des trois plans coordonnés s'obtiendra en multipliant cette expression successivement par X, y et z. La masse totale sera égale à l'aire totale multipliée par pe : soit A celte aire, x, y, z les coordonnées du centre de gravité, on aura, en ciTaçani pc commun aux deux membres :

Ax, = j j xdxdy V^l-H-p'+ ç' , Ay,=jJ'J 'ydxdy\/i+p*-i-g\

A z, =j^'y'z dx dy ^T+yrV' ■

Quant à l'aire A, on peut supposeï* ou qu'elle est coDOue

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SySTkHES A POINTS TRÈS- RAPPROCHES. 435

à priori ou qu'elle résulte de l'équation de la surface ; dans ce deruicr cas, la formule qui l'exprime est, comme on sait :

A =jjj^'<te dy yi + p'+q' .

Disons maintenant quelques mots des eentret de gratit4 de» ligtiei.

On arrive à cette conception d'une manière tout à ftït analogue, en imagînaDt que le corps soit uoa-seulemeDt compris entre deux surfaces infiniment voisines, mais même qu'il se réduise ii un simple filet obtenu en faisant passer deux nouvelles surfaces, également très-voisines et normales aux précédentes. On fait alors abstraction de deux dimensions du corps, et, en raisonnant comme précédemment, on voit que les formules qui détenninent les coordonnées du centi'e de gravite sont les suivantes :

Lx,=l 'xds=l 'x \/dx^ + rfy' + riz' ,

L y, = r*'y '/•' =/*'y V'dx^ + dy-'+dt' ,

L z, = r'z ds = r'z Vdx'+dy'+dz* ;

dans lesquelles L , qui représente la longueur totale de la ligne, est fourni par la relation :

L = / 'ds = l Vrf-r' + rfj/' + rfî'-

Les différentielles dy et dz sont, bien entendu, connues en fonction de dx, puisque, d'après les équations de la ligne, ou doit avoir y^^fi^), a'=cf(ar).

Lorsque la surface ou la ligne considérée sera conte-

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636 APrENnU:E. — mËORBMES GËOMË^rBICjUES.

nue dnns un plan, lu rccliorcbe prccMonle se réduira à délcrmincr soitlenient deux coordoiinéos; fjir il esi bien ('■vidoiil qu'aloi's le ccnire de gi'avilé sera situe dans [c pl;iii.

Oii se rend compte aisément de ce que la connaissance du ceiitm des sui-faces, par exemple, peut aider jt celle des volumes. C'est ce qui arrive notamment pour tous les volumes prismatiques. Car il est visible que le plan paralli-lc aux arêtes et passant par le centre de t;i~aviié du poly|;oii(> de la base est un plan moyen du solide. Il est donc utile de savoir déterminer d'abord le centre de cette base.

Nous résoudrons les problèmes particuliers sur les cen- Ircs dans l'ordre suivant : 1* centres de gravité des lignes; 2* centres des surfaces; 3° centres des volumes. Nous emploierons, suivant les cas, soit la méthode gén«rale, soit des procédés géométriques directs.

■"rvM^MCB ^rlIcNlier*.