CcHlr» de gravUé de fNel<|KH HfïBe» »fé
elalc». — Ligne droite. — Il est évidenl que le centre de
gravité d'une droite est en sou milieu. "
Ligne briiêe formant un triangle. — Soit ABC le
triangle. Les centres de gravilii
des li'ois côtés sont respectivement
en D, E, F, milieux de ces mémos
côuis. En chacun des centres on
peut concevoir un point matériel,
de masse propotitonnellc au c6té
, I. - correspondant: il ne reste plus qu'à
^ - \ chercher le centre de gravité de
" !■' C ces trois masses. Soit H le centre
"'''■ ^ de gravité des deux masses K et F.
Le centre de gravité déAnitirsera nécessairement sur la ligne
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SYSTÈHtS A POINTS ÏRt» RAPPROCHÉS. 637
1)11. Or, lu pointu itivîsaiitlii ligne ET d'itiic iimiiici-c iiivrrseniciil proportion 11 elle aux deux masses E et F, (;t eellesH;! clant elIcs-mAmes proporlionnellrs anx deux cillosAC et It(', on unra :
Fil AC __ AK m-' liH ~ BC ~ BF ~ l)K '
donc la ligne l> Il est la bissectrice de l'angle E D ¥. Un démontrerait de même que le centre de gravité cberchéestsur la bissectrice des deux autres nngles DE F et DFE : donc il est au point de reneonlre de ces trois bissectrices. Mais il est à remarquer que ce point de rencontre est en même temps le centre du cercte inscril au (rianglc EDF. On petit donc dite que le centre de gravité d*iiii contour Irianguluire A BO est le ceiitiv du cercle inscrit an triangle qu'où forme eu joignant les milieux des côtés du premier.
Ligne briiée polygonale. — On clierclie sans dîflleulté le centre de gravité des deux premiers edtés , puis le centre de gravité du point matériel ainsi obtenu avec le troisième cAté, puis avec le quatrième j et ainsi de suite.
^irc de cercle. — Soit
ABC l'arc de cercle. Preaous
pour axes de cooi-doonées
- deux droites rectangulaires
menées par le centre, et dont
l'une OX conpe l'arc en son
Fig. M. ^ milieu. Le centre de gravité
sera, à cause de la symétrie, situé sur la ligne OX : il ne
reste plus qu'à trouver sa distance au centre. Soit «, cette
distance. La formule générale à employer est
Les deux limites de l'îniégrale sont ici les mêmes, puisqne
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APPENDICE. — TIlÉOBfeMES GÉOMÉTRIQUES.
les points exlrômes C et A ont la même abscisse OD, qoe je représenle par a.
L'équutiOD du cercle i-appoi'ié à de paivils axes de coor-
i -.--i^-^i f^t, par suite.
données étant y' + a;*=»^, (
Donc l'intégrale indéfinie est égale
r rxdx
, on bien
àrV r' — x^.
Pi'enons l'intégrale définie; ce qui se fuit en remplaçant .r par a, et relrancliaiit la première quantité de la seconde. Cette soustraction se change en addition, puisque y est négatif pour la partie au-dessous A B, d'où résulte le changcmeiil de digne du radical. Il faut en définitive doubler le résultat; ce qui donne :
hx, == iryr^ — a' , dou a:, = — V'' — «= 7- î en désignant par e la corde, égale à 2 V^r* — a'.
La dislance cherchée du cpntre de gravité au centre dD cercle est donc une quatrième proportionnelle au rayon, à la corde et à l'arc rectifié.
187. — Centres de gnivllë de ^Hel^nes BarfaeeK KpéeUles. — Triangle. —Soit ABC le triangle. Concevons-le décomposé en une infinité de bandes infiniment petites , au moyen de la série de lignes ik , t'*'... pai-allèlesà BC Chacone de ces petites bandes a évidemment son centre do gravite en so!i milieu. Par conscquonl, le centre de gi-avitê de leur ensemble ou de la surface du triangle ABC sera situé (jnelque
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SYSTÈMES A POINTS TBtS-RAPPlIOCRÈS. Ui9
part sur lu ligne AD, menée du sommet A au milieu de la btsfl BC. Un d<^montrerail de lu même mauière qu'il est situé sur les deuN autres lignes menées des sommets B et C aux milieux des cdtés opposés. Donc ce ceiitrc est au point de rencontredes trois médianes, ou, ce qui rcvieutau même, sur l'une des médianes, et au tiei's de sa longueur à partir de la base.
Il est ik remarquer qu'on arriverait au même résultat, si, au lieu du triangle ABC, ou avait trois points matériels égaux, respectivement placés aux trois sommets. Car le ceuii-e de gravité des deux premiers B et C serait évidemment au milieu de la ligne BC qui les joint; et le centre de ces deux premiers avec le troisième serait quelque part sur la ligne AD.
Polygone. — Un polygone pourra se décomposer en triangles, et l'ien n'empécbera de trouver, par la méthode précédente, le centre de gravité de chaque triangle; puis on cherchera le centre final de tous les centres partiels ainsi obtenus.
Paraîtélo^ramme. — Si on a le parallélogramme A B D C, il suffit de le décomposer en deux triangles par la diagonale ^B BC. Le centre de gravité de chacun de ces triangles sera sur la ligne qui joint le sommet A ou D au milieu de la base , c'est-à-dire sur Fig. Aî. la deuxième diagonale AU.
Mais ces deux triangles étant symétriques , leui-s centres seront à égale distance du point I, et, par suite, le centre de gravité final sera en ce point I lui-mt^me, c'esi-à-dire à l'inter&ection des deux dragonates.
Trapèze. — Soit le trapèie ABC. Le raisoniicnient présenté ci-dessus pour le triangle prouverait d'abord que le centre de gravité est quelque part sur la lii;nc L F qui joint
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â&O APPENDICE. — THËOIltJdES CÈOMÈTRIOtES.
jfis milieax des deux côlûs parallèles. Si l'on veut ensuite . -D - d^teriniDer le pointpréds G où
il se trouve sur cette ligne, il suffit de prendre les centres g et fj' dfîs deux triangles A DB, CDB, dans lesquels le ^trapèze ^"f est divisé. Le centre de gi-avité F'ï. w. Qnal devantêtre sop la ligne gg'
est nécessaipcment au point G, întppscctioii àegg' avec EF, Il est fucile d'avoir le rapport des deux longncnrs EG. FG. En effet, les deux triangles ayant même hauteur sont ppoportjoniiels ù leurs bases  B, C D ; et le trapèze, qui en est la somme, sera proportionnel à la somme de ces bases. Esprimous que, d'après les propriétés connues du centre de gravité, le moment du irapc ze est égal à la somme des moments des deux inangles par rapport an plan mené suivant A B, perpeniliculaïrement à la Agui'e ; et de même par ra[^ri au plan mené suivant CD perpendiculairement ù la figure. Soit k la hauteur du trapèze et x et x les dislances du point G aux deux bases. Les distances de g et de g' à la base
A B seront respectivement égales à - hcljh;de même les
distances de g et de g' à CD seront respectivement égales à
T A et T Ji- Par conséquent, les relations des moments dont
il s'agit pourront s'écrire :
d'oïl, en divisant membre à membre :
