CHAPITRE PREMIER

1. — Mouvement, espace, temps. On dit qu'un corps est en mouvement^ lorsque sa position dans l'espace varie avec le temps.

Nous faisons intervenir ici deux notions, celle ^^Vespace et celle du temps, que nous supposons déjà acquises par l'esprit, préalablement à toute étude de la mécanique.

Ces notions sont en effet indépendantes de celle science, et conçues par nous en dehors des phénomènes spéciaux du mouvement.

Cela est évident pour la notion de l'espace, puisqu'elle sert de base à toute la géométrie.

6 LhRE 1. — .NOTIONS FONDAMENTALES.

Il ireii est pîis de même au premier abord de celle du temps, qui ifiiiU rvieiil pas dans nos diverses sciences rationiielles, el qui paraît faire en mécanique sa première apparition. La vicieuse confusion dans laquelle nous tombons souvent à cet ('•gard, el qui nous fait regarder la notion du temps conmie subordonnée aux phénomènes mécaniques, lient exclusivement à la manière dont nous évaluons ^ra/»qitemeni les durées égales. Pour ne parler que du mode astronomique, par exemple, il semble que nous faisons une pétition de principes, quand nous nommons temps égaux les temps employés par une même étoile pour repasser successivement par le même méridien (jour sidéral) ; car, d'un autre côté, si nous demandons quel est le mouvement d'une étoile autour de nous, nous sommes tentés de répondre que c'est un mouvement circulaire, dans lequel chaque tour s'effectue au bout du mémo temps. Les deux questions se résoudraient ainsi Tune par l'autre, ('etlo inconséquence n'est qu'apparente, car c'est ailleurs que dans les lois mécaniques que nous puisons la notion du temps et une première évaluation des temps égaux. En effet, la notion du temps est beaucoup plus générale que les plninomènes du mouvement eux-mêmes. Elle se rattache à la succession des phénomènes de toute nature. Ainsi un corps qui changerait de couleur, d'éclat ou de température , la suite de nos propres opérations psychologiques , nous suggéreraient la notion du temps aussi bien que le changement de position d'un corps dans l'espace. Quant aux durées égales, elles sont conçues par nous comme correspondant à l'accomplissement de phénomènes identiques. Nous pouvons avoir plus ou moins de difficultés, dans la pratique, à constater l'identité parfaite des phénomènes, et, par suite, à mesurer exactement des durées égales : mais la conception n'en a pas moins lieu par l'esprit, et cela suffit au point de vue philosophique. Car tout consistera ensuite à obtenir une

nF:?IMTIONS ET AXIOMF.5. i>

rigueur de plus eu plus graudc daus la mesure du temps, par inu; élude de plus eu plus approfondie de toutes les eirconsiances qui président à raeeomplissemenl des phénomènes que Ton compare. On aperçoit la multitude de moyens, théoriquement possibles, qui s'offrent ù nous pour r('»valuation du temps. On pourrait, par exemple, remplir un vase d'eau à la même hauteur et le laisser ensuite se vider par un orifice inférieur. L'expérience, renouvelée plusieurs fois avec de suffisantes précautions, nous permettrait de regarder comme égaux les temps employés par le vase pour se vider entièrement. C'est même de cette manière, avec des appareils construits à ce point de vue (clepsydres), que les anciens ont commencé à mesurer le temps. Les durées ainsi reconnues servaient de terme de comparaison à toutes les autres. On sent déjà (jue de semblables procédés ont pu, à leur tour, conduire à d'autres plus parfaits, empruntés aux lois mécaniques, mais desquels il eiit été radicalement impossible de se servir, si Ton n'avait eu ])réalablement et en dehors de ces luis une première évaluation suffisamment exacte. Pour reprendre, par exemple, le fait astronomique que nous citions tout à l'heure, on a pu, par plusieurs comparaisons entre l'écoulement d'un vase et les passages successifs d'une même étoile au méridien, constater que la durée entre ces passages correspondait très-sensiblement à l'écoulement de la même quantité d'eau, et que la cgnstance du rapport était d'autant plus complète que les expériences étaient conduites avec plus de soin. Les très-légères anomalies qui se manifestaient encore furent mises sur le compte de notre propre inhabileté, et l'on conclut que chaque tour de l'étoile devait avoir lieu rigoureusement dans le même temps. On eut dès lors un nouveau mode d'évaluation beaucoup plus exact, mais qui, nous le répétons, impliquait nécessairement qu'une première mesure eût déjà eu lieu.

Il est (lotir hirii eiileiidii (|iie la mécanique accepte comme idées ac(jnises les notions (Fespace et de temps.

î?. — Trajectoire. Lorsqu'un corps se meut dans l'espace, le mouvement de ses différents points peut n'être pas exact(*inent le même: c'est ce qui arriverait notamment si le eorj>s, à inesunî (ju'il avance, pirouettait sur lui-même. Il est visible (|u'alors le mouvemenrd'un point arbitrairement (îboisi varierait avec la position géométrique de ce point dans 1(* corps. Ainsi, pour une sphère qui progresserait dans r(?Hpa(î(^ (^n même temps qu'elle pivoterait autour de son (î(^iitr(», l(» mouveim^nt d(^ ce c(»ntre différerait de celui d'un point (|uel<!(>n(|ue d(^ la surface. Le mouvement d'un corps peut donc êtni très-complexe, et sa connaissance complète implicpie celle du mouvement particulier de chacun de ses points.

Quoi qu'il en soit, et chaque point ayant son mouvement propre, si l'on considère \\\\ quelconque d'entre eux, et qu'on l(î suive dans l'espace, sans se préoccuper des points voisins, l'ensemble des positions successives qu'il occupera, reliées par un trait idéal, constituera une ligne géométrique continue. Cette ligne, qui peut d'ailleurs affecter les formes les plus divcîrses, est la représentation graphique du mouvement du point. On la nomme trajectoire^ pour indiquer que le point la suit dans son trajet.

Le mouvement du point reçoit le nom correspondant à la nature géométrique de la trajectoire. Ainsi l'on a des mouvements rectif ignés j circulaires ^ elliptiques , paraboliques , etc. , selon que les trajectoires sont des lignes droites, des cercles, des ellipses, des paraboles, etc.

3. — Mouvement uniforme, vitesse. Si le mouvement d'un point s'effectue de lellc manière que les portions de trajectoire parcourues pendant des temps égaux aient des longueurs égales, — quelle que soit d'ailleurs la valeur absolue de ces temps, — on dit que ce mouvement est uni-

forme *. On nomme vitesse la longueur parcourue pendant Tunité de temps, ou, ce qui revient au même, le rapport constant qui existe entre une longueur parcourue quelconque et le temps employé à la parcourir. En désignant par * la longueur de la portion de ligne, droite ou courbe, décrite au bout d'un temps quelconque, évaluée en unités de longueur, par / la durée de ce temps, pareillement évaluée en unités de temps, et par V la vitesse, la définition qu'on vient de donner est exprimée par la relation :

V représente donc un certain nombre constant d'unités de longueur, qui est précisément égal au nombre parcouru pendant une seule unité de temps.

Les mouvements uniformes diffèrent entre eux, indépendamment de la forme géométrique de la trajectoire, par la valeur de leurs vitesses respectives,

l\, — Mouvement varié, vitesse. On nomme mouvement varié tout mouvement qui n'est pas uniforme, c'est-àdire, dans lequel le rapport de l'espace parcouru au

'jli yi! MM" g i^gnips n'est pas constant.

Pig 1 Dans un mouvement va-

rié, on n'a plus, comme dans le mouvement uniforme, une notion directe de la vitesse, et l'on n'y parvient que par la considération des limites, en assimilant à chaque instant le mouvement, quel qu'il soit, que l'on envisage, à un mou-

* Le mouvement ne serait pas uniforme si , en prenant , par exemple, des durées moitié moindres, les longueurs parcourues pendant ces nouvelles durées n'étaient pas égales entre elles , bien qu'elles le fussent pour les prcmiùres. 11 faut, nous le répétons, que quelque petites ou quelque grandes que soient les durées égales considérées, les longueurs parcourues correspondantes soient exactement égales entre elles.

o MVRK I. — NOTIONS FONDAMEN l ALES.

vement uniforme qui coïnciderait avec lui pendant une durée infiniment petite.

Soit un mouvement d'un point M, s'effocluant suivant une ligne quelconque A S, et tel que le rapport de l'espace parcouru au temps ne demeure pas constant ; de sorte que si Ton considère les positions M', M", M'" occupées successivement par le point M, au bout de durées égales, les

longueurs M M', M' M", M" M'"... ne sont pas égales

entre elles.

Imaginons que le point mobile M, au lieu de se mouvoir comme il le fait réellement, possède de M en M' un certain mouvement uniforme qui l'amène en M' au bout du même temps qu'il emploie dans son mouvement réel ; que de M' en M", il possède un autre mouvement uniforme qui l'amène en M" au bout du même temps que dans le mouvement réel ; et ainsi de suite pour chacun des autres intervalles. Les vitesses de ces mouvements uniformes successifs diffèrent d'ailleurs d'une période à l'autre, puisqu'elles sont respectivement représentées par les longueurs MM', M'M", M" M"'...., supposées inégales , divisées par les durées correspondantes, supposées égales. Le mouvement imaginaire, résultant de tous ces mouvements uniformes, diffère du mouvement réel en ce que les positions ne coïncident pas entre Met M', ni entre M' et M", ni entre M" et M'", quoiqu'elles coïncident aux points M, M', M", M'"... eux-mêmes.

Les vitesses des mouvements uniformes correspondant aux diverses périodes successives représenteront donc les vitesses d'un mouvement qui n'est pas exactement le mouvement réel. Mais ce dernier et le mouvement imaginaire différeront d'autant moins que les intervalles M M', M' M", M" M'"..., auront été pris plus petits : de sorte qu'à la limite, c'est-à-dire si l'on prend ces intervalles infiniment petits, les deux mouvements se confondront rigoureusement, et le rapport de chaque intervalle au temps correspondant, qui n'aura

pas cessé de représenter la vitesse du mouvement imaginaire en chaque endroit, • se trouvera représenter la vitesse d'un mouvement qui ne diffère plus du mouvement proposé : ce sera la vitesse de ce mouvement proposé lui-même. En continuant donc à désigner par s la longueur de la trajectoire A M parcourue au bout d'un temps quelconque /, par As la longueur M M' d'un intervalle pris à la suite, et par At le temps employé à parcourir cet intervalle, la vitesse

As au point M du mouvement proposé sera la limite de -^ ,

quantité qui, d'après les signes adoptés dans l'analyse, est

représentée par -j- : donc

Telle est la relation qui exprime la délinition de la vitesse dans le mouvement varié. Pour que la valeur de celte vitesse puisse être effectivement connue à un moment quelconque, il faut qu'on connaisse la fonction analytique qui exprime à tout instant la longueur de l'espace par(:ouru d'après le

tion f\t) ^= * fournil la valeur numérique de la vitesse.

U«„,„«„V = -,„„.,„„s.»„„s.e.o„„o,.os..„.,.

quefois présentée plus rapidement, en remarquant que pendant un temps infiniment petit dl on peut considérer le mouvement comme uniforme, et que, par suite, le rapport de l'espace parcouru infiniment petit ds au temps employé à le parcourir dt représente la vitesse de ce mouvement. Une telle exposition manque, à notre avis, de netteté : car, pendant un temps infiniment petit, on ne se rend pas bien compte de ce qui fait qu'un mouvement est uniforme, c'està-dire, suivant la définition, de ce qui fait que le rapport de

la longueur parcourue au temps peul être envisagé comme diîmeurant constant. Par conséquent, on ne voit pas non plus ce qui permet d*assimilcr la portion infiniment petite d'un mouvement, qualifié d'uniforme, avec la portion infiniment petite d'un mouvement qui ne Test pas. Ces conceptions ne sont vraiment claires pour Tesprit que lorsqu'elles s'appliquent aux mouvements finis eux-mêmes, pour lesquels il peut y avoir comparaison effective entre les espaces parcourus et les temps employés à les parcourir.

5. — Ladéfinition V= -7- n'est autre chose que la précision mathématique donnée à l'idée instinctive que chacun de nous se fait de la vitesse, en dehors de toute considéralion scientifique. Car si nous voulons apprécier la vitesse d'un objet en marche, notre premier sentiment nous porte à mesurer l'espace parcouru pendant un temps assez court, et à prendre le rapport de cet espace à ce temps pour expression de la vitesse. Nous concevons d'ailleurs très-bien que nous avons une connaissance d'autant plus exacte de cette vitesse que l'espace mesuré a une moindre longueur. En sorte que, finalement, si nous voulons aller au fond des choses et voir en quoi consiste véritablement notre notion instinctive de la vitesse, nous reconnaissons que c'est préci-

sèment la limite théorique du rapport^ dont nos observations matérielles cherchent à se rapprocher de plus en plus.

Remarquons en passant que, de même que la vitesse se déduit de la connaissance de la longueur parcourue en fonction du temps, réciproquement, la longueur parcourue peut ôe déduire de la vitesse, si c'est cette dernière qui est directement connue en fonction du temps. En effet, la relation

V = -n fournit :

at

s=f\dt = f(t).

D'une manière générale, la définilion de la vitesse établit entre cette vitesse, la longueur parcourue et le temps, une relation qui permet toujours de considérer une quelconque de ces trois quantités comme la conséquence des deux autres.

Dans le mouvement uniforme, où le rapport d(> la Ion-

gueur parcourue au temps est constant, on a V = ^ , d'où s = \t ,

V étant un quantité constante. Ce n'est là qu'un cas particulier de la formule relative au mouvement varié : car si dans

l'expression * = / Vrf^ on suppose que V est constant , il

en résulte immédiatement * = V/.

6. — Mouvemeiit unlformémeiit varié, accélération. Lorsque le mouvement varié d'un point s'effectue de telle manière que les variations de vitesse, reçues pendant des temps égaux, sont égales, — quelle que soit d'ailleurs la valeur absolue de ces temps, — on dit que ce mouvement est uniformément varie. Il est dit uniformément accéléré^ si ces variations de vitesse sont des accroissements ; et uniformément retardé^ si ce sont des diminutions. Dans les deux cas, on nomme accélération la variation reçue pendant l'unité de temps, ou, ce qui revient au même, le rapport constant qui existe entre une variation reçue quelconque et le temps employé à la déterminer. Ainsi, en désignant par V la vitesse acquise au bout d'un temps quelconque ^, dans un mouvement uniformc'^ment varié, rectiligne ou curviligne, et par cf l'accélération, la définition qu'on vient de donner est exprimée par la relation

cj» = - ou V= cj>. i

1Î UVRF; I. ~ NOTIONS FONDAMENTALES.

rj» ropn'»seiU<* donc un eerlaiii nombre constant cl*iinités de longueur, qui est précisément ('gai à la différence qu'ont entre (»lles deux vitesses prises à une unité de temps d'intervalle.

L'accélération est d\ic pogitire ou négafire, selon que le mouvement est accéléré ou retardé : en effet,cette accélération s'ajoute ou se retranche selon que la vitesse augmente ou diminue.

7. — llouvement varié en ^^énéral, accélération. On nomme fnouvem&nt varie en général^ ou simplement mouvement varié, tout mouvement qui n'est pas uniformément varié, c'est-à-dire, dans lequel le rapport de la vitesse acquise au temps n'est pas constant.

Dans un tel mouvement, on n'a plus, comme dans le mouvement unifoimément varié, une notion directe de l'accélération, et l'on n'y parvient que par la considération des limites, en assimilant à chaque instant le mouvement, quel qu'il soit, à un mouvement uniformément varié qui coïnciderait avec lui pendant une durée infiniment petite. C'est le même ordre d'idées que lorsqu'il s'agit de définir la vitesse dans un mouvement qui n'est pas uniforme. C'est aussi la même manière de raisonner.

On remplace le mouvement réel curviligne ou rectiligne auquel on a affaire par une succession de mouvements uniformément variés, de durées égales, et tels que chacun d'eux communique au point matériel, au bout de cette durée, la variation de vitesse qu'il reçoit précisément dans son mouvement réel. Si AV est la variation de vitesse correspondante à l'un de ces mouvements uniformément variés et A/ le temps au bout duquel il la détermine, l'accélération cp de ce

AV mouvement partiel se représente par '^. En faisant décroître indéfiniment la valeur des durées égales, ont finit par avoir une successîoiî de mouvements uniformément va-

ries, dont l'ensemble ne diffère plus du mouvement proposé

lui-même, et par conséquent la quantité cp = limite ( -r- ) ,

qui représente l'accélération à un moment donné de ce mouvement idéal, représente aussi Taccélération du mouvement réel. L'accélération d'un mouvement varié quelconque, rectiligne ou curviligne, a donc pour valeur

rfV r

(f = -T- , d'où V = / n^di ,

Cette valeur peut se mettre sous la forme

puisqu'on sait que, par déiinilion, V = -7-.

Les réflexions présentées à la fin du n® k et au u° 5 pourraient être reproduites ici textuellement. Nous croyons inutile d'y revenir. Nous nous bornerons à faire remarquer

d\ que, comme pour la vitesse, la définition cf = -^ n'est que

la précision mathématique de l'idée instinctive que nous nous faisons de l'accélération dans un mouvement quelconque *.

^ Beaucoup de gêomrtres délinisseiit autrement l'accélération. 11 est assez difficile d'en rendre compte dès ce moment. Disons , toutefois , qu'on démontrera plus tard que toute vitesse peut être considérée comme provenant delà combinaison de deux autres faisant entre elles un angle quelconque. Dans i^n mouvement curviligne, on peut donc regarder la vitesse k un certain instant comme provenant de la combinaison de la vitesse à l'instant précédent avec une autre vitesse de grandeur et de direction convenables. C'est cette dernière qu'on nomme accélération. Sans insister davantage sur ce point, qui ne saurait être éclairci qu'en anticipant sur la suite de ce travail, on voit néanmoins que celte définition diffère de la nôtre, et enlève à^ V accélération son caractère d'être une simple variation numérique de vites.-e

8. — Unités de lon^^ueur et de temps. L'évaluation des arcs parcourus, des vitesses et des temps se fait naturellement au moyen de certaines unités correspondantes qui peuvent d'ailleurs être choisies d'une manière arbitraire. Il est d'usage en mécanique de prendre pour unité de longueur celle qu'on a déjà adoptée en géométrie, c'est-à-dire le mètre, et pour unité de temps la 86,400® partie du temps employé moyennement par le soleil pour repasser par le même méridien. Cette durée, à laquelle. toutes les autres sont rapportées, a reçu le nom de seconde, et est désignée, comme la seconde angulaire, par un double accent sur le nombre*.

Dans la suite, nous supposerons toujours implicitement que les quantités de longueur et de temps sont rapportées aux unités que no.us venons d'indiquer. Mais on ne doit pas perdre de vue que cette supposition ne peut avoir aucune influence sur les raisonnements, puisqu'on aurait pu choisir aussi bien toute autre espèce d'unité.

9. — Effort, force. Lorsque nous mettons un corps en mouvement, nous avons conscience d'un effort que nous exerçons sur lui pendant un certain temps.

Cet eff*ort a lieu, lors même que tous les obstacles qui pourraient s'opposer au mouvement de ce corps sont soi-

(variation rapportée au temps), comme la vitesse eUe-méme est une variation numérique de longueur parcourue. On détruit ainsi la correspondance des deux idées , outre qu'on se met en opposition avec la notion vulgaire , conforme à la définition que nous avons donnée. Cette dérogation aux idées instinctives n'ofl're d'ailleurs aucun avantage scientifique réel.

* On sait que l'intervalle entre deux passages successifs du soleil au méridien varie suivant l'époque de l'année. La moyenne entre tous ces intervalles ou entre tous les jours vrais, qu'on nomme le jour moyen, est divisée en 24 durées égales, nommées heures ; chaque heure est divisée en 60 parties nommées minutes et chaque minute en 00 secondes, en sorte que l'unité de temps de la mécanique est, comme nous l'avons dit, la 86,400"^ partie du jour moyen.

gneusement écartés. Ainsi, si nous plaçons une sphère pai*failement polie sur une glace horizontale très-unie, et que nous la fassions rouler dessus, nous exerçons un effort dont nous nous rendons fort bien compte. De même, si nous suspendons un corps à Textrémité d'un fil très-délié, nous produisons un certain effort pour lui imprimer une vitesse qui récarte de sa position verticale. Nous pourrions multiplier les exemples à Tinfini, mais nous le jugeons superflu. Tout le monde sent que le seul fait de donner du mouvement à un coips implique un effort correspondant, même en supposant tous les obstacles écartés.

Cela ne veut point dire que le corps sur lequel nous agissons résiste à notre effort, comme ferait un obstacle fixe contre lequel nous pousserions en vain : au contraire, dans les exemples précédents et dans tous ceux que nous pourrions imaginer,, nous constatons que le momdre effort suffit pour imprimer un mouvement qui, à la vérité, est alors très-petit Eu général, la rapidité du mouvement obtenu est toujours liée à Ténergie de notre effort, augmentant et diminuant avec elle. C'est ce qui n'aurait pas lieu si les corps nous résistaient à la manière d'obstacles fixes. Car un effort convenablement choisi, inférieur, si je puis ainsi dire, à la capacité de résistance du corps, ne le mouvrait en aucune sorte : tandis que l'observation nous fournit la preuve du contraire. Ainsi, tous les corps, supposés bien dégagés de tous les obstacles extérieurs, cèdent à nos efforts et se mettent en mouvement.

Les efforts au moyen desquels nous mouvons les corps sont de même nature que celui qui nous est nécessaire pour maintenir un corps soulevé et l'empêcher de tomber librement vers le sol.

Cette identité nous fournit même un moyen facile de comparer entre eux tous nos efforts quelconques et de les exprimer numériquement.

Il iiuus suiFira de prendre pour terme constant de comparaison Tefifort qui nous est nécessaire pour tenir en suspens un corps déterminé, par exemple un décimètre cube d'eau. Dans la considération de cet effort, nous faisons abstraction, bien entendu, du vase qui contient le liquide. Quant a sa forme et à la manière dont on le tient suspendu, nous ne nous en occupons pas, parce que l'expérience montre que ces circonstances n'influent pas sur l'énergie de l'effort développé.

Nous appellerons égaux tous les efToris capables de ce même résultat. Ainsi deux efforts exercés successivement sur des corps quelconques pour les mouvoir seront appelés égaux s'ils sont tels qu'ils puissent l'un et l'autre maintenir soulevé un décimètre cube d'eau.

Si nous disposons exactement au-dessous l'un de l'autre deux décimètres cubes d'eau et que nous les liions entre eux, nous appellerons double un effort capable de les maintenir soulevés : si nous en disposons trois, nous aurons un effort riple, et ainsi de suite. En général, un effort quelconque sera évalué et représenté numériquement par le nombre de décimètres cubes d'eau, disposés exactement au-dessous les uns des autres, que cet effort serait capable de maintenir soulevés.

Tout mouvement que nous imprimons à un corps doit donc être considéré comme dii à un effort, plus ou moins longtemps continué, qui, à tout instant de sa durée, serait capable de maintenir soulevés un certain nombre de décimètres cubes d'eau.

Il est inutile d'ajouter qu'au lieu de rapporter nos efforts au décimètre cube, on pourrait les rapporter à tout autre corps quelconque, pourvu qu'on convînt de prendre toujoui*s le même terme de comparaison.

Dans la nature, la plupart des corps se meuvent en dehors de notre action personnelle et par des causes qui nous sont

généralement inconnues. Mais, qnelsqne soient ces mouvements, nous concevons toujours qu'ils pommaient être produits par des eiïorts analogues à ceux que nous développons nous-mêmes et qui en dilît^roraienl seulement par le degré de leur énergie.

Un des objets de la mécanique est précisément de rechercher la valeur de cet eiïort idéal, capable de réaliser le mouvement précis que Ton a en vue; ou réciproquement, de trouver le mouvement qu'imprimerait un effort déterminé, si on le supposait appliqué réellement au corps.

Les relations nnmériques que nous établissons ainsi entre les mouvements et les efforts portent sur des éléments qui sont la plupart du temps tout à fait fictifs, en ce sens que les uns ne sont pas en général le produit réel des autres; mais ces relations nous intéressent en ce qu'elles nous apprennent que les uns pourraient être toujours le produit des autres ; et elles nous permettent de nous rendre compte, à notre manière, de la puissance des causes inconnues auxquelles les mouvements, considérés sont réellement dus. Ces relations nous moiîtrent en effet que lu cause quelconque de tel ou tel mouvement particulier est équivalente à un effort déterminé dont la connaissance nous est fomilière.

Nous sommes ainsi (conduits, en mécanique, à écarter complètement la notion concrète c'e Veffort^ c'est-à-dire d'une action exercée effectivement sur les corps, pour n'y voir désormais que l'expression numérique d'un rapport. Tel est le point de vue auquel on se place en arithmétique pour substituer partout le nombre à la quantité.

Afin de rendre cette abstraction plus sensible et de déshabituer l'esprit d'une idée concrète, qui doit rester étrangère au calcul, on a remplacé, dans le langage mécanique, le mot d'effort par celui de force. Ce dernier terme devra donc être toujours entendu dans un sens purement abstrait. H dési-

gncra le nombre de fois qu'il faudrait prendre l'effort unité pour réaliser le mouvement spécial que Ton considère.

10. — C'est cette même abstraction qu'on ne doit jamais perdre de vue quand on parle des forces de la Nature. Il ne s'agit point des causes premières en vertu desquelles les mouvements s'effectuent, mais uniquement de la valeur numérique des efforts iictifs qui seraient capables de les produire. 11 ne faudrait pas prendre le change sur les mots et en arriver à s'imaginer que les corps de la nature agissent effectivement les uns sur les autres à la manière de nos efforts personnels. C'est là une question entièrement étrangère à la mécanique, et dont la solution nous sera sans doute toujours inconnue. Quand on parle, par exemple, de la firt'ce de gravitation qui détermine le mouvement de la terre autour du soleil, on aurait grand ton d'attacher à ces mots une idée concrète, et de croire qu'en effet le soleil tire la terre vers lui/ Une telle'locution signifie seulement que ce même mouvement pourrait, en l'absence de toute cause naturelle, être déterminé par un effort égal à un certain nombre de fois notre effort unité, et dont l'action serait dirigée de la terre vers le soleil. Il en est de même de toutes les expressions analogues. Il faut en écarter soigneusement une signiOcation concrète et se rappeler qu'il n'est jamais question que de rapports numériques.

Ou emploie souvent une locution vicieuse qui consiste ù dire, comme définition des forces, qu'elles sont les causes des fnouvements. Si, par ce mot de forces, on entend alors les causes naturelles elles-mêmes, on ne fait qu'énoncer une vérité évidente, absolument insignifiante. Si l'on entend au contraire des efforts abstraits, numériquement comparables aux nôtres, on devrait dire que les forces sont, non pas ce qui produit les mouvements, mais ce qui pourrait les produire. On rentre ainsi tlans notre propre définition, avec

rinconvénient de la présenter d*uiie manière moins nette, qui peut laisser subsister une erreur dans Tesprit *.

11. — Unité de force. L'effort choisi en mécanique pour ternie constant de comparaison de tous les autres est celui que nous avons déjà supposé nous-mêmes, c'est-à-dire Teffort capable de maintenir soulevé un décimètre cube d'eau, — abstraction faite, bien entendu, du vase qui la contient. — Afin d'éviter la répétition fastidieuse des mêmes mots, qui se reproduiraient toutes les fois qu'on ferait allusion à l'eiîort unité, on lui a donné un nom particulier, celui de kilo^ gramme. Ainsi un effort ou une force de n kilogrammes est une force capable de maintenir soulevés n décimètres cubes d'eau.

Réciproquement, l'effort fictif, égal et de sens contraire au kilogramme, qui est équivalent à la cause inconnue en vertu de laquelle le décimètre cube d'eau, abandonné à lui-même, tend vers le sol, a reçu le même nom de kilogramme. La cause inconnue ayant été appelée pesanteur, l'effort fictif qui la représente s'appelle /)o«rf#. Ainsi, le kilogramme désigne à la fois l'effort nécessaire pour maintenir soulevé un décimètre cube d'eau, et le poids de cette même quantité d'eau. En général, le poids d'un corps quelconque est représenté par le nombre de kilogrammes qui exprime la valeur de l'effort nécessaire pour le maintenir soulevé.

Remarque, — Le volume de l'eau variant avec la tempé-

^ C'est pour avoir méconnu ce caractère abstrait, le seul vraiment scientifique de la force, que quelque auteurs out rejeté l'évaluation numérique directe des forces que nous avons exposée. Camot disait, dans ses Principes de Véquilihre et du mouvement : « Que peut-on entendre dans « le langage précis des mathématiques par une force ^ c'est-à-dire |par une « cause double ou triple d'une autre ?.... » Cet illustre géomètre oubliait ainsi qu'en comparant des forces on ne prétend pas comparer des causes réelles insaisissables en elles-mêmes, mais seulement des catises fictives, équivalentes aux causes inconnues des mouvements observés.

20 LIVRE I. — MfriONS FO>bAM£NTAL£S.

ratuit", la quantité d'eau qui entre dans un décimètre cube, et, par suite, leflort n<H;essaire pour maintenir ce décimètre cubed*eau soulevé, varie avec elle. H a donc fallu, pour avoir un terme de comparaison véritablement constant, spécifier la température pour laquelle était pris Teflort unité. Des coosidératious physiques, que nous n'avons pas à présenter ici, ont conduit à adopter la tempéniture de /i°,i. Il est entendu aussi que Teau est distillée, c'est-à-dire parfaitement pure; car rexi)éritMice montre que TefTort à faire n'est plus le même lors(|ue l'eau lient quelque sel en dissolution. Enfin la détermination de cet effort est faite dans le vide absolu, car il se manifeste des différences, suivant l'état de l'atmosphère. Ainsi, le kilogranmie est l'effort capable de maintenir soulevé, dans le vide, un décimètre cube d'eau distillée à la température de ^°,i. N'omettons pas d'ajouter qu'il faut spécifier le lieu du globe où se fait la détermination , car l'effort varie d'un lieu à l'autre. Le lieu choisi par les géomètres français est Paris.

12. — Forces constantes et forées vnriii blés* L'effort que nous exerçons pour mouvoir un corps a toujours, quelle que soit sa valeur, une certaine durée. Il en est par conséquent de même de toutes les forces, c'est à-dire de tous les efforts ficlifs capables de produire les mouvements considérés.

Nous aurons donc à distinguer deux catégories de forces, suivant que l'effort conserve, pendant toute sa durée, la menu; valeur numérique, ou suivant, au contraire, que cet effort varie.

Les forces de la première catégorie sont appelées forces constantes. Ainsi, une force constante est une force qui, à un moment quelconque de sa durée, serait capable de maintenir soulevés le même nombre de décimètres cubes d'eau, ou qui, en d'autres termes, est constamment représentée par le même nombre de kilogrammes.

DÉFINITIONS ET'XxrOMES. 2i

Les forces de la deuxième calégorie sont appelées force» variables. Ainsi, une l'orce variable estuncloree qui, à un moment quelconque de son action, n'est pas capable de maintenir soulevés le même nombre de décimètres cubes d'eau, ou qui est représentée par un nombre sans cesse différent de kilogrammes.

Une force qui serait constante pendant une partie de sa durée, et qui, pendant la période suivante, serait encore constante, mais avec une valeur différente de celle qu'elle avait dans la première, ne serait pas, à proprement parler, une force variable. On considère alors qu'on a deux forces constantes successives, de différentes valeurs. Le caractère de la force variable, c'est que la valeur varie à toutingtant.

Cette variation s'effectue d'ailleurs d'une manière continue, c'est-à-dire par degrés insensibles; car l'expérience nous apprend que rien, dans la nature, ne se fait par transition brusque. {Natura non facit saUtiSy ont dit depuis longtemps les philosophes.) — Si donc un changement brusque se produisait dans la valeur de la force, variable avant, variable après, on devrait considérer que ce n'est pas une même force variable, mais bien deux forces distinctes.

Rien ne nous semble donner mieux la représeniation d'une force variable que l'exemple suivant :

Supposons qu'un homme tienne soulevé un vase dans lequel un robinet verse de l'eau d'une manière continue ; à mesure que le vase se remplit, l'homme développe un effort de plus en pliis grand pour le maintenir soulevé. A chaque instant, la valeur de cet effort, incessamment variable, est exactement mesurée par le volume d'eau contenu dans le vase.

Cet exemple montre une force continue, dont la loi de variation consiste à augmenter proportionnellement au (emps, puisque c'est ainsi qu'augmente évidemment le volume de

Teau introduite. On pourrait représenter de la même manière une force augmentant suivant une loi quelconque ; il suffirait d'imaginer que le robinet, au lieu de rester grand ouvert pendant tout le débit, est manœuvré de façon à faire varier Torifice suivant telle loi que Ton voudra. On aperçoit clairement que rclïbrt nécessaire pour maintenir le vase soulevé augmente avec le temps d'après \m mode de variation quelconque.

Si le vase, au lieu de s'emplir, se vidait, on obtiendrait toute espèce de loi de diminution de l'effort.

Quand une force variable met un corps en mouvement, nous devons concevoir que, pendant la durée de son action, l'intensité de cette force passe par des valeurs diverses et successives comme celles que nous venons de considérer.

La connaissance d'une force variable implique celle de sa valeur numérique à tout instant, c'est-à-dire la connaissance de la loi suivant laquelle celte valeur varie avec le temps. Cela revient ù donner la fonction analytique du temps qui exprime la valeur numérique de la force. Ainsi, F étant la force et f (0 une certaine fonction du temps, on a, à tout instant, pour exprimer la force, l'équation f=f{t).

Quand la force est constante, f (^ se réduit à une quantité constante.

13. — Direction de la force, son point d'application. En agissant sur un corps pour le mouvoir, nous avons le sentiment de la direction de notre effort, c'est-à-dire de la ligne droite suivant laquelle notre effort se produit. Si le corps a des dimensions infiniment petites, ou plutôt si nous envisageons son mouvement en bloc, comme nous ferions d'un point unique, nous le voyons suivre la ligne droite le long de laquelle nous exerçons notre effort. Le corps ne dévie de cette ligne que lorsque nous changeons nous-mêmes la direction de notre effort, ou lorsque, les dimensions considérables de ce corps ne nous permettant pas d'envisager

son mouvement comme celui d'un point unique, nous tenons compte des différences de trajectoires de ses divers points. Mais nous n'en avons pas moins le sentiment d'une direction déterminée de notre effort à tout instant, ou le sentiment d'une ligne droite que suivrait la particule matérielle sur laquelle nous agissons immédiatement, si cette particule, au lieu d'être liée aux autres parties du corps, était parfaitement libre de céder isolément à notre action.

Nous nommerons donc en général direction d'une force la droite suivant laquelle la force est conçue comme agissant pour mouvoir une particule matérielle isolée, le long de cette droite même.

Nous 2ii^^ç\\QV0ïï% point d'application de la force le point précis où cette force est supposée agir sur le corps, c'est-àdire la particule matérielle qui, si elle était libre, se mouvrait dans la direction de la force, comme il vient d'être dit.

Une force aura une direction constante lorsqu'elle agira à tout instant suivant la même droite : elle aura une direction variable lorsqu'elle agira successivement suivant des droites différentes. La variation de direction s'effectue, d'ailleurs, comme celle de l'intensité, d'une manière continue et par degrés insensibles.

Le mouvement d'un corps devant changer évidemment selon la direction et le point d'application de la force qui le détermine, il est nécessaire, pour connaître complètement la force, de connaître, outre sa valeur à tout instant, la position de son point d'application et sa direction. En général, dans les problèmes, la position géométrique du point d'application ne change pas dans le corps pendant tout le cours du mouvement; elle est donc précisée une fois pour toutes. Quant à la direction, il faut, si elle varie sans cesse, donner, comme pour l'intensité, la loi de la variation en fonction du temps. Nous verrons plus tard de quelle manière on représente géométriquement la direction des forces dans l'espace.

Vl LIVRE 1. — NOTIONS FONDAMENTALES.

Eu défiuilivt', pour la couuaissance d^inc force, il faut trois choses .

1" Sou point (Inapplication, qui, habituellement, conserve la même position dans le corps ;

T Lintensité, qui est exprimée par une fonction analytique ;

i^ La direction, qui peut varier également suivant certaines lois.

lii. — Comme on le voit, nous avons fait choix, dès ledébut, d'une unité de force déterminée. Nous aurions pu, naturellement, adopter loute autre unité que le kilogramme. Il suffit qu'une unité soit prise, peu importe laquelle.

C'est une grande erreur de supposer que, parce qu'on choisit tout de suite une unité de force, et que cette unité est empruntée aux faits de la pesanteur, il serait impossible, sans la considération de la pesanteur, de constituer la science mécanique telle qu'elle est. En admettant que l'homme n'eût aucun sentiment de la cause inconnue en vertu de laquelle les corps tendent vers la terre, et qu'il ne se fut jamais rendu compte de l'effort nécessaire pour les maintenir soulevés, rien ne l'empêcherait d'ailleurs d'acquérir la notion d'un effoj'tou d'une force, soit en modiflaut la forme d'un corps plus ou moins élastique, soit même en mouvant un corps sur un plan hojizonlal, sans frottement. De pareils phénomènes nécessitent des efforts qui ne dépendent nullement de la gravité, et qui demeureraient absolument les mêmes si cette dernière n'existait pas. On pourrait ainsi adopter quelque unité de force, étrangère à la pesanteur, comme, par exemple, l'effort nécessaire pour empêcher une lame métallique, infléchie dans des conditions spécifiées, de reprendre sa forme naturelle. En un mot, le premier terme de comparaison venu, pourvu qnll fut constant, tiendrait lieu du kilogramme et dispenserait de toute considération de la gravité) laquelle, scientifiquement parlant, pour-

DEFINITIONS ET AXIOMKS. 25

rait disparaître sans porter aucunement atteinte à l'édifice mécanique.

15. — Masse. Quand ou agit successivement sur différents corps pour les mettre en mouvement, on reconnaît que le même effort, exercé de la même manière, ne leur fait pas prendre le même mouvement ; on Taltribue vulgairement à ce que ces corps ne renferment pas tous la mente quantité de viatiève, et Ton appelle //?a««e de chacun dVux la quantité absolue de matière quil coniienl.

Si nous nous en tenions à cet énoncé, qui ne fait que reproduire ridée assez obscure que chacun attache instinctivement au terme de magfte, nous ne serions pas en possession d'une définition vraiment scientifique, c'est-à-dire assez précise pour qu'on puisse tenir compte, dans le calcul, de l'objet auquel elle se rapporte.

Pour que la masse devienne en effet un élément de relations mathématiques, il est indispensable qu'on puisse l'exprimer numériquement; ce qui exige qu'on sache comparer les masses entre elles et les rapporter toutes à une même unité.

Or, comment comparer des masses, c'est-à-dire évaluer le nombre de fois que la matière d'un certain corps contient la matière d'un autre corps? Celte comparaison directe, et le rapport qui en résulte, ne peuvent avoir un sens pour l'esprit qu'autant qu'il s'agit de corps de même nature et placés dans les mêmes conditions. On comprend, par exemple, que la quantité de matière de deux décimètres cubes d'eau est le double de celle qui est contenue dans un seul, et qu'en général le rapport des masses est le même que celui des volumes. Mais s'il est question de corps de natures différentes, tels que l'eau, le fer, le bols, etc., on n'a aucune idée du genre de rapport qui peut exister entre les quantités de matière d'un même volume de ces divers corps. Ici donc, il devient nécessaire d'abandonner le sens vulgaire du mot

masse pour lui substituer une notion plus précise, qui se prête à la comparaison numérique dont nous parlons.

A cet effet, nous dirons que deux corps de natures quelconques ont des masses égales, lorsque, successivement soumis à un même effort constant, pendant le même temps, suivant une même direction, ils acquièrent la même vitesse. Ainsi, si un huitième de décimètre cube de fer, par exemple, prend la même vitesse qu'un décimètre cube d'eau dans les conditions que nous venons d'indiquer, on dira que le premier volume de fer a la même masse que le second volume d'eau.

Quand nous parlons de la vitesse du corps, il s'agit, bien entendu , de la vitesse générale de ce corps , envisagé en bloc, et sans tenir compte des mouvements individuels de ses divers points. Nous admettons, d'ailleurs, — ce qui sera démontré plus tard, — que cette vitesse générale est la même, quelle que soit la forme qu'affecte le volume du corps considéré, et quel que soit le point précis où la force lui est appliquée.

L'égalité des masses, telle que nous venons de l'établir, reste donc étrangère à la considération inaccessible des quantités de matière, et elle se fonde uniquement sur la façon dont les corps cèdent à l'action des forces qui les sollicitent. C'est là, d'ailleurs, le vrai point de vue : car au lieu de dire, conformément à la notion vulgaire, que la matière renfermée dans un décimètre cube de fer est huit fois plus grande que celle d'un décimètre cube d'eau, qu'est-ce qui empêcherait de concevoir, par exemple, que la différence des forces nécessaires pour faire prendre à ces deux corps la même vitesse manifeste seulement que la capacité de mouvement du fer, si je puis ainsi dire, est autre que celle de l'eau? Ce serait un fait du même ordre que celui des capacités calorifiques^ qui consiste, comme on sait, en ce que des poids égaux de matières différentes n'absorbent pas

DÉnNlTIONS ET AXIOMES. 27

les mêmes quantités de chaleur pour prendre les mêmes accroissements de température. Mais il est clair que ces considérations n'importent pas à la mécanique, qui n'étudie les corps qu'au point de vue des mouvements qu'ils manifestent.

Les masses étant définies égales, comme il vient d'être dit, une masse quelconque sera évaluée et exprimée numériquement au moyen de sa comparaison avec une masse déterminée prise pour unité. Ainsi , une masse double j triple, de l'unité de masse, sera la masse d'un corps qui pourrait être décomposé en deux, trois parties, telles que chacune, soumise au même effort constant, pendant le même temps que l'unité de masse, recevrait la même vitesse que cette dernière. En général, on dira qu'un corps a une masse de n unités, lorsqu'il pourrait être décomposé en n parties égales chacune à l'unité de masse.

16. — Il résulte de notre définition qu'une masse double, triple d'une autre, soumise à une force double, triple, prend la même vitesse qu'une masse simple soumise à une force simple. En d'autres termes, les masses sont proportionnelles aux forces constantes qui, au bout du même temps, leur communiquent la même vitesse. En effet, si l'on a une certaine masse sollicitée par une certaine force, rien n'empêche d'imaginer que cette masse est décomposée en deux autres égales, placées l'une devant l'autre, et que la force provient aussi de deux autres égales, agissant respectivement , suivant la même droite , sur les deux masses partielles. Aux termes de la définition des forces, la force totale, due à la réunion des forces partielles, est double de chacune de celles-ci ; de même que la niasse totale est double de chaque masse partielle. Donc, une force double sollicite une masse double, comme une force simple sollicite une masse simple.

D'après cela, au lieu d'évaluer une masse en recherchant en combien de parties égales à l'unité on pourrait la décom-

28 I.ÎVRK 1. — NOTIONS FONDAMÊNTALKS.

poser, — sorlc de division pratiquement impossible la plupart du temps, — il revient au même de recheniher quelle est la force qu'il faut lui appliquer pour lui donner la même vitesse qu'à Tunité de masse. Le rapport numérique de cette force à celle qui sollicite Tunitéde masseexprime le nombre d'unités que contient la masse considérée. C'est ce qu'on énonce brièvement eu disant que la comparaison des masses est ramenée à celle des forces.

17. — Homo^énéilé, denëilé. Lorsqu'un corps est constitué de telle manière que des volumes égaux de ce corps ont des masses égales, — quelle que soit d'ailleurs la.valour absolue de ces volumes, — on dit qu'il est homogène. On nomme densité la masse contenue dans l'unité de volume, ou, ce qui revient au même, le rapport constant de la masse an volume. Ainsi, en désignant par M la masse, évaluée en unités, d'un corps homogène, contenue dans un volume quelconque V, et par p sa densité, la définition qu'on vient de donner est exprimée par la relation

p = —-, ou bien M = p V.

p représente ainsi pour chaque corps homogène un certain nombre constant d'unités de masse, qui est précisément égal à la mesure de la masse renfermée sous l'unité de volume.

Les corps homogènes différent entre eux par la valeur de leurs densités respectives.

18. — Hétérogénéité 9 densité. On nomme corps hétérogène tout corps qui n'est pas homogène, c'est-à-dire dans lequel le rapport de la masse au volume n'est pas constant.

Dans un corps hétérogène, on ne peut avoir la notion de densité que par la considération des limites. On se retrouve, à cet égard, dans le même ordre d'idées qu'à l'occasion de la vitesse du mouvement varié (n" /»). On décompose par la pensée le corps en parties d'égal volume, et on suppose que

la matière de chacune de ces parties soit l'emplacée par une matière homogène, qui représente la même masse que la matière effective de cette partie du corps. L'ensemble de ces parties homogènes constitue un corps imaginaire qui diffère du corps réel, en ce que , dans une même partie de celui-ci, la densité n'est pas constante comnie dans la partie du corps imaginaire. £n faisant ensuite diminuer indéfiniment, suivant leurs trois diniensions, chacune des parties ainsi formées, on finit par avoir un corps qui ne diffère plus du corps réel, et pour lequel le rapport de la masse au volume, dans chaque partie, n'a pas cessé de représenter la densité. En sorte que si AV est un de ces volumes et AM sa masse, la limite du rapport de AM à AV représente la densité du corps réel au point considéré. La relation algébrique qui exprime cette définition est donc :

ce qui permet de déduire la masse, lorsqu'on connaît la loi suivant laquelle la densité varie aux divers points de l'étendue du corps : car on a M = / p rf V.

Une remarque, qui n'est pas sans un certain intérêt philosophique, c'est que la relation qui existe entre la densité, la masse et le volume d'un corps quelconque, homogène ou hétérogène, est identique à celle qui existe entre la vitesse, l'espace parcouru et le temps, pour un mouvement quelconque, uniforme ou varié. Ainsi, le chapitre scientifique qui traiterait des trois dernières quantités, dans leurs rapports réciproques, serait textuellement applicable aux trois premières : il suffirait d'y remplacer partout les mots de vitesse, espace parcouru et temps par ceux de densité^ masse et volume. On voit, par exemple, que la masse d'un corps, à mesure qu'on en prend des volumes de plus en

30 LIVRE I. — NOTlOiNS FONDAMENTALES.

plus grands, augmente comme l'espace parcouru au bout de durées de plus en plus prolongées. La même relation existe encore entre /'accéléi*ation ^ la variation de vitesse et le temps. Nous en retrouverons plus tard d'autres exemples.

19. — L'nités de volume et de masse. L'unité de volume adoptée en mécanique est le décimètre cube ou litre.

L'unité de niasse est celle d'un corps qui, soumis à l'unité de force pendant l'unité de temps, acquiert une vitesse égale à l'unité de longueur.

Pour déterminer la masse qui satisfait à cette condition, il faut évidemment recourir à l'observation physique ; car rien ne peut indiquer à priori la vitesse que prendra un corps déterminé soumis à une certaine force pendant un certain temps. On doit donc faire une série d'expériences consistant à rechercher quel est le corps qui, sollicité par une force de direction constante, d'un kilogramme, pendant une seconde, possède au bout de ce temps une vitesse d'un mètre.

Parmi le nombre infini de méthodes, théoriquement possibles, qu'on avait à employer pour faire cette détermination, on s'est arrêté à la suivante ;

Une première série d'observations, dans le détail desquelles nous n'entrerons pas ici, a montré que la pesanteur est une force constante, c'est-à-dire : 1° que pour un même lieu du globe, l'efifort fictif équivalent à la cause inconnue en vertu de laquelle un corps tend vers la terre, a la même valeur numérique à toute époque de l'année ; 2° que le mouvement de chute verticale que prend un corps tombant librement vers le sol suit exactement la loi que nous reconnaîtrons plus tard appartenir aux mouvements produits par une force constante : ce qui permet d'envisager la pesanteur comme équivalente à un effort de même valeur pendant toute la durée de la chute.

Une deuxième série d^obsenations a montré que des corps quelconques, tombant simultanément sous la libre action de leurs poids respectifs, acquièrent, au bout des mêmes temps les mêmes vitesses. On en a conclu (dernier alinéa du n° 16) que les masses des corps sont proportionnelles a leurs poids.

Une troisième série d'observations a montré qu'un corps quelconque, tombant librement, possède, au bout d'une seconde, une vitesse de 9"' 8088 (mesurée à Paris).

Cela posé , la détermination de l'unité de masse devient fort aisée.

1° Pour soumettre un corps à une force constante égale à l'unité, il suûit de laisser tomber librement un corps quelconque pesant 1 kilogramme ; S** puisque la vitesse que ce corps acquiert au bout d'une seconde est de 9'" 8088, il en résulte que si l'on soumettait à la même force de 1 kilogr. une masse 9,8088 fois plus considérable, celte masse acquerrait une vitesse 9,8088 plus faible ; car, ainsi que nous le démontrerons prochainement, les masses sont en raison inverse des vitesses que leur communique la même force au bout du même temps. Donc la masse égale à 9,8088 fois celle qui pèse 1 kilogramme acquerrait une vitesse de 1 mètre.

D'après cela, il reste entendu que l'unité de masse définitivement adoptée est la masse d'un corps qui pèse 9 kil. 8088. On peut se la représenter eu disant, par exemple, que c'est la masse de 9,8088 décimètres cubes d'eau.

20. — Expression numérique de la masse d'an eorps queleonque. On a coutume de désigner par une seule lettre, la lettre g y le nombre 9,8088 qui se reproduit fréquemment dans les formules. On dit aussi que g représente Vaction de lapesmiteur ; cela signifie que le nombre g représente la vitesse que la pesanteur fait acquérir aux corps

32 L1\RK I. — NOTIONS FONDAMENTALES.

au bout d'uno seconde, ou qu'il représente le poids de Funité de masse évalué en kilogrammes.

La valeur d'une masse quelconque peut être expnméc lrè8-8impl(»ment, en remarquantque, puisqu'un corps reçoit sous Faction de son propre poids une vitesse égale à g, il n(; re(;evrail qu'une vitesse d'un mètre, si, son poids restant le même, su masse était g fois plus grande. D'où il suit que, M étant la masse effective de ce corps, P son poids en kilogrammes, et g l'action de la pesanteur, on aura

1> M j ^= P, ou bien iM == - ,

Telle est l'expression qu'on donne communément à la masse d'un corps, et qui montre que la mesure d'une masse quelconque s'obtient en divisant le poids par le nombre g.

Ainsi, la comparaison des masses, d'abord ramenée (n° 16) à (îelle des forces constantes qui leur font acquérir la même vitesse, est définitivement ramenée à la comparaison des poids, ce qui offre, dans beaucoup de cas, une grande simplicité pratique.

Lorsque nous considérons des corps qui nous sont inaccessibles, et que nous ne pouvons peser, comme les astres (ît I(î glob(; terrestre lui-même, la comparaison des poids dtîvient sans objet. On ne peut pas recourir davantage à l'évaluation d(»s eftbrls fictifs qui seraient capables de produii'c leurs mouvements observés. On n'arrive alore à la détermination des masses que par des considérations indirectes, qui seront présentées en leur lieu (n** 331). Pour le moment, le mieux, est de restreindre la mesure de la niasse aux corps qui nous entourent immédiatement et qu'il nous est loisible de peser.

21. — Avant d'abandonner ce sujet , nous croyons devoir prémunir contre certaines idées fausses, analogues à celles qui ont fait l'objet du n° 14.

DÊFlNTTrONS ET ÀXIOMKS. 3Î5

La considération de la pesanteur n'est nullement indispensable à la notion de la masse et à son évaluation. A la vérité le phénomène de la chute des corps graves a fourni un moyen simple et expéditif de déterminer Tunité de masse et de comparer toutes les masses entre elles. Mais lors même que les corps ne pèseraient pas, qu'on nous passe Thypothèse, on concevrait des masses égales et inégales par le seul fait des vitesses égales ou inégales que leur imprimeraient les mêmes efforts. On pourrait déterminer une unité de masse en observant la vitesse qu'acquerrait un corps sollicité dans une certaine direction par un effort constant, assigné à Tavance.

Ce serait une autre erreur de croire qu'il est évident, en dehors de toute expérience physique, que les masses des corps sont proportionnelles à leurs poids, ou que la vitesse que leur communique la gravité au bout du même temps doit être nécessairement la même pour tous. La masse et le poids sont, dans un corps, deux manières de se comporter fort distinctes. L'une se rattache à la considération de la force qu'il faut lui appliquer pour le mouvoir, l'autre lient uniquement au genre d'influence que peut avoir sur lui le voisinage du globe. On comprendrait très-bien qu'une espèce de matière très-facile à mouvoir fut très-puissamment attirée par notre terre ; et qu'un corps d'une autre espèce présentât le phénomène inverse. Alors une grande masse correspondrait à un faible poids. S'il n'en est pas ainsi en réalité, c'est en vertu de causes qui nous sont inconnues, et dont rien à priori ne pouvait faire prévoir l'existence. Il était donc absolument nécessaire qu'une expérience physique directe vînt nous la démontrer.

Quant à la valeur particulière de O'^SOSS reconnue comme on Ta dit plus haut, pour la vitesse d'un corps qui tombe librement dans le vide à Paris, c'est aussi un fait d'observation dont personne, d'ailleurs, ne conteste le ca-

'6li LIVRE 1. — NOTIONS FONDAMENTALES.

raclère. Mais il ne faudruit pas conclure que si la pesanteur n'existait pas, et que Texpérience lïit faite d'une autre manière, on pourrait trouver une vitesse différente. Il est bien évident au contraire que si l'on avait, par exemple, sollicité le même corps sur un plan horizontal et sans résistance d'aucune sorte, avec un effort de même intensité, on aurait retrouvé rigoureusement le même nombre de 9"' 8088. Car, pour un même corps, cette vitesse ne dépend que de la valeur de l'effort et nullement de la nature de la cause quelconque qui peut y donner naissance.

22. — Axiomes rationnels ^ Nous allons énoncer un certain nombre de vérités évidentes par elles-mêmes, qui ne peuventpas être démontrées par le raisonnement ou à l'aide d'expériences physiques directes. Elles sont du même ordre que les axiomes géométriques, avec lesquels le lecteur est depuis longtemps familiarisé.